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  • 傅里叶级数推导
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    2019-06-11 13:50:09

    物理意义:把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。

    三角函数系

    cos x, sinx, cos2x, sin2x.…, cosnx, sinnx.…

    正交性

    在[- π \pi π π \pi π]上正交,即其中任意两个不同的函数之积在[- π \pi π π \pi π]上的积分等于0.

    可以证明:

    • ∫ − π π cos ⁡ n x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x d x=0 ππcosnxdx=0
    • ∫ − π π sin ⁡ n x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x d x=0 ππsinnxdx=0
    • ∫ − π π cos ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0 ( m = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ m ≠ n ) \begin{array}{c}{\int_{-\pi}^{\pi} \cos m x \cos n x d x=0 \quad(m=1,2,3, \cdots, n=1,2,3, \cdots m \neq n )}\end{array} ππcosmxcosnxdx=0(m=1,2,3,,n=1,2,3,m̸=n)
    • ∫ − π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 0 ( m = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ m ≠ n ) \begin{array}{c}{\int_{-\pi}^{\pi} \sin m x \sin n x d x=0 \quad(m=1,2,3, \cdots, n=1,2,3, \cdots m \neq n )}\end{array} ππsinmxsinnxdx=0(m=1,2,3,,n=1,2,3,m̸=n)
    • ∫ − π π sin ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0 ( m = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} \sin m x \cos n x d x &=0 \quad(m=1,2,3, \cdots, n=1,2,3, \cdots ) \end{aligned} ππsinmxcosnxdx=0(m=1,2,3,,n=1,2,3,)当m=n时
      ∫ − π π 1 ⋅ 1 d x = 2 π ∫ − π π cos ⁡ 2 n x d x = π ∫ − π π sin ⁡ 2 n x d x = π ( n = 1 , 2 , ⋯   ) \begin{array}{l}{\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot 1 \mathrm{d} x=2 \pi} \\\\ {\int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} n x d x=\pi} \\\\ {\int_{-\pi}^{\pi} \sin ^{2} n x d x=\pi}\end{array}(n=1,2, \cdots) ππ11dx=2πππcos2nxdx=πππsin2nxdx=π(n=1,2,)
      f ( x ) f(x) f(x)是周期为2 π \pi π的周期函数,且可逐项积分,利用三角级数得
      f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) f(x)=2a0+n=1(ancosnx+bnsinnx) 想要表达 f ( x ) f(x) f(x)得求出 a 0 , a n , b n a_{0},a_{n},b_{n} a0,an,bn,对两边进行积分得
      ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 2 d x + ∑ n = 1 ∞ [ ∫ − π π a n cos ⁡ n x d x + ∫ − π π b n sin ⁡ n x d x ] \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=& \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_{0}}{2} \mathrm{d} x+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\int_{-\pi}^{\pi} a_{n} \cos n x \mathrm{d} x\right. +\int_{-\pi}^{\pi} b_{n} \sin n x \mathrm{d} x ] \end{aligned} ππf(x)dx=ππ2a0dx+n=1[ππancosnxdx+ππbnsinnxdx]因为 a 0 , a n , b n a_{0}, a_{n}, b_{n} a0,an,bn为常数,利用三角函数的正交性
    • ∫ − π π cos ⁡ n x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \cos n x d x=0 ππcosnxdx=0
    • ∫ − π π sin ⁡ n x d x = 0 \int_{-\pi}^{\pi} \sin n x d x=0 ππsinnxdx=0
      得到
      ∫ − π π f ( x ) d x = ∫ − π π a 0 2 d x = π a 0 \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_{0}}{2} \mathrm{d} x=\pi a_{0} ππf(x)dx=ππ2a0dx=πa0
      a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_{0}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) d x a0=π1ππf(x)dx
      为了求 a n a_{n} an,在等式两边 cos ⁡ k x \cos k x coskx
      ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ k x d x = ∫ − π π a 0 2 cos ⁡ k x d x + ∑ n = 1 ∞ I − π π a n cos ⁡ k x cos ⁡ n x d x + ∫ − π π b n cos ⁡ k x sin ⁡ n x d x ] \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos k x d x &=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_{0}}{2} \cos k x d x \\ &+\sum_{n=1}^{\infty} I_{-\pi}^{\pi} a_{n} \cos k x \cos n x d x \\ &+\int_{-\pi}^{\pi} b_{n} \cos k x \sin n x d x ] \end{aligned} ππf(x)coskxdx=ππ2a0coskxdx+n=1Iππancoskxcosnxdx+ππbncoskxsinnxdx]当k=n时,由三角函数的正交性可知 ∫ − π π a n cos ⁡ k x cos ⁡ n x d x = ∫ − π π a n cos ⁡ 2 n x d x = a n ∫ − π π 1 + cos ⁡ 2 n x 2 d x = a n π \begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} a_{n} \cos k x \cos n x d x=\int_{-\pi}^{\pi} a_{n} \cos ^{2} n x d x \\=& a_{n} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1+\cos 2 n x}{2} d x=a_{n} \pi \end{aligned} =ππancoskxcosnxdx=ππancos2nxdxanππ21+cos2nxdx=anπ其余各项均为零.因此 a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x \quad(n=1,2,3, \cdots) an=π1ππf(x)cosnxdx(n=1,2,3,)同理 b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x \quad(n=1,2,3, \cdots) bn=π1ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,)
      整理一下得:
      { a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) \left\{\begin{array}{ll}{a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x} & {(n=0,1,2, \cdots)} &\\\\ {b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x} & {(n=1,2,3, \cdots)}\end{array}\right. an=π1ππf(x)cosnxdxbn=π1ππf(x)sinnxdx(n=0,1,2,)(n=1,2,3,)
      a n ( 0 开 始 的 ) , b n a_{n}(0开始的),b_{n} an(0)bn称为傅里叶系数。由傅里叶系数组成的三角级数称为傅里叶级数。


