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  • 1. 平面上两点之间距离 1 2. 判断两点是否重合 1 3. 矢量叉乘 1 4. 矢量点乘 2 5. 判断点是否在线段上 2 6. 求一点饶某点旋转后坐标 2 7. 求矢量夹角 2 ㈡ 线段及直线基本运算 1. 点与线段关系 3 2. 求点到...
  •  如图,椭圆A、B两点切线相交于S,E是椭圆一个焦点。求证,线段ES平分∠AEB。 椭圆有一个神奇性质:从一个焦点射出光线,经过椭圆曲线反射后,总会到达另一个焦点。换句话说,两个焦点分别与切点...
    
    			

       如图,椭圆上A、B两点处的切线相交于S,E是椭圆的一个焦点。求证,线段ES平分∠AEB。


     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

        椭圆有一个神奇的性质:从一个焦点射出的光线,经过椭圆曲线的反射后,总会到达另一个焦点。换句话说,两个焦点分别与切点相连,这两条连线与切线夹角相等。再换句话说,将F沿切线AS反射,对称点M恰好落在EA的延长线上;同样地,令N为F关于BS的对称点,则N、B、E三点共线。又由椭圆的定义,EA+FA=EB+FB。于是,我们有:

    EM = EA + AM
        = EA + FA
        = EB + FB
        = EB + BN
        = EN

        这说明△EMN是等腰三角形。为了说明ES为角平分线,只需说明点S也在MN的垂直平分线上即可。这是显然的,因为S是FN和FM的垂直平分线的交点,这立即说明S是△FMN的外心,它当然也应该在MN的垂直平分线上。

        几何画板画椭圆及其上的切线很不方便,因此改用GeoGebra了。一个很好的软件,自变/应变元素管理得很好,属性界面用起来非常舒适,命令行操作功能很强大。以后这个Blog讲到几何问题时就靠它来画图了。

    题目来源:http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/AngleBisectorsInEllipse.shtml

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  • hough变换是如何检测出直线和圆的

    千次阅读 2015-07-21 11:37:53
    (I)直线篇 ...其中r为该直线原点的距离,theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。 2 如果坐标系中有多个,又怎样识别出哪些在一条直线呢? 使用hough变换来检测直线的思

    (I)直线篇

    1 直线是如何表示的?
    对于平面中的一条直线,在笛卡尔坐标系中,常见的有点斜式,两点式两种表示方法。然而在hough变换中,考虑的是另外一种表示方式:使用(r,theta)来表示一条直线。其中r为该直线到原点的距离,theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。

    hough变换是如何检测出直线和圆的? - 钰央 - 计算机视觉·图像处理
    2 如果坐标系中有多个点,又怎样识别出哪些点在一条直线上呢?
    使用hough变换来检测直线的思想就是:为每一个点假设n个方向的直线,通常n=180,此时检测的直线的角度精度为1°,分别计算这n条直线的(r,theta)坐标,得到n个坐标点。如果要判断的点共有N个,最终得到的(r,theta)坐标有N*n个。有关这N*n个(r,theta)坐标,其中theta是离散的角度,共有180个取值。
    最重要的地方来了,如果多个点在一条直线上,那么必有这多个点在theta=某个值theta_i时,这多个点的r近似相等于r_i。也就是说这多个点都在直线(r_i,theta_i)上。
    3 下面拿个例子说明: 
    如果空间中有3个点,如何判断这三个点在不在一个直线上,如果在,这条直线是的位置为?
    hough变换是如何检测出直线和圆的? - 钰央 - 计算机视觉·图像处理
     这个例子中,对于每个点均求过该点的6条直线的(r,theta)坐标,共求了3*6个(r,theta)坐标。可以发现在theta=60时,三个点的r都近似为80.7,由此可判定这三个点都在直线(80.7,60)上。
    通过 r0theta 坐标系可以更直观表示这种关系,如下图:图中三个点的(r,theta)曲线汇集在一起,该交点就是同时经过这三个点的直线。 
    hough变换是如何检测出直线和圆的? - 钰央 - 计算机视觉·图像处理

    在实际的直线检测情况中,如果超过一定数目的点拥有相同的(r,theta)坐标,那么就可以判定此处有一条直线。在r0theta 坐标系图中,明显的交汇点就标示一条检测出的直线。
    如下图,可以判定出平面上的点共构成了两条直线,即检测出两条直线。

    hough变换是如何检测出直线和圆的? - 钰央 - 计算机视觉·图像处理
    4 代码:
    在matlab中提供了hough变换的代码,有hough,houghlines,houghpeaks,具体的使用可以在help中查到。

