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  • 矩阵的行简化阶梯型和标准型

    万次阅读 2019-03-26 11:15:57
    矩阵的行简化阶梯型是一种很有用的与原矩阵等价的矩阵,包括有相同的秩,相同的零空间,以及可以用来求解线性方程组 1 阶梯型矩阵和行简化阶梯型矩阵 下面以上节的方程组开始做初等变换: 由方程组得到增广矩阵 : ...

    矩阵的行简化阶梯型是一种很有用的与原矩阵等价的矩阵,包括有相同的秩,相同的零空间,以及可以用来求解线性方程组

    1 阶梯型矩阵和行简化阶梯型矩阵
    下面以上节的方程组开始做初等变换:

    由方程组得到增广矩阵 :

    B=  

    下边对B进行初等变换:

    B1是行阶梯型矩阵,其特点是:阶梯线下方的数全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的均为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的首非零元.

    B2是行最简型矩阵(也可以叫做行最简阶梯型矩阵,或者行简化阶梯型矩阵),其特点是:非零行的首非零元为1,且这些非零元所在的列的其它元素都为0。

    2 标准型矩阵
    将行最简型矩阵B2应用初等列变换:

    B3是标准形矩阵,其特点是,该矩阵的左上角是一个单位矩阵,其它的元素全为零。

    其中E3是一个3x3单位矩阵.标准型的作用会在以后介绍

    注:将矩阵化为标准形矩阵可以用初等行变换先变成行阶梯矩阵,再变成行最简矩阵,在此基础上再用初等列变换最终化成标准形矩阵,也可以通过用初等列变换将其变成列阶梯形矩阵,再用初等列变换变成列最简形矩阵,最后用初等行变换将其变成标准形矩阵,也可以初等行、列变换并用,将快速把矩阵变成标准形矩阵。但初等列变化不能保证方程组解的不变性,而行最简型矩阵对解线性方程组十分有用.因此要重点掌握.

    原文:https://blog.csdn.net/mathmetics/article/details/9279505 
     

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  • 矩阵的行简化阶梯型

    矩阵的行简化阶梯型是一种很有用的与原矩阵等价的矩阵,包括有相同的秩,相同的零空间,以及可以用来求解线性方程组

    1 阶梯型矩阵和行简化阶梯型矩阵

    下面以上节的方程组开始做初等变换:


    由方程组得到增广矩阵 :

    B=  

    下边对B进行初等变换:




    B1是行阶梯型矩阵,其特点是:阶梯线下方的数全为0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的均为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的首非零元.

    B2是行最简型矩阵(也可以叫做行最简阶梯型矩阵,或者行简化阶梯型矩阵),其特点是:非零行的首非零元1,且这些非零元所在的列的其它元素都为0

    2 标准型矩阵

    将行最简型矩阵B2应用初等列变换:


    B3是标准形矩阵,其特点是,该矩阵的左上角是一个单位矩阵,其它的元素全为零。

    其中E3是一个3x3单位矩阵.标准型的作用会在以后介绍

    注:将矩阵化为标准形矩阵可以用初等行变换先变成行阶梯矩阵,再变成行简矩阵,在此基础上再用初等列变换最终化成标准形矩阵,也可以通过用初等列变换将其变成列阶梯形矩阵,再用初等列变换变成列简形矩阵,最后用初等行变换将其变成标准形矩阵,也可以初等行、列变换并用,将快速把矩阵变成标准形矩阵。但初等列变化不能保证方程组解的不变性,而行最简型矩阵对解线性方程组十分有用.因此要重点掌握.




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  • 用c语言将一般矩阵化为简化阶梯型

    千次阅读 多人点赞 2018-10-27 19:53:26
    1)若有零,则零应在最下方; 2)非零首元(即非零的第一个不为零的元素)的列标号随行标号的增加而严格递增; 3)非零首元所在的列除了非零首元外,其余元素全为0; 4)非零首元都为1. 输入是一个文件input.txt...

