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  • 软件项目活动 关键路径
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    2022-01-20 16:18:08

    如下所示的软件项目活动图中,顶点表示项目里程碑,连接顶点的边表示包含的活动,边上的权重表示活动的持续时间()天, 则完成该项目的最短时间为 (17)天。在该活动图中,共有(18)条关键路径。



    A、17   B、19   C、20   D、22

    A、1 B、2 C、3 D、4


     

    17.18.D B

    解析:

    关键路径ABFJL、ADGIJL

    关键路径是项目计划中最长的一套路径,通俗点说因为关键路径最长,所以只有保证它做完了,才能保证项目做完了,所以说它最“关键”。

    算“最早时间”时,从左到右算,两数取大

    算“最晚时间”时,用最近的节点减去边。例如F=J-5=14-5=9

     

    求“关键路径”:

    根据,最早时间=最晚时间,的全部点去找关键路径

    关键路径必然经过这些点

    所以,ABFJL=ADGIJL=22


     

     

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    如上图,是一个AOE网,点表示状态,边表示活动及其所需要的时间。为了求出关键路径,我们使用一下算法:

    1.求出到达各个状态的最早时间(按最大计)


    这个过程是要从源点开始向汇点顺推:
    1. V1是源点,其最早开始时间是0。
    2. V2、V3、V4最早时间分别是是6、4、5。
    3. 对于V5而言,V2到V5所花费时间是6+1=7,而V3到V5所花费时间是4+1=5。我们要按最大计,也就是V5最早时间是max{7,5}=7,按最大计是因为只有活动a4和a5同时完成了,才能到达V5状态。V3到V5需要5分钟,但是此时a4活动尚未完成(7分钟),所以都不能算到达V5,故而要按最大计。
    4. V6只有从V4到达,所以V6的最早完成时间是(5+2=)7。
    5. 同理,V7最早完成时间是16。
    6. 对于V8而言,和V5处理方法一致。V8=max{V5+7,V6+4}={7+7,7+4}=14。
    7. V9可算出是18。

    这样,我们可以得到各个状态的最早时间的表:

    最早时间表

    2.求出到达各个状态的最晚时间(按最小计)


    这个过程是要从汇点开始向源点逆推:
    1. V9完成时间为18,最V7最迟开始时间是(18-2=)16
      逆推

      因为活动a10所需时间2。如果V7开始时间比16晚,则V9完成时间就会比18晚,这显然不对。
    2. 同理,V8最迟开始时间为14。
    3. 对于V5而言,可以从V7、V8两个点开始向前推算,此时要按最小计,即V5(最晚)=min{V7-9,V8-7}=min{16-9,14-7}=7。
      请注意!!,min{V7-9,V8-7}中,V7、V8取的都是前面算出的最迟开始时间(而不是最早开始时间)。
      按最小计

      最小计,是因为如果按最大计去计算V5的最晚开始时间,那么加上a7和a8的活动时间后,V7、V8至少有一个会比之前逆推算得出的最晚时间还要晚,这就发生了错误。
    4. 同理,可计算出剩下的点

    这样,我们可以得到各个状态的最晚时间的表:

    最晚时间表

    事实上,源点和汇点的最晚时间和最早时间必定是相同的。

    3.求出关键路径


    求出关键活动,则关键活动所在路径即为关键路径

    对于a1:


    这表明,a1最早只能从0时刻开始,最晚也只能从(6-6=)0时刻开始,因此,a1是关键活动。

    对于a2:


    a2最早要从0时刻开始,但是它最晚开始时间却是(6-4=)2。也就是说,从0开始做,4时刻即完成;从2开始做,6时刻恰好完成。从而在[0,2]区间内任意时间开始做a2都能保证按时完成。( 请区别顶点的最早最晚和活动的最早最晚时间。图示中的最早最晚是顶点状态的时间,活动的最早最晚开始时间却是基于此来计算的)。
    由于a2的开始时间是不定的,所以它不能主导工程的进度,从而它不是关键活动。

    一般的,


    活动用时X时间,它最早要从E1时刻开始(一开始就开始),最晚要从L2-X时刻开始(即恰好完成)。所以,如果它是关键活动,则必然有 E1=L2-X,否则它就不是关键活动。

