前言

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，如何完整且深入的理解其对在仪器及信号领域的学习极其重要。

一、傅里叶级数定义

1.1 效果示意

应用前提：傅里叶级数是针对周期函数的。
应用效果：猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。以周期为2π的方波为示例：

1.2 数学定义

设f(t)是周期为T的波，其可以为矩形波、锯齿波、三角波等任意形式，在一定条件下均可以写成：
$$\begin{gathered} f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(nwt+{\psi }_n) \\ =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
式中：
$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt$$
$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)sin(nwt)dt$$
$$w=\frac{2\pi }{T}$$
式(1)中右端级数即为由$f(t)$所确定的傅里叶级数。

二、理论推导

该推导的最终目标为：在傅里叶级数的猜想下，溯源$a_n$与$b_n$表达式。

2.1 关系解读($A_n$,$a_n$,$b_n$)

针对于傅里叶级数式(1)，可分为两个部分，即：
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(nwt+{\psi }_n)\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(3)}$$
式（2）作为傅里叶的第一重假设，如何过渡至（3），即$A_n$与$a_n$，$b_n$之间的关系该如何表征？
引入式（4）：
$$A_{n}sin(nwt+{\psi }_n)=A_{n}sin({\psi }_n)cos(nwt)+A_{n}cos({\psi }_n)sin(nwt)\text{\hspace{1em}(4)}$$
可得：$a_n=A_{n}sin({\psi }_n)$ ,$b_n=A_{n}cos({\psi }_n)$
到此，已得到三者之间的关系，下一步即为求解出$a_n$，$b_n$的表达式。

2.2 表达式验证($A_0$,$a_n$,$b_n$)

2.2.1 三角函数的正交性

1）三角函数正交性表征
三角函数系：
$$(1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cosnx,sinnx,...)\text{\hspace{1em}(5)}$$
式（5）中的任意两个不同函数乘机沿区间$[c,c+2\pi ]$(c为任意值)上的积分为零，而每个函数自身平方的积分非零。即该函数系在长为2π的区间上具有正交性。
2）三角函数正交性证明
1、基本三角函数$sinnx$，$cosnx$积分
$$\begin{gathered} {\int }_c^{c+2\pi }cosnxdx={\int }_0^{2\pi }cosnxdx=0 \\ {\int }_c^{c+2\pi }sinnxdx={\int }_0^{2\pi }sinnxdx=0 \end{gathered}$$
2、不同三角函数互乘$sinnx\times coskx$积分
$${\int }_c^{c+2\pi }sinnx\times coskxdx=0$$
3、三角函数自身平方$si{n}^{2}nx$，$co{s}^{2}nx$积分
$$\begin{gathered} {\int }_c^{c+2\pi }co{s}^{2}nxdx={\int }_0^{2\pi }co{s}^{2}nxdx={\int }_0^{2\pi }\frac{1+cos2nx}{2}dx=\pi \\ {\int }_c^{c+2\pi }si{n}^{2}nxdx=\pi \end{gathered}$$

2.2.2 表征$A_0$

对傅里叶级数（3）从$[-\pi ，\pi ]$积分，可得：
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)={\int }_{-\pi }^{\pi }{A}_0+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(6)}$$
依据三角函数函数正交性，可将式（6）简化为：
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)={\int }_{-\pi }^{\pi }{A}_0+0=2\pi A_0\text{\hspace{1em}(7)}$$
进而解出：
$$A_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\text{\hspace{1em}(8)}$$

2.2.2 表征$a_n$,$b_n$

从$[-\pi ，\pi ]$内，对（3）两边同乘以$coskx$进行积分，结合三角函数正交性定理可得：
$${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)coskxdx=$$
$$\begin{gathered} A_0{\int }_{-\pi }^{\pi }coskxdx++\sum _{n=1}^{\infty }(a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }cosnxcoskxdx+b_n{\int }_{-\pi }^{\pi }sinnxcoskxdx) \\ =in{t}_{-\pi }^{\pi }{a}_{n}co{s}^{2}kxdx=a_n\pi \text{\hspace{1em}(9)} \end{gathered}$$
即：
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)coskxdx\text{\hspace{1em}(10)}$$
同理可求得
$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sinkxdx\text{\hspace{1em}(11)}$$

式（10）（11）即为最终溯源$a_n$与$b_n$表达式。

2.2.3 表征$A_0$,$a_n$

依据式（8）(10)，可得
$$A_0=\frac{a_0}{2}\text{\hspace{1em}(8)}$$

三、总结

以一个示意图作为作为最终结尾：

参考来源：
1、https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378
2、https://www.zhihu.com/question/21665935
3、高等数学

