精华内容
下载资源
问答
  • 代数余子式求行列式
    2022-03-09 19:41:35

    上个星期,我们的线性代数老师让我们编程计算行列式,这个星期又让我们算逆矩阵

    虽然这个老师上课老爱吹水,但是至少让我们编的程序是可行的

    根据某定理:n阶行列式等于它的任一行的元素与其对应的代数余子式的乘积之和;即:

    D=ai1*Ai1+ai2*Ai2+.....+ain*Ain(i= 1,2,3...n)

    取i==1时展开:

    D=a11*A11+a12*A12+...a1n*A1n;

    设递归函数rec(n,D)为D行列的值;n:行列的阶;

    根据定理按照第一行展开可得:

    rec(n,D)=sumj ( (-1)^1+j * a1j * rec(n-1,A1j) ); A1j为a1j的代数余子式;sumj为求和

    n==1 时,rec(1,D)==D;

    #include<iostream>
    #include<vector>
    using std::vector;
    double rec(int n, vector<double>D) {
    	if (n == 1) {
    		return D.back();
    	}
    	int e = 1;//设置符号
    	double sum = 0;
    	for (int k = 0; k < n; k++) {
    		vector<double>d;
    		for (int i = 1; i < n; i++) {//i==1表示从第一行开始,因为第0行是被展开的量;
    			for (int j = 0; j < n; j++) {
    				if (k == j)continue;     //划去同列元素;
    				d.push_back(D[i*n + j]);
    
    			}
    		}
    		sum += D[k] * e*rec(n - 1, d);
    		e *= -1;
    	}
    	return sum;
    }
    int main() {
    	int n;
    	std::cin >> n;
    	vector<double>d;
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			double a;
    			std::cin >> a;
    			d.push_back(a);
    
    		}
    	}
    	std::cout << rec(n, d);
    	return 0;
    }
    

     计算逆矩阵:

    A^-1 =  A*/ | A |;   A*为伴随矩阵

    概念不叙述了:

    /*
    各函数表示的含义:
    project: 得到aij的余子式;
    rec    : 计算行列式D的值
    AT     : 将矩阵进行转置;
    A_     : 计算A的逆矩阵;
    */
    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<iomanip>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    using std::vector;
    const double eps = 1e-3;
    vector<double>project(int n, vector<double>&D, int ii, int jj) {//分出余子式;
    	vector<double>c;
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			if (i == ii || j == jj)continue;
    			c.push_back(D[i*n + j]);
    		}
    	}
    	return c;
    }
    
    double rec(int n, vector<double>&D) {
    	if (n == 1) {
    		return D.back();
    	}
    	int e = 1;
    	double sum = 0;
    
    	for (int k = 0; k < n; k++) {
    		vector<double>d;
    		d = project(n, D, 0, k);
    		sum += D[k] * e*rec(n - 1, d);
    		e *= -1;
    	}
    	return sum;
    }
    vector<double>AT(int n, vector<double>&D) {//转置;
    	vector<double>c;
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			c.push_back(D[j*n + i]);
    		}
    	}
    	return c;
    }
    vector<double>A_(int n, vector<double>&D) {//计算逆矩阵;
    	vector<double>c;
    	//先将每个元素的代数余子式计算出来;
    	double A = rec(n, D);//计算D的行列值;
    	if (A == 0)return c;//如果A为0则无逆矩阵:返回一个空向量判断;
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			vector<double>Aij;
    			Aij = project(n, D, i, j);
    			double aij = rec(n - 1, Aij) / A;
    			if ((i + j) & 1)aij *= -1;
    			c.push_back(aij);
    		}
    	}
    	//转置:
    	c = AT(n, c);
    	return c;
    }
    int main() {
    	int n;
    	std::cin >> n;
    	vector<double>d;
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			double a;
    			std::cin >> a;
    			d.push_back(a);
    
    		}
    	}
    
    	vector<double>D = A_(n, d);
    
