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  • 对于以前数学学习不好的人来说,在机器人的坐标变换里,总是各种蒙。 这个图片来给你解答 机器人坐标系变换 坐标变换-旋转部分 二维坐标旋转的向量和几何表示
  • 我收集的许多关于投影方面的资料,里面东西不少,所以分有点高,学GIS的就下吧,对开发,学习使用GIS都有很大的帮助(基础嘛(*^__^*) 嘻嘻……)。
  • geometric transformation 几何变换,即当对象发生平移、缩放、旋转等变换操作时,相对于原来的坐标点进行变换。 coordinate transformation 坐标变换,即当对象发生平移、缩放、旋转等变换操作时,对象本身不...

    OpenGL ES支持两种变换方式:

    geometric transformation     几何变换,即当对象发生平移、缩放、旋转等变换操作时,相对于原来的坐标点进行变换。

    coordinate transformation    坐标变换,即当对象发生平移、缩放、旋转等变换操作时,对象本身不动,而坐标系统进行变换。
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  • 基变换和坐标变换

    千次阅读 2019-04-09 10:00:51
    坐标变换在解析几何中还有非常重要的应用——就是用来化简二次曲线二次曲面(对应二元二次型三元二次型化标准形的问题),在线性变换一章中,坐标变换也是非常鲜活的例子,所以我们要学好这一节哦! 尽管作者在...

    12 基变换和坐标变换
    基变换和坐标变换

    同学们好!大家学完基变换和坐标变换一节后,是不是觉得特别难以理解呢?可是这一节是非常重要的内容哦!坐标变换在解析几何中还有非常重要的应用——就是用来化简二次曲线和二次曲面(对应二元二次型和三元二次型化标准形的问题),在线性变换一章中,坐标变换也是非常鲜活的例子,所以我们要学好这一节哦!

    尽管作者在编写这篇文章的时候,浏览器和markdown软件出了若干次故障,有时令人感到绝望,作者还是坚持编写完这篇文章,希望对大家有帮助,你也一定要看完它哦!

    理解公式的一个好的方法是自己亲自把公式推导一遍,有可能的话,甚至可以找一个同学讲一遍给他听.

    向量的线性表出的形式记号

    在线性空间VV中,向量β\displaystyle \beta被向量组α1, ,αr\displaystyle \alpha_1,\cdots, \alpha_r线性表出有三种写法:
    (1)β=k1α1+k2α2++krαr\displaystyle \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r

    (2)连加号:β=i=1rkiαi\displaystyle \beta=\sum_{i=1}^r k_i\alpha_i

    (3)形式记号:

    β=(α1, ,αr)(k1k2kr)\beta=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)\begin{pmatrix}k_ 1\\k_2\\\vdots\\k_r\end{pmatrix}

    第(3)种形式展开后的含义与(1)相同,但有时候比(1)和(2)好用,尤其是在理论推导时非常简洁.
    如果需要用α1, ,αr\displaystyle \alpha_1,\cdots, \alpha_r表示向量组β1, ,βs\displaystyle \beta_1,\cdots,\beta_s, 则沿用(3)的方法,可以用一个等式完成向量组的线性表出:

    (β1, ,βs)=(α1, ,αr)(a11a12a1sa21a22a2sar1ar2ars)(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}& \cdots& a_{1s}\\a_{21}& a_{22}&\cdots &a_{2s}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots&a_{rs}\end{pmatrix}

    (β1, ,βs)=(α1, ,αr)Ar×s(1)(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(\alpha_1,\cdots, \alpha_r)A_{r\times s}\quad\quad (1)

    基变换公式

    nn维线性空间VV中有不同的基,例如(I)ε1, ,εn\displaystyle \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n和(II)ε1, ,εn.\displaystyle \varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime.

    按照公式(1)的想法,基(II)可以被基(I)线性表示为:

    (ε1, ,εn)=(ε1, ,εn)A,(2)(\varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A, \quad \quad (2)

    其中AAnn阶可逆方阵,称为从基(I)到基(II)的过渡矩阵.

