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  • 累积概率分布函数
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    2021-08-02 11:45:12

    概率密度函数

    函数名 对应分布的概率密度函数
    betapdf 贝塔分布的概率密度函数
    binopdf 二项分布的概率密度函数
    chi2pdf 卡方分布的概率密度函数
    exppdf 指数分布的概率密度函数

    evpdf 最大值型的极值I型分布(Gumbel分布)
    fpdf f分布的概率密度函数
    gampdf 伽玛分布的概率密度函数
    geopdf 几何分布的概率密度函数
    hygepdf 超几何分布的概率密度函数
    normpdf 正态(高斯)分布的概率密度函数
    lognpdf 对数正态分布的概率密度函数
    nbinpdf 负二项分布的概率密度函数
    ncfpdf 非中心f分布的概率密度函数
    nctpdf 非中心t分布的概率密度函数
    ncx2pdf 非中心卡方分布的概率密度函数
    poisspdf 泊松分布的概率密度函数
    raylpdf 雷利分布的概率密度函数
    tpdf 学生氏t分布的概率密度函数
    unidpdf 离散均匀分布的概率密度函数
    unifpdf 连续均匀分布的概率密度函数
    weibpdf 威布尔分布的概率密度函数

    **

    累积分布函数

    函数名 对应分布的累积函数
    betacdf 贝塔分布的累积函数
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    normcdf 正态(高斯)分布的累积函数
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    raylcdf 雷利分布的累积函数
    tcdf 学生氏t分布的累积函数
    unidcdf 离散均匀分布的累积函数
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    累积分布函数的逆函数

    函数名 对应分布的累积分布函数逆函数
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    ncfinv 非中心f分布的累积分布函数逆函数
    nctinv 非中心t分布的累积分布函数逆函数
    ncx2inv 非中心卡方分布的累积分布函数逆函数
    icdf
    norminv 正态(高斯)分布的累积分布函数逆函数
    poissinv 泊松分布的累积分布函数逆函数
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    最近有个期权项目,计算理论价时需要使用标准正态分布变量的累积概率分布函数,excel中可以通过normsdist函数得到该结果,但是项目不考虑调用excel公式,于是只能用java来实现这个公式。

