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  • 论文研究-联合均值与方差模型变量选择.pdf, 在许多应用方面, 特别在经济领域和工业产品质量改进试验中, 非常有必要对方差建模. 推广经典正态回归模型, 对联合均值...
  • 借助两基金分离定理,在...然后结合HJ随机折现因子的性质和两基金分离定理,对均值-方差张成进行了研究,得到了相应的张成条件;最后,从数学上证明,基于HJ随机折现因子得到的张成条件基于其它方法得到的张成条件是等价的.
  • 设,为总体的一个样本,且其样本均值为,样本方差为,总体方差为σ²,总体期望为μ。 证明1:为什么样本均值的期望等于总体的期望?...因为方差的性质可知: 则: 所以: 又因为: 故: ...

    \left \{ x_1,x_2,x_3......x_n \right \},为总体的一个样本,且其样本均值为\overline{X},样本方差为S^{2}总体方差σ²,总体期望为μ。

    证明1:为什么样本均值的期望等于总体的期望?

    因为对于简单随机抽样的样本:

    x_1,x_2,x_3...x_n与总体X是同分布的,所以各样本的期望均为总体期望。

    E(\bar{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(x_i)=\frac{1}{n}\cdot n\cdot E(X)=\mu

    证明2:为什么样本均值的方差等于 \frac{ \sigma^2}{ n} ?

    D(\bar{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(x_i)=\frac{\sigma ^2}{n}

    证明3:为什么样本方差的期望等于总体的方差?

    S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2

    E(S^2)=E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2)=\frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2)

    =\frac{1}{n-1}E[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+n\bar{X^2}-2(x_1+x_2+\cdots +x_n)\bar{X}]

    =\frac{1}{n-1}E(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-n\bar{X^2})

    因为方差的性质可知:\large D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)

    则:E(X^{2})=D(X)+E^2(X)=D(X)+E^2(X)=\sigma ^2+\mu ^2

    所以:E(S^2)=\frac{1}{n-1}\times [n(\sigma ^2+\mu ^2)-nE(\bar{X^2})]

    又因为:E(\bar{X^2})=D(\bar X)+E^2(\bar X)=\frac{\sigma ^2}{n}+\mu ^2

    故:E(S^2)=\sigma ^2

     

     

     

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  • 在图像中还广泛应用到协方差矩阵一些性质方差均值只是一维随机变量统计值,而协方差就不一样了,它可以表示多维随机变量之间相关性信息。协方差矩阵一个很出色应用就是在PCA中,选择主方向。协方差...

         均值,方差,协方差以及协方差矩阵在很多算法以及实际应用中都会遇到。在图像中还广泛应用到协方差矩阵的一些性质,方差和均值只是一维随机变量的统计值,而协方差就不一样了,它可以表示多维随机变量之间的相关性信息。协方差矩阵的一个很出色的应用就是在PCA中,选择主方向。协方差矩阵的对角线的元素表示的是各个维度的方差,而非对角线上的元素表示的是各个维度之间的相关性,因此,在PCA中,我们尽量将非对角线上的元素化为0,即将矩阵对角化,选特征值较大的维度,去掉特征值较小的维度,来获得主方向,并且使主方向与其他方向的相关性尽量小。

