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  • 这节课讲讲关于数组的那些事儿!咳咳,今天这节课非常重要,请大家认真听讲并记好笔记呦!现在老司机带大家开车了!数组可以看成是一种特殊的线性表,其特殊在于,表中的数所元素本身也是一种线性表。由于数组中各...

    Hi~ o(* ̄▽ ̄*)ブ艾睿宝迪,又和大家见面了。这节课讲讲关于数组的那些事儿!                                        

    咳咳,今天这节课非常重要,请大家认真听讲并记好笔记呦!现在老司机带大家开车了!

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    数组可以看成是一种特殊的线性表,其特殊在于,表中的数所元素本身也是一种线性表。

    由于数组中各元素具有统一的类型,并且数组元素的下标一般具有固定的上界和下界,因此,数组的处理比其它复杂的结构更为简单。多维数组是向量的推广。

    例如:二维数组可以看成是由一个行向量组成的向量,也可以看成是一个列向量组成的向量。

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    在C语言中,一个二维数组类型可以定义为其分量类型为一维数组类型的一维数组类型,也就是说,

    typedef elemtype array2[m][n];

    等价于:

    typedef elemtype array1[n];

    typedef array1 array2[m];

    数组一旦被定义,它的维数和维界就不再改变。因此,除了结构的初始化和销毁之外,数组只有存取元素和修改元素值的操作

    数组的顺序表示与实现

    由于计算机的内存结构是一维的,因此用一维内存来表示多维数组,就必须按某种次序将数组元素排成一列序列,然后将这个线性序列存放在存储器中。

    又因为对数组一般不做插入和删除操作,也就是说,数组一旦建立,结构中的元素个数和元素间的关系就不再发生变化。

    因此,一般都是采用顺序存储的方法来表示数组。

    通常有两种顺序存储方式:

    · 以行序为主序

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    · 以列序为主序

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    矩阵的压缩存储

    在科学与工程计算问题中,矩阵是一种常用的数学对象,在高级语言编制程序时,简单而又自然的方法,就是将一个矩阵描述为一个二维数组。

    矩阵在这种存储表示之下,可以对其元素进行随机存取,各种矩阵运算也非常简单,并且存储的密度为1

    但是在矩阵中非零元素呈某种规律分布或者矩阵中出现大量的零元素的情况下,看起来存储密度仍为1,但实际上占用了许多单元去存储重复的非零元素或零元素,这对高阶矩阵会造成极大的浪费。

    为了节省存储空间, 我们可以对这类矩阵进行压缩存储:即为多个相同的非零元素只分配一个存储空间;对零元素不分配空间。

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    1、特殊矩阵

    所谓特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵,下面我为兄弟们简绍几种特殊矩阵的压缩储存1。

    在一个n阶方阵A中,若元素满足下述性质:aij=aji, 0<=i,j<=n-1则称A为对称矩阵。

    对称矩阵中的元素关于主对角线对称,故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素,让每两个对称的元素共享一个存储空间,这样,能节约近一半的存储空间。不失一般性,我们按“行优先顺序”存储主对角线(包括对角线)以下的元素,其存储形式如图所示:

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    在这个下三角矩阵中,第i行恰有i+1个元素,元素总数为:n ( n + 1 ) / 2 n(n+1)/2 n(n+1)/2

    因此,我们可以按从上到下、从左到右将这些元素存放在一个向量 sa[0n(n+1)/2-1] 中。为了便于访问对称矩阵A中的元素,我们必须在 aij 和sa[k] 之间找一个对应关系。

    若 i >= j,则aij在下三角形中。aij 之前的 i 行(从第0行到第 i-1行)一共有 1+2+…+i=i(i+1)/2 个元素,在第 i 行上, aij 之前恰有j个元素(即ai0,ai1,ai2,…,aij-1),因此有:
    k = i ∗ ( i + 1 ) / 2 + j k=i*(i+1)/2+j k=i∗(i+1)/2+j
    0 < = k < n ( n + 1 ) / 2 0<=k若 ik = j ∗ ( j + 1 ) / 2 + i k=j*(j+1)/2+i k=j∗(j+1)/2+i
    0 ≦ k < n ( n + 1 ) / 2 0≦ k