配郑君里《信号与系统》第三版 3.3

文章目录

• 0. 傅里叶级数展开公式
• 1. 周期矩形脉冲信号
• • 1.1. 抽样函数形式
  • 1.2. 奇偶性分析以及对称方波
• 2. 周期锯齿脉冲信号
• 3. 周期三角脉冲信号
• 4. 周期半波余弦信号
• 5. 周期全波余弦信号

0. 傅里叶级数展开公式

其他有关傅里叶级数的总结可见博文
$$f(t)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos (n{\omega }_{1}t)+b_n\sin (n{\omega }_{1}t)\right]$$

$a_0$前的系数只是为了保持与其他$a_i$表达式的一致

其中，
$$\begin{gathered} a_n=\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t,n=0,1,2\cdots \\ {b}_n=\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\sin (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t,n=1,2,3\cdots \end{gathered}$$

关于为什么$a_0$是$\frac{1}{T_1}$，而$a_n$是$\frac{2}{T_1}$。思考最初的推导过程，我们是将正交函数系和原函数相乘，得到一系列的关于系数的积分等式，$a_0$对应直流部分，常数直接积分，区间长度为$T_1$，因而除过去就是$\frac{1}{T_1}$，而相应$a_n$积分，由正交性，最终留下的是相应三角值的平方，由半角公式，给出一个$\frac{1}{2}$的常数，所以积分得到$\frac{T_1}{2}$，除过去得到$\frac{2}{T_1}$。

1. 周期矩形脉冲信号

偶函数，仅需推导$a_n$项。

$$\frac{1}{2}{a}_0=\frac{1}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{T_1}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}E\mathrm{d}t=\frac{E\tau }{T_1}$$
$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}f(t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2E}{n{\omega }_1{T}_1}\cdot 2\sin (n{\omega }_{1}t){|}_0^{\frac{\tau }{2}}=\frac{4E}{n{\omega }_1{T}_1}\sin \left(n{\omega }_1\frac{\tau }{2}\right)\end{array}$$
随后，灵活运用${\omega }_1{T}_1=2\pi$，得到：
$$a_n=\frac{2E}{n\pi }\sin \left(n\pi \frac{\tau }{T_1}\right)$$
上面这个式子可以生动地反映出频谱特性，即振幅呈调和收缩，整体为表现出振荡。

1.1. 抽样函数形式

利用抽样函数，进行改写：
$$a_n=\frac{2E}{n\pi }\frac{n\pi \tau }{T_1}\mathrm{S}\mathrm{a}\left(\frac{n\pi \tau }{T_1}\right)=\frac{2E\tau }{T_1}\mathrm{S}\mathrm{a}\left(\frac{n\pi \tau }{T_1}\right)$$
还可以转化成用${\omega }_1$表示的形式：
$$a_n=\frac{E\tau {\omega }_1}{\pi }\mathrm{S}\mathrm{a}\left(\frac{n{\omega }_1\tau }{2}\right)$$
这是一个系数非1的抽样函数，在此基础上，我们对周期脉冲的赋值特性有了更加深刻的了解，即存在一个明显的收敛趋势，通信时我们只需考虑在频带内部的部分即可。

1.2. 奇偶性分析以及对称方波

最终的展开式为：
$$f(t)=\frac{E\tau }{T_1}+\frac{2E\tau }{T_1}\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm{S}\mathrm{a}\left(\frac{n\pi \tau }{T_1}\right)\cos \left(n{\omega }_{1}t\right)$$
这其中常数是一个偶函数才可能有的成分。分析第二部分，为一个对称脉冲。

如果我们将脉冲宽度调整为$\frac{T_1}{2}$，那么最终就会构成一个对称方波。

亦即
$$f(t)=\frac{2E}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)\cos \left(n{\omega }_{1}t\right)$$

2. 周期锯齿脉冲信号

这是一个奇函数，因而展开为
$$f(t)=b_n\sin (n{\omega }_{1}t)$$
其中
$$\begin{array}{rl}{b}_n& =\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\frac{E}{T_1}t\sin (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t=\frac{2E}{T_1^2}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}t\mathrm{d}\left[\cos (n{\omega }_{1}t)\right]\\ & =\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n{\omega }_1}\right)\left[2\frac{T_1}{2}(-1{)}^n-{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\right]\\ & =\frac{2E}{T_1^2}\left(\frac{-1}{n{\omega }_1}\right)\left[T_1(-1{)}^n-0\right]\\ & =\frac{2E}{T_{1}n{\omega }_1}(-1{)}^{(n+1)}=\frac{E}{n\pi }(-1{)}^{n+1}\end{array}$$
最终的展开式为：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{E}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}\sin (n{\omega }_{1}t)\\ & =\frac{E}{\pi }\left[\sin ({\omega }_{1}t)-\frac{1}{2}\sin (2{\omega }_{1}t)+\frac{1}{3}\sin (3{\omega }_{1}t)-\frac{1}{4}\sin (4{\omega }_{1}t)\cdots \right]\end{array}$$

