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  • 2022-04-07 17:06:25

    前言

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    是笔记,可能不全。
    其他没写的章节是因为我考试不考…就没看了。

    概率论

    第一章:随机事件和概率

    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p1-p2 古典概型、几何概型
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p3-4 事件的概率、事件的独立性
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p5-7 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式

    第二章:离散型随机变量

    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p8-10 一维、二维离散型求分布律、二维离散型求边缘分布律
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p11-14 一维、二维离散型求分布函数和期望、方差

    第三章:连续型随机变量

    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p15-16 一、二维连续型求概率
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p17-20 一、二维连续型:已知F,求f;已知f,求f
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p21-23 二维连续型求边缘分布函数和密度函数,已知两个边缘密度函数求f(x,y)
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p24-25 条件概率密度函数、求两个随机变量形成的函数的分布(后者跳过了)
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p26-28 F、f的性质、一、二维连续型求期望、方差

    第四章:常见的分布

    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p29-32 均匀分布、泊松分布、指数分布、几何分布
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p33-35 超几何分布、正态分布、二项分布

    第五章:随机变量的数字特征、极限定理

    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p36-37 协方差、相关系数、不相关、相互独立时的期望和方差
    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p38-40 切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理

    数理统计

    第一章:数理统计基础

    【概率论与数理统计】猴博士 笔记 p41-44 统计量相关小题、三大分布的判定、性质、总体服从正态分布的统计量小题

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  • 概率论知识笔记

    一、随机事件

    随机事件的关系与运算

    1. A ⊂ B A \subset B AB:事件 A A A发生一定导致事件 B B B发生。
    2. A ∩ B A \cap B AB:积事件,当且仅当 A A A B B B同时发生,事件 A B AB AB发生。
    3. A ∪ B A \cup B AB:和事件,当且仅当 A A A B B B中至少有一个发生,事件 A ⋃ B A \bigcup B AB发生。
    4. A − B A - B AB:差事件,当且仅当 A A A发生, B B B不发生时,事件 A − B A - B AB发生。
    5. A ∩ B = ∅ A \cap B = \emptyset AB=:互斥(互不相容)事件,事件 A A A B B B不能同时发生。
    6. A ∪ B = S A \cup B = S AB=S:互逆(对立)事件, A A A的对立事件记为 A ˉ \bar{A} Aˉ
    • 事件的差: A − B = A − A B = A B ˉ A-B=A-AB=A\bar{B} AB=AAB=ABˉ
    • 对立事件: A A ˉ = ∅ A\bar{A} = \emptyset AAˉ= A ∪ A ˉ = ∅ A \cup \bar{A}=\emptyset AAˉ=

    随机事件的运算律

    • 求和运算

      1. 交换律: A + B = B + A A+B=B+A A+B=B+A
      2. 结合律: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A+B)+C=A+(B+C) (A+B)+C=A+(B+C)
    • 求交运算
      1.交换律: A B = B A AB=BA AB=BA

      1. 结合律: ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
    • 混合运算

      1. 第一分配率: A ( B + C ) = ( A B ) + ( A C ) A(B+C)=(AB)+(AC) A(B+C)=(AB)+(AC)
      2. 第二分配率: A + ( B + C ) = ( A + B ) ( A + C ) A+(B+C)=(A+B)(A+C) A+(B+C)=(A+B)(A+C)
    • 德摩根定律
      ( ⋃ n S n ) c = ⋂ n S n c \left(\bigcup_{n} S_{n}\right)^{c} = \bigcap_{n} S_{n}^{c} (nSn)c=nSnc

      ( ⋂ n S n ) c = ⋃ n S n c \left(\bigcap_{n} S_{n}\right)^{c} = \bigcup_{n} S_{n}^{c} (nSn)c=nSnc

    • 对立运算

      1. ( A ‾ ) ‾ = A \overline{(\overline{A})}=A (A)=A(自反律)
      2. A + B ‾ = A ‾ B ‾ \overline{A+B}=\overline{A}\overline{B} A+B=AB(第一对偶率)
      3. A B ‾ = A ‾ + B ‾ \overline{AB}=\overline{A}+\overline{B} AB=A+B(第二对偶律)

    二、概率模型

    概率律

    概率公理

    1. **非负性:**对于一切事件 A A A,满足 P ( A ) ⩾ 0 \mathrm{P}(A) \geqslant 0 P(A)0

    2. **可加性:**设 A A A B B B为两个互不相交的集合,则它们的并满足:
      P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B) P(AB)=P(A)+P(B)
      更一般的,若 A 1 , A 2 , … , A_{1},A_{2},\dots, A1,A2,,是互不相容的事件序列,则它们的并满足:
      P ( A 1 ∪ A 2 ∪ …   ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + … \mathrm{P}(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots)=\mathrm{P}(A_{1})+\mathrm{P}(A_{2})+\dots P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+

    3. 归一化:整个样本空间 Ω \Omega Ω(称为必然事件)的概率为1,即 P ( Ω ) = 1 \mathrm{P}(\Omega)=1 P(Ω)=1

    概率性质

    1. P ( ∅ ) = 0 \mathrm{P}(\emptyset)=0 P()=0
    2. P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) \mathrm{P}(\overline{A})=1-\mathrm{P}(A) P(A)=1P(A)
    3. P ( A − B ) = P ( A ) − P ( B ) \mathrm{P}(A-B)=\mathrm{P}(A)-\mathrm{P}(B) P(AB)=P(A)P(B)
    4. 0 ⩽ P ( A ) ⩽ 1 0\leqslant \mathrm{P}(A) \leqslant 1 0P(A)1
    5. P ( A ∪ B ) = P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − ( A B ) \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A+B) = \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm(AB) P(AB)=P(A+B)=P(A)+P(B)(AB)
      推论: P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) \mathrm{P}(A\cup B\cup C)=\mathrm{P}(A+B+C)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(C)-\mathrm{P}(AB)-\mathrm{P}(AC)-\mathrm{P}(BC)+\mathrm{P}(ABC) P(ABC)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)