    f ( x ) = { − 1 , − π ≤ x &lt; 0 1 , 0 ≤ x &lt; π f(x)=\left\{\begin{array}{lr}{-1,} &amp; {-\pi \leq x&lt;0} \\ {1,} &amp; {0 \leq x&lt;\pi}\end{array}\right. f(x)={1,1,πx<00x<π
    在这里插入图片描述

    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x = 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) cos ⁡ n x d x + 1 π ∫ 0 π cos ⁡ n x d x = − 1 π 1 n sin ⁡ n x ] − π 0 + 1 π 1 n sin ⁡ n x ] 0 π = 0 ( n = 0 , 1 , 2 , 3 ⋯ &ThinSpace; ) \begin{aligned} a_{n} &amp;=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x d x \\ &amp;=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0}(-1) \cos n x d x+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos n x d x \\ &amp;=-\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \sin n x ]_{-\pi}^{0}+\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \sin n x ]_{0}^{\pi}=0 \\ &amp;(n=0,1,2,3 \cdots) \end{aligned} an=π1ππf(x)cosnxdx=π1π0(1)cosnxdx+π10πcosnxdx=π1n1sinnx]π0+π1n1sinnx]0π=0(n=0,1,2,3)
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ u x d x = 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) sin ⁡ x d x + 1 π ∫ 0 π sin ⁡ x d x = 1 π 1 n cos ⁡ n x ∣ − π 0 − 1 π [ 1 n cos ⁡ n x ] 0 π = 2 n π [ 1 − ( − 1 ) n ] = { 4 n π , n = 1 , 3 , 5 , ⋯ 0 \begin{aligned} b_{n} &amp;=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin u x d x \\ &amp;=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0}(-1) \sin x d x+\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x d x \\ &amp;=\frac{1}{\pi} \frac{1}{n} \cos n\left.x\right|_{-\pi} ^{0}-\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n} \cos n x\right]_{0}^{\pi} \\ &amp;=\frac{2}{n \pi}\left[1-(-1)^{n}\right] \\ &amp;=\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{n \pi}, n=1,3,5, \cdots} \\ {0}\end{array}\right. \end{aligned} bn=π1ππf(x)sinuxdx=π1π0(1)sinxdx+π10πsinxdx=π1n1cosnxπ0π1[n1cosnx]0π=nπ2[1(1)n]={nπ4,n=1,3,5,0所以 f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n x = 4 π [ sin ⁡ x + 1 3 sin ⁡ 3 x + ⋯ + 1 2 n − 1 sin ⁡ ( 2 n − 1 ) x + ⋯ &ThinSpace; ] f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \sin n x\\=\frac{4}{\pi}\left[\sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x+\cdots+\frac{1}{2 n-1} \sin (2 n-1) x+\cdots\right] f(x)=n=1bnsinnx=π4[sinx+31sin3x++2n11sin(2n1)x+]

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  • 文章目录前言一、傅里叶级数定义1.1 效果示意1.2 数学定义二、理论推导2.1 关系解读(AnA_nAn​,ana_nan​,bnb_nbn​)2.2 表达式验证(A0A_0A0​,ana_nan​,bnb_nbn​)2.2.1 三角函数的正交性2.2.2 表征A0A_0A0​2.2.2...


    前言

    傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,如何完整且深入的理解其对在仪器及信号领域的学习极其重要。

    一、傅里叶级数定义

    1.1 效果示意

    应用前提:傅里叶级数是针对周期函数的。
    应用效果:猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。以周期为2π的方波为示例:
    在这里插入图片描述

    图1 傅里叶效果示意图

    1.2 数学定义

    f(t)是周期为T的波,其可以为矩形波、锯齿波、三角波等任意形式,在一定条件下均可以写成:
    f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n w t + ψ n ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] (1) f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_nsin(nwt+ \psi_n) \\ =A_0+\sum_{n=1}^{\infty} [a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)] \tag{1} f(t)=A0+n=1Ansin(nwt+ψn)=A0+n=1[ancos(nwt)+bnsin(nwt)](1)
    式中:
    a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) c o s ( n w t ) d t a_n=\frac{2}{T} \int^{t_0+T}_{t_0} f(t)cos(nwt)dt an=T2t0t0+Tf(t)cos(nwt)dt
    b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) s i n ( n w t ) d t b_n=\frac{2}{T} \int^{t_0+T}_{t_0} f(t)sin(nwt)dt bn=T2t0t0+Tf(t)sin(nwt)dt
    w = 2 π T w=\frac {2π}{T} w=T2π
    式(1)中右端级数即为由 f ( t ) f(t) f(t)所确定的傅里叶级数