    值得注意的是,顶点的最早开始时间等于最晚开始时间 是 该顶点处于关键路径 的 不充分不必要条件。


    上表中蓝色底纹表示的点即为处于关键路径的点。尽管它们的最早时间与最晚时间都相同,但是这与它们是否为关键路径的点 无关。因为这还取决于起始点的最早时间以及活动时间。


    作者:KyrinWoo
    链接:https://www.jianshu.com/p/1857ed4d8128

    转载于:https://www.cnblogs.com/haishashou/p/9817184.html

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  • ——关键路径

    万次阅读 多人点赞 2019-04-02 09:10:27
    AOE网示例: AOE网:在一个表示工程的带权有向中,用顶点表示事件(如V0),用有向边表示活动(如<v0,v1> = a1),边上的权值表示活动的持续时间,称这样的有向为边表示的活动的网,简称AOE网...
     

    AOE网示例图:

    AOE网:在一个表示工程的带权有向图中,用顶点表示事件(如V0),用有向边表示活动(如<v0,v1> = a1),边上的权值表示活动的持续时间,称这样的有向图为边表示的活动的网,简称AOE网(activity on edge network)

    源点:

    在AOE网中,没有入边的顶点称为源点;如顶点V0

    终点:

    在AOE网中,没有出边的顶点称为终点;如顶点V3

    AOE网的性质:

    【1】只有在进入某顶点的活动都已经结束,该顶点所代表的事件才发生;

             例如:a1和a2活动都结束了,顶点V2所代表的事件才会发生。

    【2】只有在某顶点所代表的事件发生后,从该顶点出发的各活动才开始;

             例如:只有顶点V1所代表的事件结束之后,活动a2和a4才会开始。

     

    在AOE网中,所有活动都完成才能到达终点,因此完成整个工程所必须花费的时间(即最短工期)应该为源点到终点的最大路径长度。具有最大路径长度的路径称为关键路径。关键路径上的活动称为关键活动:

     

    事件的最早发生时间:ve[k]

    根据AOE网的性质,只有进入Vk的所有活动<Vj, Vk>都结束,Vk代表的事件才能发生,而活动<Vj, Vk>的最早结束时间为ve[j]+len<Vj, Vk>。所以,计算Vk的最早发生时间的方法为:

    ve[0] = 0

    ve[k] = max(ve[j] + len<Vj, Vk>)

    事件的最迟发生时间:vl[k]

    vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,事件Vk允许的最迟发生时间。根据AOE网的性质,只有顶点Vk代表的事件发生,从Vk出发的活动<Vk, Vj>才能开始,而活动<Vk, Vj>的最晚开始时间为vl[j] - len<Vk, Vj>。

    活动的最早发生时间:ee[i]

    ai由有向边<Vk, Vj>,根据AOE网的性质,只有顶点Vk代表的事件发生,活动ai才能开始,即活动ai的最早开始时间等于事件Vk的最早开始时间。

    活动的最迟发生时间:el[i]

    el[i]是指在不推迟真个工期的前提下,活动ai必须开始的最晚时间。若活动ai由有向边<Vk, Vj>表示,则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。

    案例:

    原始AOE网:

    事件的最早发生时间:ve[k]

    从源点向终点方向计算

    ve[0] = 0

    ve[1] = ve[0] + a0 = 0 + 4 = 4

    ve[2] = max( ve[0] + a1, ve[1] + a2 ) = max(0 + 3, 4 + 2 = 6

    ve[3] = max(ve[1] + a4, ve[2] + a3) = max(4 + 6, 3 + 4) = 10

    事件的最迟发生时间:vl[k]

    从终点向源点方向计算

    vl[3] = ve[3] = 10

    vl[2] = vl[3] - a3 = 10 - 4 = 6

    vl[1] = min(vl[3] - a4, vl[2] - a2) = min(10-6, 6-2) = 4

    vl[0] = min(vl[2] - a1, vl[1] - a0) = min(4-4, 4-2) = 0 

    活动的最早发生时间:ee[i]