    	//输出;
    	//保留两位小数:
    	if (D.empty()) {
    		std::cout << "该矩阵为奇异阵";
    		return 0;
    	}
    
    	for (int i = 0; i < n; i++) {
    		for (int j = 0; j < n; j++) {
    			if (fabs(D[i*n + j]-int(D[i*n+j])) <= eps) {
    				std::cout << std::setw(6) << int(D[i*n+j]); continue;
    			}
    			std::cout << std::fixed << std::setprecision(2) << std::setw(6) << D[i*n + j];
    		}
    		std::cout << '\n' << '\n';
    	}
    	return 0;
    }

     分析一下时间复杂度:

    行列式的计算rec:令rec(n)的复杂度为T(n)递归式执行了n次rec(n-1)

    则有T(n)=nT(n-1)+o(1)

    T(n) =n!

    然后又是  A_函数n^2* T(n)=O(n^2*n!);

    并且常数比较大,所以到n==10就不能秒算了  

    时间复杂分析更新与2022-5-8

    更多相关内容
  • 3.C语言用代数余子式计算行列式

    千次阅读 2022-06-02 18:17:48
    讲述了利用代数余子式计算行列式的原理,用递归的方式用C语言实现了行列式的计算。

    目录

    1.代数余子式计算行列式的原理 

    二阶行列式计算

    三阶行列式计算

    按定义计算

    2.代码实现

    输入矩阵main

    行列式的计算Det

    余子式Cof

    3.该方法的不足


    1.代数余子式计算行列式的原理 

    注意:行列式一定是方阵!

    二阶行列式计算

    杀戮法:

    二阶行列式的计算方法非常简单,主对角线元素相乘—副对角线元素相乘,故又称杀戮法。

    三阶行列式计算

    划线法:

     划线法如下图所示

    按定义计算

    计算行列式时,可以将其按行或列展开进行计算

    以三阶行列式为例:

    将行列式A按第一行展开:

    其中,Aij为aij的代数余子式(i为行号,j为列号),例如:A11为a11的代数余子式。

     代数余子式的计算方法:

    其中,(-1)^(i+j)表示为-1的i+j次方,用来决定代数余子式的正负,Mij为余子式。

    余子式:

    行列式去其i行j列,剩下的元素组成一个新的行列式,该矩阵为aij的余子式。

    例如,a11的余子式为:

     去其第一行第一列,剩下的元素按照现有的排列组合成新的行列式。

     在计算行列式的值时,我们可以选择0多的那一行和那一列进行展开,大大缩减计算量。

    2.代码实现

    核心思想:

    当我们求高阶行列式的值时,可以利用求代数余子式的方式将求高阶行列式逐步转换为求低阶行列式的问题。利用递归的思想可以解决此类问题,将大事化小,小事化了。

    输入矩阵main

    在C语言中,矩阵可以利用二维数组数组将其存储起来。

    当然用数组存放矩阵也有其缺陷:数组的大小是不可以改变的。在没学动态规划之前,可以根据使用的大小开辟足够大的内存空间,以此来应对该问题。

    在输入行列式的时候,还需要确定其阶数n才能进行计算。

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    #include<assert.h>
    
    #define COL 10//为二维数组开辟的最大内存
    int main()
    {
    	int arr[COL][COL] = { 0 };
    	int i = 0, j = 0;
    	int n = 0;//阶数
    	printf("行列式阶数:>");
    	scanf("%d", &n);
    	printf("请输入行列式:>\n");
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (j = 0; j < n; j++)
    		{
    			scanf("%d", &arr[i][j]);
    		}
    	}
    	printf("%d", Det(arr, n));
    }

    行列式的计算Det

    因为1阶行列式不用计算,就是其本身,而3阶、2阶的行列式又可以根据划线法和杀戮法计算,这里可以将递归的条件设置为n>3,只有四阶及以上的行列式才进行递归,四阶以下的行列式直接计算得出结果。

    • 在行列式计算前,为了保证数组的安全性,在接收数组的时候加上const,保证数组在函数内部无法修改。
    • 行列式的阶数只有大于等于1时才有意义,在函数开头利用assert断言n是否大于0:条件为真函数运行,条件为假assert则会报警告,assert需包含头文件。
    int Cof(const int arr2[COL][COL], int i, int n);//声明:计算行列式
    
