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  • 一、向量范数1️⃣向量范数定义✨映射可以看作是一个函数,只有这个函数映射满足上述三种条件才称之为范数✨上示x是向量,用前后两道杠括起来是让x按照映射规则做映射✨注意上述第二条定理(齐次性)有误,应为|| ||...

    一、向量范数

    1️⃣向量范数定义

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    ✨映射可以看作是一个函数,只有这个函数映射满足上述三种条件才称之为范数

    ✨上示x是向量,用前后两道杠括起来是让x按照映射规则做映射

    ✨注意上述第二条定理(齐次性)有误,应为||

    ||=|
    | ||x||

    向量范数又分为1-范数,2-范数和无穷范数,以下面例子说明

    d3678c8972763ec5b461131806cfa36d.png

    P-范数(p=1时为1范数,p=2时为2范数,但0<p<1时不构成范数)

    551bbf2ff344c34a1d0ed479dd72ae7b.png

    2️⃣向量范数的性质

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    f2a751a6dc403caa92b93e15dca595e1.png

    3️⃣范数的等价性

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    4️⃣为什么要引入一个范数?

    1.通过范数可以定义距离

    bdd98404d8164ba07583883e7e880d33.png

    引入距离可以在抽象空间S中定义极限

    c64919c052acc814cee12621290b9fdb.png

    2.向量长度

    向量长度可以用2范数来表示:

    448f36dda9044c444e9877506db19225.png

    二、矩阵范数(由向量范数导出矩阵范数)

    1️⃣矩阵范数定义

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    ✨与向量范数一样,矩阵也有各种范数,大多数情况下,矩阵范数和向量范数混合在一起使用。

    2️⃣矩阵范数与向量范数的相容性

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    3️⃣矩阵范数的性质

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    第三条性质是A为负方阵,所有元素模的平方开算术平方根,是A的共轭转置乘A的迹的开方

    4️⃣常见的矩阵范数

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    第三条是A的共轭转置乘A 开算数平方根

    5️⃣以一个例子进行说明

    53e958b388e4421ca21f490f21a338b3.png

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    2范数就是最大特征值开算数平方根

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  • 范数的概念向量的范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值,复数的模,三维空间向量的长度,都是抽象范数概念的原型。上述三个对象统一记为 ,衡量它们大小的量记为 (我们用单竖线表示绝对值,双竖线...

    fcd08aa80f486254211f4cd4860f24d7.png

    写在前面的话:

    很高兴能够认识饭卡里还有好多钱这位土豪大佬。向大佬学习,为成为一名真正的段子手+逗比而奋斗。

    范数的概念

    向量的范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值,复数的模,三维空间向量的长度,都是抽象范数概念的原型。上述三个对象统一记为

    ,衡量它们大小的量记为
    (我们用单竖线表示绝对值,双竖线表示范数),显然它们满足以下三条性质:

    d413b2c9e8f79ad729b68f769e932238.png

    这也是范数的定义,满足上述三条性质的映射我们称之为范数。显然,范数是函数的一种特例。关于三角不等式我们可以通过三角形两边之和大于第三边来理解。

    随着以后的学习我们可以知道,长度是范数的一个特例。事实上,二范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时,就是把这三条性质作为公理来定义内积的。

    我们下面给出向量范数的一些性质:

    12a76b3cc3a1fc8560d5bf6a588c1ea0.png

    我们对于第四条性质给出证明。该性质我们可以理解为两边之差小于第三边。

    caa671c01da452e174fdaad4db9b06e8.png

    我们下面具体考虑一个范数证明的题:

    9bae32ac78380a49d9074a52e0386397.png

    我们下面就二范数进行证明。

    虽然前两个性质貌似是显然的,但是我们并不能这么说,我们现在用数学语言来描述一下。

    fd3314ee49e133dfdd4dfd5b7364902a.png

    关于三角不等式的证明需要用到柯西不等式,我们先来讲解一下柯西不等式。柯西不等式说的就是

    ,这样就把向量的内积和范数联系起来了。

    我们在课本24页定义向量的长度的时候是这样定义的:

    。现在我们知道,这实际上是二范数的一种表示方式。我们下面给出柯西不等式的证明:

    d1dcba9a77c5502f251f0f7eaa43c0f9.png

    下面结合柯西不等式我们给出三角不等式的证明:

    80350c111030bcd0fd1aa2fc3bcf193f.png

    P范数的定义及证明

    我们下面来引入更一般的范数定义:

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    我们要证明他的确是范数需要做诸多的准备工作。在证明过程中就用到了Young不等式和Holder不等式。虽然我们还没有证明,不过我们先引入这个概念和这种记法,因为在接下来的证明过程中会反复的用到。希望大家在看后面的证明过程中不要忘了开头提到的这一点。(就是P范数的定义形式)

    我们下面来介绍一下Young不等式,这个不等式的介绍为Holder不等式的证明提供了一个快捷的途径。

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    该引理(Young不等式)证明如下,其思路就是矩形面积uv不会超过两个曲边梯形面积之和。注意这里会用到了变积分限。对u是在x轴上积分。对v就变成了y轴。

    这里我们的曲线公式完全可以写成

    ,我们应当注意到,积分与符号无关这一点,因此可以写成下图这种形式。

    66a121ef00f2269edd8137223e5df5ea.png

    我们有了Young不等式之后,下面来证明Holder不等式。我们首先给出Holder不等式的定义:

    ae5176df2323e2a0c8b4c1c27f0c00af.png

    下面正面该结论成立:

    b594fb137f8315caaa74101e86018714.png

    30d6de5bcf8713bf886da2f6b92b20e5.png

    在这里提醒大家一下,不要忘了开头P范数的定义,因此这里会有:

    还记得我们前面说的柯西不等式吗?通过观察Holder不等式其实可以发现,柯西不等式是Holder不等式的一个特例。

    (当p和q取2时,结合和的模小于等于模的和所得的结论)

    我们给出课本上一道例题:

    e28dc8c04c6785669de80c275d1ddaf1.png

    我们之前只对1范数,2范数和无穷范数进行过证明。我们现在要证明的是如果一个运算,只要满足这个性质。那么它就是一个范数。

    下面我们给出证明过程,注意这个证明过程少了正定性和齐次性的证明,只证明了三角不等式。关于正定性和齐次性的证明可以参考之前的证明。

    05d38c6caa1ed97de8a43d0399893c23.png

    8bc5bdcef58f8f6876248a5d8a31ad65.png

    是不是大家已经看晕了,一坨又一坨。接下来的证明写的不是很详细,我写一个更详细的版本。

    a6c09ec6dcdf720aebe0fd6334f0333e.png

    如果忘了,请再次回顾一下P范数的定义。这里特别要注意开P次幂的位置,一定要在中括号的外面。

    好了,至此,P范数的证明就全部结束了。好像整个证明过程略微有点长。通过这个证明,P可以取得任意正整数,大大丰富了我们对于如何度量长度的手段,可能有人会问,那P能不能取分数呢?我们现在来说一下:

    答案是不行的,只需要举一个反例:

    P取1/2,我们知道x+y的P范数是4。而x和y 的P范数都是1。不满足三角不等式,所以不成立。

    我们之所以引入范数,为的就是能够在线性空间中进行度量。为了实现这一点,我们有必要引入一个新的概念,这也是这一节啰啰嗦嗦说了半天,想要表达的核心内容。

    向量的范数

    为了实现在n维空间中的度量,我们必须 将向量的概念和范数进行结合。直接上定理:

    f105621a468ce20a842c6d6fadbbc19a.png

    这里的

    是m维向量范数。A是n维空间中的m×n矩阵。
    是n维向量。

    证明如下(范数的三条定义):

    d2732eb251c41b0475b6c766bb444e66.png

    实际上这个定理想表达这样一种思想:m维空间中的范数通过矩阵A映射到了n维空间上。有的时候一个空间中的范数我们不好度量,这时候我们可以在另外一个n维空间中进行度量,只需要找到这样的映射矩阵就可以了。

    我们下面给出向量序列收敛的定义:

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    同数列一样,向量也是有好多元素组合而成的,我们将之称为向量序列

    。还记得在《高等数学》中我们在定义极限的概念的时候就是从数列极限开始的。类似的,我们这里是从向量序列处定义极限。通过向量序列的收敛性分析我们就从范数的角度给出了极限的定义。

    向量存在的充要条件就是n个数列极限存在。

    我们下面介绍一下向量范数等价

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    2cebe9cccbac4c70ee4ce5fbb9912ed9.png