    共有五个活动:

    ee[0] = ve[0] = 0

    ee[1] = ve[0] = 0

    ee[2] = ve[1] = 4

    ee[3] = ve[2] = 6

    ee[4] = ve[1] = 4

    活动的最迟发生时间:el[i]

    el[0] = v[1] - a0 = 4 - 4 = 0

    el[1] = vl[2] - a1 = 6 - 3 = 3

    el[2] = vl[2] - a2 = 6 - 2 = 4

    el[3] = vl[3] - a3 = 10 - 4 = 6

    el[4] = vl[3] - a4 = 10 - 6 = 4

     

    活动的最早开始时间和最晚开始时间相等,则说明该活动时属于关键路径上的活动,即关键活动。

    经过比较,得出关键活动有:a0, a2, a3, a4,画出示意图如下:

    该AOE网有两条关键路径。

    所以,通过此案例也可以发现,一个AOE网的关键路径可能有多条。

    展开全文
  • 关键路径的算法演示过程,指用顶点表示活动,用弧表示活动间的优先关系的有向称为顶点表示活动的网。
  • 关键路径

    2018-06-21 11:02:02
    问题描述:设计一个程序求出完成整项工程至少需要多少时间以及整项工程中的关键活动。 要求: 1)对一个描述工程的AOE网,应判断其是否能够顺利进行; 2)若该工程能顺利进行,输出完成整项工程至少需要多少时间,...
  • 关键路径详解

    千次阅读 2019-11-22 15:46:36
    例如10-57的先导课程示意就是AOV网,其中的顶点表示各项课程,也就是“活动”;有向边表示课程的先导关系,也就是“活动间的优先关系”。显然,中不应当存在有向环,否则会让优先关系出现逻辑错误。 AOE...

    AOV网:

    顶点活动(Activity On VertexAOV)网是指用顶点表示活动,而用边集表示活动间优先关系的有向图。例如图10-57的先导课程示意图就是AOV网,其中图的顶点表示各项课程,也就是“活动”;有向边表示课程的先导关系,也就是“活动间的优先关系”。显然,图中不应当存在有向环,否则会让优先关系出现逻辑错误。

    AOE网:

     

    边活动(Activity On EdgeAOE)网是指用带权的边集表示活动,而用顶点表示事件的有向图,其中边权表示完成活动需要的时间。例如图10-59中,边a1~a6表示需要学习的课程,也就是“活动”,边权表示课程学习需要消耗的时间;顶点V1~V6。表示到此刻为止前面的课程已经学完,后面的课程可以开始学习,也就是“事件”(如V5表示a4计算方法和a3实变函数已经学完,a6泛函分析可以开始学习。从另一个角度来看,a6只有当a4a5都完成时才能开始进行,因此当a4计算方法学习完毕后必须等待a5实变函数学习完成后才能进入到a6泛函分析的学习),显然“事件”仅代表一个中介状态。

    源点:AOE网中,没有入边的顶点称为源点;如顶点V1

     

    终点:在AOE网中,没有出边的顶点称为终点;如顶点V6

     

    AOE网的性质:

    ·只有在进入某顶点的活动都已经结束,该顶点所代表的事件才发生;

    ·只有在某顶点所代表的事件发生后,从该顶点出发的各活动才开始;

    AOE网中的最长路径被称为关键路径(强调:关键路径就是AOE网的最长路径),而把关键路径上的活动称为关键活动,显然关键活动会影响整个工程的进度。

    关键概念:

    1.事件的最早发生时间ve[k]earliest time of vertex):即顶点vk的最早发生时间。

    从源点向终点方向计算

    ve[0] = 0

    ve[1] = ve[0] + a0 = 0 + 4 = 4

    ve[2] = max( ve[0] + a1, ve[1] + a2 ) = max(0 + 3, 4 + 2 = 6

    ve[3] = max(ve[1] + a4, ve[2] + a3) = max(4 + 6, 3 + 4) = 10

     

    2.事件的最晚发生时间vl[k]latest time of vertex):即顶点vk的最晚发生时间,也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间,超出此时间将会延误整个工期。