    二、理论推导

    该推导的最终目标为:在傅里叶级数的猜想下,溯源 a n a_n an b n b_n bn表达式。

    2.1 关系解读( A n A_n An, a n a_n an, b n b_n bn)

    针对于傅里叶级数式(1),可分为两个部分,即:
    f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n w t + ψ n ) (2) f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} A_nsin(nwt+ \psi_n) \tag{2} f(t)=A0+n=1Ansin(nwt+ψn)(2)
    f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] (3) f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} [a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)] \tag{3} f(t)=A0+n=1[ancos(nwt)+bnsin(nwt)](3)
    式(2)作为傅里叶的第一重假设,如何过渡至(3),即 A n A_n An a n a_n an b n b_n bn之间的关系该如何表征?
    引入式(4):
    A n s i n ( n w t + ψ n ) = A n s i n ( ψ n ) c o s ( n w t ) + A n c o s ( ψ n ) s i n ( n w t ) (4) A_nsin(nwt+ \psi_n) = A_nsin(\psi_n)cos(nwt)+A_ncos(\psi_n)sin(nwt) \tag{4} Ansin(nwt+ψn)=Ansin(ψn)cos(nwt)+Ancos(ψn)sin(nwt)(4)
    可得: a n = A n s i n ( ψ n ) a_n= A_nsin(\psi_n) an=Ansin(ψn) , b n = A n c o s ( ψ n ) b_n=A_ncos(\psi_n) bn=Ancos(ψn)
    到此,已得到三者之间的关系,下一步即为求解出 a n a_n an b n b_n bn的表达式。

    2.2 表达式验证( A 0 A_0 A0, a n a_n an, b n b_n bn)

    2.2.1 三角函数的正交性

    1)三角函数正交性表征
    三角函数系:
    ( 1 , c o s x , s i n x , c o s 2 x , s i n 2 x , . . . , c o s n x , s i n n x , . . . ) (5) (1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,... ) \tag{5} (1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...)(5)
    式(5)中的任意两个不同函数乘机沿区间 [ c , c + 2 π ] [c,c+2π] [c,c+2π](c为任意值)上的积分为零,而每个函数自身平方的积分非零。即该函数系在长为2π的区间上具有正交性
    2)三角函数正交性证明
    1、基本三角函数 s i n n x sinnx sinnx c o s n x cosnx cosnx积分
    ∫ c c + 2 π c o s n x d x = ∫ 0 2 π c o s n x d x = 0 ∫ c c + 2 π s i n n x d x = ∫ 0 2 π s i n n x d x = 0 \int^{c+2π}_{c}cosnxdx=\int^{2π}_{0}cosnxdx=0 \\ \int^{c+2π}_{c}sinnxdx=\int^{2π}_{0}sinnxdx=0 cc+2πcosnxdx=02πcosnxdx=0cc+2πsinnxdx=02πsinnxdx=0
    2、不同三角函数互乘 s i n n x × c o s k x sinnx×coskx sinnx×coskx积分
    ∫ c c + 2 π s i n n x × c o s k x d x = 0 \int^{c+2π}_{c}sinnx×coskxdx=0 cc+2πsinnx×coskxdx=0
    3、三角函数自身平方 s i n 2 n x sin^{2}nx sin2nx c o s 2 n x cos^{2}nx cos2nx积分
    ∫ c c + 2 π c o s 2 n x d x = ∫ 0 2 π c o s 2 n x d x = ∫ 0 2 π 1 + c o s 2 n x 2 d x = π ∫ c c + 2 π s i n 2 n x d x = π \int^{c+2π}_{c}cos^{2}nxdx= \int^{2π}_{0}cos^{2}nxdx= \int^{2π}_{0} \frac {1+cos2nx} {2}dx=π \\ \int^{c+2π}_{c}sin^{2}nxdx=π cc+2πcos2nxdx=02πcos2nxdx=02π21+cos2nxdx=πcc+2πsin2nxdx=π

    2.2.2 表征 A 0 A_0 A0

    对傅里叶级数(3)从 [ − π , π ] [-π,π] [ππ]积分,可得:
    ∫ − π π f ( t ) = ∫ − π π A 0 + ∫ − π π ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] (6) \int^{π}_{-π} f(t)=\int^{π}_{-π}A_0+\int^{π}_{-π}\sum_{n=1}^{\infty} [a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)] \tag{6} ππf(t)=ππA0+ππn=1[ancos(nwt)+bnsin(nwt)](6)
    依据三角函数函数正交性,可将式(6)简化为:
    ∫ − π π f ( t ) = ∫ − π π A 0 + 0 = 2 π A 0 (7) \int^{π}_{-π} f(t)=\int^{π}_{-π}A_0+0 = 2πA_0 \tag{7} ππf(t)=ππA0+0=2πA0(7)
    进而解出:
    A 0 = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) (8) A_0=\frac {1} {2π} \int^{π}_{-π}f(t) \tag{8} A0=2π1ππf(t)(8)