    (完整的程序附在文末)
    1、问题描述:
    用C/C++设计一个算法,把矩阵M化为行最简形梯形矩阵A。矩阵A应该满足以下几个条件:
    1)若有零行,则零行应在最下方;
    2)非零首元(即非零行的第一个不为零的元素)的列标号随行标号的增加而严格递增;
    3)非零首元所在的列除了非零首元外,其余元素全为0;
    4)非零首元都为1.
    输入是一个文件input.txt
    1)第一行会输入样本数k;
    2)每个样本的第一行会输入n, m,表示矩阵M是nm维的;
    3)接下来的n行里,每一行会输入m个元素,以空格隔开.
    输出是一个文件output.txt
    2)每个样本的第一行会输出n, m,表示最简形梯形矩阵A是n
    m维的;
    3)接下来的n行里,每一行会输出m个元素,以空格隔开.

    2、算法流程:
    依据题目描述,我们要写出一个能够依次处理多组数据的、能把任意矩阵化为简化阶梯形形式的程序。考虑到矩阵化为简化阶梯形的过程较为繁琐,所以把化简过程分为将矩阵化为阶梯型、将阶梯型化为简化阶梯型两部分。
    1)txt文件的读入和输出的实现
    在这里插入图片描述
    2)实现多组数据的处理
    为了使程序能处理多组数据,要用到计数循环,即:
    (1) 输入要处理的数据有多少组,在我的程序中记为k;
    (2) 定义并赋值k1=1,这里的k1表示正在处理第几组数据;
    (3) 每处理完一组数据后,使得k1增加1;
    (4) k1=k时处理完最后一组数据,此时k1再加1,即k1>1,跳出循环.
    在这里插入图片描述
    3)矩阵的输入
    考虑到矩阵包含行和列,是一个二次数列的集合,采用数组记录矩阵会比较方便。这里记为a[m][n].
    (1)输入数组的总行数m和总列数n;
    (2)定义i、j分别表示当前讨论的数是在数组的第i行、第j列(在我的程序中还
    定义了i2、j2等参数,即在i、j已经有特定的意义,表示第i行第j列时,进而分析第i2行、第j2列的数。总之,i表示行,j表示列);
    (3)使i=1,开始一个循环,每次循环结束后i增加1,i>m后跳出循环。在这个循
    环中使j=1,开始另一个循环,每次循环结束后j增加1,j>n后跳出循环.
    (4)在上述循环中,依次从键盘读取a[i][j].
    这样,我们就做到了从上往下、从左往右依次输入数字,使得数字在数组中的位置与在矩阵中的位置完全相同。
    在这里插入图片描述
    以一个3x3,从上往下、从左至右数字依次递增的矩阵为例,我们得到的数组的各个存储格存储的数据如下图:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    4)将一般矩阵化为阶梯型
    要想化矩阵为阶梯型,必须从左至右找到每个主元列中的主元,再用主元消去主元正下方的数。首先需要找主元,我采用了类似将矩阵各数字输入数组的类似的方法:用两个循环语句实现:从左至右逐列分析,分析每列时自上而下依次分析每个数字。
    (1) 换行
    主元位置的数不能为零,所以分析某一列的时候,我们自上而下找第一个不为零的数,让这个数存在的一行与含有该列的主元位置的那一行交换,即换行,这样一来就保证了主元位置不为0。
    那么问题来了。若第一列已经处理好,我们要进行第二列的操作时,我们要从第二个数开始自上而下进行判断某个数是否为零。因为若这一列存在主元位置,必然是该列的第二个数。主元位置上方的排序已经完成,不能再动了。那么第三列呢?有两种情况:(a)若第二列找到了主元,第三列有主元位置的话必定是该列第三个;(b)若第二行没有主元,第三列有主元位置的话必定是从上往下数第二个。而我们要从主元位置开始自上而下找非零值,也就是说前面的非主元列会对之后的分析造成影响。经深入思考,我发现当判断到第j列时,用v代表第j列之前有多少非主元列,若第j列有主元,必然是该列第(j-v)个。
    但是,我们并不知道某一列是否是主元列,如果不是,这一列不需要进行行交换。如何判断呢?我们自上而下找非零元素,若全部的数均为零,则该列为非主元列,此时v++,并用break跳出循环。
    在这里插入图片描述
    换行比较简单,我利用了一个新的数组b来临时存储数据。
    在这里插入图片描述
    (2)利用主元消除该列下方其他行元素
    这里我一开始打算将各个主元化为1后再把该列其他数化为0,但是考虑到含有主元的行可能会出现小数,导致之后的处理出现偏差,最终还是决定放大各个数而不是缩小。假设我要用含有某个主元的一行消除第i行,第i行每个数乘以该主元,含有主元的一行乘以主元列中第i行的元素,两行相减赋给第i行。为了避免含主元的一行数据过大,我们在操作结束后除以原来乘的那个数。(因为数据会改变,一开始用一个变量s2来存储这个数。)之后用break跳出循环。
    在这里插入图片描述
    至此,我们将矩阵化为了阶梯型。
    5)将阶梯型化为简化阶梯型
    我们从最后一行开始向上逐行分析,每一行从左至右第一个非零元素必为主元。
    在这里插入图片描述
    将主元化为1,把主元上方的数全部化为0.当然,如果上面的数为零则不处理。
    在这里,因为数据处理后会变动,这里利用v记录信息。v等不等于-1是用来记录该数是否为零的一个标准。至此,数据处理全部完成。
    在这里插入图片描述
    6)矩阵的输出。和输入类似,逐行、逐列输出。(保留三位小数)
    在这里插入图片描述
    3、实验结果
    将一个input.txt文件放在与程序相同的文件夹下,运行程序,输出output.txt。
    input.txt
    output.txt
    在数学里,将一个简单的矩阵化为简化阶梯型很简单,我们的思路也相当明确。但是,当我们要为程序设计一个算法,让程序自己能够用特定的方式解决问题时,却觉得相当的复杂。主元的寻找,一眼就能看出来的,但要让程序做到,不得不绞尽脑汁想出那几行代码。所以,我们要学会探究解决问题的方法的本质。很多显然的事在深究后并不是那么的“显然”,但是一旦我们发现了其中的原理,思想的理解上和之后解决问题的能力上就会有很大的飞越。
    完整程序如下:

      #include<stdio.h>
    int main(){
    	int k,k1,m,n,i,j,i2,j2,i3,j3,v,s1,s2;
    	float a[100][100],b[100][100];
    	FILE *fpRead=fopen("input.txt","r");
        FILE *fpWrite=fopen("output.txt","w");
    	if(fpRead== NULL){  
            return 0;  
        } 
    	fscanf(fpRead,"%d",&k);
    	for(k1=1;k1<=k;k1++){
    		fscanf(fpRead,"%d %d",&m,&n);
    		for(i=1;i<=m;i++){
    			for(j=1;j<=n;j++)
    			fscanf(fpRead,"%f",&a[i][j]);
    		}
    		v=0;
    		for(j=1;j<=n;j++){
    			for(i=j-v;i<=m;i++){
    				if(i== m&&a[i][j]== 0){
    					v++;
    					break;
    				}
    				else if(a[i][j]= =0)continue;
    				else{
    					for(j2=1;j2<=n;j2++){
    						b[i][j2]=a[i][j2];
    					    a[i][j2]=a[j-v][j2];
    					    a[j-v][j2]=b[i][j2];
    					}
    					s1=a[j-v][j];
    					for(i2=j-v+1;i2<=m;i2++){
    						s2=a[i2][j];
    						for(j2=1;j2<=n;j2++){
    							if(s2==0)break;
    							else{
    								a[i2][j2]*=s1;
    								a[j-v][j2]*=s2;
    								a[i2][j2]-=a[j-v][j2];
    								a[j-v][j2]/=s2;
    							}
    						}
    					}
    					break;
    				}
    			}
    		}
    		for(i=m;i>=1;i--){
    			for(j=1;j<=n;j++){
    				if(a[i][j]== 0)continue;
    				else{
    					s1=a[i][j];
    					for(j2=j;j2<=n;j2++)a[i][j2]/=s1;
    					for(i2=i-1;i2>=1;i2--){
    						if(a[i2][j]!=0){
    							s1=a[i2][j];
    							v=-1;
    						}
    						if(v!=-1)s1=0;
    						for(j2=j;j2<=n;j2++)a[i2][j2]=a[i2][j2]-a[i][j2]*s1;
    					}
    				    break;
    				}
    			}
    		} 
    		if(fpWrite== NULL){  
            return 0;  
            } 
    		if(k1== 1)fprintf(fpWrite,"%d\n",k);
    		fprintf(fpWrite,"%d %d\n",m,n);
    		for(i3=1;i3<=m;i3++){
    	        for(j3=1;j3<=n;j3++){
    	        	if(a[i3][j3]==-0)a[i3][j3]=0;
    	            fprintf(fpWrite,"%.3f ",a[i3][j3]);
    	        }
    	        fprintf(fpWrite,"\n"); 
    	    }
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 八、阶梯型矩阵