    //计算行列式
    int Det(const int arr[COL][COL], int n)
    {
    	assert(n > 0);
    	int sum = 0;
    	int i = 0;
    	if (n == 1)//1阶行列式直接得出结果
    	{
    		sum = arr[0][0];
    	}
    	else if (n == 2)
    	{
    		sum = arr[0][0] * arr[1][1] - arr[0][1] * arr[1][0];//杀戮法求解
    	}
    	else if (n == 3)
    	{
    		sum = arr[0][0] * arr[1][1] * arr[2][2]
    			+ arr[0][1] * arr[1][2] * arr[2][0]
    			+ arr[1][0] * arr[2][1] * arr[0][2]
    			- arr[0][2] * arr[1][1] * arr[2][0]
    			- arr[0][1] * arr[1][0] * arr[2][2]
    			- arr[1][2] * arr[2][1] * arr[0][0];//划线法求解
    	}
    	else
    	{
    		for (i = 0; i < n; i++)//按第一行展开
    		{
    			if (arr[0][i] != 0)//展开项不为0才计算
    			{
    				sum += ((int)pow(-1, i + 2)) * arr[0][i] * (Cof(arr, i, n));//2阶以上继续递归		
    			}
    			else
    				sum += 0;//展开项为0
    		}
    	}
    	return sum;
    }

    余子式Cof

    接收Det函数传过来的二维数组,取其行列,剩下的元素组成新的二维数组再传给Det函数。两个函数相互调用,直到阶数小于4。

    int Det(const int arr[COL][COL], int n);//声明:计算代数余子式
    
    //找到余子式
    int Cof(const int arr[COL][COL], int i, int n)
    {
    	assert(n > 0);
    	int k = 0;
    	int j = 0;
    	int arr2[COL][COL] = { 0 };
    	for (k = 0; k < n - 1; k++)//去除0行i列,剩下的组成新的矩阵
    	{
    		for (j = 0; j < n - 1; j++)
    		{
    			if (j < i)
    			{
    				arr2[k][j] = arr[k + 1][j];
    			}
    			else
    			{
    				arr2[k][j] = arr[k + 1][j + 1];
    			}
    		}
    	}
    	return Det(arr2, n - 1);
    }

    3.该方法的不足

    尽管我们设置了很多方法来避免无用的递归

    • 展开项为0则不进行计算
    • 3阶以下行列式直接计算

    但是如果求高阶的行列式还是有所不足:假如求10阶行列式,则需要递归10!/  6=604,800次,深度递归最终导致程序运行的非常缓慢。

    展开全文
  • 一:C实现计算三阶行列式最近高数课在上线性代数,二阶的还能口算,三阶的有点麻烦,想陆陆续续地把公式都用C来实现。因为二阶的行列式如果用C来写就是一句话:val=det[0][0]*det[1][1]-det[0][1]*det[1][0];太简单...

    这个分为两部分,先是写出了C实现计算三阶行列式,然后过了一段时间突然有了思路才写下了10阶内这段代码。真怀念那段写代码的日子。

    一:C实现计算三阶行列式

    最近高数课在上线性代数,二阶的还能口算,三阶的有点麻烦,想陆陆续续地把公式都用C来实现。

    因为二阶的行列式如果用C来写就是一句话:val=det[0][0]*det[1][1]-det[0][1]*det[1][0];

    太简单了这里就不写了,主要写关于三阶的。只要把这个三阶行列式里每一个元素打进去就能算出值来了。

    过两天再写余子式的展开。

    1 #include

    2

    3 voidmain()

    4 {

    5 int det[3][3]={0};

    6 inti,j,k;

    7 int det_val=0,det_tval=1;

    8

    9 /*------------------- det Input Start -----------------------------------*/

    10 for(i=0;i<3;i++)

    11 {

    12 printf("Give me the row%d (by space): ",i+1);

    13 for(j=0;j<3;j++)

    14 scanf("%d",&det[i][j]);