    2.2.2 表征 a n a_n an, b n b_n bn

    [ − π , π ] [-π,π] [ππ]内,对(3)两边同乘以 c o s k x coskx coskx进行积分,结合三角函数正交性定理可得:
    ∫ − π π f ( x ) c o s k x d x = \int^{π}_{-π} f(x)coskx dx = ππf(x)coskxdx=
    A 0 ∫ − π π c o s k x d x + + ∑ n = 1 ∞ ( a n ∫ − π π c o s n x c o s k x d x + b n ∫ − π π s i n n x c o s k x d x ) = i n t − π π a n c o s 2 k x d x = a n π (9) A_0 \int^{π}_{-π}coskxdx++\sum^{\infty}_{n=1}( a_n\int^{π}_{-π}cosnx coskx dx+b_n\int^{π}_{-π}sinnx coskx dx) \\=int^{π}_{-π}a_ncos^{2}kxdx=a_nπ \tag{9} A0ππcoskxdx++n=1(anππcosnxcoskxdx+bnππsinnxcoskxdx)=intππancos2kxdx=anπ(9)
    即:
    a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s k x d x (10) a_n=\frac {1}{π} \int ^{π}_{-π} f(x)coskxdx \tag{10} an=π1ππf(x)coskxdx(10)
    同理可求得
    b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n k x d x (11) b_n=\frac {1}{π} \int ^{π}_{-π} f(x)sinkxdx \tag{11} bn=π1ππf(x)sinkxdx(11)

    式(10)(11)即为最终溯源 a n a_n an b n b_n bn表达式。

    2.2.3 表征 A 0 A_0 A0, a n a_n an

    依据式(8)(10),可得
    A 0 = a 0 2 (8) A_0=\frac {a_0} {2} \tag{8} A0=2a0(8)

    三、总结

    以一个示意图作为作为最终结尾:
    在这里插入图片描述

    参考来源:
    1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378
    2、https://www.zhihu.com/question/21665935
    3、高等数学

    展开全文
  • 本节是傅里叶级数的练习。推导了几个典型周期信号的傅里叶级数

    配郑君里《信号与系统》第三版 3.3

    0. 傅里叶级数展开公式

    其他有关傅里叶级数的总结可见博文
    f ( t ) = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n ω 1 t ) + b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) ] f(t)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(n\omega_1t)+b_n\sin(n\omega_1t)\right] f(t)=21a0+n=1[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]

    a 0 a_0 a0前的系数只是为了保持与其他 a i a_i ai表达式的一致

    其中,
    a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t ,     n = 0 , 1 , 2 ⋯ b n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) sin ⁡ ( n ω 1 t )   d t ,     n = 1 , 2 , 3 ⋯ a_n=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt, \ \ \ n=0, 1, 2\cdots \\ b_n=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt, \ \ \ n=1, 2, 3\cdots an=T122T12T1f(t)cos(nω1t)dt,   n=0,1,2bn=T122T12T1f(t)sin(nω1t)dt,   n=1,2,3

    关于为什么 a 0 a_0 a0 1 T 1 \frac{1}{T_1} T11,而 a n a_n an 2 T 1 \frac{2}{T_1} T12。思考最初的推导过程,我们是将正交函数系和原函数相乘,得到一系列的关于系数的积分等式, a 0 a_0 a0对应直流部分,常数直接积分,区间长度为 T 1 T_1 T1,因而除过去就是 1 T 1 \frac{1}{T_1} T11,而相应 a n a_n an积分,由正交性,最终留下的是相应三角值的平方,由半角公式,给出一个 1 2 \frac{1}{2} 21的常数,所以积分得到 T 1 2 \frac{T_1}{2} 2T1,除过去得到 2 T 1 \frac{2}{T_1} T12

    1. 周期矩形脉冲信号

    在这里插入图片描述
    偶函数,仅需推导 a n a_n an项。

    1 2 a 0 = 1 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t )   d t = 1 T 1 ∫ − τ 2 τ 2 E   d t = E τ T 1 \frac{1}{2}a_0=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\,\mathrm dt=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}E\,\mathrm dt=\frac{E\tau}{T_1} 21a0=T112T12T1f(t)dt=T112τ2τEdt=T1Eτ
    a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 T 1 ∫ − τ 2 τ 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 E n ω 1 T 1 ⋅ 2 sin ⁡ ( n ω 1 t ) ∣ 0 τ 2 = 4 E n ω 1 T 1 sin ⁡ ( n ω 1 τ 2 ) \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^\frac{T_1}{2}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{\tau}{2}}^\frac{\tau}{2}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{n\omega_1T_1}\cdot 2\sin(n\omega_1t)\bigg|_0^{\frac{\tau}{2}}=\frac{4E}{n\omega_1T_1}\sin\left(n\omega_1\frac{\tau}{2}\right) \end{aligned} an=T122T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T122τ2τf(t)cos(nω1t)dt=nω1T12E2sin(nω1t)02τ=nω1T14Esin(nω12τ)
    随后,灵活运用 ω 1 T 1 = 2 π \omega_1T_1=2\pi ω1T1=2π,得到:
    a n = 2 E n π sin ⁡ ( n π τ T 1 ) a_n=\frac{2E}{n\pi}\sin\left(n\pi\frac{\tau}{T_1}\right) an=nπ2Esin(nπT1τ)
    上面这个式子可以生动地反映出频谱特性,即振幅呈调和收缩,整体为表现出振荡。

