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  • 永磁同步电机dq坐标系中转矩公式中系数3/2由来

    千次阅读 多人点赞 2019-12-06 16:36:41
    1.坐标变换公式 简单推导一下,现有矩阵udq=C x uabc,idq=C x iabc,其中C代表坐标变换公式。 (1)假设功率不变 P=udqT x idq=uabcT x iabc=CT x C x uabcT x iabc 若要上式成立,CT x C 应该为单位矩阵,即CT...

    在这里插入图片描述
    我们平时写uabc=[ua;ub;uc],才好做udq=C x uabc的变换。

    1.坐标变换公式

    简单推导一下,现有矩阵udq=C x uabc,idq=C x iabc,其中C代表坐标变换公式。
    (1)假设功率不变
    P= ud x id + uq x iq 写成矩阵就是下式(运算过程满足结合律和交换律)
    P=udqT x idq= (C x uabc)T x C x iabc= uabcT x CT x C x iabc=uabcT x iabc

    若要上式成立,CT x C 应该为单位矩阵,如果是单位矩阵CT x C 的位置就可随意交换,即CT=C-1。通过求解,坐标变换矩阵C的系数应该为根号2/3

    在这里插入图片描述
    也就是 把上图的系数改为根号2/3就行了。我用matlab验证了一下结论,没问题!同时也可以看出来,这个矩阵C是正交矩阵,C*CT=I,CT=C-1
    在这里插入图片描述
    (2)假设幅值不变
    我们知道,三相合成矢量的模为原来每相模的3/2。而alpha和beta是合成矢量的分量,也是每相的3/2,若要保持幅值不变,udq=C x uabc中的C前面的系数应该是2/3。

    2.电磁转矩公式

    先分析下功率方程, P=udqT x idq= (C x uabc)T x C x iabc= uabcT x CT x C x iabc

    (1)恒功率变换

    P=udqT x idq = uabcT x CT x C x iabc = uabcT x iabc
    若是恒功率变化,最简单了,使得CT=C-1,公式前面的系数CT x C=I.(是单位矩阵,后面就把他当成常数吧),也就是你的dq坐标系转矩公式前面没有系数。

    (2)恒幅值变换

    先说一个误区,我将会用删除线标出来, 我一开始是这么想的,恒幅值变换的坐标变换矩阵C的系数不是2/3吗,所以CT x C=4/9. 所以可以看一下,是不是这样呢 ,请看matlab
    在这里插入图片描述

    其实CT x C的系数是2/3,这里谈的系数是相对于单位矩阵的(或者是相较于恒功率变换),深究原因要去看线性代数了。
    其实 若是恒幅值变化,则CT和C都是恒功率情况CT和C的根号2/3倍,故公式前面的系数CT x C=根号2/3*根号2/3=2/3. ( 是2/3,不是1.5也不是3/2,写的时候容易写错,希望前面没写颠倒)

    我们在三项坐标系下计算功率,P= udqT x idq=1/K x uabcT x iabc.由上面的计算,可以得知,K=3/2=1.5=1/(CT x C)。

    总结

    1.若采用恒幅值变换,电磁转矩Te前面需要乘以系数3/2。

    2.若采用恒功率变换,电磁转矩Te前需要乘系数1。

    如果感觉还不错的话,求个点赞啊!!!

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  • 平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式

    万次阅读 多人点赞 2017-10-24 20:14:46
    平面内直角坐标系中坐标旋转变换公式今天做数字图像处理作业时遇到一个关于图片旋转变换问题,要用到坐标旋转变换公式,突然不记得公式是怎么来了,于是乎,就琢磨了一番。。。首先上公式:逆时针(如下图):...