    千次阅读 2019-05-16 17:40:38
    1. 阶梯型矩阵 ...若矩阵A满足两条件:(1)矩阵A为阶梯型矩阵(2)非0首元(非0的首个非0元素)所在的列,除了非0首元外,其它元素全为0,那么矩阵A为行简化阶梯型矩阵,例如: 3. 简化阶梯型矩阵(re...

    1. 阶梯型矩阵

    若矩阵A满足两条件:(1)若有元素全为0的行,则该行应在最下边(2)非0行的第一个非0元素的列标号随行号的增加而增加,那么矩阵A为阶梯型矩阵,例如:

    \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 5 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

    2. 行简化阶梯型矩阵

    若矩阵A满足两条件:(1)矩阵A为阶梯型矩阵(2)非0首元(非0行的首个非0元素)所在的列,除了非0首元外,其它元素全为0,那么矩阵A为行简化阶梯型矩阵,例如:

    \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 15 & 0 & -10\\ 0 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

    3. 行最简化阶梯型矩阵(reduced row echelon form)

    若矩阵A满足两条件:(1)矩阵A为行简化阶梯型矩阵(2)非0首元都为1,那么矩阵A为行最简化阶梯型矩阵,例如:

    \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{-1}{6}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{-2}{3}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

    非0首元为1时,又称主元(pivot entry),和主元相结合的变量称为主变量,其余变量为自由变量

    4. 阶梯型矩阵实际用途

    矩阵的实际用途一文中已经说明了矩阵的实际用途,但是如果未知数个数多于方程个数,那么方程组可能有无数解,例如,在四维空间中,方程组的解为一个平面,或者在三维空间中,方程组的解为一根直线,平面或直线都是无数个解。下面举一个例子,假设有一个方程组:

    \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 = 7 \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 - x_4 = 12 \\ 2x_1 + 4x_2 + 6x_4 = 4 \end{cases}

    其中,未知数的个数为4,方程的个数为3,初步判断,该方程组有无数解,我们使用矩阵法求解该线性方程组,步骤如下:

    1. 从线性方程组创建系数矩阵

    \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2 & -1\\ 2 & 4 & 0 & 6 \end{bmatrix}

    2. 增广系数矩阵

    \mathbf{A} = \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 2 & -1\\ 2 & 4 & 0 & 6 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ 12\\ 4 \end{matrix} \right ]

    此时,矩阵A就是线性方程组的另一种写法

    3. 使用高斯消去法将增广矩阵转化为行最简化阶梯型矩阵

    \mathbf{A} \Rightarrow \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 2 & -4 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ -5\\ 10 \end{matrix} \right ]