    1.1. 抽样函数形式

    利用抽样函数,进行改写:
    a n = 2 E n π n π τ T 1 S a ( n π τ T 1 ) = 2 E τ T 1 S a ( n π τ T 1 ) a_n=\frac{2E}{n\pi}\frac{n\pi\tau}{T_1}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)=\frac{2E\tau}{T_1}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right) an=nπ2ET1nπτSa(T1nπτ)=T12EτSa(T1nπτ)
    还可以转化成用 ω 1 \omega_1 ω1表示的形式:
    a n = E τ ω 1 π S a ( n ω 1 τ 2 ) a_n=\frac{E\tau\omega_1}{\pi}\mathrm{Sa}\left(\frac{n\omega_1\tau}{2}\right) an=πEτω1Sa(2nω1τ)
    这是一个系数非1的抽样函数,在此基础上,我们对周期脉冲的赋值特性有了更加深刻的了解,即存在一个明显的收敛趋势,通信时我们只需考虑在频带内部的部分即可。

    1.2. 奇偶性分析以及对称方波

    最终的展开式为:
    f ( t ) = E τ T 1 + 2 E τ T 1 ∑ n = 1 ∞ S a ( n π τ T 1 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{E\tau}{T_1}+\frac{2E\tau}{T_1}\sum_{n=1}^\infty\mathrm{Sa}\left(\frac{n\pi\tau}{T_1}\right)\cos\left(n\omega_1t\right) f(t)=T1Eτ+T12Eτn=1Sa(T1nπτ)cos(nω1t)
    这其中常数是一个偶函数才可能有的成分。分析第二部分,为一个对称脉冲。

    如果我们将脉冲宽度调整为 T 1 2 \frac{T_1}{2} 2T1,那么最终就会构成一个对称方波。
    在这里插入图片描述
    亦即
    f ( t ) = 2 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n sin ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\left(n\omega_1t\right) f(t)=π2En=1n1sin(2nπ)cos(nω1t)

    2. 周期锯齿脉冲信号

    在这里插入图片描述

    这是一个奇函数,因而展开为
    f ( t ) = b n sin ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=b_n\sin(n\omega_1t) f(t)=bnsin(nω1t)
    其中
    b n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 E T 1 t sin ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 E T 1 2 ∫ − T 1 2 T 1 2 t   d [ cos ⁡ ( n ω 1 t ) ] = 2 E T 1 2 ( − 1 n ω 1 ) [ 2 T 1 2 ( − 1 ) n − ∫ − T 1 2 T 1 2 cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t ] = 2 E T 1 2 ( − 1 n ω 1 ) [ T 1 ( − 1 ) n − 0 ] = 2 E T 1 n ω 1 ( − 1 ) ( n + 1 ) = E n π ( − 1 ) n + 1 \begin{aligned} b_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\frac{E}{T_1}t\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt=\frac{2E}{T_1^2}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}t\,\mathrm d\left[\cos(n\omega_1t)\right]\\ &=\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n\omega_1}\right)\left[2\frac{T_1}{2}(-1)^n-\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\right]\\ &=\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n\omega_1}\right)\left[T_1(-1)^n-0\right]\\ &=\frac{2E}{T_1n\omega_1}(-1)^{(n+1)}=\frac{E}{n\pi}(-1)^{n+1} \end{aligned} bn=T122T12T1T1Etsin(nω1t)dt=T122E2T12T1td[cos(nω1t)]=T122E(nω11)[22T1(1)n2T12T1cos(nω1t)dt]=T122E(nω11)[T1(1)n0]=T1nω12E(1)(n+1)=nπE(1)n+1
    最终的展开式为:
    f ( t ) = E π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n sin ⁡ ( n ω 1 t ) = E π [ sin ⁡ ( ω 1 t ) − 1 2 sin ⁡ ( 2 ω 1 t ) + 1 3 sin ⁡ ( 3 ω 1 t ) − 1 4 sin ⁡ ( 4 ω 1 t ) ⋯   ] \begin{aligned} f(t)&=\frac{E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\sin(n\omega_1t)\\ &=\frac{E}{\pi}\left[\sin(\omega_1t)-\frac{1}{2}\sin(2\omega_1t)+\frac{1}{3}\sin(3\omega_1t)-\frac{1}{4}\sin(4\omega_1t)\cdots\right] \end{aligned} f(t)=πEn=1(1)n+1n1sin(nω1t)=πE[sin(ω1t)21sin(2ω1t)+31sin(3ω1t)41sin(4ω1t)]

    3. 周期三角脉冲信号


    这是一个偶函数,所以我们只需展成如下形式:
    f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n sin ⁡ ( n ω 1 t )   d t f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt f(t)=a0+n=1ansin(nω1t)dt
    其中 a 0 a_0 a0为一个周期上的积分,易得 a 0 = E 2 a_0=\frac{E}{2} a0=2E