    首先上公式:

    逆时针(如下图):
    x1=xcos(β)-ysin(β);
    y1=ycos(β)+xsin(β);

    顺时针(图未给出):
    x1=xcos(β)+ysin(β);
    y1=ycos(β)-xsin(β);

    其中x,y表示物体相对于旋转点旋转β的角度之前的坐标,x1,y1表示物体旋转β后相对于旋转点的坐标。此公式仅为在下图坐标中的变换公式,坐标系的选取不同可能会有不同的结果,但是推导方式一样,请大家注意。

    下面是推导过程:

    从数学上来说,此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标,例如:A(x,y)绕B(a,b)旋转β度后的位置为C(c,d),则x,y,a,b,β,c,d有如下关系式:

    这里写图片描述
    1.设A点旋转前的角度为δ,则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β

    2.求A,B两点的距离:dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

    3.求C,B两点的距离:dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

    4.显然dist1=dist2,设dist1=r所以:
      r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)
      
    5.由三角函数两角和差公式知:
      sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)
      cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)
      
      所以得出:
    c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)
      d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

    即旋转后的坐标c,d只与旋转前的坐标x,y及旋转的角度β有关
    从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动,圆周的半径为|AB|,利用这点就可以使物体绕圆周运动,即旋转物体。

    另外,顺时针旋转可以理解为逆时针一个负角度,根据sin(),cos()的奇偶性,即sin(-β)=-sin(β),cos(-β)=cos(β),可得顺时针旋转的变换公式:

    x1=xcos(β)+ysin(β);
    y1=ycos(β)-xsin(β);

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  • Tricks.of.the.3D.Game.Programming.Gurus 此本书中的从世界坐标系的各点到UVN模型的视图坐标系中的转换过程公式为:Muvn = |ux vx nx 0| | uy vy ny 0| | uz vz nz 0| | 0 0 0 1|P2 = P1*Munv

    Tricks.of.the.3D.Game.Programming.Gurus 此本书中的从世界坐标系的各点到UVN模型的视图坐标系中的转换过程公式为:

    Muvn =  |ux vx nx 0|

                 | uy vy ny 0|

                 | uz vz nz 0|

                 | 0   0  0   1|

    P2 = P1*Munv

    其公式来的比较突兀,此处推导一下:

    已知:基U(ux,uy,uz),V(vx,vy,vz),N(nx,ny,nz),他们是正交的即这三者组成的矩阵(UT,VT,NT)是一个正交矩阵

           世界坐标系X(1,0,0), Y(0,1,0),Z(0,0,1)

    根据从一个坐标系的基到另个坐标系的基的转化有此公式: B2 = B1*C(线性代数课本上都有此公式),

    旧坐标基B1在转换矩阵C的作用下变成了新基B2

    那么在B1下的坐标点X1在B2下的对应的新的坐标点X2,满足C*X2 = X1(线性代数课本上都有此公式).

     

    对应到本问题上,B2就是UVN组成的正交矩阵(记为U),B1为世界坐标系W

    U = W*C  => C = U*W-1; C-1 = W*U-1, 而W是单位矩阵 ,所以C-1 = U-1

    C*X2 = X1 => X2 = C-1*X1

    X2 = U-1*X1

    因为U是正交矩阵,有U-1 = UT => X2 = UT*X1

    两边转置: X2T = X1T*U, 然后如果X2T,X1T是以齐次坐标分别表示为P2,P1,Munv是就是U的齐次形式

    故有: P2 = P1*Muvn.

     

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  • 二维坐标系中的向量旋转公式

    千次阅读 2019-01-03 17:31:34
    1、在二维坐标系中,一个向量可以使用三角函数来表示,左图中的向量用三角函数表示为: x0 = |R| * cosA y0 = |R| * sinA 2、右图是将左图中向量逆时针旋转B之后得到的向量,它的向量可表示为: x1 = |R| * cos...

     

    1、在二维坐标系中,一个向量可以使用三角函数来表示,左图中的向量用三角函数表示为:

    x0 = |R| * cosA

    y0 = |R| * sinA

    2、右图是将左图中向量逆时针旋转B之后得到的向量,它的向量可表示为:

    x1 = |R| * cos(A + B) = |R| * cosA * cosB - |R|* sinA * sinB

    y1 = |R| * sin(A + B) = |R| * sinA * cosB + |R| *cosA * sinB

    将1中的式子带到2中可以化简成下面这样:

    x1 = x0*cosB - y0*sinB

    y1 = y0*cosB + x0*sinB

    当旋转方向是逆时针时,B取负值,如果旋转方向是顺时针方向,则B取正值

    3、下图是一个例子,它是将向量v逆时针旋转a,得到向量v0,v0的向量表示为如下,这里不用管K,他是一个比例系数

     

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坐标系中的公式