    古典概型与几何概型

    古典概型

    有限性:样本空间中样本点有限
    等可能性:每个样本点发生的概率相同
    古典概型
    1. 计算公式: P ( A ) = n m = A 包含的基本事件数 样本空间中的基本事件总数 \mathrm{P}(A)=\frac{n}{m}=\frac{A\text{包含的基本事件数}}{\text{样本空间中的基本事件总数}} P(A)=mn=样本空间中的基本事件总数A包含的基本事件数
    2. 排列组合:
    • A n m = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! A_{n}^{m}=n(n-1)\cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} Anm=n(n1)(nm+1)=(nm)!n!
    • C N n = ( N n ) = N ! n ! ( N − n ) ! C_{N}^{n}=\binom{N}{n}=\frac{N!}{n!(N-n)!} CNn=(nN)=n!(Nn)!N!
    • C n m = A n m A m m = A m m ! = C n n − m C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{A^{m}}{m!}=C_{n}^{n-m} Cnm=AmmAnm=m!Am=Cnnm

    几何概型

    无限性:样本空间中样本点无限且构成一个几何区域
    等可能性:每个样本点发生的概率相同
    几何概型
    1. 计算公式: P ( A ) = L ( A ) L ( Ω ) \mathrm{P}(A)=\frac{L(A)}{L(\Omega)} P(A)=L(Ω)L(A) L ( A ) L(A) L(A) L ( Ω ) L(\Omega) L(Ω)分别表示 A A A Ω \Omega Ω的几何测度,其中测度为长度或面积。

    条件概率

    1. 定义
    • 定义:在事件 A A A已发生的条件下,事件 B B B发生的概率
    • P ( B   ∣   A ) = P ( A B ) P ( A ) \mathrm{P}(B\ |\ A)=\frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(A)} P(B  A)=P(A)P(AB) P ( A ) > 0 \mathrm{P}(A)>0 P(A)>0
    • P ( B ˉ   ∣   A ) = 1 − P ( B   ∣   A ) \mathrm{P}(\bar{B}\ |\ A)=1-\mathrm{P}(B\ | \ A) P(Bˉ  A)=1P(B  A)
    • P ( B   ∣ A ˉ ) = 1 − P ( B ˉ   ∣   A ˉ ) \mathrm{P}(B \ | \bar{A})=1-\mathrm{P}(\bar{B}\ | \ \bar{A}) P(B Aˉ)=1P(Bˉ  Aˉ)
    1. 性质:
      • 非负性: P ( B   ∣   A ) ⩾ 0 \mathrm{P}(B\ | \ A)\geqslant 0 P(B  A)0
      • 规范性: P ( S   ∣   A ) = 1 \mathrm{P}(S \ | \ A)=1 P(S  A)=1
      • 可列可加性:对于任意可数的两两不相容的事件 A 1 , A 2 , . . . , A i A_{1},A_{2},...,A_{i} A1,A2,...,Ai,有 P ( ⋃ i = 1 ∞ A i   ∣   A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i   ∣   A ) \mathrm{P}\left(\bigcup^{\infty}_{i=1}A_{i}\ | \ A\right)=\sum^{\infty}_{i=1}\mathrm{P}\left(A_{i}\ | \ A\right) P(i=1Ai  A)=i=1P(Ai  A)
    2. 乘法公式
    • P ( A B ) = P ( A ) P ( B   ∣   A ) ,   P ( A ) > 0 \mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B\ | \ A),\ \mathrm{P}(A)>0 P(AB)=P(A)P(B  A), P(A)>0
    • P ( A B ) = P ( B ) P ( A   ∣   B ) ,   P ( B ) > 0 \mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(B) \mathrm{P}(A\ | \ B),\ \mathrm{P}(B)>0 P(AB)=P(B)P(A  B), P(B)>0
    • P ( A B C ) = P ( A ) P ( B   ∣   A ) P ( C   ∣   A B ) \mathrm{P}(ABC)=\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B\ | \ A)\mathrm{P}(C\ | \ AB) P(ABC)=P(A)P(B  A)P(C  AB)
    • P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2   ∣   A 1 ) P ( A 3   ∣   A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n   ∣   A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) \mathrm{P}(A_{1}A_{2} \cdots A_{n})=\mathrm{P}(A_{1}) \mathrm{P}(A_{2}\ | \ A_{1})\mathrm{P}(A_{3}\ | \ A_{1}A_{2})\cdots\mathrm{P}(A_{n}\ | \ A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1}) P(A1A2An)=P(A1)P(A2  A1)P(A3  A1A2)P(An  A1A2An1)

    全概率公式与贝叶斯公式

    1. 全概率公式
      • 定理:设试验 E E E的样本空间为S, A A A E E E的事件﹐ B 1 , B 2 , . . . , B n B_{1},B_{2},...,B_{n} B1,B2,...,Bn为S的一个划分,且 P ( B i ) > 0 , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) \mathrm{P}(B_{i})>0,(i=1,2,...,n) P(Bi)>0,(i=1,2,...,n),则 P ( A ) = P ( A   ∣   B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A   ∣   B 2 ) P ( B 2 ) + ⋯ + P ( A   ∣   B n ) P ( B n ) \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A \ | \ B_{1}) \mathrm{P}(B_{1})+\mathrm{P}(A\ | \ B_{2})\mathrm{P}(B_{2)}+\cdots+\mathrm{P}(A\ | \ B_{n})\mathrm{P}(B_{n)} P(A)=P(A  B1)P(B1)+P(A  B2)P(B2)++P(A  Bn)P(Bn)
      • 全概率公式: P ( A ) = ∑ k = 1 n P ( B k ) ⋅ P ( A   ∣   B k ) \mathrm{P}(A)=\sum_{k=1}^{n}\mathrm{P}(B_{k})\cdot\mathrm{P}(A \ | \ B_{k}) P(A)=k=1nP(Bk)P(A  Bk)
    2. 贝叶斯公式: P ( B i   ∣   A ) = P ( A   ∣   B i P ( B i ) ∑ P ( A   ∣   B j ) P ( B j ) = P ( A B i ) P ( A ) ,   o = 1 , 2 , ⋯   , n \mathrm{P}(B_{i} \ | \ A)=\frac{\mathrm{P}(A \ | \ B_{i}\mathrm{P}(B_{i})}{\sum\mathrm{P}(A \ | \ B_{j})\mathrm{P}(B_{j})}=\frac{\mathrm{P}(AB_{i})}{\mathrm{P}(A)},\ o=1,2,\cdots, n P(Bi  A)=P(A  Bj)P(Bj)P(A  BiP(Bi)=P(A)P(ABi), o=1,2,,n
    3. 常用公式:
      • P ( A ) = P ( A   ∣   B ) P ( B ) + P ( A   ∣   B ˉ ) P ( B ˉ ) \mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(A \ | \ B)\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(A \ | \ \bar{B})\mathrm{P}(\bar{B}) P(A)=P(A  B)P(B)+P(A  Bˉ)P(Bˉ)
      • P ( B   ∣   A ) = P ( A B ) P ( A ) = P ( A   ∣   B ) P ( B ) P ( A   B ) P ( B ) + P ( A   ∣   B ˉ ) P ( B ˉ ) \mathrm{P}(B \ | \ A) = \frac{\mathrm{P}(AB)}{\mathrm{P}(A)}=\frac{\mathrm{P}(A \ | \ B)\mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A \ B)\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(A \ | \ \bar{B})\mathrm{P}(\bar{B})} P(B  A)=P(A)P(AB)=P(A B)P(B)+P(A  Bˉ)P(Bˉ)P(A  B)P(B)