3. 周期三角脉冲信号

这是一个偶函数，所以我们只需展成如下形式：
$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\sin (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t$$
其中$a_0$为一个周期上的积分，易得$a_0=\frac{E}{2}$

将三角脉冲分解成一个直流信号和一个倒绝对值信号的加和，绝对值信号是偶对称信号，于是积分过程中可以有：
$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{T_1}\left[{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}E+\frac{2E}{T_1}\left({\int }_{-\frac{T_1}{2}}^0-{\int }_0^{\frac{T_1}{2}}\right)t\right]\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{T_1}\left(0-\frac{4E}{T_1}{\int }_0^{\frac{T_1}{2}}t\right)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =-\frac{2}{T_1}\frac{4E}{T_1}\frac{1}{n{\omega }_1}\left[t\sin (n{\omega }_{1}t){|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{T_1}{2}}\sin (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\right]\\ & =-\frac{8E}{n{\omega }_1{T}_1^2}\left[0-\frac{2}{n{\omega }_1}\right]\\ & =\frac{16}{n{\omega }_1^2{T}_1^2}=\frac{16}{n(2\pi {)}^2}=\frac{4}{n{\pi }^2}\end{array}$$
最终展开式为：
$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{E}{2}+\frac{4E}{{\pi }^2}\left[\cos ({\omega }_{1}t)+\frac{1}{3^2}\cos (3{\omega }_{1}t)+\frac{1}{5^2}\cos (5{\omega }_{1}t)+\cdots \right]\\ & =\frac{E}{2}+\frac{4E}{{\pi }^2}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}{\sin }^2\left(\frac{n\pi }{2}\right)\cos (n{\omega }_{1}t)\end{array}$$

4. 周期半波余弦信号

直接写$a_n$的推导过程：
$$\frac{1}{2}{a}_0=\frac{1}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos ({\omega }_{1}t)\mathrm{d}t=\frac{1}{{\omega }_1{T}_1}2E=\frac{E}{\pi }$$
$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos ({\omega }_{1}t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2E}{T_1}{\int }_0^{\frac{T_1}{4}}\cos \left[(n+1){\omega }_{1}t\right]+\cos [(n-1){\omega }_{1}t]\mathrm{d}t\\ & =\frac{2E}{{\omega }_1{T}_1}\left[\frac{\sin \frac{(n+1)\pi }{2}}{n+1}+\frac{\sin \frac{(n-1)\pi }{2}}{n-1}\right]\\ & =\frac{E}{\pi }\left[\frac{\cos \frac{n\pi }{2}}{n+1}-\frac{\cos \frac{n\pi }{2}}{n-1}\right]\\ & =\frac{E\cos \frac{n\pi }{2}}{\pi }\cdot \frac{1}{n^2-1}\cdot \left(-2\right)=-\frac{2E\cos \frac{n\pi }{2}}{\pi }\frac{1}{n^2-1}\end{array}$$
展开为：
$$f(t)=\frac{E}{\pi }-\frac{2E}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2-1}\cos \left(\frac{n\pi }{2}\right)\cos (n{\omega }_{1}t)$$

5. 周期全波余弦信号

由于这个函数也是偶函数，分析方法与半波余弦信号比较类似，我们尽量利用先前得到的结果。

首先，一个周期内的半个空缺被补上，首项变为原来的两倍，成为半波推导中的$a_0$，即$\frac{2E}{\pi }$。
由于是偶函数，所以我们可以利用偶函数性质，将其系数$A_n$表示成
$$\begin{array}{rl}{A}_n& =\frac{2}{T_1}{\int }_{-\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{4}}E\cos ({\omega }_{1}t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t+2\cdot \frac{2}{T_1}{\int }_{\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{2}}E(-\cos {\omega }_{1}t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =a_n-\frac{4E}{T_1}{\int }_{\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{2}}\cos ({\omega }_{1}t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\end{array}$$
我们计算
$$\begin{array}{rl}{I}_n& =\frac{4E}{T_1}{\int }_{\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{2}}\cos ({\omega }_{1}t)\cos (n{\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2E}{T_1}{\int }_{\frac{T_1}{4}}^{\frac{T_1}{2}}\cos [(n+1){\omega }_{1}t]+\cos ((n-1){\omega }_{1}t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2E}{{\omega }_1{T}_1}\left(\frac{\sin (n+1)\pi -\sin \frac{n+1}{2}\pi }{n+1}+\frac{\sin (n-1)\pi -\sin \frac{n-1}{2}\pi }{n-1}\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{E}{\pi }\left(\frac{0-\cos \frac{n\pi }{2}}{n+1}+\frac{0+\cos \frac{n\pi }{2}}{n-1}\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{E}{\pi }\cos \frac{n\pi }{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{-2E}{\pi }\cos \left(\frac{n\pi }{2}\right)\frac{1}{n^2-1}\end{array}$$

