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  • 图的连通分量
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    2020-11-21 18:55:42

    1.对于无向图而言,如果图中的某两个点,例如:存在W到V的路径,那么我们说w和v是连通的;进一步如果图中任意两点之间都是存在路径的,那么我们说这个是连通的,即可称为连通图

    2.连通子图:设G=(V,E)和G`=(V`,E`),如果V`是V的子集,并且E`是E的子集,那么称G`是G的子图。如果子图是连通的,那么就是连通子图,这不难理解。(需要注意,并不是你随便从G=(V,E))中挑的V的子集V`跟E的子集E`,就能构成一个子图,因为有可能挑的边V跟顶点E没有关系,那也就构不成一个图了)

    3.极大连通子图(连通分量)极小连通子图

    a.极大连通子图就是连通分量

    对于极大的理解是,极大针对的是,也就是边要越多越好,最后生成的子图中已经包含了原图G中的与子图G`中顶点相关的所有边。简单来说,凡是与G`中顶点有关的边,全都要(这也就隐含了,如果我们在一个极大连通子图中删去一些边,它依旧可能是连通的,可以与极小进行比较理解)。生成一个极大连通子图的过程可以理解为:从一个顶点出发,逐个添加所有与这个子图有边的顶点,直到将所有连通的顶点全都纳入这个图中,这时生成的子图就是极大的。

    b.极小比较好理解,也是针对的,就是在保持子图中所有顶点连通的前提下,纳入最少的边,生成的图;也就是对于一个极小连通子图而言,再去掉任意一条边,那就非连通了。

    4.强连通图强连通分量:

    这两个是针对有向图而言的,有向图中,若W到V与V到W之间都有路径,那么就说这两个顶点是强连通的,如果图中每对顶点直接都是强连通的,那么这个图就是强连通图了。而有向图的极大强连通子图就是强连通分量。

    注意:我们一般是在无向图中讨论连通性,在有向图中讨论强连通性

    不知道有没有这样的困惑,既然包含了所有的边,那为什么不叫最大呢?极大本身已经要求包含所有的顶点了,那不就是原图G了吗?

    关键在于,只考虑到了连通图G了,当原图G本身就是个连通图,那么极大连通子图就是原图了,此时也就是最大了。那如果G是非连通的呢?那就导致,上边那个生成极大连通子图的过程走一次,并不能将所有边纳进来,也就是说,一个非连通的图可能会有好几个极大连通子图(其实也就是好几个连通分量),此时也就不是最大了,而是极大。

     

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  • #include #define MAX_VERTEX_NUM 50 using namespace std; typedef char VerType; typedef struct ArcNode //定义弧结点所在位置, { int adj; int info;...=1) cout为非连通,连通分量为"为连通通"; }

    #include

    #define MAX_VERTEX_NUM 50

    using namespace std;

    typedef char VerType;

    typedef struct ArcNode //定义弧结点所在位置,

    {

    int adj;

    int info;

    ArcNode *next;

    }ArcNode;

    typedef struct VerNode //定义顶点(顶点数据,顶点所指向第一条弧的指针)

    {

    VerType data;

    ArcNode *first;

    }VerNode;

    typedef struct AdjList //图的定义

    {

    VerNode VerNodes[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点集

    int verNum,arcNum; //顶点数,弧数

    }AdjList;

    typedef struct Queue //FIFO队列

    {

    int Item[MAX_VERTEX_NUM];

    int front,rear;

    }Queue;

    int visited[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点访问标志数组

    //定位某一结点的位置,找不到返回0

    int LocateGraph(const AdjList *g,const char data)

    {

    for(int i=1;i<=g->verNum;i++)

    {

    if(g->VerNodes[i].data==data)

    return i;

    }

    return 0;

    }

    //初始化队列

    void InitQueue(Queue *Q)

    {

    for(int i=1;i<=MAX_VERTEX_NUM;i++)

    {

    Q->Item[i]=0;

    }

    Q->front=Q->rear=1;

    }

    //创建图的邻接表

    void CreateAdjList(AdjList *g)

    {

    int s,d,weigth;

    char sChar,dChar;

    ArcNode *q=NULL;

    cout<

    cin>>g->verNum>>g->arcNum;

    cout<

    //初始化顶点

    for(int i=1;i<=g->verNum;i++)

    {

    cin>>g->VerNodes[i].data;

    g->VerNodes[i].first=NULL;

    }

    //初始化弧

    for(i=1;i<=g->arcNum;i++)

    {

    cout<

    cin>>sChar>>dChar>>weigth;

    s=LocateGraph(g,sChar);

    d=LocateGraph(g,dChar); //定位该顶点的位置

    q=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));

    q->adj=d;q->info=weigth;

    q->next=g->VerNodes[s].first;

    g->VerNodes[s].first=q;