    统计学的基本概念

        学过概率统计的孩子都知道,统计里最基本的概念就是样本的均值,方差,或者再加个标准差。首先我们给你一个含有n个样本的集合X={X1,……Xn},依次给出这些概念的公式描述,这些高中学过数学的孩子都应该知道吧,一带而过。
    360截图20141009100827204.jpg 
        很显然,均值描述的是样本集合的中间点,它告诉我们的信息是很有限的,而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。以这两个集合为例,[0,8,12,20]和[8,9,11,12],两个集合的均值都是10,但显然两个集合差别是很大的,计算两者的标准差,前者是8.3,后者是1.8,显然后者较为集中,故其标准差小一些,标准差描述的就是这种“散布度”。之所以除以n-1而不是除以n,是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差,即统计上所谓的“无偏估计”。而方差则仅仅是标准差的平方。
        为什么需要协方差?
        上面几个统计量看似已经描述的差不多了,但我们应该注意到,标准差和方差一般是用来描述一维数据的,但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集,最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集,我们当然可以按照每一维独立的计算其方差,但是通常我们还想了解更多,比如,一个男孩子的颜值高低跟他受女孩子欢迎程度是否存在一些联系啊,嘿嘿~协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量,我们可以仿照方差的定义:
    6bb2acd93623b42ad1164ec3.png 
         来度量各个维度偏离其均值的程度,标准差可以这么来定义:
    3a6f9c262fc67167d50742c3.png 
         协方差的结果有什么意义呢?如果结果为正值,则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义),也就是说一个人颜值越高就越受女孩子欢迎,嘿嘿,那必须的~结果为负值就说明负相关的,颜值越高女孩子越讨厌,可能吗?如果为0,也是就是统计上说的“相互独立”。
    从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质,如:
    360截图20141009100850579.jpg 
    协方差多了就构成了协方差矩阵
        上一节提到的颜值高低和受欢迎的问题是典型二维问题,而协方差也只能处理二维问题,那维数多了自然就需要计算多个协方差,比如n维的数据集就需要计算
     411d964de32e117aaec3abcc.png 个协方差,那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义:
    0cb4ee8b148fe9ff0e2444c3.png 
        这个定义还是很容易理解的,我们可以举一个简单的三维的例子,假设数据集有{x,y,z}三个维度,则协方差矩阵为
    360截图20141009100927720.jpg 
        可见,协方差矩阵是一个对称的矩阵,而且对角线是各个维度上的方差。
    总结
        理解协方差矩阵的关键就在于牢记它计算的是不同维度之间的协方差,而不是不同样本之间,拿到一个样本矩阵,我们最先要明确的就是一行是一个样本还是一个维度,心中明确这个整个计算过程就会顺流而下,这么一来就不会迷茫了~
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  • 方差分析回归分析

    2020-07-16 01:21:12
    文章目录单因素方差分析多因素方差分析没有交互作用的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析相关系数一元线性回归参数估计及参数的性质回归方程的显著性检验回归系数的区间估计预测回归诊断模型线性假设的诊断...

    单因素方差分析

    1. 方差分析就是要比较因素A的r个水平下试验指标理论均值的差异
      H0:μ1=μ2=...=μr,H1:μ1,μ2,...,μrH_0:μ_1=μ_2=...=μ_r, H_1: μ_1,μ_2,...,μ_r不全相等
    2. 总离差平方和(整体差异)
      SST=i=1rj=1ni(XijXˉ)2SS_T=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar X)^2
    3. 效应平方和(由于因素A引起的差异)
      SSA=i=1rni(XˉiXˉ)2SS_A=\sum_{i=1}^rn_i(\bar X_{i\cdot}-\bar X)^2
    4. 误差平方和(由随机误差所引起的差异)
      SSE=i=1rj=1ni(XijXˉi)2SS_E=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^{n_i}( X_{ij}-\bar X_{i\cdot})^2
    5. 平方和分解公式:
      SST=SSE+SSASS_T=SS_E+SS_A
    6. 定理
      (i) SSEσ2χ2(nr)\frac{SS_E}{\sigma ^2} \sim\chi^2(n-r)
      即误差平方和除以方差(指的是随机误差的方差)的平方服从卡方分布
      (ii) 误差平方和和效应平方和相互独立
      (iii) 效应平方和的期望为E(SSA)=(r1)σ2+i=1rniαi2E(SS_A)=(r-1)σ^2+\sum_{i=1}^rn_i\alpha_i^2进一步有 SSAσ2χ2(r1)\frac{SS_A}{\sigma ^2} \sim\chi^2(r-1)在r个水平下的均值相同条件下,有F=MSAMSEF(r1,nr)F=\frac{MS_A}{MS_E}\sim F(r-1,n-r)其中MSA=SSAr1,MSE=SSEnrMS_A=\frac{SS_A}{r-1},MS_E=\frac{SS_E}{n-r}
    7. 根据以上定理,可以通过FF检验来进行方差分析,如果F值比较大的话(落在了{FCF\ge C}的区间内),那么判定均值存在差异。
    8. 如果FF检验是拒绝原假设,那么就要一一检验各均值是否存在差异,即多重比较。(可以通过两个正态总体均值t检验来获得结果)
      tij=XˉiXˉjMSE(1ni+1nj)t(nr)t_{ij} = \frac{\bar X_{i\cdot} - \bar X_{j\cdot}}{\sqrt{MS_E(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})}} \sim t(n-r)
      可以看到,方差用了全部数据MSEMS_E来估计
    9. 方差分析的前提
      (i) 独立性:各个水平下的总体都是简单随机样本
      (ii) 正态性:各个水平下的总体均为正态总体
      (iii) 方差齐性:各个水平下的总体方差是相同的
    10. 如何检验方差齐性?每组样本都有一个样本标准差,最大样本标准差不超过最小样本标准差的两倍