    2、三角矩阵

    以主对角线划分,三角矩阵有上三角和下三角两种。上三角矩阵如图所示,它的下三角(不包括主对角线)中的元素均为常数。下三角矩阵正好相反,它的主对角线上方均为常数,如图所示。

    在大多数情况下,三角矩阵常数为零

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    三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间,其余的元素正好有 n(n+1)/2个,因此,三角矩阵可压缩存储到向量 sa[0…n(n+1)/2] 中,其中c存放在向量的最后一个分量中,上三角矩阵中,主对角线之上的第i行(0<=i

    i(2n-i+1)/2 个元素,在第 i 行上,aij前恰好有 j-i 个元素:aii, aii+1, … aij-1。

    因此,sa[k] 和 aij 的对应关系是:

    当 i < = j : k = i ( 2 n − i + 1 ) / 2 + j − i 当i<=j:k=i(2n-i+1)/2+j-i 当i<=j:k=i(2n−i+1)/2+j−i;

    当 i > j : k = n ( n + 1 ) / 2 当i>j:k=n(n+1)/2 当i>j:k=n(n+1)/2。

    下三角矩阵的存储和对称矩阵类似,sa[k]和aij对应关系是

    当 i > = j , k = i ( i + 1 ) / 2 + j 当 i>=j,k=i(i+1)/2+j 当i>=j,k=i(i+1)/2+j;

    当 i < j , k = n ( n + 1 ) / 2 当 i

    3、对角矩阵

    对角矩阵中,所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带状区域中,即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外,其余元素皆为零。

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    非零元素仅出现在主对角(aii,0<= i <= n-1上,紧邻主对角线上面的那条对角线上(aii+1, 0<= i <= n-2)和紧邻主对角线下面的那条对角线上(ai+1i ,0<= i <= n-2)。

    显然,当 ∣i-j∣>1 时,元素aij=0。

    由此可知,一 k对角矩阵( k 为奇数)A是满足下述条件的矩阵:若∣i-j∣>(k-1)/2 ,则元素 aij=0。

    对角矩阵可按行优先顺序或对角线的顺序,将其压缩存储到一个向量中,并且也能找到每个非零元素和向量下标的对应关系。

    在三对角矩阵里除满足条件i=0,j=0、1,或 i=n-1,j=n-2、n-1 或 1

    对这种矩阵,我们也可按行优序为主序来存储。除第0行和第 n-1行是2个元素外,每行的非零元素都要是3个,因此,需存储的元素个数为3n-2。

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    数组 sa 中的元素 sa[k] 与三对角带状矩阵中的元素 aij 存在一一对应关系,在 aij 之前有 i 行,共有3*i-1个非零元素,在第 i 行,有 j-i+1 个非零元素,这样,非零元素a ij 的地址为:

    L O C ( i , j ) = L O C ( 0 , 0 ) + [ 3 ∗ i − 1 + ( j − i + 1 ) ]∗d 

    LOC(i,j)=LOC(0,0)+[3*i-1+(j-i+1)]*d

    LOC(i,j)=LOC(0,0)+[3∗i−1+(j−i+1)]∗d= L O C ( 0 , 0 ) + ( 2 i + j ) ∗ d =LOC(0,0)+(2i+j)*d =LOC(0,0)+(2i+j)∗d

    上例中,a34对应着sa[10]。

    k = 2 ∗ i + j = 2 ∗ 3 + 4 = 10 k=2*i+j=2*3+4=10 k=2∗i+j=2∗3+4=10

    a21对应着sa[5]

    k = 2 ∗ 2 + 1 = 5 k=2*2+1=5 k=2∗2+1=5

    由此,我们称sa[0,…,3*n-3]是阶三对角带状矩阵A的压缩存储表示。

    上述的各种特殊矩阵,其非零元素的分布都是有规律的,因此总能找到一种方法将它们压缩存储到一个向量中,并且一般都能找到矩阵中的元素与该向量的对应关系,通过这个关系,仍能对矩阵的元素进行随机存取。

    4、稀疏矩阵

    什么是稀疏矩阵呢?简单说,设矩阵A中有s个非零元素,若s远远小于矩阵元素的总数(即s<

    精确地说,设在的矩阵A中,有s个非零元素。令 e=s/(m*n),称e为矩阵的稀疏因子。通常认为 e<=0.05 时称之为稀疏矩阵。在存储稀疏矩阵时,为了节省存储单元,很自然地想到使用压缩存储方法。但由于非零元素的分布一般是没有规律的,因此在存储非零元素的同时,还必须同时记下它所在的行和列的位置(i,j)。反之,一个三元组(i,j,aij)唯一确定了矩阵A的一个非零元。因此,稀疏矩阵可由表示非零元的三元组及其行列数唯一确定。