    将三角脉冲分解成一个直流信号和一个倒绝对值信号的加和,绝对值信号是偶对称信号,于是积分过程中可以有:
    a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 T 1 [ ∫ − T 1 2 T 1 2 E + 2 E T 1 ( ∫ − T 1 2 0 − ∫ 0 T 1 2 ) t ] cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 T 1 ( 0 − 4 E T 1 ∫ 0 T 1 2 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = − 2 T 1 4 E T 1 1 n ω 1 [ t sin ⁡ ( n ω 1 t ) ∣ 0 π 2 − ∫ 0 T 1 2 sin ⁡ ( n ω 1 t )   d t ] = − 8 E n ω 1 T 1 2 [ 0 − 2 n ω 1 ] = 16 n ω 1 2 T 1 2 = 16 n ( 2 π ) 2 = 4 n π 2 \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\left[\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}E+\frac{2E}{T_1}\left(\int_{-\frac{T_1}{2}}^{0}-\int_{0}^\frac{T_1}{2}\right)t\right]\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\left(0-\frac{4E}{T_1}\int_{0}^{\frac{T_1}{2}}t\right)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=-\frac{2}{T_1}\frac{4E}{T_1}\frac{1}{n\omega_1}\left[t\sin(n\omega_1t)\Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^\frac{T_1}{2}\sin(n\omega_1t)\,\mathrm dt\right]\\ &=-\frac{8E}{n\omega_1T_1^2}\left[0-\frac{2}{n\omega_1}\right]\\ &=\frac{16}{n\omega_1^2T_1^2}=\frac{16}{n(2\pi)^2}=\frac{4}{n\pi^2} \end{aligned} an=T122T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T12[2T12T1E+T12E(2T1002T1)t]cos(nω1t)dt=T12(0T14E02T1t)cos(nω1t)dt=T12T14Enω11tsin(nω1t)02π02T1sin(nω1t)dt=nω1T128E[0nω12]=nω12T1216=n(2π)216=nπ24
    最终展开式为:
    f ( t ) = E 2 + 4 E π 2 [ cos ⁡ ( ω 1 t ) + 1 3 2 cos ⁡ ( 3 ω 1 t ) + 1 5 2 cos ⁡ ( 5 ω 1 t ) + ⋯   ] = E 2 + 4 E π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 sin ⁡ 2 ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) \begin{aligned} f(t)&=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^2}\left[\cos(\omega_1t)+\frac{1}{3^2}\cos(3\omega_1t)+\frac{1}{5^2}\cos(5\omega_1t)+\cdots\right]\\ &=\frac{E}{2}+\frac{4E}{\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\sin^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) \end{aligned} f(t)=2E+π24E[cos(ω1t)+321cos(3ω1t)+521cos(5ω1t)+]=2E+π24En=1n21sin2(2nπ)cos(nω1t)

    4. 周期半波余弦信号

    在这里插入图片描述

    直接写 a n a_n an的推导过程:
    1 2 a 0 = 1 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t )   d t = 1 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t )   d t = 1 ω 1 T 1 2 E = E π \frac{1}{2}a_0=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\,\mathrm dt=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos(\omega_1t)\,\mathrm dt=\frac{1}{\omega_1T_1}2E=\frac{E}{\pi} 21a0=T112T12T1f(t)dt=T114T14T1Ecos(ω1t)dt=ω1T112E=πE
    a n = 2 T 1 ∫ − T 1 2 T 1 2 f ( t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 E T 1 ∫ 0 T 1 4 cos ⁡ [ ( n + 1 ) ω 1 t ] + cos ⁡ [ ( n − 1 ) ω 1 t ]   d t = 2 E ω 1 T 1 [ sin ⁡ ( n + 1 ) π 2 n + 1 + sin ⁡ ( n − 1 ) π 2 n − 1 ] = E π [ cos ⁡ n π 2 n + 1 − cos ⁡ n π 2 n − 1 ] = E cos ⁡ n π 2 π ⋅ 1 n 2 − 1 ⋅ ( − 2 ) = − 2 E cos ⁡ n π 2 π 1 n 2 − 1 \begin{aligned} a_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{T_1}\int_{0}^{\frac{T_1}{4}}\cos\left[(n+1)\omega_1t\right]+\cos[(n-1)\omega_1t]\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{\omega_1T_1}\left[\frac{\sin\frac{(n+1)\pi}{2}}{n+1}+\frac{\sin\frac{(n-1)\pi}{2}}{n-1}\right]\\ &=\frac{E}{\pi}\left[\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n+1}-\frac{\cos\frac{n\pi}{2}}{n-1}\right]\\ &=\frac{E\cos\frac{n\pi}{2}}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2-1}\cdot\left(-2\right)=-\frac{2E\cos\frac{n\pi}{2}}{\pi}\frac{1}{n^2-1} \end{aligned} an=T122T12T1f(t)cos(nω1t)dt=T124T14T1Ecos(ω1t)cos(nω1t)dt=T12E04T1cos[(n+1)ω1t]+cos[(n1)ω1t]dt=ω1T12E[n+1sin2(n+1)π+n1sin2(n1)π]=πE[n+1cos2nπn1cos2nπ]=πEcos2nπn211(2)=π2Ecos2nπn211
    展开为:
    f ( t ) = E π − 2 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − 1 cos ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{E}{\pi}-\frac{2E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) f(t)=πEπ2En=1n211cos(2nπ)cos(nω1t)