    多因素方差分析

    没有交互作用的双因素方差分析

    1. 主要任务是系统分析因素A和因素B对试验指标的影响
      H01:α1=α2=...=αr=0,H11:α1,α2,...,αrH_{01}:\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_r=0, H_{11}: \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r不全为零
      H02:β1=β2=...=βs=0,H12:β1,β2,...,βsH_{02}:\beta_1=\beta_2=...=\beta_s=0, H_{12}: \beta_1,\beta_2,...,\beta_s不全为零
    2. 方差和分解公式:
      SST=SSA+SSB+SSESS_T=SS_A+SS_B+SS_E
      其中SSE=i=1rj=1s(XijXˉiXˉj+Xˉ)2SS_E=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{s}(X_{ij}-\bar X_{i\cdot}-\bar X_{\cdot j}+\bar X)^2
    3. 可以证明在原假设成立的情况下
      FA=MSA/MSEF(r1,(r1)(s1))F_A=MS_A/MS_E\sim F(r-1,(r-1)(s-1))
      FB=MSB/MSEF(s1,(r1)(s1)))F_B=MS_B/MS_E\sim F(s-1,(r-1)(s-1)))
      进行FF检验即可

    有交互作用的双因素方差分析

    1. 因素A有r个水平,因素B有s个水平,在每个因素的各个不同水平下均进行了重复t次试验。(在没有交互作用的双因素方差分析下t=1)
    2. 方差和分解公式:
      SST=SSA+SSB+SSAB+SSESS_T=SS_A+SS_B+SS_{AB}+SS_E
      其中
      SSAB=ti=1rj=1s(XˉijXˉiXˉj+Xˉ)2SS_{AB}=t\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{s}(\bar X_{ij\cdot}-\bar X_{i\cdot \cdot}-\bar X_{\cdot j\cdot}+\bar X)^2
    3. 可以证明在原假设成立的情况下
      FA=MSA/MSEF(r1,rs(t1))F_A=MS_A/MS_E\sim F(r-1,rs(t-1))
      FB=MSB/MSEF(s1,rs(t1))F_B=MS_B/MS_E\sim F(s-1,rs(t-1))
      FAB=MSAB/MSEF((r1)(s1),rs(t1))F_{AB}=MS_{AB}/MS_E\sim F((r-1)(s-1),rs(t-1))
      进行FF检验即可

    相关系数

    1. 相关系数作为两个随机变量之间线性相关程度的描述
      ρ=Cov(X,Y)Var(X)Var(Y)\rho=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}
    2. 在真实情况下,用如下定义的r作为ρ\rho的估计:
      ρ=sxysxxsyy\rho=\frac{s_{xy}}{\sqrt{s_{xx}s_{yy}}}
      其中,sxxs_{xx}syys_{yy}分别估计随机变量XXYY的方差,sxys_{xy}估计XXYY的协方差
    3. 此方法得到的相关系数估计基本不为零,但是这不代表真正的相关系数不为零。 为此,可以用皮尔逊统计量来检验X与Y是否显著线性相关皮尔逊统计量定义为
      T=rn21r2t(n2)T=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} \sim t(n-2)
      用以判断X与Y的相关系数是否显著不为零,即X与Y显著线性相关

    一元线性回归

    y关于x的回归函数
    E(yx)=β0+β1xE(y|x)=\beta_0+\beta_1x
    这说明得到的y关于x的一元线性回归方程y^=β0^+β1^x\hat y=\hat {\beta_0}+\hat{\beta_1}x中的y^\hat y是y的期望的估计,它在平均意义下表示了y随x变化的统计规律性

