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    2020-07-11 07:27:04
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            椭圆曲线上点的表示分成仿射坐标系表示和射影坐标表示形式,首先来看看仿射坐标表示形式。

    素域Fp上的椭圆曲线E由(仿射)方程y2=x3+ax+b决定,设曲线上的两个点为P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),并且记椭圆曲线加法群的单位元为,称为无穷远点或者零点。如果P1≠-P2,则P3=P1+P2=(x3,y3),可以由如下公式计算出来:

                                     

    当P1≠P2时,计算P3需要1次逆运算、2次乘法运算和1次平方运算,简记为1I+2M+1S(这里的I表示逆运算,M表示乘法运算,S表示平方运算,下同)。由于素域上的加法和减法比逆、乘法和平方快的多(参见[3],表2),所以可以忽略加法和减法的时耗,甚至小常数(比如2、3)与大整数的乘法也可以忽略不计。

    当P1=P2时,计算P3需要1I+2M+2S。

            然而,计算素域Fp上的逆是很耗时的(参见[3],§3.6),所以采用射影坐标以尽量避免做逆运算。

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  • 高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知:①缓和曲线上任一点离ZH点的长度:l ②圆曲线的半径:R ③缓和曲线的长度:l0...

    高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)

    一、缓和曲线上的点坐标计算

    已知:①缓和曲线上任一点离ZH点的长度:l

    ②圆曲线的半径:R

    ③缓和曲线的长度:l0

    ④转向角系数:K(1或-1)

    ⑤过ZH点的切线方位角:α

    ⑥点ZH的坐标:xZ,yZ

    计算过程:

    说明:当曲线为左转向时,K=1,为右转向时,K=-1,

    公式中n的取值如下:

    当计算第二缓和曲线上的点坐标时,则:

    l为到点HZ的长度

    α为过点HZ的切线方位角再加上180°

    K值与计算第一缓和曲线时相反

    xZ,yZ为点HZ的坐标

     

    切线角计算公式:

     

    二、圆曲线上的点坐标计算

    已知:①圆曲线上任一点离ZH点的长度:l

    ②圆曲线的半径:R

    ③缓和曲线的长度:l0

    ④转向角系数:K(1或-1)

    ⑤过ZH点的切线方位角:α

    ⑥点ZH的坐标:xZ,yZ

    计算过程:

    说明:当曲线为左转向时,K=1,为右转向时,K=-1,

    公式中n的取值如下:

    当只知道HZ点的坐标时,则:

    l为到点HZ的长度

    α为过点HZ的切线方位角再加上180°

    K值与知道ZH点坐标时相反

    xZ,yZ为点HZ的坐标

     

     

    三、曲线要素计算公式

    公式中各符号说明:

    l——任意点到起点的曲线长度(或缓曲上任意点到缓曲起点的长度)

    l1——第一缓和曲线长度

    l2——第二缓和曲线长度

    l0——对应的缓和曲线长度

    R——圆曲线半径

    R1——曲线起点处的半径

    R2——曲线终点处的半径

    P1——曲线起点处的曲率

    P2——曲线终点处的曲率

    α——曲线转角值

     

    四、竖曲线上高程计算

    已知:①第一坡度:i1(上坡为“+”,下坡为“-”)

    ②第二坡度:i2(上坡为“+”,下坡为“-”)

    ③变坡点桩号:SZ

    ④变坡点高程:HZ

    ⑤竖曲线的切线长度:T

    ⑥待求点桩号:S

    计算过程:

    五、超高缓和过渡段的横坡计算

    已知:如图,

    第一横坡:i1

    第二横坡:i2

    过渡段长度:L

    待求处离第二横坡点(过渡段终点)的距离:x

    求:待求处的横坡:i

    解:d=x/L

    i=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1

     

    六、匝道坐标计算

    已知:①待求点桩号:K

    ②曲线起点桩号:K0

    ③曲线终点桩号:K1

    ④曲线起点坐标:x0,y0

    ⑤曲线起点切线方位角:α0

    ⑥曲线起点处曲率:P0(左转为“-”,右转为“+”)

    ⑦曲线终点处曲率:P1(左转为“-”,右转为“+”)