    三、事件的独立性与独立重复实验

    事件独立性

    1. 两个事件的独立: P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) \mathrm{P}(AB) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) P(AB)=P(A)P(B)

    2. 有限个事件的独立性

    • 两两独立: P ( A i A j ) = P ( A i ) P ( A j ) \mathrm{P}\left(A_{i} A_{j}\right)=\mathrm{P}\left(A_{i}\right) \mathrm{P}\left(A_{j}\right) P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)
    • 相互独立: P ( A 1 A 2 , … . A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) … P ( A n ) \mathrm{P}\left(A_{1} A_{2}, \ldots . A_{n}\right)=\mathrm{P}\left(A_{1}\right) \mathrm{P}\left(A_{2}\right) \ldots \mathrm{P}\left(A_{n}\right) P(A1A2,.An)=P(A1)P(A2)P(An)
    1. 性质
    • 设A,B是两事件,且 P ( A ) > 0 \mathrm{P}(A)>0 P(A)>0,若A,B相互独立,则 P ( B   ∣   A ) = P ( B ) \mathrm{P}(B \ | \ A)=\mathrm{P}(B) P(B  A)=P(B),反之亦然

    • 概率为0的事件以及概率为1的事件与任意一个事件相互独立

    • 若事件A和B相互独立,则下列各事件也相互独立: A A A B ˉ \bar{B} Bˉ A ˉ \bar{A} Aˉ B B B A ˉ \bar{A} Aˉ B ˉ \bar{B} Bˉ

    • 设A,B,C是三个事件,若满足等式,则称事件A,B,C相互独立:
      P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) \begin{array}{c} P(A B) = P(A) P(B) \\ P(B C) = P(B) P(C) \\ P(A C) = P(A) P(C) \\ P(A B C) = P(A) P(B) P(C) \end{array} P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

    1. 条件独立: P ( A ⋂ B   ∣   C ) = P ( A   ∣   C ) P ( B   ∣   C ) \mathrm{P}(A\bigcap B\ | \ C)=\mathrm{P}(A \ | \ C)\mathrm{P}(B\ | \ C) P(AB  C)=P(A  C)P(B  C)

    独立重复实验和伯努利概型

    1. 伯努利定理:在一次试验中,事件A发生的概率为 p ( 0 < p < 1 ) p(0<p<1) p(0<p<1),则在 n n n重伯努利试验中,事件A恰好发生 k k k次的概率为: b ( k ; n , p ) = c n k p k q n − k b(k ; n, p)=c_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} b(k;n,p)=cnkpkqnk ,其中 q = 1 − p q=1-p q=1p
    2. 在伯努利实验序列中,设每次实验中事件A发生的概率为 p p p ,“事件A在第 k k k次试验中才首次发生” ( k ⩾ 1 ) \left(k\geqslant 1\right) (k1),这一事件的概率为 g ( k , p ) = q k − 1 p g(k, p)=q^{k-1} p g(k,p)=qk1p
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  • 概率论与数理统计复习备考专用,可对课程知识点的快速复习及掌握
  • 文章目录第一章 概率论的基本概念(一) 随机实验(二) 样本空间、随机事件1.样本空间2.随机事件3.事件关系4.运算定律(三)频率概率(四)古典概型1.古典概型特点2.计算公式(五)条件概率1.定义2.乘法定理3.全...

    第一章 概率论的基本概念

    (一) 随机实验

    随机试验特点:
    1°可以在相同的条件下重复地进行
    2°每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;
    3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

    (二) 样本空间、随机事件

    1.样本空间

    对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的所有可能结果组成的集合是已知的,我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点

    2.随机事件

    我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件。

    3.事件关系

    和事件: 事件 A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A\cup{B}=\left\{ x\left| x\in A\text{或}x\in B\left. \right\} \right. \right. AB={xxAxB}称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件AUB发生
    类似地,称 ⋃ k = 1 n A \bigcup_{k=1}^{n}A k=1nA为n个事件A1,A2,…,A。的和事件;称 ⋃ k = 1 ∞ A \bigcup_{k=1}^{\infty}A k=1A为可列个事件A1,A2,…的和事件。

    积事件: 事件 A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A\cap{B}=\left\{ x\left| x\in A\text{且}x\in B\left. \right\} \right. \right. AB={xxAxB}称为事件A与事件B的积事件。当且仅A,B中同时发生时,事件A∩B发生。也记作AB。
    类似的:略

    差事件: 事件 A − B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B } A-{B}=\left\{ x\left| x\in A\text{且}x\notin B\left. \right\} \right. \right. AB={xxAx/B}称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生。