    参数估计及参数的性质

    有很多方法可以对模型参数进行估计,这里只介绍最小二乘法(采用极大似然估计也可以给出模型的参数估计)
    最小二乘法的想法是最小化
    Q(β0,β1)=i=1n(yiβ0β1xi)2Q(\beta_0,\beta_1) = \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2
    利用微积分求极值的方法,求偏导为零记得到β^0\hat \beta_0β^1\hat \beta_1

    所得到的估计的β^0\hat \beta_0β^1\hat \beta_1有一些性质:
    (1) β^1N(β1,σ2/sxx)\hat \beta_1 \sim N(β_1,\sigma^2/s_{xx})
    (2) β^0N(β0,(1n+xˉ2sxx)σ2)\hat \beta_0 \sim N(\beta_0,(\frac{1}{n}+\frac{\bar x^2}{s_{xx}})\sigma^2)

    可以看到还剩σ\sigma的估计,我们用s2s^2来估计σ2\sigma^2
    s2=1n2i=1n(yiy^i)2s^2=\frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat y_i)^2

    回归方程的显著性检验

    如果β1=0\beta_1=0,那么说明E(y)E(y)不随xx变化,那么就没有线性关系。
    H0:β1=0,H1:β10H_0:\beta_1=0, H_1:\beta_1 \neq 0
    常用的检验方法有两种:
    (1) t检验法:
    T=β^1sxxst(n2)T=\frac{\hat \beta_1\sqrt{s_{xx}}}{s} \sim t(n-2)
    (2) F检验法:
    F=β^12sxxs2F(1,n2)F=\frac{\hat \beta_1^2s_{xx}}{s^2} \sim F(1,n-2)
    用以进行β1\beta_1的假设检验

    回归系数的区间估计

    枢轴量
    T=β^1β1s/sxxt(n2)T=\frac{\hat \beta_1-\beta_1}{s/\sqrt {s_{xx}}}\sim t(n-2)

    预测

    (1) E(y0)E(y_0)的区间估计
    y0^N(β0+β1x0,(1n+(x0xˉ)2sxx)σ2)\hat {y_0} \sim N(\beta_0+\beta_1x_0,(\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar x)^2}{s_{xx}})\sigma^2)

    T=y0^E(y0)s1n+(x0xˉ)2sxxt(n2)T=\frac{\hat{y_0}-E(y_0)}{s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar x)^2}{s_{xx}}}}\sim t(n-2)
    可得出E(y0)E(y_0)的置信区间

    (2) y0y_0的预测区间
    T=y0^y0s1+1n+(x0xˉ)2sxxt(n2)T=\frac{\hat{y_0}-y_0}{s\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar x)^2}{s_{xx}}}}\sim t(n-2)
    可得出y0y_0的置信区间

    回归诊断

    因为回归有一定假设,接下来我们就要检验这些假设是否成立

    模型线性假设的诊断

    (1) 可以从变量之间的散点图看大致是否呈线性关系
    (2) 可以从残差图发现大致是否呈线性关系,如果发现点的散布无规律,则说明线性假设是合适的

    随机误差方差齐性的诊断

    (1) 可以观察残差图,判断残差的方差是否随着xx的变化而变化
    (2) 如果存在变化,需要对yy进行变化(取对数、取指数等等)

    随机误差独立性地诊断

    (1) 可以观察残差图,如果残差的符号改变非常频繁,或者残差图中残差符号出现“集团”的趋势,这说明独立性是不合适的
    (2) 如果发现独立性假设不成立,需要修改模型,常用的方法是差分法

    随机误差的正态性的诊断

    (1) 采用卡方检验对残差进行正态性检验
    (2) 如果发现不满足正态性,可以做Box-Cox变换

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  • UA MATH564 概率论VI 数理统计基础1样本均值与样本方差正态样本的均值与方差的性质 样本均值与样本方差 样本均值和样本方差是经常用到的两个统计量,大部分正态假设的统计模型均值和方差的OLS都是这两位,所以这里...