    从终点向源点方向计算

    vl[3] = ve[3] = 10

    vl[2] = vl[3] - a3 = 10 - 4 = 6

    vl[1] = min(vl[3] - a4, vl[2] - a2) = min(10-6, 6-2) = 4//之所以求最小,保证其他的点的最晚发生时间

    vl[0] = min(vl[2] - a1, vl[1] - a0) = min(4-4, 4-2) = 0 

     

    3.活动的最早开工时间e[k]earliest time of edge):即ax的最早发生时间。

    5条边,5个活动

    e[0] = ve[0] = 0

    e[1] = ve[0] = 0

    e[2] = ve[1] = 4

    e[3] = ve[2] = 6

    e[4] = ve[1] = 4

     

    4.活动的最晚开工时间l[k]latest time of edge):即ak的最晚发生时间,也就是不推迟工期的最晚开工时间。

    e[0] = v[1] - a0 = 4 - 4 = 0

    e[1] = vl[2] - a1 = 6 - 3 = 3

    e[2] = vl[2] - a2 = 6 - 2 = 4

    e[3] = vl[3] - a3 = 10 - 4 = 6

    e[4] = vl[3] - a4 = 10 - 6 = 4

     

    活动的最早开始时间最晚开始时间等,则说明该活动时属于关键路径上的活动,即关键活动

    算法设计:

    关键路径算法是一种典型的动态规划法,设图G=(V, E)是个AOE网,结点编号为1,2,...,n,其中结点1n 分别为始点和终点,ak=<i, j>EG的一个活动。算法关键是确定活动的最早发生时间ve[k]最晚发生时间vl[k],进而获取顶点的最早开始时间e[k]和最晚开始时间l[k]

    根据前面给出的定义,可推出活动的最早及最晚发生时间的计算方法:

    e(k) = ve(i)

    l(k) = vl(j) - len(i,j)

    结点的最早发生时间的计算,需按拓扑次序递推:

    ve(1) = 0

    ve(j) = MAX{ etv(i)+len(i, j) }

     

    对所有<i,j> Ei  结点的最晚发生时间的计算,需按逆拓扑次序递推:

    vl(n) = ve(n)

    vl(i) = MIN{vl(j) - len(i, j)} 对所有<i,j>E的j

     

    这种计算方法, 依赖于拓扑排序, 即计算ve( j) 前,应已求得j 的各前趋结点的ve值,而计算vl(i)前,应已求得i的各后继结点的vl值。ve的计算可在拓扑排序过程中进行,即在每输出一个结点i后,在删除i的每个出边<i,j>(即入度减1)的同时,执行

    if ( ve[i]+len(i,j)) > ve[j] )

    ve[j] = ve[i] + len(i,j)

     

    这时会发现,如果想要获得ve[j]的正确值,ve[il]~ve[ik]必须已经得到。有什么办法能够在访问某个结点时保证它的前驱结点都已经访问完毕呢?没错,使用拓扑排序就可以办到。

    当按照拓扑序列计算ve数组时,总是能保证计算ve[i]的时候ve[il]~ve[ik]都已经得到。但是这时又碰到另一个问题,通过前驱结点去寻找所有后继结点很容易,但是通过后继结点V;去寻找它的前驱结点V1~Vx似乎没有那么直观。一个比较好的办法是,在拓扑排序访问到某个结点时,不是让它去找前驱结点来更新ve[i],而是使用ve[i]去更新其所有后继结点的ve。通过这个方法,可以让拓扑排序访问到V;的时候,V1~Vk一定都已经用来更新过ve[i],此时的ve[i]便是正确值,就可以用它去更新V;的所有后继结点的ve值。

    //拓扑序列
    
    stack<int>topOrder;
    
    //拓扑排序,顺便求ve数组
    
    bool topologicalSort()
    
    {
    
        queue<int>q;
    
        for(int i=0;i<n;i++)
    
            if(inDegree[i]==0)
    
                q.push(i);
    
        while(!q.empty())
    
        {
    
            int u=q.front();
    
            q.pop();
    
            topOrder.push(u);//将u加入拓扑序列
    
            for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    
            {
    
                int v=G[u][i].v;//u的i号后继结点编号为v
    
                inDegree[v]--;
    
                if(inpegree[v]==0)
    
                    q.push(v);
    