    例如,下列三元组表((1,2,12)(1,3,9),(3,1,-3),(3,6,14),(4,3,24),(5,2,18)(6,1,15),(6,4,-7))加上(6,7,8)这一对行、列值便可作为下列矩阵M的另一种描述。

    而由上述三元组表的不同表示方法可引出稀疏矩阵不同的压缩存储方法。

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    假设以顺序存储结构来表示三元组表,则可得到稀疏矩阵的一种压缩存储方法——三元顺序表

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    设A为tripletable型的结构变量,图中所示的稀疏矩阵 M 的三元组的表示如下:

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    下面以矩阵的转置为例,说明在这种压缩存储结构上如何实现矩阵的运算。

    一个m×n的矩阵A,它的转置B是一个n×m的矩阵,且a[i][j]=b[j][i],0<=i<=m,0<=j<=n,即A的行是B的列,A的列是B的行。

    将A转置为B,就是将A的三元组表a.data置换为表B的三元组表b.data,如果只是简单地交换a.data中i和j的内容,那么得到的b.data将是一个按列优先顺序存储的稀疏矩阵B,要得到按行优先顺序存储的b.data,就必须重新排列三元组的顺序。

    由于A的列是B的行,因此,按a.data的列序转置,所得到的转置矩阵B的三元组表b.data必定是按行优先存放的。

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    解决思路:

    1、将矩阵行、列维数互换

    2、将每个三元组中的i和j相互调换

    3、重排三元组次序,使mb中元素以N的行(M的列)为主序

    方法一按M的列序转置

    即按mb中三元组次序依次在ma中找到相应的三元组进行转置。

    为找到M中每一列所有非零元素,需对其三元组表ma从第一行起扫描一遍。由于ma中以M行序为主序,所以由此得到的恰是mb中应有的顺序。

    1

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    2

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    3

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    4

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    5

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    6

    16d25618b988516afaa0741053df6446.png

     方法二:快速转置

    即按ma中三元组次序转置,转置结果放入b中恰当位置,此法关键是要预先确定M中每一列第一个非零元在mb中位置,为确定这些位置,转置前应先求得M的每一列中非零元个数。只要兄弟们严格按照以上两种方法来还是没问题的啦!

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    实现:设两个数组

    num[col]:表示矩阵M中第col列中非零元个数

    cpot[col]:指示M中第col列第一个非零元在mb中位置

    显然有

    cpot[1]=1

    cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]; (2<=col<=ma[0].j) 

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    链式存储结构

    1.带行指针向量的单链表表示

    2.每行的非零元用一个单链表存放

    3.设置一个行指针数组,指向本行第一个非零元结点;若本行无非零元,则指针为空表头结点与单链表结点类型定义

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    好了,到这里就结束了。相信大家早已昏昏入睡了 

    但了解它的精髓还需要大家好好消化啊!

    加油吧!愿我们的未来更加美好!