    样本均值与样本方差

    样本均值和样本方差是经常用到的两个统计量,大部分正态假设的统计模型均值和方差的OLS都是这两位,所以这里单独介绍一下。

    假设X1,,XnX_1,\cdots,X_n的总体分布为FX(x)F_X(x),总体均值为μ\mu,总体方差为σ2\sigma^2,则样本均值定义为
    Xˉ=1ni=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i
    样本均值有两条有用的性质:

    1. EXˉ=μE\bar{X}=\mu
    2. Var(Xˉ)=σ2/nVar(\bar{X})=\sigma^2/n

    两条性质都比较显然,
    EXˉ=E(1ni=1nXi)=1ni=1nEXi=1ni=1nμ=μVar(Xˉ)=Var(1ni=1nXi)=1n2i=1nσ2=σ2nE\bar{X} = E \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n EX_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mu = \mu \\ Var(\bar{X}) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}

    样本方差的定义是
    S2=1n1i=1n(XXˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X-\bar{X})^2
    除以n1n-1是因为这里面含有一个约束:Xˉ=1ni=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i,所以自由度是n1n-1。样本方差是σ2\sigma^2的无偏估计。事实上统计量1ni=1n(XXˉ)2\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n(X-\bar{X})^2也是经常出现的,它是σ2\sigma^2的最大似然估计。为了证明无偏性,下面给出一个引理。

    引理 假设SS(α)=i=1n(Xiα)2SS(\alpha) = \sum_{i=1}^n (X_i-\alpha)^2
    Xˉ=arg minαSS(α)\bar{X} = \argmin_{\alpha} SS(\alpha)
    证明
    SS(α)=i=1n(Xiα)2=i=1n(XiXˉ+Xˉα)2=i=1n(XiXˉ)2+2(Xˉα)i=1n(XiXˉ)+n(Xˉα)2=SS(Xˉ)+n(Xˉα)2SS(Xˉ)SS(\alpha) = \sum_{i=1}^n (X_i-\alpha)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X} + \bar{X}-\alpha)^2 \\ = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 + 2(\bar{X}-\alpha)\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}) + n(\bar{X}-\alpha)^2 \\ = SS(\bar{X}) + n(\bar{X}-\alpha)^2 \ge SS(\bar{X})
    注意SS(α)=SS(Xˉ)+n(Xˉα)2SS(\alpha)=SS(\bar{X})+n(\bar{X}-\alpha)^2比这个引理的结论更常用。

    现在证明S2S^2的无偏性,根据引理
    SS(μ)=SS(Xˉ)n(Xˉμ)2SS(\mu)=SS(\bar{X})-n(\bar{X}-\mu)^2
    带入到下面的计算中
    ES2=E(1n1i=1n(XXˉ)2)=1n1(i=1nE(Xiμ)2nE(Xˉμ)2)=1n1(nσ2nσ2n)=σ2ES^2 = E \left( \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X-\bar{X})^2 \right) \\= \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^nE(X_i-\mu)^2 - nE(\bar{X}-\mu)^2\right) \\ = \frac{1}{n-1} (n\sigma^2 -n\frac{\sigma^2}{n})=\sigma^2

    正态样本的均值与方差的性质

    假设X1,X2,,XniidN(μ,σ2)X_1,X_2,\cdots,X_n \sim_{iid} N(\mu,\sigma^2),做标准化Zi=XiμσZ_i = \frac{X_i-\mu}{\sigma},则Z1,,ZniidN(0,1)Z_1,\cdots,Z_n \sim_{iid} N(0,1)。定义
    Zˉ=1ni=1nZi,SS=i=1n(ZiZˉ)2\bar{Z}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Z_i,SS = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar{Z})^2
    以下三条性质成立:

    1. ZˉN(0,1/n)\bar{Z} \sim N(0,1/n)
    2. SSχ2(n1)SS \sim\chi^2(n-1)
    3. Zˉ\bar{Z}SSSS独立

    证明
    第一条性质比较简单,首先Zˉ\bar{Z}是一个正态随机变量;根据样本均值的性质
    EZˉ=0,Var(Zˉ)=1nE\bar{Z}=0,Var(\bar{Z}) = \frac{1}{n}