    }

    }

    //初始化访问标志数组,0为未访问过相应的顶点i

    void InitVisited(AdjList *g)

    {

    for(int i=1;i<=g->verNum;i++)

    {

    visited[i]=0;

    }

    }

    //访问顶点值

    void visit(AdjList *g,int v)

    {

    cout<VerNodes[v].data<

    }

    //广度遍历图从v顶点开始

    void BFS(AdjList *g,int v)

    {

    ArcNode *q=NULL;

    Queue *Q=(Queue *)malloc(sizeof(Queue));

    InitQueue(Q);

    Q->Item[Q->rear]=v;visit(g,v);visited[v]=1;

    Q->rear=(Q->rear+1)%MAX_VERTEX_NUM;

    while(Q->front!=Q->rear) //队列不为空

    {

    v=Q->Item[Q->front]; //取队首元素

    Q->front=(Q->front+1)%MAX_VERTEX_NUM;

    q=g->VerNodes[v].first;

    while(q!=NULL) //同一层上(广度搜索的层)还有其他元素,则访问顶点,入队

    {

    if(!visited[q->adj])

    {

    visit(g,q->adj);

    visited[q->adj]=1;

    Q->Item[Q->rear]=q->adj;

    Q->rear=(Q->rear+1)%MAX_VERTEX_NUM;

    q=q->next;

    }

    }

    }

    }

    //广度遍历图

    int BFSTransfer(AdjList *g)

    {

    int count=0;

    InitVisited(g);

    for(int i=1;i<=g->verNum;i++)

    {

    if(!visited[i])

    {

    BFS(g,i);

    count++;

    }

    }

    return count;

    }

    int main()

    {

    int count;

    AdjList *g=(AdjList*)malloc(sizeof(AdjList));

    CreateAdjList(g);

    if((count=BFSTransfer(g))!=1)

    cout<

    else

    cout<

    return 0;

    }

    展开全文
  • 用邻接表存储结构,编写一个求无向连通分量个数的算法。
  • 这里基于MATLAB图论工具制作输入邻接矩阵,输出连通分量。 输入输出 函数输入为A为邻接矩阵,ng为所含最少智能体个数的连通分量,如ng为2则输出含智能体个数大于等于2的连通分量; 函数输出为输入邻接矩阵对应的...

    这里基于MATLAB图论工具制作输入邻接矩阵,输出连通分量。

    输入输出

    函数输入为A为邻接矩阵,ng为所含最少智能体个数的连通分量,如ng为2则输出含智能体个数大于等于2的连通分量;

    函数输出为输入邻接矩阵对应的连通分量,输出格式为MATLAB元胞数组格式。

    函数

    function CG=CellG(A,ng)                                                    
    G=graph(A);                                                                
    [bin,binsize] = conncomp(G);                                               
    b=find(binsize>=ng);                                                        
    [~,m]=size(b);                                                             
    CG=cell(m,1);
    if m>0
        for i=1:m
            [~,com]=find(bin==b(i));                                           
            CG(i,1)={com};
        end
    end
    end

    例程

    clear;
    close all;
    clc;
    %%
    A   =[0     1     0     0     0;
         1     0     0     0     0;
         0     0     0     1     0;
         0     0     1     0     0;
         0     0     0     0     0];
     
     CG=CellG(A,2);
     
     %%
     function CG=CellG(A,ng)                                                    
    G=graph(A);                                                                
    [bin,binsize] = conncomp(G);                                               
    b=find(binsize>=ng);                                                        
    [~,m]=size(b);                                                             
    CG=cell(m,1);
    if m>0
        for i=1:m
            [~,com]=find(bin==b(i));                                           
            CG(i,1)={com};
        end
    end
    end

    当输入ng=2,可见输出结果CG为:

     当修改ng=1,输出结果CG为:

    展开全文
  • 如果 G 是有向,那么连接 i 和 j 的路径中所有的边都必须同向。如果中任意两点都是连通的,那么被称作连通。如果此是有向,则称为...今天叶子为大家分享的是【连通连通分量与强连通、强连通分量】...

    目录

    什么是连通图?

    什么是连通分量?

    那什么是极大连通子图呢?联想到的极小连通子图又是什么呢?

    强连通图

    强连通分量

    ”强强“在那里—连通图和强连通图的区别?

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    前言

    对连通图的理解

    图论中,连通图基于连通的概念。

    在一个 无向图G 中,若从顶点 i 到顶点 j 有路径相连(当然从j到i也一定有路径),则称i和j是连通的。

    如果 G 是有向图,那么连接 i j 的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。如果此图是有向图,则称为强连通图(注意:需要双向都有路径)。图连通性的是图的基本性质。


    一、什么是连通图?