    求:①线路匝道上点的坐标:x,y

    ②待求点的切线方位角:αT

    计算过程:

    注:sgn(x)函数是取符号函数,当x<0时sgn(x)=-1,当x>0时sgn(x)=1,当x=0时sgn(x)=0。在计算器中若无此函数可编一个小子程序代替。

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  • 外层大R(y)=y^(1/2)和内层小r(y)=y/2的面积,把两者相减,得到中空圆环的面积,如图:然后根据体积的积分公式:在y坐标轴方向以dy做积分计算。最后得到体积V的积分计算式:MATLAB计算:syms
    积分计算两条曲线围绕y坐标轴旋转形成的立体体积


    和附录文章1类似,计算两条曲线y=x^2和y=2x围绕y坐标轴形成的立方体体积,首先要计算积分的上限和下限,根据两者相交的点求出[0,4]。
    外层大圆R(y)=y^(1/2)和内层小圆r(y)=y/2的面积,把两者相减,得到中空圆环的面积,如图:



    然后根据体积的积分公式:


    在y坐标轴方向以dy做积分计算。最后得到体积V的积分计算式:



    MATLAB计算:
    syms y f;      
    f=pi*[y-(1/4)*y.^2];
    V=int(f,[0,4])
     
    V =
     
    (8*pi)/3

    体积V=(8*pi)/3

    附录:
    1,《积分计算曲线围绕X轴旋转形成的立体体积》链接:http://blog.csdn.net/zhangphil/article/details/78959854 
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    先来回忆下前面提到的仿射点的加法。

    曲线上的两个放射点P1=(x1,y1)和P2=(x2,y2)做加法P3=P1+P2=(x3,y3),当P1=P2时,称此时的加法运算为二倍点运算。如果P1≠-P2,则P3=P1+P2=(x3,y3),可以由如下公式计算出来:

     

    对不同的射影坐标系而言,只需要把射影点转化成对应的放射点再代入以上两个式子即可得到在对应射影坐标系下的射影点加法公式。

    下面给出在各个不同的射影坐标系下做点的加法所需的运算量,其中A表示放射坐标,P表示标准射影坐标,J表示Jacobi射影坐标,C表示Chudnovsky射影坐标,M表示乘法,S表示平方,I表示逆运算。

    二倍点

    普通加法

    混合系数

    2A→A

    2P→P

    2J→J

    2C→C

    1I+2M+2S

    7M+3S

    4M+4S

    5M+4S

    A+A→A

    P+P→P

    J+J→J

    C+C→C

    1I+2M+1S

    12M+2S

    12M+4S

    11M+3S

    J+A→J

    J+C→J

    C+A→C

    8M+3S

    11M+3S

    8M+3S

               

    表5.5 不同的射影坐标系下做点的加法所需的运算量

     

    从上表可以看出,二倍点运算使用Jacobi射影坐标系最快,而加法则采用Jacobi-仿射混合系数最快。

           

    如此就只需要1S+1M,减少了二倍点的运算量。这就解释了在§5.1.1提出的问题:为什么在椭圆曲线点群的定义要加入一个参数int a_is_minus3。

    下面来解释点的加法函数。

    ───────────────────────────────────────

    int EC_POINT_add(const EC_GROUP *group, EC_POINT *r, const EC_POINT *a, const EC_POINT *b)

    功能:    点的加法

    输入:    groupab

    输出:    r a b

    返回:    1【正常】or 0【出错】

    出处:    ec_lib.c

    调用:        int ec_GFp_simple_add(const EC_GROUP *group, EC_POINT *r, const EC_POINT *a, const EC_POINT *b)

    ───────────────────────────────────────

    接着来看看二倍点运算函数。

    ───────────────────────────────────────

    int EC_POINT_dbl(const EC_GROUP *group, EC_POINT *r, const EC_POINT *a)

    功能:     二倍点运算

    输入:     groupa

    输出:     r 2a

    返回:     1【正常】or 0【出错】

    出处:     ec_lib.c

    调用:        int ec_GFp_simple_dbl(const EC_GROUP *group, EC_POINT *r, const EC_POINT *a)

    ───────────────────────────────────────

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