    第三条也比较好证,因为i\forall i
    Cov(ZiZˉ,Zˉ)=Cov(Zi,Zˉ)Var(Zˉ)=1nj=1nCov(Zi,Zj)1n=0Cov(Z_i-\bar{Z},\bar{Z})=Cov(Z_i,\bar{Z})-Var(\bar{Z}) \\ = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Cov(Z_i,Z_j) - \frac{1}{n} = 0
    所以Zˉ\bar{Z}ZiZˉZ_i-\bar{Z}独立,根据独立性的性质,因为SSSSZiZˉZ_i-\bar{Z}的函数,所以Zˉ\bar{Z}也与SSSS独立。

    再看第二条,首先用前面那个引理,
    SS(0)=SS(Zˉ)+nZˉ2SS=i=1nZi2nZˉ2SS(0)=SS(\bar{Z})+n\bar{Z}^2 \\ SS = \sum_{i=1}^nZ_i^2 - n\bar{Z}^2
    其中i=1nZi2χ2(n)\sum_{i=1}^nZ_i^2\sim \chi^2(n)nZˉN(0,1)\sqrt{n}\bar{Z}\sim N(0,1),则nZˉ2χ2(1)n\bar{Z}^2\sim \chi^2(1)。卡方分布χν2\chi^2_{\nu}的矩母函数是
    Mχν2(t)=(12t)ν/2M_{\chi^2_{\nu}}(t)=(1-2t)^{-\nu/2}
    这个下下讲再计算,这里先用一下。根据SSSSZˉ\bar{Z}的独立性,
    MSS(t)MnZˉ(t)=Mi=1nZi2(t)MSS(t)(12t)1/2=(12t)n/2MSS(t)=(12t)(n1)/2M_{SS}(t)M_{n\bar{Z}}(t) = M_{\sum_{i=1}^nZ_i^2}(t) \\ M_{SS}(t)(1-2t)^{-1/2} = (1-2t)^{-n/2} \\ M_{SS}(t) = (1-2t)^{-(n-1)/2}
    因此SSχ2(n1)SS \sim\chi^2(n-1)

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  • 然后,考虑到回归方差函数非负性,利用局部对数多项式拟合,得到了方差函数局部多项式估计,保证了估计量非负性,并证明了估计量渐近性质.最后,通过对农村居民消费收入实证研究,说明了非参数异方差回归模型...
  • 利用高斯过程的性质,得到了等效线性系数的封闭公式,等效线性系数在数学形式上Atalik和Utku法得到的结果一样简洁。本文提出了用模态截断法处理复杂结构的随机振动方程、及时域上计算系统随机响应的方法...
  • 数学期望,数学期望的性质,方差,标准差,方差的性质,协方差,相关系数,协方差矩阵 数学期望 变量分布的中心 数学期望也叫期望,或者均值,E(X)完全由X的概率分布决定,若X服从某一分布,也成E(X)是该分布的...
  • 研究非平衡、异方差情况下单因素方差分析(ANOVA)模型中等均值假设检验问题.首先用Fiducial方法得到广义枢轴向量,由此直接定义广义p-值,并证明了由此广义p-值所给出检验在边界上具有频率性质.该方法也可以...
  • 总体与样本 统计量 样本均值与样本方差的性质 性质(3)证明:
  • 期望,方差,标准差,正态分布

    千次阅读 2018-08-21 20:24:00
    今天下班在单位看,所以没做笔记 离散型随机变量,和连续型随机变量, 主要需要关注离散型随机变量。  概率求法,性质,  期望,方差,标准差,正态分布 ...统计中的方差(样本方差)是每个样本值全...
  • 无偏性 指的是利用样本求出的参数的期望等于实际的参数则为无偏 ...因为我们知道均值是u的无偏估计,那么a1x1+……+anxn的方差应该是大于x均值方差的。即如下证明 相和性(一致性) ...
  • 离差即标志变动度,又称“偏差”,是观测值或估计量平均值真实值之间差,是反映数据分布离散程度量度之一,或说是反映统计总体中各单位标志值差别大小程度或离差情况指标,常写作: xi−xˉ x_i-\bar{x}...
  • 概率分布(Probability and Distributions)(中) 6.4 概括性统计和独立性 我们通常对概括随机变量集和比较随机变量对感兴趣。随机变量的统计量是该随机变量确定的...平均值和(协)方差通常是有用的描述概率分布的性质
  • 离差的性质有二: (1)离差的代数和等于0;(2)参与计算平均数的各变量值平均数之差的平均和,小于这些变量值平均数之外的任何数之差的平均和。 二、平均差(Mean Deviation、Average Deviation) 平均差也称为...
  • 统计量抽样分布