    先是考虑把正态分布的那张表搞到程序中,通过查表的方式,小数点三位后面多出来的值使用公式来计算,代码如下

    private static double[][] normdist = {

    {0.5,0.504,0.508,0.512,0.516,0.5199,0.5239,0.5279,0.5319,0.5359},

    {0.5398,0.5438,0.5478,0.5517,0.5557,0.5596,0.5636,0.5675,0.5714,0.5753},

    {0.5793,0.5832,0.5871,0.591,0.5948,0.5987,0.6026,0.6064,0.6103,0.6141},

    {0.6179,0.6217,0.6255,0.6293,0.6331,0.6368,0.6406,0.6443,0.648,0.6517},

    {0.6554,0.6591,0.6628,0.6664,0.67,0.6736,0.6772,0.6808,0.6844,0.6879},

    {0.6915,0.695,0.6985,0.7019,0.7054,0.7088,0.7123,0.7157,0.719,0.7224},

    {0.7257,0.7291,0.7324,0.7357,0.7389,0.7422,0.7454,0.7486,0.7517,0.7549},

    {0.758,0.7611,0.7642,0.7673,0.7703,0.7734,0.7764,0.7794,0.7823,0.7852},

    {0.7881,0.791,0.7939,0.7967,0.7995,0.8023,0.8051,0.8078,0.8106,0.8133},

    {0.8159,0.8186,0.8212,0.8238,0.8264,0.8289,0.8315,0.834,0.8365,0.8389},

    {0.8413,0.8438,0.8461,0.8485,0.8508,0.8531,0.8554,0.8577,0.8599,0.8621},

    {0.8643,0.8665,0.8686,0.8708,0.8729,0.8749,0.877,0.879,0.881,0.883},

    {0.8849,0.8869,0.8888,0.8907,0.8925,0.8944,0.8962,0.898,0.8997,0.9015},

    {0.9032,0.9049,0.9066,0.9082,0.9099,0.9115,0.9131,0.9147,0.9162,0.9177},

    {0.9192,0.9207,0.9222,0.9236,0.9251,0.9265,0.9278,0.9292,0.9306,0.9319},

    {0.9332,0.9345,0.9357,0.937,0.9382,0.9394,0.9406,0.9418,0.943,0.9441},

    {0.9452,0.9463,0.9474,0.9484,0.9495,0.9505,0.9515,0.9525,0.9535,0.9545},

    {0.9554,0.9564,0.9573,0.9582,0.9591,0.9599,0.9608,0.9616,0.9625,0.9633},

    {0.9641,0.9648,0.9656,0.9664,0.9671,0.9678,0.9686,0.9693,0.97,0.9706},

    {0.9713,0.9719,0.9726,0.9732,0.9738,0.9744,0.975,0.9756,0.9762,0.9767},

    {0.9772,0.9778,0.9783,0.9788,0.9793,0.9798,0.9803,0.9808,0.9812,0.9817},

    {0.9821,0.9826,0.983,0.9834,0.9838,0.9842,0.9846,0.985,0.9854,0.9857},

    {0.9861,0.9864,0.9868,0.9871,0.9874,0.9878,0.9881,0.9884,0.9887,0.989},

    {0.9893,0.9896,0.9898,0.9901,0.9904,0.9906,0.9909,0.9911,0.9913,0.9916},

    {0.9918,0.992,0.9922,0.9925,0.9927,0.9929,0.9931,0.9932,0.9934,0.9936},

    {0.9938,0.994,0.9941,0.9943,0.9945,0.9946,0.9948,0.9949,0.9951,0.9952},

    {0.9953,0.9955,0.9956,0.9957,0.9959,0.996,0.9961,0.9962,0.9963,0.9964},

    {0.9965,0.9966,0.9967,0.9968,0.9969,0.997,0.9971,0.9972,0.9973,0.9974},

    {0.9974,0.9975,0.9976,0.9977,0.9977,0.9978,0.9979,0.9979,0.998,0.9981},

    {0.9981,0.9982,0.9982,0.9983,0.9984,0.9984,0.9985,0.9985,0.9986,0.9986},

    {0.9987,0.999,0.9993,0.9995,0.9997,0.9998,0.9998,0.9999,0.9999,1},

    {0.999032,0.999065,0.999096,0.999126,0.999155,0.999184,0.999211,0.999238,0.999264,0.999289},

    {0.999313,0.999336,0.999359,0.999381,0.999402,0.999423,0.999443,0.999462,0.999481,0.999499},

    {0.999517,0.999534,0.999550,0.999566,0.999581,0.999596,0.999610,0.999624,0.999638,0.999660},

    {0.999663,0.999675,0.999687,0.999698,0.999709,0.999720,0.999730,0.999740,0.999749,0.999760},

    {0.999767,0.999776,0.999784,0.999792,0.999800,0.999807,0.999815,0.999822,0.999828,0.999885},

    {0.999841,0.999847,0.999853,0.999858,0.999864,0.999869,0.999874,0.999879,0.999883,0.999880},

    {0.999892,0.999896,0.999900,0.999904,0.999908,0.999912,0.999915,0.999918,0.999922,0.999926},

    {0.999928,0.999931,0.999933,0.999936,0.999938,0.999941,0.999943,0.999946,0.999948,0.999950},

    {0.999952,0.999954,0.999956,0.999958,0.999959,0.999961,0.999963,0.999964,0.999966,0.999967},

    {0.999968,0.999970,0.999971,0.999972,0.999973,0.999974,0.999975,0.999976,0.999977,0.999978},

    {0.999979,0.999980,0.999981,0.999982,0.999983,0.999983,0.999984,0.999985,0.999985,0.999986},

    {0.999987,0.999987,0.999988,0.999988,0.999989,0.999989,0.999990,0.999990,0.999991,0.999991},