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    部分图片来源于网络

    责任编辑:付子腾   毛丽颖  付冰冰

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  • 控件可以调用二维数组么?vb里的控件数组可以是二维的么?像tn那样的控件中子数组的定义是什么含义?
  • 上节课我们已经学习了数组的基本概念,本节课程我们来一起学习数组的分类,以及它们的声明方法。数组分类:首先根据维数,数组...例如定义一个含有5个元素的一维数组,其在内存中的形式如下图所示:二维数组,就是...
    上节课我们已经学习了数组的基本概念,本节课程我们来一起学习数组的分类,以及它们的声明方法。数组分类:首先根据维数,数组可以被分为一维数组和多维数组。其次根据是否可以被重新定义,数组可以分为静态数组和动态数组。一维数组与多维数组一维数组,即上节课程介绍的形式,也是默认情况下的数组形式,一维数组特点是只有一个下标。例如定义一个含有5个元素的一维数组,其在内存中的形式如下图所示:a589849936a7f953b5d91ca98da32030.png二维数就是数组里有数组。实际上,二维数组就是在一维数组的基础上,每个元素不在是一个具体的数据类型,而是再存储一个一维数组二维数组有两个下标。比如A(5,3)这个二维数组。其共有6*4=24个元素。分别是A(0,0)、A(0,1)...A(5,2)、A(5,3)这24个元素。我们可以将其想象为一个Excel表格,其形式如下图所示:f8689eab9a687a6326fd34cf6105970e.png多维数组,同二维数组类似,即三维数组有3个下标,4维数组有4个下标,以此类推。在VB中最多可以定义60维的数组。虽然VB提供了最多60维的数组,但是实际上我们最为常用的是一维数组以及二维数组,有时候会用到三维数组。其它多维数组通常使用的很少。这里小伙伴只要掌握一维数组和二维数组即可。如果今后确实需要用到更高维的数组,其使用方法与一维、二维数组的是一样的。静态数组与动态数组在VB中,数组按照能否被重新定义分为静态数组和动态数组。所谓静态数组,是指在定义时,已经指定了数组的下标,数组长度已经确定,在被定义后,无法再进行更改。动态数组,在某些情况下,不能事先确定数据的具体个数,那么这就可以采用动态数组来解决问题。动态数组与静态数组相反,在定义动态数组时,不需要定义其下标,而在使用动态数组时则需要用Redim语句来重新定义数组,并指定下标。数组的声明像变量一样,我们要使用一个数组前,必须事先进行声明,也就是定义一个数组后,才可以使用它。一维数组声明方法
    Dim 数组名([下标 To] 上标) [as 类型]1:Dim A(5) as integer2:Dim B%(1 To 6)
    说明:1,下标缺省时下标为0,可以用Option Base 1申明缺省下标为1。2,数据类型缺省时,默认为变体型。3,数组名的定义需要符合VB中标识符定义的要求。4,数组长度等于上标-下标+1,数组长度就是数组元素的个数。5,数组名+下标即可确定某个数组元素。以例1来说,A(0)即表示第一个数组元素,A(5)即表示最后一个数组元素。二维数组声明方法
    Dim 数组名([下标1 To] 上标1, [下标2 To] 上标2) [as 类型]1:Dim  Arr(2,4) as String2:Dim B$(1 To 3,1 To 5)
    动态数组声明方法建立动态数组要分两步:第1步,用Dim语句声明数组,但不能指定数组大小
    Dim 数组名() as 数据类型
    第2步,用ReDim语句动态的分配元素个数
    ReDim [preserve] 数组名(下标1[,下标2...])
    例:Dim s() as SingleSub Form_Load()    ...    ReDim s(2,3)    ...    ReDim Preserve s(4,8)    ...End sub
    注意:在重新用redim定义数组后,数组内的数据全部清除。如需要保留之前的数据,则需要在定义时用 preserve 声明一下。即不加preserve关键词,那么该数组之前的数据将会全部被初始化,而使用preserve关键词后,数组之前的数据将会予以保留。使用动态数组时,切记次要点。好了,今天的全部内容就是这样了,我们下节课再见。

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  • arrm(0,0)=3arrm(0,1)=0这个是向数组arrm(的第0排的第0个地址赋值3...至于0,0 0,1是二维数组的下标,即数学中的坐标看下图你就明白了就如你的arrm数组在定义定义了2排3列的数据第1个数据第2个数据第3个数据第0排1...