    向量范数等价是为了解决这样一个问题:我们知道范数有无穷多种(1范数,2范数。。。),同一向量按不同的规定算出的范数一般是不相等的。那么到底按照哪种规则呢?这不就乱了。

    范数等价保证了向量序列的收敛性与范数选取无关。无穷范数收敛,其他范数一定收敛。其他范数收敛,无穷范数一定收敛。

    我们给出一个定理来具体说明一下:

    250c50eddb946b842aaa0a157a92d72e.png

    31c9e13fee57bcfc871e9a7c52d3b801.png

    118c2c4cae6fc6227412e1a2c77163d6.png

    再给出一个例题:

    45f4602f994ed0330b42941846a4a6d9.png

    c8c15b63db65284fc9a4322952f5197a.png

    通过这个例题我们可以看到通过范数来证明收敛的优越性所在,这也是为什么我们有了长度之和还要定义长度的一个原因。

    审稿大人辛苦了,这篇文章有点长。

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  • 线性赋范空间的最佳逼近(一般讨论)定义[一般线性赋范... 为f的最佳逼近元素,如果它满足 定理[一般线性赋范空间最佳逼近元素的存在性定理] 但是唯一性因线性空间以及线性空间上的范数的不同而不同。特殊最佳逼近对...

    f2b3b1adfa5e510fbd886718a253061b.png

    线性赋范空间的最佳逼近(一般讨论)

    定义[一般线性赋范空间的最佳逼近]

    为一线性赋范空间,
    的m维子空间,
    为任意的给定元素,称量
    为子空间
    对元素f的最佳逼近,使上式成立的元素
    称为f的最佳逼近元素

    定义[最佳逼近的等价定义]

    为f的最佳逼近元素,如果它满足

    定理[一般线性赋范空间最佳逼近元素的存在性定理]

    但是唯一性因线性空间以及线性空间上的范数的不同而不同。

    特殊最佳逼近

    对应于不同的线性空间以及范数和逼近函数空间

    ,将进行以下特殊的最佳逼近问题的讨论。

    特殊的函数最佳逼近:

    • 函数最佳一致逼近(
      ,切比雪夫范数,连续的)
    • 内积空间范数逼近:常用的有两种:

    1.

    空间:欧几里德范数,离散的

    2.

    空间:函数的积分定义的范数,连续的

    最佳一致逼近多项式

    定义[最佳一致逼近多项式——切比雪夫逼近多项式]

    (数)表示子空间
    对函数
    的最佳一致逼近,对应的
    称为最佳一致逼近代数多项式。

    特点:逼近误差的最大值最小值的绝对值相等并且交替取得。

    定理[最佳一致逼近多项式的特征特质]

    1. 逼近误差应在整个逼近区域上均匀分布,误差的最大最小值绝对值相等,符号相反,交错分布
    2. 函数
      上的交错点
      组的定义(交错点可以使函数取到最值,最大值与最小值的绝对值相等,并且最大最小值交替出现)
    3. 的下界估计
    4. 的最佳一致逼近多项式
      在定义区间
      上存在至少
      个点构成的交错点组
    5. 那么在
      中唯一存在关于f的最佳一致逼近多项式
    6. 保证区间端点一定是交错点的推论,可利用待定系数法求低阶最佳一致逼近多项式(利用交错点为驻点的性质以及误差最大最小值相等列方程组)

    与零偏差最小问题

    上,低次多项式逼近高次多项式时可以考虑转换成首一与零偏差最小问题。

    定义[与零偏差最小问题]

    1.线性空间

    2.线性子空间

    3.

    ,其中范数为切比雪夫范数。即等价于求首一n次多项式于零偏差最小的多项式。

    求解首一最小偏差于零的多项式的方法

    可直接用切比雪夫多项式表示解函数

    或者
    (对应问题的不同表达形式,具体见下面定理)

    定理[首一最小偏差于零多项式的解函数]

    对于

    或者
    ,最佳一致逼近多项式用切比雪夫多项式表示为

    即所有n次多项式的范数都大于

    定理[切比雪夫多项式性质]

    1.定义:

    2.递推公式:

    的次数与系数:
    是首相系数为
    的n次代数多项式,且
    只含有x的偶次项,
    只含有x的奇次项。

    3.幂函数系

    与切比雪夫函数系
    之间可以相互表出

    4.在

    时,即
    时,
    交错的取最大值1与最小值-1

    5.切比雪夫多项式序列在[-1,1]上关于权函数

    正交,详见课本

    6.