    {0.999991,0.999992,0.999992,0.999930,0.999993,0.999993,0.999993,0.999994,0.999994,0.999994},

    {0.999995,0.999995,0.999995,0.999995,0.999996,0.999996,0.999996,1.000000,0.999996,0.999996},

    {0.999997,0.999997,0.999997,0.999997,0.999997,0.999997,0.999997,0.999998,0.999998,0.999998},

    {0.999998,0.999998,0.999998,0.999998,0.999998,0.999998,0.999998,0.999998,0.999999,0.999999},

    {0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999},

    {0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999,0.999999},

    {1.000000,1.000000,1.000000,1.000000,1.000000,1.000000,1.000000,1.000000,1.000000,1.000000}

    };

    static DecimalFormat format = new DecimalFormat("#.00");

    static{

    format.setRoundingMode(RoundingMode.DOWN);

    }

    public static double NORMSDIST(double x)

    {

    if(x<0 || x>4.99)

    {

    return 0;

    }

    double rx = x;

    x = Double.valueOf(format.format(x));

    int row = (int)(x*100)%10;

    int col = (int)(x*10);

    double rtn = normdist[col][row];

    double step = 0.00001;

    for(double i = x+step ; i <= rx ; i+=step)

    {

    rtn+=N_(i)*step;

    }

    return rtn;

    }

    private static double N_(double x)

    {

    double rsp = (1/Math.sqrt(2*Math.PI)) * Math.exp((-1)*Math.pow(x, 2)/2);

    return rsp;

    }

    但是以上方法只能保证精确到小数点后四位,对于计算理论价还是不够;后面去网上搜索,有个牛逼的哥们用了几行代码就搞定了,而且精确度达到小数点后7位。

    public static double NORMSDIST(double a)

    {

    double p = 0.2316419;

    double b1 = 0.31938153;

    double b2 = -0.356563782;

    double b3 = 1.781477937;

    double b4 = -1.821255978;

    double b5 = 1.330274429;

    double x = Math.abs(a);

    double t = 1/(1+p*x);

    double val = 1 - (1/(Math.sqrt(2*Math.PI))  * Math.exp(-1*Math.pow(a, 2)/2)) * (b1*t + b2 * Math.pow(t,2) + b3*Math.pow(t,3) + b4 * Math.pow(t,4) + b5 * Math.pow(t,5) );

    if ( a 

    {

    val = 1- val;

    }

    return val;

    }

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  • 参考文献:https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb
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  • 累积分布函数(Cumulative Distribution Function),又叫分布函数,是概率密度函数的积分,能完整描述一个实随机变量X的概率分布。一般以大写CDF标记,与概率密度函数probability density function(小写pdf)相对。 ...
  • 累积分布函数cdf (CumulativeDistribution Function)背景知识:http://www.lifelaf.com/blog/?p=746语法y =cdf('name',x,A,B)y =cdf('name',x,A,B,C)y =cdf(pd,x)y =cdf(___,'upper')描述y =cdf('name',x,A) 计算...

    累积分布函数cdf (Cumulative

    Distribution Function)

    背景知识:http://www.lifelaf.com/blog/?p=746

    语法

    y =

    cdf('name',x,A,B)

    y =

    cdf('name',x,A,B,C)

    y =

    cdf(pd,x)

    y =

    cdf(___,'upper')

    描述

    y =

    cdf('name',x,A) 计算某种分布(由'name'定义,如'Normal'正态,

    'Poisson'泊松,

    'T' t分布…)下,x值处的累计分布,A,B,C等为'name'函数的参数

    y =

    cdf(pd,x) 直接计算概率分布函数pd(probability

    distribution) ,在x处的累计分布,实际上,这里的pd

    已被'name',

    A定义好,举栗如下:

    %

    定义一个正态分布函数pd, 均值mu

    = 0, 标准差sigma = 1.

    mu = 0;

    sigma = 1;

    pd =

    makedist('Normal',mu,sigma);

    %

    定义x值

    x = [-2,-1,0,1,2];