    4.运算定律

    交换律: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A\cup B=B\cup A \quad A\cap B=B\cap A AB=BAAB=BA
    结合律: A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A\cup \left(B\cup C\right)=\left(A\cup B\right)\cup C\quad A\cap \left(B\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\cap C A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C
    分配律: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right) \quad A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right) A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)
    德摩根律: A ∪ B ‾ = A ‾ ∩ B ‾ A ∩ B ‾ = A ‾ ∪ B ‾ \overline{A\cup B}=\overline A \cap \overline B \quad\overline{A\cap B}=\overline A \cup \overline B AB=ABAB=AB

    (三)频率与概率

    概率性质
    1. P ( ∅ ) = 0 P(\emptyset)=0 P()=0
    2.有限可加性:A1,A2,…,An互不相容,则
    P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ⋯ + P ( A n ) \quad P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n) P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)++P(An)
    3.设 A ⊂ B A\subset B AB P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A ) P ( B ) ≥ P ( A ) P(B-A)=P(B)-P(A) \quad P(B)≥P(A) P(BA)=P(B)P(A)P(B)P(A)
    5.加法公式: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)(奇加偶减)

    (四)古典概型

    1.古典概型特点

    1°试验的样本空间只包含有限个元素;
    2°试验中每个基本事件发生的可能性相同
    具有以上两个特点的试验是大量存在的这种试验称为等可能概型,也称古典概型

    2.计算公式

    若事件A包含k个基本事件,即 A = { e i 1 } ∪ { e i 2 } ∪ ⋯ { e i k } A=\left\{e_{i1}\right\}\cup\left\{e_{i2}\right\}\cup \cdots \left\{e_{ik}\right\} A={ei1}{ei2}{eik}则有
    P ( A ) = ∑ j = 1 k P ( { e i j } = k n = A 包 含 的 基 本 事 件 数 S 中 基 本 事 件 的 总 数 P(A)=\sum_{j=1}^kP(\left\{e_{ij}\right\}=\frac{k}{n}=\frac{A包含的基本事件数}{S中基本事件的总数} P(A)=j=1kP({eij}=nk=SA

    (五)条件概率

    1.定义

    A , B A, B A,B 是两个事件,且 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0, 称
    P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)} P(BA)=P(A)P(AB)为在事件 A A A 发生的条件下事件 B B B 发生的条件概率.

    2.乘法定理

    乘法定理 设 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0, 则有
    P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(A B)=P(B \mid A) P(A) P(AB)=P(BA)P(A)
    称为乘法公式.
    一般,设 A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} A1,A2,,An n n n 个事件, n ⩾ 2 n \geqslant 2 n2, 且 P ( A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) > 0 P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n-1}\right)>0 P(A1A2An1)>0,则有
    P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) P ( A n − 1 ∣ A 1 A 2 ⋯ A n − 2 ) ⋯ P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 1 ) P\left(A_{1} A_{2} \cdots A_{n}\right)=P\left(A_{n} \mid A_{1} A_{2} \cdots A_{n-1}\right) P\left(A_{n-1} \mid A_{1} A_{2} \cdots A_{n-2}\right) \cdots P\left(A_{2} \mid A_{1}\right) P\left(A_{1}\right) P(A1A2An)=P(AnA1A2An1)P(An1A1A2An2)P(A2A1)P(A1)

    3.全概率公式与贝叶斯公式

    划分的定义
    S S S 为试验 E E E 的样本空间, B 1 , B 2 , ⋯   , B n B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n} B1,B2,,Bn E E E 的一组事件. 若
    (i) B i B j = ∅ , i ≠ j , i , j = 1 , 2 , ⋯   , n B_{i} B_{j}=\varnothing, i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n BiBj=,i=j,i,j=1,2,,n
    (ii) B 1 ∪ B 2 ∪ ⋯ ∪ B n = S B_{1} \cup B_{2} \cup \cdots \cup B_{n}=S B1B2Bn=S
    则称 B 1 , B 2 , ⋯   , B n B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n} B1,B2,,Bn 为样本空间 S S S 的一个划分

    全概率公式
    设试验 E E E 的样本空间为 S , A S, A S,A E E E 的事件, B 1 , B 2 , ⋯   , B n B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n} B1,B2,,Bn S S S 的一 个划分, 且 P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) P\left(B_{i}\right)>0(i=1,2, \cdots, n) P(Bi)>0(i=1,2,,n), 则
    P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + ⋯ + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) \begin{aligned} P(A)=& P\left(A \mid B_{1}\right) P\left(B_{1}\right)+P\left(A \mid B_{2}\right) P\left(B_{2}\right)+\cdots+\\ & P\left(A \mid B_{n}\right) P\left(B_{n}\right) \end{aligned} P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)++P(ABn)P(Bn)
    称为全概率公式

    贝叶斯公式
    设试验 E E E 的样本空间为 S . A S . A S.A E E E 的事件, B 1 , B 2 , ⋯   , B n B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{n} B1,B2,,Bn S S S 的一 个划分,且 P ( A ) > 0 , P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) P(A)>0, P\left(B_{i}\right)>0(i=1,2, \cdots, n) P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,,n), 则
    P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ j = 1 n P ( A ∣ B j ) P ( B j ) , i = 1 , 2 , ⋯   , n P\left(B_{i} \mid A\right)=\frac{P\left(A \mid B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{n} P\left(A \mid B_{j}\right) P\left(B_{j}\right)}, \quad i=1,2, \cdots, n P(BiA)=j=1nP(ABj)P(Bj)P(ABi)P(Bi),i=1,2,,n
    称为贝叶斯(Bayes)公式

    (六)独立性

    1.定义

    设A,B是两事件,如果满足等式
    P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A) P(B) P(AB)=P(A)P(B)
    则称事件A,B相互独立,简称A,B独立

    2.定理

    1.设A,B是两事件,且P(A)>0.若A,B相互独立,则 P ( B ∣ A ) = P ( B ) P(B\mid A)=P(B) P(BA)=P(B)反之亦然

    2.若事件A与B相互独立,则下列各对事件也相互独立
    A ˉ 与 B , A 与 B ˉ , A ˉ 与 B ˉ \bar A与B,A与\bar B,\bar A与\bar B AˉB,ABˉ,AˉBˉ