    (II)圆篇

    继使用hough变换检测出直线之后,顺着坐标变换的思路,提出了一种检测圆的方法。
    1 如何表示一个圆?
    与使用(r,theta)来表示一条直线相似,使用(a,b,r)来确定一个圆心为(a,b)半径为 r  的圆。
    2 如何表示过某个点的所有圆?
    某个圆过点(x1,y1),则有:(x1-a1)^2 + (y1-b1)^2 = r1^2 。
    那么过点(x1,y1)的所有圆可以表示为(a1(i),b1(i),r1(i)),其中r1∈(0,无穷),每一个 i 值都对应一个不同的圆,(a1(i),b1(i),r1(i))表示了无穷多个过点(x1,y1)的圆。
    3 如何确定多个点在同一个圆上?
    如(2)中说明,过点(x1,y1)的所有圆可以表示为(a1(i),b1(i),r1(i)),过点(x2,y2)的所有圆可以表示为(a2(i),b2(i),r2(i)),过点(x3,y3)的所有圆可以表示为(a3(i),b3(i),r3(i)),如果这三个点在同一个圆上,那么存在一个值(a0,b0,r0),使得 a0 = a1(k)=a2(k)=a3(k) 且b0 = b1(k)=b2(k)=b3(k) 且r0 =  r1(k)=r2(k)=r3(k),即这三个点同时在圆(a0,b0,r0)上。
    从下图可以形象的看出:

    hough变换是如何检测出直线和圆的? - 钰央 - 计算机视觉·图像处理
    首先,分析过点(x1,y1)的所有圆(a1(i),b1(i),r1(i)),当确定r1(i)时 ,(a1(i),b1(i))的轨迹是一个以(x1,y1,r1(i))为中心半径为r1(i)的圆。那么,所有圆(a1(i),b1(i),r1(i))的组成了一个以(x1,y1,0)为顶点,锥角为90度的圆锥面。
    三个圆锥面的交点A 既是同时过这三个点的圆。
    4 怎样用代码实现检测圆的过程?
     上面的分析虽然很简单,但是用代码实现起来就麻烦了,首先过每一个点的(a(i),b(i),r(i))都有无穷多个,若是要检测的点很多,要两两比较所有的(a,b,r)值是否相等实在是一个巨大的运算量。
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  • 其中r为该直线原点的距离,theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。 2 如果坐标系中有多个,又怎样识别出哪些在一条直线呢?使用hough变换来检测直线的思想就是:为每一个假...

    (I)直线篇

    1 直线是如何表示的?
    对于平面中的一条直线,在笛卡尔坐标系中,常见的有点斜式,两点式两种表示方法。然而在hough变换中,考虑的是另外一种表示方式:使用(r,theta)来表示一条直线。其中r为该直线到原点的距离,theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。

    2 如果坐标系中有多个点,又怎样识别出哪些点在一条直线上呢?
    使用hough变换来检测直线的思想就是:为每一个点假设n个方向的直线,通常n=180,此时检测的直线的角度精度为1°,分别计算这n条直线的(r,theta)坐标,得到n个坐标点。如果要判断的点共有N个,最终得到的(r,theta)坐标有N*n个。有关这N*n个(r,theta)坐标,其中theta是离散的角度,共有180个取值。
    最重要的地方来了,如果多个点在一条直线上,那么必有这多个点在theta=某个值theta_i时,这多个点的r近似相等于r_i。也就是说这多个点都在直线(r_i,theta_i)上。
    3 下面拿个例子说明: 
    如果空间中有3个点,如何判断这三个点在不在一个直线上,如果在,这条直线是的位置为?
     这个例子中,对于每个点均求过该点的6条直线的(r,theta)坐标,共求了3*6个(r,theta)坐标。可以发现在theta=60时,三个点的r都近似为80.7,由此可判定这三个点都在直线(80.7,60)上。
    通过 r0theta 坐标系可以更直观表示这种关系,如下图:图中三个点的(r,theta)曲线汇集在一起,该交点就是同时经过这三个点的直线。 

    在实际的直线检测情况中,如果超过一定数目的点拥有相同的(r,theta)坐标,那么就可以判定此处有一条直线。在r0theta 坐标系图中,明显的交汇点就标示一条检测出的直线。
    如下图,可以判定出平面上的点共构成了两条直线,即检测出两条直线。