    15 }

    16 /*------------------- det Input End -------------------------------------*/

    17

    18

    19

    20 /*------------------- det Calculate Start -------------------------------*/

    21 for(i=0;i<3;i++)

    22 {

    23 k=i;

    24 for(j=0;j<3;k++,j++)// left-up to right-down

    25 {

    26 if(k==3) k=0;

    27 det_tval*=det[k][j];

    28 }

    29

    30 det_val+=det_tval;

    31 det_tval=1;

    32 }

    33

    34 for(i=0;i<3;i++)

    35 {

    36 k=i;

    37 for(j=3-1;j>=0;k++,j--)// right-up to left-down

    38 {

    39 if(k==3)k=0;

    40 det_tval*=det[k][j];

    41 }

    42

    43 det_val-=det_tval;

    44 det_tval=1;

    45 }

    46

    47 /*------------------- det Calculate End --------------------------*/

    48

    49

    50 /*------------------- Show det Start ------------------------------------*/

    51 printf("\n");

    52 for(i=0;i<3;i++)

    53 {

    54 for(j=0;j<3;j++)

    55 printf("%5d",det[i][j]);

    56 printf("\n");

    57 }

    58 /*------------------- Show det End --------------------------------------*/

    59 printf("\n\nval=%d\n",det_val);

    60 }

    二:C实现10阶内通过展开代数余子式求行列式的值

    最近越来越忙了,这个问题已经想了有一段时间了。之前发过一篇计算二阶与三阶行列式值的文章,但哪些方法只能解二阶与三阶行列式的值。如果想求高阶的行列式,必需通过代数余子式展开才行。虽然网上看到过有关代码,但我不想细看。还是自己写出来的有成就感。这两个礼拜日思夜想,终找到其规律。

    这段代码可以求最高十阶的行列式的值,当然是通过展开代数余子式的方式。这里的关键在于,拿四阶来举例。四阶的行列式展开后是某 行的四个元素分别乘以他们各自的余子式,而每个余子式又继续按照这种样子继续,这是典型的迭代算法。因此我把求余子式的过程写成了一个函数。直到迭代到余子式为二阶行列式时我们再用二阶行列式办法去做。但这还不是这道题的难点。难点在于经过不定次数的迭代后,必定会有个二阶的余子式,这个二阶余子式的几个元素并不是相邻的。如何找对这四个元素才是本题最大的难点。

    废话不多说了,上代码,欢迎各位高手来指点。

    1 #include

    2 #define max 10

    3

    4 void show_minor(int start,int end,intdet[max][max]);

    5

    6 voidmain()

    7 {

    8 int det[10][10]={0};

    9 int i,j,k,n=0;

    10 int *dot=det;

    11 int det_val=0,det_tval=1;

    12

    13 do{

    14 printf("Give me the Order Number between 1 to 9:");

    15 scanf("%d",&n);

    16 }while(n<0||n>9);

    17

    18 for(i=1;i<=n;i++)

    19 {

    20 printf("Give me the row%d (by space): ",i);

    21 for(j=1;j<=n;j++)

    22 scanf("%d",&det[i][j]);

    23 }

    24

    25 det[0][0]=n;

    26

    27 for(i=n+1;i

    28 det[0][i]=det[i][0]=1;

    29

    30

    31 det_val=Minor_In(n,dot);

    32

    33 printf("\n");

    34 show_minor(1,n,dot);

    35

    36 printf("\n\nval=%d\n",det_val);

    37 }

    38

    39

    40 void show_minor(int start,int end,intdet[max][max])

    41 {

    42 inti,j;

    43 for(i=start;i<=end;i++)

    44 {

    45 for(j=start;j<=end;j++)

    46 printf("%5d",det[i][j]);

    47 printf("\n");

    48 }

    49

    50 }

    51 intfut2(num){

    52 return 1-num%2*2;

    53 }

    54

    55 int Minor_In(int msize,intdet[max][max])

    56 {

    57

    58 int i,j,k=1,Mvalue=0,l=1;

    59 int *md=det;

    60 int m00=1,m01=1,m10=1,m11=1;