    坐标变换公式的推导

    αV\displaystyle\forall\alpha\in V, 设α\alpha在基(I)和基(II)下的坐标分别为

    (x1x2xn)(x1x2x2).\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}和\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}.

    则,

    α=(ε1, ,εn)(x1x2xn)=(ε1, ,εn)(x1x2x2)(3)\alpha=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=(\varepsilon_1^\prime,\cdots,\varepsilon_n^\prime)\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}\quad\quad (3)

    将(2)代入(3)得,

    α=(ε1, ,εn)(x1x2xn)=(ε1, ,εn)A(x1x2x2)\alpha=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}

    由于同一个向量α\alpha在同一组基(I)下的坐标是唯一的,所以有

    (x1x2xn)=A(x1x2x2).(4)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1^\prime\\x_2^\prime\\\vdots\\x_2^\prime\end{pmatrix}.\quad \quad (4)

    公式(4)称为用新坐标表示旧坐标的坐标变换公式.
    公式(2)和(4)应该在理解的基础上牢记在心!记忆的时候注意下列要点:
    旧基表新基,矩阵是右乘;新坐标表旧坐标,矩阵是左乘.

    应用

    仅仅记住公式是没用的,在具体的例子中熟练运用公式,才能将它理解得更加透彻,学以致用才是我们的目的.

    例1 (1) 将坐标系xoyxoy绕着原点逆时针旋转θ\theta角得到xoyx^\prime oy^\prime, 基变换公式和坐标变换公式分别为

    (i,j)=(i,j)[cosθsinθsinθcosθ],(i^\prime, j^\prime)=(i,j)\begin{bmatrix}\cos\theta& -\sin\theta\\\sin\theta& \cos\theta\end{bmatrix},

    [xy]=[cosθsinθsinθcosθ][xy].\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta& -\sin\theta\\\sin\theta& \cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix}.

    (2)将坐标平面沿xx轴反射的基变换公式和坐标变换公式:

    (i,j)=(i,j)[1001],(i^\prime, j^\prime)=(i,j)\begin{bmatrix}1& 0\\0 & -1\end{bmatrix},

    [xy]=[1001][xy].\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 0\\0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix}.

    例2 将双曲线xy=1xy=1化为标准方程.

    解:将坐标系xoyxoy绕着原点逆时针旋转π4\frac{\pi}{4}角得到xoyx^\prime oy^\prime, 由例1 (1)中的第二个公式得,

    [xy]=[12121212][xy],\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}& -\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}& \frac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^\prime\\y^\prime\end{bmatrix},
    即,
    {x=xy2y=x+y2\begin{cases}x&=&\frac{x^\prime-y^\prime}{\sqrt2}\\\quad &&\\ y &=& \frac{x^\prime+y^\prime}{\sqrt2}\end{cases}

    代入xy=1xy=1得到标准方程为:

    (x)2(y)2(2)2=1.\frac{(x^\prime)^2-(y^\prime)^2}{(\sqrt 2)^2}=1.

    例3 (1)类似地,将三维空间直角坐标系(oijk)(oijk)绕着kk逆时针旋转θ\theta角得到(oijk)(oi^\prime j^\prime k^\prime),从i,j,ki,j,ki,j,ki^\prime,j^\prime,k^\prime的过渡矩阵为:

    A=[cosθsinθ0sinθcosθ0001],A=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta& 0\\\sin\theta &\cos\theta& 0\\0&0&1\end{bmatrix},

    (2)将三维空间沿着xoyxoy平面反射的过渡矩阵为:

    [100010001]\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}

    例4 在P4P^4中,求由基ε1,ε2,ε3,ε4\displaystyle \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4到基η1,η2,η3,η4\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4的过渡矩阵, 其中

    {ε1=(1,2,1,0)ε2=(1,1,1,1)ε3=(1,2,1,1)ε4=(1,1,0,1),{η1=(2,1,0,1)η2=(0,1,2,2)η3=(2,1,1,2)η4=(1,3,1,2).\begin{cases}\varepsilon_1=(1,2,-1,0)\\\varepsilon_2=(1,-1,1,1)\\\varepsilon_3=(-1,2,1,1)\\\varepsilon_4=(-1,-1,0,1)\end{cases}, \begin{cases}\eta_1=(2,1,0,1)\\\eta_2=(0,1,2,2)\\\eta_3=(-2,1,1,2)\\\eta_4=(1,3,1,2)\end{cases}.