    连通:在无向图中,若从顶点u到顶点v有路径,则称u和v是连通的。

    图中从⼀个顶点到达另⼀顶点,若存在⾄少⼀条路径,则称这两个顶点是连通着的。例如图 1 中,虽然 V1 和 V3 没有直接关联,但从 V1 到 V3 存在两条路径,分别是 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3,因此称 V1 和 V3 之间是连通的。

      二、什么是连通分量?

    若⽆向图不是连通图,但图中存储某个⼦图符合连通图的性质,则称该⼦图为连通分量
    图中部分顶点和边构成的图为该图的⼀个⼦图,但这⾥的⼦图指的是图中"最⼤"的连通⼦图(也称"极⼤连通⼦图")。

    若无向图为非连通图,则图中各个极大连通子图称为此图的连通分量。

    2.1 、那什么是极大连通子图呢?联想到的极小连通子图又是什么呢?

    1. 首先先明确两个概念,无向图和有向图;其次,明确一个概念极大连通子图,可以存在于无向图中,也可以存在于有向图中;

    2. 但要知道,极小连通子图只存在于连通的无向图中,不存在于不连通的无向图和有向图中

    •  也就是说,极大连通子图和极小连通子图适用条件是不一样的,尽管它们看起来貌似很接近。

    无向图中的极大连通子图

    无向图中的极大连通子图也叫连通分量

    无向图可以分成两种类型:连通的无向图、不连通的无向图

    •  连通的无向图只有一个极大连通子图,即它本身,因为不存在另一个连通的子图包含的点和边比它本身还要多,所以叫作极大连通子图。
    • 不 连通的无向图可以拆分为若干个连通的无向图,如果我们在拆分时注意把能连通的点边都放在一个连通子图中,使这个连通子图足够大,以至于再多包含一个点或边它就变成不连通的了,我们称这个连通子图为极大连通子图,也叫连通分量。

    极小连通子图

    极小连通子图只存在于连通的无向图中,也就是说该图中只有一个连通分量(极大连通子图),之所以说它极小,是因为极小连通子图只要求包含图中所有顶点及其比顶点数量少一个的边(且不能成环),也就是说如果给极小连通子图任意两个顶点间加入一条边,则必有环。

    这里的极大和极小不是指一个意思,不要弄混了,极大连通子图是讨论连通分量的,极小连通子图是讨论生成树的。


    下面举几个图例,让大家看看,深入了解一下连通分量:

    如图 3 所⽰,虽然图 a 中的⽆向图不是连通图,但可以将其分解为 3 个"最⼤⼦图"(图 b ),它们都满⾜连通图的性质,因此都是连通分量。

    看了这么多图例,你学会了吗?能在图中找出连通分量了吗?

    需要注意的是,连通分量的提出是以"整个⽆向图不是连通图"为前提的,因为如果⽆向图是连通图,则其⽆法分解出多个最⼤连通⼦图,因为图中所有的顶点之间都是连通的。


    三、强连通图

    1.  如果一个有向图G,对于其中任意两个顶点v,u,都存在从v到u以及从u到v的有向路径,则称G为强连通图。而在一个不是强连通图的有向图G中,若其中两个顶点u、v在两个方向上都存在有向路径,则称u和v强连通。

    2.  强连通图:在有向图中,若任意两个顶点 均连通(一条有向路径),则称该图是强连通图。

    3.  有向图中,若任意两个顶点 Vi 和 Vj,满⾜从 Vi 到 Vj 以及从 Vj 到 Vi 都连通,也就是都含有⾄少⼀条通路,则称此有向图为强连通图。如图 4 所⽰就是⼀个强连通图。

    四、强连通分量

    1. 在有向图中,如果从任意一个顶点出发,都能通过图中的边到达图中的每一个顶点,则称之为强连通图。一张有向图的顶点数 极大的强连通子图 称为强连通分量。

    2. 而有向图G的极大强连通子图S,即添加任意顶点都会导致S失去强连通的属性,则称S为G的强连通分量。

    3. 强连通分量:有向图中的极大强连通子图强连通图只有一个强连通分量,即其本身

    4. 与此同时,若有向图本⾝不是强连通图,但其包含的 最⼤连通⼦图具有强连通图的性质,则称该⼦图为强连通分量。整个有向图虽不是强连通图,但其含有两个强连通分量。


    ”强强“在那里—连通图和强连通图的区别?

    • 需求不同:强连通图说的是有向图,连通图说的是无向图。连通图只存在于无向图中,而强连通图通常存在于有向图中。
    • 概念不同:
      •  在一幅无向图中,任何两个顶点之间可以相通,则该图就是连通图。
      • 在一幅有向图中,任意两对顶点都可以相通,那么该图就是强连通图。

     可以这样说,连通图是在⽆向图 的基础上对图中顶点之间的连通做了更⾼的要求,⽽强连通图是在有向图 的基础上对图中顶点的连通做了更⾼的要求。


    写到最后

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空空如也

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图的连通分量

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