    3.推广与推论

    独立定义推广
    A , B , C A, B, C A,B,C 是三个事件,如果满足等式
    P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) } \left.\begin{array}{l} P(A B)=P(A) P(B) \\ P(B C)=P(B) P(C) \\ P(A C)=P(A) P(C) \\ P(A B C)=P(A) P(B) P(C) \end{array}\right\} P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
    则称事件 A , B , C A, B, C A,B,C 相互独立.
    一般,设 A 1 , A 2 , ⋯   , A n A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} A1,A2,,An n ( n ⩾ 2 ) n(n \geqslant 2) n(n2) 个事件,如果对于其中任意 2 个,任意 3 个, ⋯ \cdots , 任意 n n n 个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积,则称事件 A 1 A_{1} A1, A 2 , ⋯   , A n A_{2}, \cdots, A_{n} A2,,An 相互独立。

    推论
    1.若事件 A 1 , A 2 , … , A n ( n ≥ 2 ) A_1,A_2,…,A_n(n≥2) A1,A2,,An(n2)相互独立,则其中任意 k ( 2 ≤ k ≤ n ) k(2≤k≤n) k(2kn)个事件也
    是相互独立的
    2.若n个事件 A 1 , A 2 , … , A n ( n ≥ 2 ) A_1,A_2,…,A_n(n≥2) A1,A2,,An(n2)相互独立,则将 A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,…,A_n A1,A2,,An中任意多
    个事件换成它们各自的对立事件,所得的n个事件仍相互独立

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  • 6.1 总体样本 总体:全体 10万人 ​ 个体 ​ 有限总体、无限总体 X 总体分布 样本:抽样 (X1,...,Xn),(x1,...,xn)变量—————观测值(X_1,...,X_n),(x_1,...,x_n)\\变量—————观测值(X1​,...,Xn​),(x1...

    6.1 总体与样本

    总体:全体 10万人

    ​ 个体

    ​ 有限总体、无限总体

    X 总体分布

    样本:抽样 ( X 1 , . . . , X n ) , ( x 1 , . . . , x n ) 变 量 — — — — — 观 测 值 (X_1,...,X_n),(x_1,...,x_n)\\变量—————观测值 (X1,...,Xn),(x1,...,xn)

    简单随机抽样

    (1)同分布

    (2)相互独立

    样本的分布 ( X 1 , . . . , X n ) F ( x 1 , . . . , x n ) = F ( x 1 ) . . . F ( x n ) P ( X 1 = x 1 , . . . , X n = x n ) = P ( X 1 = x 1 ) . . . P ( X 1 = x 1 ) f ( x 1 . . . x n ) = f ( x 1 ) . . . f ( x n ) (X_1,...,X_n)\\F(x_1,...,x_n)=F(x_1)...F(x_n)\\P(X_1=x_1,...,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)...P(X_1=x_1)\\f(x_1...x_n)=f(x_1)...f(x_n) (X1,...,Xn)F(x1,...,xn)=F(x1)...F(xn)P(X1=x1,...,Xn=xn)=P(X1=x1)...P(X1=x1)f(x1...xn)=f(x1)...f(xn)

    例:

    X 服 从 0 − 1 分 布 , 概 率 为 P , ( X 1 , . . . , X n ) 为 样 本 , P ( X = x ) = P x ( 1 − P ) 1 − x , x = 0 , 1 P ( X 1 = x 1 , . . . , X n = x n ) = P ( X 1 = x 1 ) . . . P ( X n = x n ) = P x 1 ( 1 − P ) 1 − x 1 . . . P x n ( 1 − P ) 1 − x n = P x 1 + . . . + x n ( 1 − P ) n − ( x 1 + . . . x n ) X服从0-1分布,概率为P,(X_1,...,X_n)为样本,P(X=x)=P^x(1-P)^{1-x},x=0,1\\P(X_1=x_1,...,X_n=x_n)\\=P(X_1=x_1)...P(X_n=x_n)\\=P^{x_1}(1-P)^{1-x_1}...P^{x_n}(1-P)^{1-x_n}\\=P^{x_1+...+x_n}(1-P)^{n-(x_1+...x_n)} X01P,(X1,...,Xn),P(X=x)=Px(1P)1x,x=0,1P(X1=x1,...,Xn=xn)=P(X1=x1)...P(Xn=xn)=Px1(1P)1x1...Pxn(1P)1xn=Px1+...+xn(1P)n(x1+...xn)

    6.2.1 统计量的定义

    不含任何未知参数的样本的函数

    是统计量: X 1 + X 2 + . . . + X n , X 1 2 + X 2 2 + . . . + X n 2 , m a x ∣ X 1 ∣ , . . . , ∣ X n ∣ , X 1 等 等 X_1+X_2+...+X_n,X_1^2+X_2^2+...+X_n^2,max{|X_1|,...,|X_n|},X_1等等 X1+X2+...+Xn,X12+X22+...+Xn2,maxX1,...,Xn,X1

    不是统计量: N ( μ , σ 2 ) , μ , σ 未 知 ( X 1 − μ ) 2 + . . . + ( X n − μ ) 2 1 n σ 2 ( X 1 + . . . + X n ) N(\mu,\sigma^2),\mu,\sigma未知\\(X_1-\mu)^2+...+(X_n-\mu)^2\\\frac{1}{n\sigma^2}(X_1+...+X_n) N(μ,σ2),μ,σ(X1μ)2+...+(Xnμ)2nσ21(X1+...+Xn)

    6.2.2 常用统计量

    设样本 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) (X_1,X_2,...,X_n) (X1,X2,...,Xn)来自总体 X 1 X_1 X1,即有

    样本均值: X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i Xˉ=n1i=1nXi

    未修正的样本方差: S 0 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S_0^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 S02=n11i=1n(XiXˉ)2

    修正的样本方差: S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 S2=n11i=1n(XiXˉ)2

    S 2 = n n − 1 S 0 2 S^2=\frac{n}{n-1}S_0^2 S2=n1nS02

    样本标准差: S = S = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S=\sqrt S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2} S=S =n11i=1n(XiXˉ)2

    样本 k k k阶原点矩: A k = 1 n ∑ i = 1 n X i k A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k Ak=n1i=1nXik ,一阶原点矩就是它的均值