    2020-07-07 20:35:25
    文章目录随机样本统计量χ2\chi^2χ2分布 ttt分布 FFF分布χ2\chi^2χ2分布χ2\chi^2χ2分布的性质ttt分布FFF分布FFF分布的性质正态总体下的抽样分布定理一(单样本均值估计(方差已知))定理二(单样本方差估计...
  • 七月算法-P2概率论数理统计(中)期望期望的性质方差独立同分布样本均值方差等于总体的方差除以n协方差协方差和独立、不相关协方差的意义协方差的上界在谈独立不相关相关系数协方差矩阵矩切比雪夫不等式大数定理...
  • 论文研究-基于RR-EP模型的风险量化技术.pdf, ... 并结合连续型随机变量的情形, 进一步讨论RR-EP模型的性质及其传统度量风险方法的一致性. 实例分析说明了方法的实用性和有效性.
  • 阐述了付立叶(Fourier)光滑方法最小二乘性质,并据此提出了约束付立叶光滑法,初步解决了水文变量(流量、雨量等)具有周期性变化规律统计特征值(均值方差等)最优估计。建立在等距离离散时间...
  • 时间序列特征统计量 均值 方差 自协方差 自相关系数 时间序列过程处于一种平稳状态:其主要性质与所考察起始点无关。 严平稳 宽平稳
  • 一:总体样本 1.总体定义 2.样本 2.1 定义 2.2 分布 二:统计量及其分布 1.统计量 1.1 定义 1.2 常用统计量 1.2.1 样本均值 1.2.2 样本方差 1.2.3 样本标准差 1.2.4 样本k阶(原点)矩 ...
  • 多因子探索分析

    2018-09-08 00:15:00
    检验统计量,根据数据的均值方差性质,将数据转换为一个函数,构造这个函数目的是将这个数据转换为一个已知分布容易解决格式 显著性水平一般用希腊字母a表示,0.05代表数据有95%可能已知分布...
  • 三角模糊数排序matlab应用

    千次阅读 2020-04-04 17:54:23
    根据模糊数有均匀分布和比例分布两种分布,三角模糊数 的均值方差分别为, 二、三角模糊数规范化 三、基于三角模糊数综合评价 (一)4种三角模糊集综合排序指标 第一种:根据上述三角模糊数期望值和方差...
  • 定理一(契比雪夫大大数定律特殊情况)设随机变量相互独立,具有相同的均值方差: 记,则对于任意给定正数,有   设随机变量是一个随机变量序列,是一个常数.若对于任意给定正数,有 则称序列依概率收敛于...
  • 均值-方差准则下通过最优控制原理来研究保险公司最优投资策略选择问题.得到了最优 投资策略和有效边界显式表达式.在最大化最终财富期望效用准则下得到最优投资策略不同, 所得到最优策略依赖保险索赔 ...
  • Niblack算法快速实现技巧

    千次阅读 2013-11-26 13:47:36
    二值化算法有很多,大体分为两类: 全局阈值算法(如otsu算法)和...但传统niblack算法需要对图像中每个像素计算其邻域统计性质均值与方差),算法复杂度为o(size *area) ,其中size 为图像像素尺寸大小,are
  • 2020.8.10_p4

    2020-08-10 18:15:32
    p34 4-1 假设检验 ... 统计量,根据数据的均值方差性质,构造转换函数,构造函数目的是让数据符合已知分布比较容易解决格式 显著性水平和相似度和为1 比如确定了某数据属性有95%概率符合
  • 1.方差的计算与性质 方差是另一种数字特征,由于均值反映的是取值的集中点,但是对于同样均值的随机变量,其集中程度可能不同,有的随机变量分布比较分散、有的则比较集中。为了反映数据关于中心的偏离程度,引入...
  • 期权、期货及其他衍生品 Chapter14 维纳过程伊藤引理 随机过程:一个变量值以某种不确定形式随时间变化 分类:离散时间+连续时间;连续变量+离散变量 ...维纳过程是一种均值为0,方差为每年1.0特殊马尔可

空空如也

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均值与方差的性质