于是我们发现了一个问题：周期全波余弦信号的傅里叶展开是周期半波余弦的直接加倍。

将4.中得到的结果加倍，得到：
$$f(t)=\frac{2E}{\pi }-\frac{4E}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2-1}\cos \left(\frac{n\pi }{2}\right)\cos (n{\omega }_{1}t)$$
由于$n$为奇数时，系数为0，所以我们取$n=2n$，对系数表达式进行变形：
$$f(t)=\frac{2E}{\pi }+\frac{4E}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^2-1}(-1{)}^{n+1}\cos (2n{\omega }_{1}t)$$

具体内容都是参照这个链接

这个笔记是我在看这个视频之前记的，记完后感觉晕晕乎乎的，后来看了这个视频，是真的不错！！！忽然之间，醍醐灌顶，感谢UP主。
视频地址

傅里叶级数公式

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+a_{1}cos(wt)+b_{1}sin(wt)+a_{2}cos(2wt)+b_{2}sin(2wt)+...=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos(nwt)dt\text{\hspace{1em}(3)}$$

推导过程

这是一个三角函数
$$f(t)=Asin(wt+\psi )\text{\hspace{1em}(4)}$$

一系列三角函数之和可以表示一个复杂的周期函数，这里就是傅里叶级数的基本思想，具体式子如下

$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(nwt+{\psi }_n)\text{\hspace{1em}(5)}$$

对$(5)$做如下变形：
$$A_{n}sin(nwt+{\psi }_n)=A_{n}sin{\psi }_{n}cos(nwt)+A_{n}cos{\psi }_{n}sin(nwt)$$

将$A_{n}sin{\psi }_n$写成$a_n$、$B_{n}sin{\psi }_n$写成$b_n$，公式$(5)$就可以写成如下公式$(6)$的形式：看看它是不是和$(1)$式一摸一样呢，发现这里前面是$A_0$,而$(1)$式前面是$\frac{a_0}{2}$，傅里叶级数为了统一分母令$A_0=\frac{a_0}{2}$,后面会讲到
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cos(nwt)+b_{n}sin(nwt)]\text{\hspace{1em}(6)}$$

这里的$A_0$、$a_n$、$b_n$都是常数
所以我们只要解出$A_0$、$a_n$、$b_n$的值即可。
至此，傅里叶级数的推导就结束了，原博客写了一大堆，我是边看边记笔记，笔记都记完了，到后来看了那个视频才发现，推导到这里就已经结束了，下面的都是求解$A_0$、$a_n$、$b_n$的过程，
作者，你就不能提醒一下，有点小郁闷$\dots \dots$不过还是感谢作者

这里顺便说说求解$A_0$、$a_n$、$b_n$的大致思路，方便归纳总结
求$A_0$就是对$(6)$式子两边同时进行积分，可以得到$f(t)$与$A_0$的关系了
求$a_n$就是对$(6)$式乘以$cos(kwt)$之后再求积分
而$b_n$就是对$(6)$式乘以$sin(kwt)$之后再求积分

麦克劳林公式中的待定系数法：

泰勒级数都可以用一个多项式来逼近
$$\begin{array}{r}f\left(x\right)=A+Bx+C{x}^2+D{x}^3+\dots \end{array}$$

那么，麦克劳林公式
$$f^{\prime }(x)=B+2Cx+3D{x}^2$$

$$f^{\prime \prime }(x)=2C+6Dx$$

$$\dots \dots$$

在每个等式中令$x=0$,然后使用待定系数法就可以解出A,B,C…的值
$$\begin{array}{rl}& A=f(0)\\ & B=f^{\prime }(0)\\ & C=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2}\\ & D=\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{1\times 2\times 3}\end{array}$$

$$N=\frac{f^n(x)}{n!}$$

这个我不太明白在这个公式与求解$A_0$、$a_n$、$b_n$的过程有什么关系，但是，我觉得我收获了知识，于是就记了下来

三角函数的正交性：

三角函数系，它是一个集合，如下
{ 1 , cos ⁡ x , sin ⁡ x , cos ⁡ 2 x , sin ⁡ 2 x , ⋯   , cos ⁡ n x , sin ⁡ n x , ⋯   } \{1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots \} {1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯}

在三角函数系中，任意2个不同函数之积在$[-\pi ,\pi ]$上的积分等于0，即

∫ −