    \Rightarrow \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 7\\ -5\\ 0 \end{matrix} \right ]

    rref(\mathbf{A}) = \left [ \left.\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2\\ 5\\ 0 \end{matrix} \right ]

    4. 用行最简化阶梯型矩阵重写线性方程组

    \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 2 \\ x_3 - 2x_4 = 5 \end{cases}

    其中,x_1 和 x_3 为主变量,x_2 和 x_4 为自由变量

    5. 用自由变量来表示主变量

    \begin{cases} x_1 = 2 - 2x_2 - 3x_4\\ x_3 = 5 + 2x_4 \end{cases}

    自由变量可以取任何值,通过自由变量求出主变量

    6. 扩展线性方程组

    \begin{cases} x_1 = 2 - 2x_2 - 3x_4\\ x_2 = \; \; \; \; \; \; \; \; x_2 \\ x_3 = 5 + \; \; \; \; \; \;\; \; \; 2x_4 \\ x_4 = \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_4 \end{cases}

    7. 用向量形式表示扩展后的线性方程组

    \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 5\\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -3\\ 0\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}

    从向量形式可以看出,后两个向量的线性组合将扩展成一个平面,因此方程组的解为一个平面

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  • maxima得到简化行阶梯矩阵(RREF)

    千次阅读 2016-06-22 11:55:47
    默认的maxima中只有echelon(M); 这样只能得到一个阶梯... 翻墙找到了一个特有用的语句,可以直接提到简化行阶梯形矩阵(RREF)输出: 1.先定义 rref(a):=block([p,q,k],[p,q]:matrix_size(a),a:echelon(a),  k:min
  • 如果觉得这个对你有帮助希望可以点个赞评论一下! 如果发现有问题,希望可以在评论出给出测试数据。 如果可以直接指出代码的错误就更好了!
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  • 线性代数之极大无关组的求法

    千次阅读 多人点赞 2021-03-15 10:30:00
    线性代数之极大无关组的求法 初等变换法 已知矩阵向量组 ...Step2:仅实施初等变换,将矩阵A变成行简化阶梯型 Step3:首非零元所在的列即为极大无关组 Step4:其余向量按照列的倍数直接写出关系式 ...
  • 文章目录一:矩阵运算二:矩阵的逆三:向量方程四:矩阵方程五:线性方程组的解集六:阶段总结七:线性...1.阶梯型以及行简化阶梯型 任何非0矩阵都可以化简为阶梯形矩阵、但用不同的方法可以化为不同的阶梯形矩阵
  • Python3 矩阵求最简行阶梯矩阵

    千次阅读 2019-06-15 13:18:26
    sympy库中提供了rref()方法将Matrix通过初等变换,转化为简化行阶梯矩阵。rref()将返回的是一个元组,包括两个值,第一个是简化行阶梯矩阵,第二个是主元位置的列表。注意:返回的元组第一个类型是Matrix,第二个...
  • 线代基础2

    2019-04-24 17:31:18
    **矩阵的行简化阶梯型:**多元方程化简消元求解。 规则:线性消元化简后保证每行首个非零项为1,呈阶梯型。每行首个非零1为主元,其他非零项为自由变量。 出现自有变量时,说明该方程组的个数比未知量(元)少,...
  • 4.2 线性方程组有解判断

    千次阅读 2020-01-08 22:38:31
    求解方程组就是对增广矩阵做初等变换将系数矩阵化为行简化阶梯型。 下面是方程组有唯一解、无穷多解、无解的情况 结论 判断方程组有无解,关键是看系数矩阵与增广矩阵是否相等。 (使用n代表未知量的个数,m代表...
  • #include <iostream> #include <...//第二部:化为行阶梯型矩阵 //第三步:化为最简型矩阵 //第四步:输出矩阵 class Matrix { public: Matrix(){ }; void input(); void row_echelo_form();

空空如也

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行简化阶梯型