    %

    计算x值处的累计分布

    y = cdf(pd,x)

    y

    =

    0.0228 0.1587 0.5000 0.8413 0.9772

    用第一种语句表达相同内容为:

    y2 =

    0.0228 0.1587 0.5000 0.8413 0.9772

    t分布累积分布函数tcdf

    (Student'stcumulative

    distribution function)

    %

    事实上就是y = cdf('T',x,A)函数

    语法

    p =

    tcdf(x,nu)p =

    tcdf(x,nu,'upper')

    描述

    计算t分布在x值处的累积分布,nu是t分布的自由度

    再举个栗子

    mu = 1; % Population mean

    sigma = 2;  % Population standard deviation

    n = 100; % Sample size

    x = normrnd(mu,sigma,n,1);  % Random sample from population

    xbar = mean(x);  % Sample mean

    s = std(x); % Sample standard deviation

    t = (xbar - mu)/(s/sqrt(n)) %这里t分布出现了,正态分布总体与样本均值的差符合t分布

    t =

    1.0589

    p = 1-tcdf(t,n-1) % Probability of larger t-statistic

    p =

    0.1461

    该p值(即t函数的累积分布就是t检验在相同x值处的概率ptest)

    [h,ptest] = ttest(x,mu,0.05,'right')

    h =

    0

    ptest =

    0.1461

    概率密度函数pdf (Probability

    density functions)

    搞懂了累积分布函数cdf,这个就没什么需要多说了

    语法

    y =

    pdf('name',x,A)

    y =

    pdf('name',x,A,B)

    y =

    pdf('name',x,A,B,C)

    y =

    pdf(pd,x)

    举例

    %

    定义一个正态分布函数pd, 均值mu

    = 0, 标准差sigma = 1.

    mu =

    0;

    sigma =

    1;

    pd =

    makedist('Normal',mu,sigma);

    %

    定义x值

    x = [-2

    -1 0 1 2];

    %

    计算x值处的概率密度(cdf是累计分布)

    y = pdf

    (pd,x)

    y

    =

    0.0540 0.2420 0.3989 0.2420 0.0540

    同样,另一种表达

    y = pdf(pd,x)

    y =

    0.0540 0.2420 0.3989 0.2420 0.0540

    t分布概率密度函数tpdf(Student's

    t probability density function)

    语法

    y =

    tpdf(x,nu)

    举例

    tpdf(0,1:6)

    ans =

    0.3183 0.3536 0.3676 0.3750 0.3796 0.3827

    相反,还可以通过p求t分布的t值

    tinv (Student's t inverse cumulative distribution

    function)

    语法

    x = tinv(p,nu)

    举例

    % the 99th percentile of the Student's t distribution for one to

    six degrees of freedom

    percentile = tinv(0.99,1:6)

    percentile =

    31.8205 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427

    有一个问题,Matlab有一个inv矩阵求逆函数,不知与tinv什么关系,莫非tinv是在t分布下调用了inv计算程序?但p并不等是t的逆矩阵啊(即t*p

    = E)啊?求解答

    inv是矩阵求逆的意思。具体用法A=inv(B),其中B是输入的可逆矩阵,输出A就是B的逆矩阵,逆矩阵满足性质 AB=BA=E

    (E是单位阵)。如果输入的是不可逆矩阵会弹出警告,并返回inf。

    调用举例:

    >> inv([1 0;0 0])

    警告: 矩阵为奇异工作精度。

    ans =

    Inf Inf

    Inf Inf

    >> inv(rand(2))

    ans =

    -13.0929 5.2640

    12.0501 -3.3159

    另附官方英文解释(输入doc inv也可以自己查看):

    Y = inv(X) returns theinverse of the square matrix X. A warning

    messageis printed if X is badly scaled or nearly singular.

    In practice, it is seldom necessary to form the explicit

    inverseof a matrix. A frequent misuse of inv arises whensolving the

    system of linear equations Ax = b.One way to solve this is with x =

    inv(A)*b.A better way, from both an execution time and numerical

    accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x =

    Ab.This produces the solution using Gaussian elimination, without

    formingthe inverse. See mldivide ()for further information.

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