    样本 k k k阶中心矩: B k = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) k B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^k Bk=n1i=1n(XiXˉ)k ,二阶中心矩就是未修正的方差

    协方差: S 12 = 1 n ∑ ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) , R = S 12 S 1 S 2 , S 1 S 2 是 标 准 差 S_{12}=\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y),R=\frac{S_{12}}{S_1S_2},S_1S_2是标准差 S12=n1(XiXˉ)(YiYˉ),R=S1S2S12,S1S2

    样本均值和样本方差的性质:

    定理:设总体X的均值为 E X = μ EX=\mu EX=μ,方差为 D X = σ 2 DX=\sigma^2 DX=σ2,样本(X_1,X_2,…,X_n)来自总体X,则

    (1) E X ˉ = μ E\bar X=\mu EXˉ=μ

    (2) D X ˉ = 1 n σ 2 D\bar X=\frac{1}{n}\sigma^2 DXˉ=n1σ2

    (3) E ( S 2 ) = σ 2 E(S^2)=\sigma^2 E(S2)=σ2

    6.3.1 抽样分布

    构造的统计量的分布

    卡方分布 ( χ 2 分 布 ) (\chi^2分布) (χ2)

    χ 2 ( n ) , n 为 自 由 度 ( 参 数 ) \chi^2(n),n为自由度(参数) χ2(n),n()

    在这里插入图片描述

    1) χ 2 ( 2 ) 是 λ = 2 的 指 数 分 布 \chi^2(2)是\lambda=2的指数分布 χ2(2)λ=2

    2)单峰曲线:函数在 n − 2 时 取 最 大 值 , 图 像 不 对 称 , n 增 大 , 峰 向 越 右 移 动 越 对 称 , n 很 大 时 可 用 正 态 分 布 近 似 n-2时取最大值,图像不对称,n增大,峰向越右移动越对称,n很大时可用正态分布近似 n2nn

    定理6.2 X 1 , . . . , X n 相 互 独 立 , N ( 0 , 1 ) , ∑ i = 1 n x i 2 ∼ χ 2 ( n ) X_1,...,X_n相互独立,N(0,1),\sum_{i=1}^{n}x_i^2\sim\chi^2(n) X1,...,XnN(0,1),i=1nxi2χ2(n),(标准正态分布取平方后的和为卡方分布)

    E X = n , D X = 2 n EX=n,DX=2n EX=n,DX=2n

    由中心极限定理可知, X ∼ χ 2 ( n ) , n 充 分 大 时 , X − n 2 n ∼ 近 似 N ( 0 , 1 ) X\sim \chi^2(n),n充分大时,\frac{X-n}{\sqrt{2n}}\sim_{近似}N(0,1) Xχ2(n),n2n XnN(0,1)

    定理6.3 X ∼ χ 2 ( n ) , Y ∼ χ 2 ( m ) , X 、 Y 相 互 独 立 , X + Y ∼ χ 2 ( m + n ) X\sim \chi^2(n),Y\sim\chi^2(m),X、Y相互独立,X+Y\sim\chi^2(m+n) Xχ2(n),Yχ2(m),XY,X+Yχ2(m+n)

    推论: X i ∼ χ 2 ( m i ) , x i 之 间 相 互 独 立 , ∑ i = 1 n X i ∼ χ 2 ( ∑ i = 1 n m i ) X_i\sim\chi^2(m_i),x_i之间相互独立,\sum_{i=1}^{n}X_i\sim\chi^2(\sum_{i=1}^{n}m_i) Xiχ2(mi),xi,i=1nXiχ2(i=1nmi)

    α \alpha α分位数: P ( χ 2 > χ α 2 ( n ) ) = α P\big(\chi^2>\chi_{\alpha}^2(n)\big)=\alpha P(χ2>χα2(n))=α

    例:已知 X ∼ χ 2 ( 10 ) , P ( X > a ) = 0.025 , P ( X < b ) = 0.05 , 求 a 和 b X\sim\chi^2(10),P(X>a)=0.025,P(X<b)=0.05,求a和b Xχ2(10),P(X>a)=0.025,P(X<b)=0.05,ab

    χ 0.025 2 ( 10 ) = 20.5 = a \chi^2_{0.025}(10)=20.5=a χ0.0252(10)=20.5=a

    P ( X < b ) = 1 − P ( X ≥ b ) = 0.05 P ( X ≥ b ) = 0.95 b = χ 0.95 2 ( 10 ) = 3.94 P(X<b)=1-P(X\geq b)=0.05\\P(X\geq b)=0.95\\b=\chi^2_{0.95}(10)=3.94 P(X<b)=1P(Xb)=0.05P(Xb)=0.95b=χ0.952(10)=3.94

    例: X 1 , . . . , X 6 , N ( 0 , 4 ) , 求 P ( ∑ i = 1 6 x i 2 > 6.54 ) X_1,...,X_6,N(0,4),求P(\sum_{i=1}^{6}x_i^2>6.54) X1,...,X6,N(0,4),P(i=16xi2>6.54)

    X i ∼ N ( 0 , 4 ) ↓ 标 准 化 ↓ X i − 0 2 ∼ N ( 0 , 1 ) , ∑ i = 1 6 ( x i 2 ) 2 ∼ χ 2 ( 6 ) P ( ∑ i = 1 6 x i 2 4 > 6.54 4 ) = P ( χ 2 ( 6 ) > 1.635 ) = 0.95 X_i\sim N(0,4)\\↓标准化↓\\\frac{X_i-0}{2}\sim N(0,1),\sum_{i=1}^{6}(\frac{x_i}{2})^2\sim\chi^2(6)\\P(\frac{\sum_{i=1}^{6}x_i^2}{4}>\frac{6.54}{4})=P(\chi^2(6)>1.635)=0.95 XiN(0,4)2Xi0N(0,1),i=16(2xi)2χ2(6)P(4i=16xi2>46.54)=P(χ2(6)>1.635)=0.95

    t分布 X ∼ t ( n ) X\sim t(n) Xt(n)