    在区间[-1,1]上恰有n个不同的实根。

    内积空间的最佳逼近

    两类常见的重要内机空间:

    • 欧氏空间
      ,内积定义为:
    • 内积空间,内积定义为:

    下面是内积空间的共同性质:

    定理[内积空间性质]

    X为内积空间

    1.Cauchy-Schwarz不等式

    2.平行四边形等式:

    定义[内积空间的最佳逼近问题]

    X为内积空间,M为X的有限维子空间。

    ,称量
    为子空间M对元素f的最佳逼近

    定理[内积空间有关逼近的性质]

    .X为内积空间,M为X的有限维子空间

    1.内积空间最佳逼近元素是唯一的

    2.

    是f的最佳逼近元素
    误差元素
    与M中的任意元素正交。

    3.内积空间的最佳逼近问题等价于:求

    4.有限维空间正交基的存在性:任何n维内积空间M都存在正交基

    最佳平方逼近与正交多项式——连续情形

    还没整理的有:列举出的带权正交多项式的实例

    定义[最佳平方逼近多项式的计算]

    通过解有关子空间的基的线性方程组得到对应的最佳平方逼近多项式

    定理[正交多项式]

    if

    1

    恰为l次多项式

    2.

    只有在
    时才不等于0,且大于零。

    则,

    称为
    上的带权l次正交多项式

    定理[带权正交多项式的性质]

    1.带权正交基有三项递推公式(78页)

    2.正交多项式零点的性质:

    ··带权正交多项式$g_l^*(x)$有l个互异的属于

    实根

    ··

    为带权正交多项式系,对于
    ,多项式
    的零点交错出现。

    应用:求某函数的逼近,即chebyshev最佳平方逼近,以chebyshev多项式为基求的最佳平方逼近

    数据拟合的最小二乘法——离散情形

    对于

    不知道
    的表达式是什么,只知道
    的几对数据点。通过离散的信息求逼近函数。

    方法:连续函数逼近问题转换为离散的最佳平方逼近问题


    这系列笔记是针对封面所示的课本进行重点标记而成,主要用于复习课本而做,内容省略的比较多,只是粗略的提取了要点。

    由于系列笔记本来是我用LaTeX做的,在搬运时可能会有地方没有修改好。

    有错误还请指正!谢谢

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  • numpy中norm()函数范数

    千次阅读 2020-08-24 08:49:04
    ord表示求什么类型的范数 举例说明: import numpy as np x = [1,2,3,4] x1 = np.linalg.norm(x=x, ord=1) x2 = np.linalg.norm(x=x, ord=2) x3 = np.linalg.norm(x=x, ord=np.inf) print(x1) print(x2) print(x3)...

    函数:

    norm(x, ord = None, axis = None, keepdims = False)
    

    ord表示求什么类型的范数
    在这里插入图片描述
    举例说明:

    import numpy as np
    
    x = [1,2,3,4]
    x1 = np.linalg.norm(x=x, ord=1)
    x2 = np.linalg.norm(x=x, ord=2)
    x3 = np.linalg.norm(x=x, ord=np.inf)
    print(x1)
    print(x2)
    print(x3)
    

    运行结果:
    在这里插入图片描述

    axis=0表示对矩阵的每一列求范数,axis=1表示对矩阵的每一行求范数, keeptdims=True表示结果保留二维特性,keepdims=False表示结果不保留二维特性

    import numpy as np
    
    x = np.array([[0, 1, 2],
                  [3, 4, 5]])
    x1 = np.linalg.norm(x=x, ord=1, axis=0, keepdims=True)
    x2 = np.linalg.norm(x=x, ord=1, axis=1, keepdims=True)
    x3 = np.linalg.norm(x=x, ord=1, axis=0, keepdims=False)
    x4 = np.linalg.norm(x=x, ord=1, axis=1, keepdims=False)
    
    print(x1)
    print(x2)
    print(x3)
    print(x4)
    

    运行结果:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 其中ord参数表示求什么类型的范数,具体参见下表 下面是用代码对一个列表求上面的范数 1 import numpy as np 2 3 x = [1,2,3,4] 4 x1 = np.linalg.norm(x=x, ord=1) 5 x2 = np....
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    千次阅读 2018-11-03 16:00:37
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    千次阅读 2018-08-10 17:08:56
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空空如也

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函数的范数