    分析:令A=(ε1T,ε2T,ε3T,ε4T)\displaystyle A=(\varepsilon_1^T,\varepsilon_2^T,\varepsilon_3^T,\varepsilon_4^T), B=(η1T,η2T,η3T,η4T).\displaystyle B=(\eta_1^T,\eta_2^T,\eta_3^T,\eta_4^T).问题转化为矩阵方程B=AXB=AX, 这个矩阵方程的解法如下.

    [AB][EA1B]\begin{bmatrix}A& B\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}E& A^{-1}B\end{bmatrix}

    X=A1B.X=A^{-1}B.

    解: 略.


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  • 6.2生成设置坐标转换矩阵 world trans D3DXMatrixRotationX D3DXMatrixTranslation。。 view trans D3DXMatrixLookAtLH   优化 频繁的set 变换矩阵的开销很大,因此可以本地记录world view矩阵,然后只set...

    6.1坐标系统

    D3D9采用左手系,即Z轴朝里

    平面法向也是用右手

    6.2生成和设置坐标转换矩阵

    world trans

    D3DXMatrixRotationX D3DXMatrixTranslation。。

    view trans

    D3DXMatrixLookAtLH

     

    优化 频繁的set 变换矩阵的开销很大,因此可以本地记录world  view矩阵,然后只set 一个整体的world_view矩阵,而让view矩阵永远为单位帧

     

    IDirect3DDevice9::SetTransform可以设置当前管线的矩阵

     

    IDirect3DDevice9::SetViewport设置视口视口就是render-target的渲染区域

    6.3光材质

    IDirect3DDevice9::SetLight

    IDirect3DDevice9::SetMaterial

     

    一个重要问题:vb中顶点颜色、材质颜色与光照颜色之间的关系

    1首先顶点在进行顶点处理器后(顶点变换和光照计算)才有颜色,如果不开光照,那么也就没有颜色(当然使用D3DFVF_XYZRHW指定的vb中的颜色除外,这是变换后的,这时已经是最终颜色了)

    2.vb中设定的颜色(如D3DFVF_XYZRHW)虽然叫顶点颜色,但是其实正确的说法应该是顶点的材质颜色,如果在vb中设定了这个材质颜色,那么后来在对这个顶点设置SetMaterial是不起作用的。但是可以使用SetRenderState( D3DRS_DIFFUSEMATERIALSOURCE来重新设置顶点材质的来源。

    3. 材质的颜色,只在设置给那些在vb中没有设定过顶点(材质)颜色的顶点才起作用,最终的光照颜色是顶点材质颜色和光照颜色的混合作用,材质颜色可以看做某个物体表面对某种颜色的光的吸收率。

    4.任何一种光照计算都要涉及到两个因素  顶点材质与光的颜色,及时环境光也是一样,设置了环境光,不去设置材质的环境光材质也会没有效果

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  • 详解OpenGL的坐标系、投影和几何变换
  • 坐标变换

    千次阅读 2017-12-22 20:21:22
    注1:本节所有坐标系均为右手坐标系(如笛卡尔平面直角坐标系),不注明的情况下转角默认为逆时针,如果坐标系为左手坐标系(如高斯平面直角坐标系),需将顺逆时针颠倒。...对于几何空间中的一个点O一组基

    注1:本节所有坐标系均为右手坐标系(如笛卡尔平面直角坐标系),不注明的情况下转角默认为逆时针,如果坐标系为左手坐标系(如高斯平面直角坐标系),需将顺逆时针颠倒。
    注2:计算机上的坐标有的用行向量的形式,使用时需要将变换矩阵取转置。