    61

    62 if(msize==2)

    63 {

    64 for(i=1;i<=det[0][0];i++)

    65 for(j=1;j<=det[0][0];j++)

    66 if(!det[i][0] && !det[0][j])

    67 {

    68 switch(k)

    69 {

    70 case 1:

    71 m00=det[i][j];break;

    72 case 2:

    73 m01=det[i][j];break;

    74 case 3:

    75 m10=det[i][j];break;

    76 case 4:

    77 m11=det[i][j];break;

    78 default:break;

    79 };

    80 k++;

    81 }

    82 Mvalue=m00*m11-m01*m10;

    83 }

    84 else

    85 {

    86 k=det[0][0]-msize+1;

    87 det[k][0]=1;

    88

    89 for(i=1;i<=det[0][0];i++)

    90 {

    91 if(!det[0][i])

    92 {

    93 det[0][i]=1;l*=-1;

    94 Mvalue+=det[k][i]*l*Minor_In(msize-1,md);

    95 det[0][i]=0;

    96 }

    97 }

    98 det[k][0]=0;

    99 }

    100 returnMvalue;

    101 }

    展开全文
  • 行列式  如果有两个向量&... 在《线性代数笔记4——向量3(叉积)》中我们看到,二阶行列式表示了二维平面中以两个向量为临边的平行四边形的面积;三阶行列式表示在三维空间中以三个向量...

    行列式

      如果有两个向量<a1, a2>和<b1, b2>,那么这两个向量组成的行列式是:

      看起来只是表示一个简单的计算,仅仅计算了一个数值,但是别忘了,行列式是由向量组成的,它一定会表示向量间的某种关系。

      在《线性代数笔记4——向量3(叉积)》中我们看到,二阶行列式表示了二维平面中以两个向量为临边的平行四边形的面积;三阶行列式表示在三维空间中以三个向量为临边的平行六面体的体积;推广到n维空间,n阶行列式表示在n维空间中图形的n维体积。实际上我们无法有效表示出三维以上的空间。对于物理世界中更多维的空间,绝大多数人都无法想象,但是数学却可以给出明确的定义。

      对于n维空间的行列式,可以表示为:

    Dn = |An×n|

      其中A是一个n×n的矩阵。

      行列式是由向量引出的,解释的也是向量的性质,在看到行列式时一定要在头脑中映射出向量,实际上线性代数的本质就是对向量的研究。

    行列式的性质

      性质0,单位矩阵的行列式为1

      这个不解释。

      性质1,如果Dn= |A|中某行的元素全为0,那么Dn = 0

      这个性质较为明显,在多维空间中,行列式表示的是体积,如果其中一个维度的模为0,那么体积也是0。

      性质2,如果Dn= |A|中某两行元素对应成比例,那么Dn = 0

      很多时候我们都喜欢用实例推导性质,像下边这样:

      或者用代数形式:

      但是性质应当由定义推导,然后用计算去验证,而不是用计算去推导。现在我们尝试用行列式的定义去推导。行列式表示的是向量间的关系,以二维空间为例,如果某两行元素对应成比例,那么说明一种一个向量是另一个向量的延伸,它们的夹角是0°或180°,即二者平行,两个平行的向量围成的面积是0:

      性质3,如果Dn= |A|中某两行元素互换,那么互换后的行列式变号,即|A|= -|A|

      两个向量的模长是a和b,与x轴的夹角分别是α和β,如下图所示:

      平行四边形的面积:

      如果两个向量互换:

      在代数学中,角度、面积、体积可以是负的。用计算去验证:

      性质4,倍乘性质

      实际上是将外部的k乘到其中的一行,把平行四边形的一条边扩大k倍,则面积也扩大了k倍,如下图所示:

      需要注意的是行列式与矩阵的区别,矩阵扩大k倍是将矩阵中的全部元素都乘以k(矩阵中的每个元素都对应了一个向量的分量,这在下文关于矩阵的介绍中会有所说明),这将有下面的关系:

      性质5,倍加性质

      对于更高阶的行列式也一样。下图平行四边形的斜边展示了一个向量加上另一个向量的k倍:

      两个平行四边形的面积是相同的,所以倍加公式成立。

    性质6,单行可拆(加)性

      其中*号表元素完全相同,从左到右叫加,从右到左叫拆。以二阶行列式为例:

      为了简单,将<b1,b2>和<a1,a2>分别设置在两个坐标轴上,如下图示:

      <a1,a2><b1,b2>所围平行四边形面积是a2 b2,<a1,a2><c1,c2>所围平行四边形面积是a2 c2,<a1,a2>< b1+c1, b2+c2>所围平行四边形面积是a2(b2+c2),由此可见性质6成立。

    性质7,以上所有作用于行的性质也可以作用于列上,即|A| = |AT|

    性质8,两个矩阵相乘的行列式,等于这个两个矩阵的行列式相乘,|AB| = |A||B|

      当两个矩阵相等时,矩阵平方的行列式等于矩阵行列式的平方:

      可以借助性质8计算A-1的行列式:

      如果1/|A|有意义,则|A| ≠ 0,A有逆矩阵;反之,如果|A| = 0,A是奇异矩阵。这就是性质9。

      性质9,如果|A| = 0,A是奇异矩阵。

    行列式的意义

      行列式是由向量组成的,当Dn = |A| ≠ 0 时,意味着组成|A|的向量全部独立。所谓独立,就是向量围成的n维空间中图形的n维体积不为0。这似乎没有太大价值,但是如果把行列式转换为方程组就意义重大了,以二阶行列式为例:

      可以看到,对于全部独立的向量,方程组有唯一解,否则方程组无解或有无数解。当|A| ≠ 0时,说明至少有一个向量是“多余”的,正是这个多余的向量使得n维体积为0。以阶行列式为例,当体积为0时,说明三个向量在同一平面内,这意味着,一定可以通过倍乘和倍加性质用另外两个向量表示第三个向量,从而完全消除第三个向量。N元一次方程组需要N个完全不同的等式,现在少了一个等式,所以无法得到唯一解。

      线性代数研究的是向量之间的关系,向量间最重要的关系就是独立或不独立,行列式是否等于0正是这种关系的有效描述。

    行列式的计算

      上三角矩阵的行列式等于主对角元素的乘积:

      对于更多阶的行列式,一种有效的计算方法是先将其消元,转换为上三角行列式,然后在计算这个上三角行列式的值。以二阶行列式为例,我们已经知道它的结果:

      利用消元法将A转换为上三角矩阵:

      现在可以直接利用主对角线的元素相乘:

    行列式的公式

      行列式的性质也可以用于计算行列式的值,以二阶行列式为例:

      在反复利用行列式的单行可拆性后,A分解成4项,每一行只有一个非零元素。二阶行列式计计算的是图形的面积,对于α来说,由于构成行列式的两个向量<a, 0>和<c, 0>是在同一个维度上的直线,所以二者围成的面积是0;同理,δ也一样。

      Β是上三角矩阵,它的值是主对角线的乘积ad。γ可以使用行列式的行互换性质形成一个新的上三角矩阵:

      最终可以得到|A|的值:

      这种方法对于更高阶的行列式也同样适用,三阶行列式按照每一行只有一个非零元素的原则全部展开后将长达33项,这将占用长长的篇幅,可以考虑一个能够缩减展开式的办法。根据行列式的几何意义,行列式计算的是n维图形在n维空间中的n维体积,3阶行列式计算的自然是三维空间的体积,如此一来,只有三个向量分别指向三个不同维度时,才能保证体积不等于0,因此三阶行列式可以展开成:

      现在只剩下3! = 6项,每一项都可以通过行列式的行交换性质变成上三角行列式(或者本身就是上三角行列式),这样就可以得到行列式的最终值:

      现在可以归纳出n阶行列式的公式:

      下标的数字项表示行号,希腊字母表示列号(实际数量可能远超过希腊字母的数量,暂且用希腊字母代替)。这相当于是列号的排列,在每一项中,n个列标都各用一次。负号的目的是为了应对行交换的情况。