    arrm(0,0)=3

    arrm(0,1)=0

    这个是向数组arrm(的第0排的第0个地址赋值3和向数组arrm的第0排第1个地址赋值0

    这个没有为什么的,你爱高兴给他赋值几就赋值几,就像你想给小孩几元钱就给几元,那是你的事。

    至于0,0  0,1是二维数组的下标,即数学中的坐标

    看下图你就明白了

    就如你的arrm数组在定义时 定义了2排3列的数据

    第1个数据    第2个数据    第3个数据

    第0排    10    20    30

    第1排    40    50    60

    如上,那么arrm(0,0)=10    arrm(0,1) =20    arrm(0,2)=30

    arrm(1,0)=40    arrm(1,1)=50    arrm(1,2)=60

    括号中的第一个数相当于横坐标,第二 个数相当于纵坐标 而等号后面的数即为横纵坐标交叉点的值,即该坐标的值

    当然上面是原来的值,如果你想改变谁的值就可以用a(x,y)=赋于的值  即可

    其实数值坐标就是几个变量的集合而已,只是为了便于在循环中好控制而已

    如你的arrm(2,3)就相当于2×3=6个变量,即上面列举的6个

    在vb中数组的起始下标是从0开始的,所以会出现0排第0个数据,而有些语言的数组下标却从1开始。

    其实都差不多,只是后一种更接近于生活而已

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  • 矩阵定义:由m x n个标量组成的长方形数组,可以整数可以小数。如下图:矩阵的几何解释:矩阵多用于在空间中的变换操作。接下来的很长一段时间小菜都会和矩阵成为亲密无间的朋友。方阵定义:行和列数目相等的矩阵。...

    沉迷于硬笔的练习偷懒了很长时间。过去的7月份仅仅更新了一篇文章,实在是深表遗憾。接着之前的向量篇小菜继续向下探索。谢谢大家长久来的鼓励和支持。

    矩阵

    定义:由m x n个标量组成的长方形数组,可以整数可以小数。如下图:

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    矩阵的几何解释:矩阵多用于在空间中的变换操作。

    接下来的很长一段时间小菜都会和矩阵成为亲密无间的朋友。

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    475f79142ece08acc95411703be210b1.png9df1ef4ba3f3ea1e7936d3a455ad9189.png

    方阵

    定义:行和列数目相等的矩阵。在三维渲染里,最常使用的就是3 x 3或4 x 4的方阵。接下来的内容若无特殊说明,讨论的都是方阵。

    088815a446efbfb755a971d12ed4c96e.png   8624034b8f2ffd78604e989c90eec8bb.png

    对角矩阵

    定义:一个矩阵除了对角元素外所有元素都为0,则为对角矩阵。

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    单位矩阵

    定义:一个特殊的对角矩阵就是单位矩阵,对角元素全部为1。单位矩阵和任何矩阵相乘其结果都是原矩阵。

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    开始编码

    基于上面的对矩阵的初步了解,开始编写小菜的自己的矩阵类。

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    小菜用一个2维数组来存储矩阵的行列数据(1维数组也是可以的)。三维空间的变换一般3 x 3矩阵就可以,构建4 x 4的矩阵的目的是为了区分点和向量的变换(这也是vector3额外多了一个w分量的原因),同时也为能完成一些特殊的变换操作。

    接着构造访问.net的索引器,用于方便操作_matrix二维数组。

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    接着是构造单位矩阵

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    转置矩阵

    定义:对于给定的 m x n 的矩阵,转置则是将原m行的元素变换为第m列 而原来的n列变换为第n行。

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    编码实现:

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    标量与矩阵的乘法

    定义:矩阵和标量相乘,其结果还是在一个相同维度的矩阵中,运算过程是每个矩阵的元素与该标量相乘。

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    编码实现:

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    矩阵与矩阵的乘法

    首先矩阵的乘法必须先要满足内积相同,即满足r x n 与 n x c 的行列关系才可以进行矩阵的乘法。

    定义:设有 r x n的矩阵A 和一个n x c的矩阵B,他们相乘会得到一个r x c的矩阵 C = AB。C中的每一个元素Cij等于A矩阵的第i行所对应的矢量和B矩阵的第j列所对应的矢量进行矢量点乘后相加的结果。 

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    矩阵乘法所满足的变换:

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    编码实现:

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    行矩阵与列矩阵

    根据矩阵的定义,我们的向量也可以看作是矩阵。既可以看作行矩阵也可以看作列矩阵,并且通过矩阵的转置,行矩阵和列矩阵可以相互的转化。

    68b96b9ecf3c26e428993abc1cbd53f8.png        dd6dcc63da3169c8b27a816ef5e9357c.png

    根据矩阵的乘法规则,要想让向量和矩阵能做乘法,必须满足。

    1. 行向量要左乘  vABC

    2. 列向量要右乘  CBAv

    通常:DirectX使用的是行向量,OpenGL使用的是列向量。

    我们的Unity使用的也是行向量左乘规范。

    行向量左乘

    3079d34dfc85c7e0a37500742c15cba9.png

    列向量右乘 

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    编码行向量左乘

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    7bd3859935100b05bbe782983b185f5e.png

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    最后方便测试输出,小菜重写了下ToString()操作。

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