    坐标变换

    定义:
    一个坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的法则。

    研究同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系。

    点不动,坐标系动

    1. 坐标系

    对于几何空间中的一个点O和一组基 d1,d2,d3,称其为几何空间的一个仿射坐标系,记作[O;d1,d2,d3]。对于几何空间中的一个点O和一组基e1,e2,e3,若e1,e2,e3为两两垂直的单位向量,则称其为一个直角坐标系,记作[O;d1,d2,d3]。平面类似。

    1. 仿射坐标变换

    平面上给了两个仿射坐标系:[O;d1,d2][O;d1,d2].为方便起见,称前一个为旧坐标系,记作I;后一个为新坐标系,记作II。设II的原点的I坐标为(x0,y0)T,II的基向量d1,d2的I坐标分别是(a11,a21)T,(a12,a22)T。 现在我们求点M的I坐标(x,y)T与II坐标(x,y)T之间的关系。
    affine

    OM=OO+OM=(x0d1+y0d2)+(xd1+yd2)=(x0d1+y0d2)+x(a11d1+a21d2)+y(a12d1+a22d2)=(a11x+a12y+x0)d1+(a21x+a22y+y0)d2

    (xy)=(a11a21a12a22)(xy)+(x0y0)

    用文字表示就是:
    老坐标=A新坐标+A0
    新坐标=A1(老坐标-A0)
    A称为I到II的过渡矩阵。

    特殊的,有:
    移轴公式:

    (xy)=(xy)+(x0y0)

    转轴公式:

    (xy)=(cosθsinθsinθcosθ)(xy)+(x0y0)

    点变换

    定义:
    变换:集合A到自身的一个映射称为A上的一个变换。
    如果A为点集,则称之为一个点变换。

    点变换研究同一个(第一个)坐标系中变换前后点的对应关系
    点随着坐标系一起动

    设映射f:AB,映射g:BC,先作映射f,接着作映射g,得到一个A到C的映射,称为映射f与g的乘积(或复合),记作gf,即

    (gf)(a)=g(f(a))aA.

    如果T是一个从线性空间Vn到其自身的线性映射(linear map),则称其为线性空间Vn中的线性变换。
    线性变换的矩阵形式:T(x)=Ax,称A为线性变换的矩阵
    A=[T(e1),T(e2)...T(en)]

    正交变换(Orthogonal Transformation)

    定义:
    平面上的一个点变换,如果保持任意两点的距离不变,则称它为正交变换(或保距变换)。

    (正交变换第二基本定理):平面上的正交变换或者是平移,或者是旋转,或者是反射,或者是是它们之间的乘积。

    平移、旋转以及他们之间的乘积称为刚体运动。

    正交变换的矩阵A
    |A|=1,第一类正交变换(刚体运动),包括平移、旋转
    |A|=1,第二类正交变换,包括反射

    高等代数中的定义 : 设V是一个欧氏空间,σV的一个变换.若σ保持向量的内积不变,即

    α,βV,(σ(α),σ(β))=(α,β)

    则称σV上的一个正交变换。从定义容易看出,V的正交变换保持向量的长度不变,保持两个非零向量的夹角不变,保持正交性不变。

    仿射变换(Affine Transformation)

    几何定义:如果平面(作为点集)到自身的双射σ把共线三点映成共线三点,那么称σ是平面上的一个仿射变换。

    代数定义:两个向量空间之间的一个仿射变换(来自拉丁语,affine,“和…相关”)由一个非奇异的线性变换接上一个平移变换组成

    (仿射变换基本定理):设σ是平面上的一个变换,I[O;d1,d2]是仿射坐标系,σ(O)=O,σ(di)=di(i=1,2),则σ是仿射变换当且仅当II[O,d1,d2]也是仿射坐标系,且点PI坐标等于它的像点PII坐标。

    • 旋转变换(Rotation /Givens Transformation)
      A=(cosθsinθsinθcosθ)

    Givens变换一般形式:

    G(i,j,θ)=1cosθsinθsinθcosθ1ij

    表示将在n维空间中的点在i,j对应的基确定的平面中绕原点顺时针旋转θ角。

    • 反射变换(Reflection\Householder Transformation)
      l⃗ =(lx,ly)为一条过原点的直线的方向向量:

    A=1||l⃗ ||2(l2xl2y2lxly2lxlyl2yl2x)

    R3中,给定一个向量α,令β表示α关于平面π(以ω为法向量)的反射变换所得像,

    ω=αβ|αβ|R3H(ω)=I2ωωT


    H(ω)α=β

    该变换将向量α变成了以ω为法向量的平面的对称向量β.