    5. 周期全波余弦信号

    在这里插入图片描述
    由于这个函数也是偶函数,分析方法与半波余弦信号比较类似,我们尽量利用先前得到的结果。

    首先,一个周期内的半个空缺被补上,首项变为原来的两倍,成为半波推导中的 a 0 a_0 a0,即 2 E π \frac{2E}{\pi} π2E
    由于是偶函数,所以我们可以利用偶函数性质,将其系数 A n A_n An表示成
    A n = 2 T 1 ∫ − T 1 4 T 1 4 E cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t + 2 ⋅ 2 T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 E ( − cos ⁡ ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = a n − 4 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t \begin{aligned} A_n&=\frac{2}{T_1}\int_{-\frac{T_1}{4}}^\frac{T_1}{4}E\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt+2\cdot\frac{2}{T_1}\int_{\frac{T_1}{4}}^\frac{T_1}{2}E(-\cos\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=a_n-\frac{4E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt \end{aligned} An=T124T14T1Ecos(ω1t)cos(nω1t)dt+2T124T12T1E(cosω1t)cos(nω1t)dt=anT14E4T12T1cos(ω1t)cos(nω1t)dt
    我们计算
    I n = 4 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ ( ω 1 t ) cos ⁡ ( n ω 1 t )   d t = 2 E T 1 ∫ T 1 4 T 1 2 cos ⁡ [ ( n + 1 ) ω 1 t ] + cos ⁡ ( ( n − 1 ) ω 1 t )   d t = 2 E ω 1 T 1 ( sin ⁡ ( n + 1 ) π − sin ⁡ n + 1 2 π n + 1 + sin ⁡ ( n − 1 ) π − sin ⁡ n − 1 2 π n − 1 )   d t = E π ( 0 − cos ⁡ n π 2 n + 1 + 0 + cos ⁡ n π 2 n − 1 )   d t = E π cos ⁡ n π 2 ( 1 n − 1 − 1 n + 1 )   d t = − 2 E π cos ⁡ ( n π 2 ) 1 n 2 − 1 \begin{aligned} I_n&=\frac{4E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos(\omega_1t)\cos(n\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{T_1}\int_\frac{T_1}{4}^\frac{T_1}{2}\cos[(n+1)\omega_1t]+\cos((n-1)\omega_1t)\,\mathrm dt\\ &=\frac{2E}{\omega_1T_1}\left(\frac{\sin(n+1)\pi-\sin\frac{n+1}{2}\pi}{n+1}+\frac{\sin(n-1)\pi-\sin\frac{n-1}{2}\pi}{n-1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{E}{\pi}\left(\frac{0-\cos\frac{n\pi}{2}}{n+1}+\frac{0+\cos\frac{n\pi}{2}}{n-1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{E}{\pi}\cos\frac{n\pi}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\,\mathrm dt\\ &=\frac{-2E}{\pi}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\frac{1}{n^2-1} \end{aligned} In=T14E4T12T1cos(ω1t)cos(nω1t)dt=T12E4T12T1cos[(n+1)ω1t]+cos((n1)ω1t)dt=ω1T12E(n+1sin(n+1)πsin2n+1π+n1sin(n1)πsin2n1π)dt=πE(n+10cos2nπ+n10+cos2nπ)dt=πEcos2nπ(n11n+11)dt=π2Ecos(2nπ)n211

    于是我们发现了一个问题:周期全波余弦信号的傅里叶展开是周期半波余弦的直接加倍。

    将4.中得到的结果加倍,得到:
    f ( t ) = 2 E π − 4 E π ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − 1 cos ⁡ ( n π 2 ) cos ⁡ ( n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}-\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos(n\omega_1t) f(t)=π2Eπ4En=1n211cos(2nπ)cos(nω1t)
    由于 n n n为奇数时,系数为0,所以我们取 n = 2 n n=2n n=2n,对系数表达式进行变形:
    f ( t ) = 2 E π + 4 E π ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 1 ( − 1 ) n + 1 cos ⁡ ( 2 n ω 1 t ) f(t)=\frac{2E}{\pi}+\frac{4E}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^2-1}(-1)^{n+1}\cos(2n\omega_1t) f(t)=π2E+π4En=14n211(1)n+1cos(2nω1t)

    展开全文
  • 傅里叶级数推导

    2020-03-02 19:12:39
    傅里叶级数公式

    具体内容都是参照这个链接

    这个笔记是我在看这个视频之前记的,记完后感觉晕晕乎乎的,后来看了这个视频,是真的不错!!!忽然之间,醍醐灌顶,感谢UP主。
    视频地址

    傅里叶级数公式

    f ( t ) = a 0 2 + a 1 c o s ( w t ) + b 1 s i n ( w t ) + a 2 c o s ( 2 w t ) + b 2 s i n ( 2 w t ) + . . . = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [   a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t )   ] (1) f(t)=\frac{a_0}{2}+a_1cos(wt)+b_1sin(wt)+a_2cos(2wt)+b_2sin(2wt)+...=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[~a_ncos(nwt)+b_nsin(nwt)~] \tag{1} f(t)=2a0+a1cos(wt)+b1sin(wt)+a2cos(2wt)+b2sin(2wt)+...=2a0+n=1[ ancos(nwt)+bnsin(nwt) ](1)

    其中

    a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) c o s ( n w t ) d t (2) a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt \tag{2} an=T2t0t0+Tf(t)cos(nwt)dt(2)

    b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) c o s ( n w t ) d t (3) b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt \tag{3} bn=T2t0t0+Tf(t)cos(nwt)dt(3)