      根据公式,对于n阶单位矩阵来说,只有主对角线的一项不是0,所以单位矩阵的行列式的值是1。

      示例 计算A的行列式:

      通过消元法计算是正确的选择,通常也应该这么做,实际上不难看出这个A是一个奇异矩阵,所以它的行列式等于0,现在用行列式的公式来验证这个结论。根据公式, |A|的大多数展开项都等0,没有被淘汰的只有两项,二者相加等于0:

      第一个行列式是负值,因为它需要用1、3行进行一次行交换来变成上三角矩阵:

    代数余子式

      代数余子式是从行列式的公式中提取出来的,它的作用是把n阶行列式化简为n – 1阶行列式。我们以三阶行列式为例,看看代数余子式是什么。根据行列式的公式,3阶行列式展开,将得到:

      这实际上式选定第一行的一列,然后考虑各种可能的排列,为了突出重点,写成下面这样:

      括号中由剩余因子组成的表达式就是代数余子式(第二项把符号移到了括号中,下节会说明原因),比如a22a23 – a23a32是a11的代数余子式。可以用更直观的方式表达a11(a22a23 – a23a32):

    代数余子式的符号

      -a12(a22a23 – a23a32)可以表示成:

      注意到上式有一个负号,我们一般不需要 -a12的代数余子式,所以a12的代数余子式需要把符号移到括号中:

      代数余子式本身就是行列式,只是它的正负号需要单独判断,判断方法是根据选定元素行号和列号之和的奇偶性。用Cij表示aij的代数余子式,当i + j是偶数时,行列式取正号,是奇数则取符号。比如三阶行列式中,C12的行列号之和是3,它对应的代数余子式取符号。如果有一个五阶行列式,它的每一项的代数余子式的符号是这样分布的:

    行列式的代数余子式展开

      把某个行列式的用代数余子式展开实际上也是求行列式的另一种方法,可以表示成:

      代数余子式本身是n - 1阶行列式,它可以继续展开成n - 2阶行列式……如此展开下去,直到1阶行列式为止,其核心思想是把一个复杂的高阶行列式转换成多个简单的低阶行列式。

    二阶行列式的代数余子式

      用代数余子式可以解释二阶行列式的计算公式。二阶行列式可以用一阶代数余子式展开:

      由于b是第1行第2列,1 + 2 = 3是奇数,所以b对应的代数余子式C12是以符号开头的。

      


       作者:我是8位的

      出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

      本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

      扫描二维码关注公众号“我是8位的”

    展开全文
  • 计算机通过主元来计算行列式,但还有另外两种方法,一种是大公式,由 n!n!n! 项置换矩阵组成;另一种是代数余子式公式。 主元的乘积为 2∗32∗43∗54=52 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} = 52∗23​∗34...
  • 则Aij的余子式Bij为:划去Aij所在的第i行与第j列的元,剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶矩阵的行列式称为元Aij的余子式: Aij余子式矩阵:将矩阵A中所有元替换为其余子式后所组成的矩阵: 代数余子式:...
  • 对于行列式这一个知识点,是考研中的重点,无论是985还是211,一般都放在第一题或者第二题进行考察,是需要大家熟练...关于余子式和代数余子式★ 余子式:设是一个 阶行列式,划去的第行及第列,剩下的个元素按照...
  • } //递归通过代数余子式计算 int calculate() { int n = 0; if (this->rank == 1)return this->data.at(0).at(0); for (int i = 0; i < this->rank; ++i) { n += this->data.at(0).at(i) * pow(-1, i + 2) * this->...
  • 行列式公式和代数余子式