    定义:
    ωRn是一个单位向量,令

    H(ω)=I2ωωT

    则称H是一个Householder矩阵。

    Householder矩阵的性质:
    1. H是对称矩阵,HT=H
    2. H是正交矩阵,HTH=I
    3. H是对合矩阵,H2=I
    4. H是自逆矩阵,H1=H
    5. diag(I,H)也是一个Householder矩阵
    6. detH=1

    • 位似变换(Homothetic Transformation)

    (xy)=(k00k)(xy)+(x0y0)k0

    位似变换可以看做一个伸缩变换与一个平移变换的合成,位似中心为该变换的不动点。

    • 相似变换(Similarity Transformation)

    (xy)=(abλbλa)(xy)+(x0y0)λ=±1

    detA=±(a2+b2)0

    相似变换总可以分解为一个正交变换与一个位似变换的乘积。

    • 伸缩变换(strething/scaling)

    (xy)=(a00b)(xy)

    投影变换(Projection Transformation)

    向量x在y上的投影向量

    Pyx=||x||cosθy||y||=(x,y)||y||y||y||=xxyyy=y(yy)1yx

    其中θxy的夹角,Pyx=y(yy)1y称为投影阵。
    一般地。定义P=X(XX)1X为空间L(X)上的投影阵(Projection Matrix),P可以将一个向量投影到由X的列向量张成的超平面上。

    投影阵的性质:
    1. 对称性:P=P
    2. 幂等性:P2=P
    3. 非负定性:P0
    4. trace(P)=rank(P)

    投影阵与最小二乘法有着紧密的联系。

    合成和逆变换

    (Composing and inverting transformations)

    One of the main motivations for using matrices to represent linear transformations is that transformations can then be easily composed (combined) and inverted.

    Composition is accomplished by matrix multiplication. If A and B are the matrices of two linear transformations, then the effect of applying first A and then B to a vector x is given by:
    B(Ax)=(BA)x
    (This is called the associative property.) In other words, the matrix of the combined transformation A followed by B is simply the product of the individual matrices. Note that the multiplication is done in the opposite order from the English sentence: the matrix of “A followed by B” is BA, not AB.
    A consequence of the ability to compose transformations by multiplying their matrices is that transformations can also be inverted by simply inverting their matrices. So, A1 represents the transformation that “undoes” A.

    齐次坐标

    To represent affine transformations with matrices, we can use homogeneous coordinates,This means representing a 2-vector (x, y) as a 3-vector (x, y, 1), and similarly for higher dimensions. Using this system, translation can be expressed with matrix multiplication.

    • 平移变换

    xy1=100010x0y01xy1

    trans

    参考资料

    1. 丘维声《解析几何》(第三版) 北京大学出版社
    2. 北京大学数学系前代数小组《高等代数》
    3. Transformation matrix Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix
    展开全文
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  • 图形学坐标变换

    2020-06-13 00:06:19
    在制作游戏的时候我们经常会遇到坐标变换,比如模型空间变换到世界空间,这里用到的数学知识就是线性代数中的矩阵变换。矩阵变换算上大学来来回回也学了好几次了,可是过一段时间就忘记了,这次更多的是从几何意义去...
  • 图像的几何变换坐标映射

    千次阅读 2017-06-02 23:27:17
    图像的几何变换是指在不改变图像像素值得前提下,对图像进行空间几何变换,常见的几何变换有距离变换,坐标映射、平移、镜像、旋转、缩放、放射变换等。图像的几何处理是图形处理分析的基础,应用广泛,如字符矫正...
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