    推导过程

    这是一个三角函数
    f ( t ) = A s i n ( w t + ψ ) (4) f(t)=Asin(wt+\psi) \tag{4} f(t)=Asin(wt+ψ)(4)

    一系列三角函数之和可以表示一个复杂的周期函数,这里就是傅里叶级数的基本思想,具体式子如下

    f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n w t + ψ n ) (5) f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_nsin(nwt+\psi_n) \tag{5} f(t)=A0+n=1Ansin(nwt+ψn)(5)

    ( 5 ) (5) (5)做如下变形:
    A n s i n ( n w t + ψ n ) = A n s i n ψ n c o s ( n w t ) + A n c o s ψ n s i n ( n w t ) A_nsin(nwt+\psi_n)={\color{Blue} A_nsin\psi_n}cos(nwt)+{\color{Blue} A_ncos\psi_n}sin(nwt) Ansin(nwt+ψn)=Ansinψncos(nwt)+Ancosψnsin(nwt)

    A n s i n ψ n A_nsin\psi_n Ansinψn写成 a n a_n an B n s i n ψ n B_nsin\psi_n Bnsinψn写成 b n b_n bn,公式 ( 5 ) (5) (5)就可以写成如下公式 ( 6 ) (6) (6)的形式:看看它是不是和 ( 1 ) (1) (1)式一摸一样呢,发现这里前面是 A 0 A_0 A0,而 ( 1 ) (1) (1)式前面是 a 0 2 \frac{a_0}{2} 2a0,傅里叶级数为了统一分母令 A 0 = a 0 2 A_0=\frac{a_0}{2} A0=2a0,后面会讲到
    f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ [   a n c o s ( n w t ) + b n s i n ( n w t ) ] (6) f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[{\color{Blue} ~a_n}cos(nwt)+{\color{Blue} b_n}sin(nwt)] \tag{6} f(t)=A0+n=1[ ancos(nwt)+bnsin(nwt)](6)

    这里的 A 0 A_0 A0 a n a_n an b n b_n bn都是常数
    所以我们只要解出 A 0 A_0 A0 a n a_n an b n b_n bn的值即可。
    至此,傅里叶级数的推导就结束了,原博客写了一大堆,我是边看边记笔记,笔记都记完了,到后来看了那个视频才发现,推导到这里就已经结束了,下面的都是求解 A 0 A_0 A0 a n a_n an b n b_n bn的过程,
    作者,你就不能提醒一下,有点小郁闷 … … \ldots\ldots 不过还是感谢作者
    在这里插入图片描述

    这里顺便说说求解 A 0 A_0 A0 a n a_n an b n b_n bn的大致思路,方便归纳总结
    A 0 A_0 A0就是对 ( 6 ) (6) (6)式子两边同时进行积分,可以得到 f ( t ) f(t) f(t) A 0 A_0 A0的关系了
    a n a_n an就是对 ( 6 ) (6) (6)式乘以 c o s ( k w t ) cos(kwt) cos(kwt)之后再求积分
    b n b_n bn就是对 ( 6 ) (6) (6)式乘以 s i n ( k w t ) sin(kwt) sin(kwt)之后再求积分


    麦克劳林公式中的待定系数法:

    泰勒级数都可以用一个多项式来逼近
    f ( x ) = A + B x + C x 2 + D x 3 + … \begin{aligned}f\left( x\right) =A+Bx+Cx^{2} +Dx^{3}+\ldots \end{aligned} f(x)=A+Bx+Cx2+Dx3+

    那么,麦克劳林公式
    f ′ ( x ) = B + 2 C x + 3 D x 2 f^{\prime}(x)=B+2 C x+3 D x^{2} f(x)=B+2Cx+3Dx2

    f ′ ′ ( x ) = 2 C + 6 D x f^{\prime \prime}(x)=2 C+6 D x f(x)=2C+6Dx

    … … \ldots\ldots

    在每个等式中令 x = 0 x=0 x=0,然后使用待定系数法就可以解出A,B,C…的值
    A = f ( 0 ) B = f ′ ( 0 ) C = f ′ ′ ( 0 ) 2 D = f ′ ′ ′ ( 0 ) 1 × 2 × 3 \begin{aligned} &A=f(0)\\ &B=f^{\prime}(0)\\ &C=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2}\\ &D=\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{1 \times 2 \times 3} \end{aligned} A=f(0)B=f(0)C=2f(0)D=1×2×3f(0)

    N = f n ( x ) n ! N=\frac{f^{n}(x) }{n !} N=n!fn(x)

    这个我不太明白在这个公式与求解 A 0 A_0 A0 a n a_n an b n b_n bn的过程有什么关系,但是,我觉得我收获了知识,于是就记了下来
    在这里插入图片描述


    三角函数的正交性:

    三角函数系,它是一个集合,如下
    { 1 , cos ⁡ x , sin ⁡ x , cos ⁡ 2 x , sin ⁡ 2 x , ⋯   , cos ⁡ n x , sin ⁡ n x , ⋯   } \{1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots \} {1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,}

    在三角函数系中,任意2个不同函数之积在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]上的积分等于0,即

    ∫ −