    4 代码:
    在matlab中提供了hough变换的代码,有hough,houghlines,houghpeaks,具体的使用可以在help中查到。

    (II)圆篇

    继使用hough变换检测出直线之后,顺着坐标变换的思路,提出了一种检测圆的方法。
    1 如何表示一个圆?
    与使用(r,theta)来表示一条直线相似,使用(a,b,r)来确定一个圆心为(a,b)半径为 r  的圆。
    2 如何表示过某个点的所有圆?
    某个圆过点(x1,y1),则有:(x1-a1)^2 + (y1-b1)^2 = r1^2 。
    那么过点(x1,y1)的所有圆可以表示为(a1(i),b1(i),r1(i)),其中r1∈(0,无穷),每一个 i 值都对应一个不同的圆,(a1(i),b1(i),r1(i))表示了无穷多个过点(x1,y1)的圆。
    3 如何确定多个点在同一个圆上?
    如(2)中说明,过点(x1,y1)的所有圆可以表示为(a1(i),b1(i),r1(i)),过点(x2,y2)的所有圆可以表示为(a2(i),b2(i),r2(i)),过点(x3,y3)的所有圆可以表示为(a3(i),b3(i),r3(i)),如果这三个点在同一个圆上,那么存在一个值(a0,b0,r0),使得 a0 = a1(k)=a2(k)=a3(k) 且b0 = b1(k)=b2(k)=b3(k) 且r0 =  r1(k)=r2(k)=r3(k),即这三个点同时在圆(a0,b0,r0)上。
    从下图可以形象的看出:

    首先,分析过点(x1,y1)的所有圆(a1(i),b1(i),r1(i)),当确定r1(i)时 ,(a1(i),b1(i))的轨迹是一个以(x1,y1,r1(i))为中心半径为r1(i)的圆。那么,所有圆(a1(i),b1(i),r1(i))的组成了一个以(x1,y1,0)为顶点,锥角为90度的圆锥面。
    三个圆锥面的交点A 既是同时过这三个点的圆。
    4 怎样用代码实现检测圆的过程?
     上面的分析虽然很简单,但是用代码实现起来就麻烦了,首先过每一个点的(a(i),b(i),r(i))都有无穷多个,若是要检测的点很多,要两两比较所有的(a,b,r)值是否相等实在是一个巨大的运算量。
    ……未完待续……
     
    转自:http://blog.163.com/yuyang_tech/blog/static/21605008320130233343990/
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  • Hough变换检测直线和

    千次阅读 2016-07-18 10:23:44
    1 直线是如何表示的?  对于平面中的一条直线...其中r为该直线原点的距离,theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。 2 如果坐标系中有多个,又怎样识别出哪些在一条直线呢?  使用hough变换来
    1 直线是如何表示的?

           对于平面中的一条直线,在直角坐标系中,常见的有点斜式,两点式两种表示方法。然而在hough变换中,考虑的是另外一种表示方式:使用极坐标(r,theta)来表示一条直线。其中r为该直线到原点的距离,theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。


    2 如果坐标系中有多个点,又怎样识别出哪些点在一条直线上呢?
           使用hough变换来检测直线的思想就是:为每一个点假设n个方向的直线,通常n=180,此时检测的直线的角度精度为1°,分别计算这n条直线的(r,theta)坐标,得到n个坐标点。如果要判断的点共有N个,最终得到的(r,theta)坐标有N*n个。有关这N*n个(r,theta)坐标,其中theta是离散的角度,共有180个取值。
           最重要的地方来了,如果多个点在一条直线上,那么必有这多个点在theta=某个值theta_i时,这多个点的r近似相等于r_i。也就是说这多个点都在直线(r_i,theta_i)上。
    3 下面拿个例子说明: 

           如果空间中有3个点,如何判断这三个点在不在一个直线上,如果在,这条直线是的位置为?


    这个例子中,对于每个点均求过该点的6条直线的(r,theta)坐标,共求了3*6个(r,theta)坐标。可以发现在theta=60时,三个点的r都近似为80.7,由此可判定这三个点都在直线(80.7,60)上。

    通过 r0theta 坐标系可以更直观表示这种关系,如下图:图中三个点的(r,theta)曲线汇集在一起,该交点就是同时经过这三个点的直线。 


    在实际的直线检测情况中,如果超过一定数目的点拥有相同的(r,theta)坐标,那么就可以判定此处有一条直线。在r0theta 坐标系图中,明显的交汇点就标示一条检测出的直线。

    如下图,可以判定出平面上的点共构成了两条直线,即检测出两条直线。




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    平面上两点之间距离 1 判断两点是否重合 1 矢量叉乘 1 矢量点乘 2 判断点是否在线段上 2 求一点饶某点旋转后坐标 2 求矢量夹角 2 ㈡ 线段及直线基本运算 点与线段关系 3 求点到线段所在直线垂线垂足 4 ...
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圆上两点到圆上的点的夹角