    千次阅读 2019-05-21 06:55:43
    前一篇介绍了行列式(determinant)的10个性质,且简单阐述了如何用消元法求行列式。今天简单介绍求解行列式的2个一般公式,先看第一个公式,以最简单的2*2矩阵为例,对行列式法如下: 整个求解思想就是尽量...
  • 行列式的样子?(行列式通常用竖线来表示)或者det(A) 或者 ②求行列式A的a23的余子式:(通常用M来表示余子式) 也就是去掉指定位置的行和列的小行列...③求行列式A的a23的代数余子式:(通常用A来表示余子式) ...
  • 第一章行列式行列式的性质1.行列式与其转置行列式相等,即2.对调两行(或列)行列式改变符号3.行列式某行(或列)有公因子...行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和7.行列式的某行(列)元素与另一...
  • 则Aij的余子式Bij为:划去Aij所在的第i行与第j列的元,剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶矩阵的行列式称为元Aij的余子式: Aij余子式矩阵:将矩阵A中所有元替换为其余子式后所组成的矩阵: 代数...
  • 首先以2*2行列式为例:这种方法求解的思想是:把行列式的每一行都化成若干个行列式相加, 一次化解一行, 行列式的结果保持不变(为什么?)。 将所有的行全部化完进行值运算。再看看3*3行列式 思路:首先固定一行...
  • 行列式的定义和代数余子式求解行列式值的方法。
  • 第一章,06-行列式的降阶计算-余子式和代数余子式简介余子式代数余子式代数余子式相关定理行列式按行(列)展开法则证明展开定理的推论 简介 这是《玩转线性代数》的学习笔记。 示例请查看原文 余子式 在n阶行列式中,...
  • 5,行列式公式及代数余子式 首先得到二阶行列式公式, 这种方法求行列式,会得到很多值为0的行列式,那么那些行列式值为0呢? 其实就是不同行不同列的三个元素组成的矩阵 由此,我们推导一下,行列式计算的一般公式. 如上...
  • k阶子式:指在行列式中任取k行k列组成的行列式。k行k列是任意组合没有限定要求,只要行列相等即可。 k阶主子式:指在行列式中选k行k列,但要求行和列的下标相同。...余子式:在n阶行列式中,去掉aij所在的ri行与cj列
  • 那么行列式求值的意义是什么,这个代数余子式组成的向量的意义又是什么? 3.代数余子式的几何意义 *****其实应该说是代数余子式组成的向量的几何意义。以下只是应用理解,并不是严格证明。 *****这里的几何意义可以...
  • C语言计算行列式以及代数余子式的函数 欢迎使用Markdown编辑器 你好! 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章,了解一下Markdown的基本语法...
  • 行列式(二):余子式&代数余子式

    千次阅读 2019-01-21 19:12:00
    目录 按行列展开 \(\Delta\)以下内容主要为《线性代数》的学习笔记 ...为此,我们引入余子式和代数余子式的概念。 相当于对行列式进行降阶处理以方便运算 定义 余子式: 在\(n\)阶行列式中,把\((i...
  • 余子式和代数余子式

    万次阅读 2021-09-21 16:29:35
    余子式:在n阶行列式D中,划去元素aij所在的第i行和第j列的元素,剩下的(n-1)^...行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin 或 D=a1jA1j+a2jA2j+...anjAnj ...
  • 2.1.2 由结构一得到n阶行列式的传统定义 由n2个数aij(i,j=1,2,...,n)构成的代数和由n^2个数a_{ij}(i,j=1,2,...,n)构成的代数和由n2个数aij​(i,j=1,2,...,n)构成的代数和 ∑(−1)ta1p1a2p2a3p3\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{...
  • 用余子式、代数余子式和伴随 ... 四、乘以 1/行列式。 最好是用实例来解释! 例子: A 的逆: ![逆矩阵](https://www.shuxuele.com/algebra/images/matrix-gauss-jordan3.gif#pi...
  • 1.k阶子、余子式、代数余子式的定义 2.k阶子、余子式、代数余子式的示例
  • 反之行列式不为零,则可逆 行列式的乘积 = 乘积的行列式 ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB| = |A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣ 等于转置矩阵的行列式 ∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|∣AT∣=∣A∣ 代数余子式公式 ∣A∣|A|∣A∣= ∣a11a12a13....
  • 001 线性代数之行列式:定义、逆序数、余子式与代数余子式、n个易算行列式、范德蒙行列式

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 2,027
精华内容 810
关键字:

代数余子式求行列式

友情链接: DTW.rar