    在这里插入图片描述

    n ≥ 30 , t 分 布 图 像 与 正 态 分 布 区 别 很 小 n\geq30,t分布图像与正态分布区别很小 n30,t

    定理6.4 X ∼ N ( 0 , 1 ) 、 Y ∼ χ 2 ( n ) , X 、 Y 相 互 独 立 , X Y / n ∼ t ( n ) X\sim N(0,1)、Y\sim \chi^2(n),X、Y相互独立,\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) XN(0,1)Yχ2(n)XYY/n Xt(n)

    P ( T > t α ( n ) ) = α t 1 − α ( n ) = − t α ( n ) P(T>t_{\alpha}(n))=\alpha\\t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n) P(T>tα(n))=αt1α(n)=tα(n)

    例: X ∼ N ( 2 , 1 ) , Y 1 , . . . , Y 4 , N ( 0 , 4 ) , 彼 此 独 立 , T = 4 ( X − 2 ) ∑ i = 1 4 Y i 2 , P ( ∣ T ∣ > t 0 ) = 0.01 X\sim N(2,1),Y_1,...,Y_4,N(0,4),彼此独立,T=\frac{4(X-2)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}}Y_{i}^{2}},P(|T|>t_0)=0.01 XN(2,1),Y1,...,Y4,N(0,4),,T=i=14 Yi24(X2),P(T>t0)=0.01

    X − 2 1 ∼ N ( 0 , 1 ) , Y i − 0 2 ∼ N ( 0 , 1 ) ∑ i = 1 4 ( Y i 2 ) 2 ∼ χ 2 ( 4 ) , X − 2 1 ∑ i = 1 4 ( Y i 2 ) 2 / 4 = 4 ( X − 2 ) ∑ i = 1 4 Y i 2 ∼ t ( 4 ) \frac{X-2}{1}\sim N(0,1),\frac{Y_i-0}{2}\sim N(0,1)\\\sum_{i=1}^{4}(\frac{Y_i}{2})^2\sim\chi^2(4),\frac{\frac{X-2}{1}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}(\frac{Y_i}{2})^2/4}}=\frac{4(X-2)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{4}Y_i^2}}\sim t(4) 1X2N(0,1),2Yi0N(0,1)i=14(2Yi)2χ2(4),i=14(2Yi)2/4 1X2=i=14Yi2 4(X2)t(4)

    P ( T > t 0 ) = 0.01 / 2 = 0.005 t 0 = 4.604 P(T>t_0)=0.01/2=0.005\\t_0=4.604 P(T>t0)=0.01/2=0.005t0=4.604

    F分布 F ( n 1 , n 2 ) F(n_1,n_2) F(n1,n2)

    在这里插入图片描述

    定理6.5 X ∼ χ 2 ( n 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n 2 ) , X 、 Y 相 互 独 立 , X / n 1 Y / n 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) X\sim \chi^2(n_1),Y\sim\chi^2(n_2),X、Y相互独立,\frac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F(n_1,n_2) Xχ2(n1),Yχ2(n2),XY,Y/n2X/n1F(n1,n2)

    F ∼ F ( n 1 , n 2 ) , 则 1 F ∼ F ( n 2 , n 1 ) F\sim F(n_1,n_2),则\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1) FF(n1,n2)F1F(n2,n1)

    例: X 1 , . . . , X 6 , N ( 0 , σ 2 ) , 求 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 X_1,...,X_6,N(0,\sigma^2),求\frac{2(x_1^2+x_2^2)}{x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2} X1,...,X6N(0,σ2),x32+x42+x52+x622(x12+x22)

    x i − 0 σ ∼ N ( 0 , 1 ) x 1 2 σ 2 + x 2 2 σ 2 ∼ χ 2 ( 2 ) x 3 2 σ 2 + x 4 2 σ 2 + x 5 2 σ 2 + x 6 2 σ 2 ∼ χ 2 ( 4 ) \frac{x_i-0}{\sigma}\sim N(0,1)\\\frac{x_1^2}{\sigma^2}+\frac{x_2^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(2)\\\frac{x_3^2}{\sigma^2}+\frac{x_4^2}{\sigma^2}+\frac{x_5^2}{\sigma^2}+\frac{x_6^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(4) σxi0N(0,1)σ2x12+σ2x22χ2(2)σ2x32+σ2x42+σ2x52+σ2x62χ2(4)

    ( x 1 2 σ 2 + x 2 2 σ 2 ) / 2 ( x 3 2 σ 2 + x 4 2 σ 2 + x 5 2 σ 2 + x 6 2 σ 2 ) / 4 = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 ∼ F ( 2 , 4 ) \frac{(\frac{x_1^2}{\sigma^2}+\frac{x_2^2}{\sigma^2})/2}{(\frac{x_3^2}{\sigma^2}+\frac{x_4^2}{\sigma^2}+\frac{x_5^2}{\sigma^2}+\frac{x_6^2}{\sigma^2})/4}=\frac{2(x_1^2+x_2^2)}{x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2}\sim F(2,4) (σ2x32+σ2x42+σ2x52+σ2x62)/4(σ2x12+σ2x22)/2=x32+x42+x52+x622(x12+x22)F(2,4)

    P ( F > F α ( n 1 , n 2 ) ) = α P(F>F_{\alpha}(n_1,n_2))=\alpha P(F>Fα(n1,n2))=α

    F 1 − α ( n 1 , n 2 ) = 1 F α ( n 2 , n 1 ) F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha}(n_2,n_1)} F1α(n1,n2)=Fα(n2,n1)1

    F ∼ F ( n 1 , n 2 ) , 1 F ∼ F ( n 2 , n 1 ) F\sim F(n_1,n_2),\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1) FF(n1,n2),F1F(n2,n1)

    1 − α = P ( F > F 1 − α ( n 1 , n 2 ) ) = P ( 1 F < 1 F 1 − α ( n 1 , n 2 ) ) = 1 − P ( 1 F ≥ 1 F 1 − α ( n 1 , n 2 ) ) P ( 1 F ≥ 1 F 1 − α ( n 1 , n 2 ) ) = α 1-\alpha=P(F>F_{1-\alpha}(n_1,n_2))=P(\frac{1}{F}<\frac{1}{F_{1-\alpha}(n_1,n_2)})=1-P(\frac{1}{F}\geq\frac{1}{F_{1-\alpha}(n_1,n_2)})\\P(\frac{1}{F}\geq\frac{1}{F_{1-\alpha}(n_1,n_2)})=\alpha 1α=P(F>F1α(n1,n2))=P(F1<F1α(n1,n2)1)=1P(F1F1α(n1,n2)1)P(F1F1α(n1,n2)1)=α