                //用ve[u]来更新u的所有后继结点
    
                if(ve[u]+G[u][i].w> ve[v])
    
                    ve[v]=ve[u]+G[u][i].w;
    
            }
    
        }
    
        if(toporder.size()== n)
    
            return true;
    
        else
    
            return false;
    
    }

    同理,如图10-64所示,从事件V出发通过相应的活动ar1~ark可以到达k个事件V1~Vk,活动的边权为length[r1]~length[rk]。假设已经算好了事件V1~Vk的最迟发生时间xl[j1]vl[jk],那么事件Vi的最迟发生时间就是vl[j1]-length[r1]~vl[jk]-length[rk]中的最小值。此处取最小值是因为必须保证Vj1~Vjk的最迟发生时间能被满足;可以通过下面这个公式辅助理解。

     和ve数组类似,如果需要算出vl[i]的正确值,vl[j1]~vl[jk]必须已经得到。这个要求与ve数组的刚好相反,也就是需要在访问某个结点时保证它的后继结点都已经访问完毕,而这可以通过使用逆拓扑序列来实现。幸运的是,不必再做一次逆拓扑排序来得到逆拓扑序列,而是可以通过颠倒拓扑序列来得到一组合法的逆拓扑序列。此时会发现,在上面实现拓扑排序的过程中使用了栈来存储拓扑序列,那么只需要按顺序出栈就是逆拓扑序列。而当访问逆拓扑序列中的每个事件Vi时,就可以遍历Vi的所有后继结点Vj1~Vjk,使用vI[j1]~vl[jk]来求出vl[i]。

    这部分的代码如下所示:

    fill(vl,v1+n,ve[n-1]);//v1数组初始化,初始值为终点的ve值
    
    //直接使用toporder出栈即为逆拓扑序列,求解v1数组
    
    while(!topOrder.empty())
    
    {
    
        int u=topOrder.top();//栈顶元素为u
    
        topOrder.pop();
    
        for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    
        {
    
            int v=G[u][i].v;//u的后继结点v
    
            //用u的所有后继结点v的v1值来更新v1[u]
    
            if(vl[v]-G[u][i].w < vl[u])
    
                vl[u]=vl[v]-G[u][i].w;
    
        }
    
    }
    
    

            通过上面的步骤已经把求解关键活动的过程倒着推导了一遍,下面给出上面过程的步骤总结,即“先求点,再夹边”

    ①按拓扑序和逆拓扑序分别计算各顶点(事件)的最早发生时间和最迟发生时间:

    ②用上面的结果计算各边(活动)的最早开始时间和最迟开始时间:

    e[i-] = l[i-i]的活动即为关键活动。

    主体部分代码如下(适用汇点确定且唯一的情况,以n-1号顶点为汇点为例):【主体代码】

    求取关键路径:

    
    //遍历邻接表的所有边,计算活动的最早开始时间e和最迟开始时间1
    
    for(int u=0;u<n;u++)
    
    {
    
        for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    
        {
    
            int v=G[u][i].v,w=G[u][i].w;
    
            //活动的最早开始时间e和最迟开始时间1
    
            int e=ve[u],l=vl[v]-w;
    
            //如果e==1,说明活动u->v是关键活动
    
            if(e==1)
    
            printf("%d->%d\n",u,v);//输出关键活动}
    
        }
    
        return ve[n-1];//返回关键路径长度
    
    }

     

     

    在上述代码中,没有将活动的最早开始时间e和最迟开始时间l存储下来,这是因为一般来说el只是用来判断当前活动是否是关键活动,没有必要单独存下来。如果确实想要将它存储下来,只需要在结构体Node中添加域e1即可。

    如果事先不知道汇点编号,有没有办法比较快地获得关键路径长度呢?当然是有办法的,那就是取ve数组的最大值。原因在于,ve数组的含义是事件的最早开始时间,因此所有事件中ve最大的一定是最后一个(或多个)事件,也就是汇点。于是只需要在fill函数之前添加一小段语句,然后改变下vl函数初始值即可,代码如下:

    int maxLength = 0;
    
    for(int i=0; i<n; ++i)
    
    {
    
        if(ve[i] > maxLength)
    
            maxLength = ve[i];
    
    }
    
    fill(vl, vl + n, maxLength);

     

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    2021-02-28 12:52:57
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  • 用字符文件提供数据建立AOE网络邻接表存储结构,编写程序,输出一条关键路径以及工程的最短完成时间。输出的关键路径用该路径上全部顶点的拓序有序序列表示。 实验目的:掌握的邻接表存储结构;掌握基于拓扑排序...
  • 关键路径的权值和,并且从源点输出关键路径上的路径(如果有多条,请输出字典序最小的) 输入样例 9 11 1 2 6 1 3 4 1 4 5 2 5 1 3 5 1 4 6 2 5 7 9 5 8 7 6 8 4 8 9 4 7 9 2 输出样例 18 1 2 2 5 5 7 7 9
  • 关键路径 一. 问题描述 概念 一项工程计划可以被看成一个有向中的顶点表示事件,边代表活动,边上的权值代表完成这项活动需要的时间,这样的有向称为AOE网。 表示实际工程计划的AOE网应该是无环的,在...
  • 将工作流任务结构定义为有向无循环DAG模型,改进了传统关键路径的一次性搜索模式,结合云资源可用性动态可变的特征,以动态自适应方式搜索关键路径,并确定关键任务;在关键任务调度后,局部DAG的关键路径搜索根据...
  • 关键路径

    万次阅读 2016-11-23 21:00:40
    关键路径
  • 数据结构之关键路径

    千次阅读 2018-11-06 11:18:43
    title: 数据结构之关键路径 tags: 数据结构与算法之美 一、AOE和AOV网 1.AOE网 AOE-网:指用边表示活动的网,是一个带权的有向无环,其中,顶点表示事件弧表示活动,权表示活动持续的时间,通常一个AOE-网可...
  • 用字符文件提供数据建立AOE网络邻接表存储结构,编写程序,输出一条关键路径以及工程的最短完成时间。输出的关键路径用该路径上全部顶点的拓序有序序列表示。 实验目的:掌握的邻接表存储结构;掌握基于拓扑排序...
  • 不想多说,学过数据结构的人都知道,想要C代码的就下
  • 关键路径法典型范例

    千次阅读 2020-12-21 09:49:53
    阅读以下关于信息系统项目管理过程中时间管理... 【问题3】 对于问题3,由于B上推后了10天,导致关键路径发生改变,其单代号网络变换如3-3所示。 所有,整个项目工期为27天,对比于原来的18天,整个进度延迟了9天。
  • 计算题专题:关键路径法(CPM)

    千次阅读 2021-01-30 17:25:02
    关键路径法(Critical Path Method, CPM)通过分析项目过程中哪个活动序列进度安排的总时差最少来预测项目工期的网络分析。产生目的:为了解决,在庞大而复杂的项目中,如何合理而有效地组织人力、物力和财力,使之在...
  • 关键路径C/C++代码实现

    千次阅读 2020-06-22 11:30:17
    要估算整项工程完成的最短时间, 就是要找一条从源点到 汇点的带权路径长度最长的路径, 称为关键路径 (Critical Path)。关键路径上的 活动叫做关键活动,这些活动是影响工程进度的关键, 它们的提前或拖延将使整个...
  • 软考高项真题解析-关键路径的计算

    千次阅读 2021-08-26 11:16:09
    某项目的活动顺序如下,计算关键路径,在执行过程中有一名工程师因病请假,导致活动D延期2天,为了确保项目按时完成,因采取什么策略。 活动 持续时间 前序活动 A 4 C B 3 C C 4 D 1 AB E 7 C F...
  • 关键路径计算

    2013-03-28 09:57:52
    关键路径计算方法,讲解的比较详细,看完后此类型的题可以迎刃而解!
  • 关键路径,前导,箭线图

    千次阅读 2020-12-21 09:49:58
    包括前导和箭线图前导(也叫单代号网络,顺序):节点表示活动,箭线表示逻辑箭线图(也叫双代号网络):节点无实际意义,只表示活动的开始和结束,箭线同时表示任务和逻辑关系一般求关键路径时,用前导的六...

空空如也

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图的关键路径

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