    F α ( n 2 , n 1 ) = 1 F 1 − α ( n 1 , n 2 ) F_{\alpha}(n_2,n_1)=\frac{1}{F_{1-\alpha}(n_1,n_2)} Fα(n2,n1)=F1α(n1,n2)1

    例: F ∼ F ( 10 , 15 ) , λ 1 , λ 2 , P ( F > λ 1 ) = 0.01 , P ( F ≤ λ 2 ) = 0.01 F\sim F(10,15),\lambda_1,\lambda_2,P(F>\lambda_1)=0.01,P(F\leq\lambda_2)=0.01 FF(10,15),λ1,λ2,P(F>λ1)=0.01,P(Fλ2)=0.01

    λ 1 = F 0.01 ( 10 , 15 ) = 3.8 P ( F < λ 2 ) = 1 − P ( F > λ 2 ) = 0.01 \lambda_1=F_{0.01}(10,15)=3.8\\P(F<\lambda_2)=1-P(F>\lambda_2)=0.01 λ1=F0.01(10,15)=3.8P(F<λ2)=1P(F>λ2)=0.01

    P ( F ≤ λ 2 ) = P ( 1 F ≥ 1 λ 2 ) = 0.01 1 F ∼ F ( 15 , 10 ) λ 2 = 0.293 P(F\leq\lambda_2)=P(\frac{1}{F}\geq\frac{1}{\lambda_2})=0.01\\\frac{1}{F}\sim F(15,10)\\\lambda_2=0.293 P(Fλ2)=P(F1λ21)=0.01F1F(15,10)λ2=0.293

    6.3.2 正态总体下的抽样分布

    总体是正态分布,从中抽样本,构造出的统计量的分布?

    定理6.6:一个正态总体: X ∼ N ( μ , σ 2 ) , { X 1 , . . . , X n } 样 本 , X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i , S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X 1 − X ˉ ) 2 X\sim N(\mu,\sigma^2),\{X_1,...,X_n\}样本,\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_1-\bar X)^2 XN(μ,σ2),{X1,...,Xn},Xˉ=n1i=1nXi,S2=n11i=1n(X1Xˉ)2

    (1) X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) , X ˉ − μ σ n = X ˉ − μ σ n ∼ N ( 0 , 1 ) \bar X\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}),\frac{\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}=\frac{\bar X-\mu}{\sigma}\sqrt n\sim N(0,1) XˉN(μ,nσ2),n σXˉμ=σXˉμn N(0,1)

    E ( X ˉ ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) = 1 n n μ E(\bar X)=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}n\mu E(Xˉ)=E(n1i=1nXi)=n1i=1nE(Xi)=n1nμ

    D ( X ˉ ) = D ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n 2 ∑ i = 1 n D ( X i ) = 1 n 2 n σ 2 = σ 2 n D(\bar X)=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n} D(Xˉ)=D(n1i=1nXi)=n21i=1nD(Xi)=n21nσ2=nσ2

    (2) ( n − 1 ) S 2 σ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\sim \chi^2(n-1) σ2(n1)S2=σ21i=1n(XiXˉ)2χ2(n1)←这里自由度是n-1,因为 X ˉ \bar X Xˉ是样本均值, μ \mu μ是总体期望

    (3) X ˉ 与 S 2 独 立 \bar X与S^2独立 XˉS2

    定理6.7

    (1) 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n) σ21i=1n(Xiμ)2χ2(n)

    将上式中的 1 σ 2 \frac{1}{\sigma^2} σ21提到求和符号中得 ∑ i = 1 n ( X i − μ σ ) 2 \sum_{i=1}^{n}(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2 i=1n(σXiμ)2,求和符号中即为一次标准化过程,又因为标准正态分布取平方后的和为卡方分布

    (2) X ˉ − μ S n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\bar X-\mu}{S}\sqrt{n}\sim t(n-1) SXˉμn t(n1)

    X ˉ − μ σ n , ( n − 1 ) S 2 σ 2 \frac{\bar X-\mu}{\sigma}\sqrt n ,\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} σXˉμn ,σ2(n1)S2

    定理6.8:两个正态总体:

    X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) , { X 1 , . . . , X n 1 } 是 第 一 个 正 态 总 体 分 布 的 样 本 , { Y 1 , . . . , Y n 2 } 是 第 二 个 正 态 总 体 分 布 的 样 本 X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),\{X_1,...,X_{n_1}\}是第一个正态总体分布的样本,\\\{Y_1,...,Y_{n_2}\}是第二个正态总体分布的样本 XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22),{X1,...,Xn1},{Y1,...,Yn2}

    (1) ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\sim N(0,1) n1σ12 +n2σ22(XˉYˉ)(μ1μ2)N(0,1)

    (2) S 1 2 / σ 2 S 2 2 / σ 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{S_1^2/\sigma^2}{S_2^2/\sigma^2}\sim F(n_1-1,n_2-1) S22/σ2S12/σ2F(n11,n21)

    ( n 1 − 1 ) S 1 2 σ 1 2 ∼ χ 2 ( n 1 − 1 ) ( n 2 − 1 ) S 2 2 σ 2 2 ∼ χ 2 ( n 2 − 1 ) ( n 1 − 1 ) S 1 2 σ 1 2 / ( n 1 − 1 ) ( n 2 − 1 ) S 2 2 σ 2 2 / ( n 2 − 1 ) ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}\sim \chi^2(n_1-1)\\\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}\sim \chi^2(n_2-1)\\\frac{\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}/(n_1-1)}{\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}/(n_2-1)}\sim F(n_1-1,n_2-1) σ12(n11)S12χ2(n11)σ22(n21)S22χ2(n21)σ22(n21)S22/(n21)σ12(n11)S12/(n11)F(n11,n21)

    (3)当 σ 1 2 = σ 2 2 = σ \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma σ12=σ22=σ时, T = ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) T=\frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2) T