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  • 清华大学研究生高等数值分析计算实验奇异值分解SVD以及图像压缩matlab源程序代码_理学_高等教育_教育专区。第 1 部分方法介绍 奇异值分解(SVD)定理: 设 A ? R m......介绍奇异值分解及 Hankel 矩阵的相关理论,描述...

    清华大学研究生高等数值分析计算实验奇异值分解SVD以及图像压缩matlab源程序代码_理学_高等教育_教育专区。第 1 部分方法介绍 奇异值分解(SVD)定理: 设 A ? R m......

    介绍奇异值分解及 Hankel 矩阵的相关理论,描述信号处理流 程,并应用 Matlab 对方法进行实现.通过实验数据验证表明,该方法对平稳、非平 稳信号都具有较好的去噪效果......

    要:为解决奇异值分解( singularvaluedecomposition,SVD) 去噪中有效秩阶次难以确定的问题, 提出一种利 用SVD 本身进行辅助确定的方法。充分借助 SVD 在奇异性检测......

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    信号的信 噪比 , 针对奇异 值分解降噪法 中有 效秩 阶次的选择 以及重构矩阵...

    ·matlab 测试图像 SVD 这里使用的是 matlab 函数 svd():[U,S,V]=svd(A); SVD 的 matlab 测试代码如下: clear,clc; close all; img = double(imread(......

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  • 为解决奇异值分解(singular value decomposition,SVD)去噪中有效秩阶次难以确定的问题,提出一种利用SVD本身进行辅助确定的方法。充分借助SVD在奇异性检测中表现出的优良特性,将原始含噪信号进行SVD处理后获得的...
  • 注:本文是蔡乐衡同学对奇异值分解在图像去噪中应用的介绍1 奇异值分解在图像去噪中的应用将图像去噪问题用数学式一般化为:其中信号矩阵为X,噪声为D,我们观测到的含噪矩阵记为Y。我们的目标是从观测到的含噪矩阵Y...

    注:本文是蔡乐衡同学对奇异值分解在图像去噪中应用的介绍

    1 奇异值分解在图像去噪中的应用

    将图像去噪问题用数学式一般化为:

    其中信号矩阵为X,噪声为D,我们观测到的含噪矩阵记为Y。我们的目标是从观测到的含噪矩阵Y中恢复信号矩阵X。

    基于奇异值分解的去噪技术属于子空间算法的一种,简单来说我们希望将含噪矩阵的向量空间分解为分别由纯净信号主导的和噪声信号主导的两个子空间,进而去除落在噪声空间中的含噪信号向量分量来估计纯净信号。

    类似奇异值分解在图像压缩中的应用,一个非常普遍的办法是:首先将图像对应的像素矩阵进行奇异值分解,提取出其中较大的奇异值,我们认为这些奇异值代表了图像主要的信号部分;截断较小的奇异值,因为它们很可能代表了图像中某些噪声,再将提取出的奇异值与对应特征向量组合复原图像即可。

    下图为本文所用示例的不含噪音的信号图像(大小为255*255的灰度图像)ae14c24054e4f0228916c5b57001d68c.png

    2 稀疏的图像噪声

    本文中的稀疏噪声表示在图像某些局部存在的小污点,我们通过在原始信号矩阵X中随机稀疏洒点,并在这些洒点位置处添加服从正态分布的随机扰动作为噪音D,即可得到包含稀疏噪声的观测图像Y:e73324a4e3463c286b0645d23c9de268.png图中的白色、黑色小点即为噪声。

    我们直接对观测矩阵Y进行奇异值分解,截断前25个奇异值后复原图像,即可得到去噪后的图像如下:d155c05bf688bd4aca99e4d5d473940e.png尽管某些边缘轮廓出现模糊,但几乎所有的噪音都被有效消除了!

    3 稠密的图像噪声

    当原始矩阵每一个像素点都存在噪音时,奇异值分解仍然有效吗?ba8beb2e207d33212588293d10024e11.png

    3.1 基于低秩模型的方法

    基于低秩模型方法和上述处理稀疏噪声的方法相同,都是寻找F范数下秩为k的矩阵X的最优近似。即:我们直接对含噪矩阵Y进行奇异值分解,可以最小化如下平方误差:

    该方法求解的可表示为:

    其中分别为含噪矩阵Y的左右奇异向量,是Y的k个较大的奇异值。1428db7936b3c364785899b8b0c5c5a6.png上图展示了k取25时的去噪效果。

    3.2 基于回归的方法

    这里给定含噪矩阵Y,我们需要寻找矩阵H以最小化如下误差:

    此时最优的H表示为:。但由于上式中X未知,仅通过Y我们不能得到。因此我们不妨做一些假设:

    其中为噪声方差(噪声方差的估计请参考文献【1】) 进而我们可以得到:

    我们可以看到这两种方法估计的具有相同的奇异向量,但具有不同的奇异值。2c3d8d9439c6da08e214e3a0b21656db.png上图为方法二中k取25时的去噪图像。经比较,两种方法提取的信号图像几乎相同,去噪效果远不如对稀疏噪声进行去噪。笔者认为一个可能的原因在于,当每一个像素点都有噪音干扰时,那些较大的奇异值以及对应的奇异向量也受到了噪声干扰,因此直接提取或直接复原图像的去噪效果并不理想。

    目前学术上已经有较多的文献在常规SVD方法基础上进行改进,以更好地提取出信号图像,如参考文献2、3。

    4 代码部分

    library(wavelets)
    library(jpeg)
    library(magick)  # 加载magick包

    setwd('C:/Users/micha/Pictures')
    #图片路径
    path = 'cat.jpg'
    img # 读入图片
    #查看图像属性
    result = image_info(img)
    image_info(img)

    #获取图片矩阵行数H 列数W
    H = result$height
    W = result$width

    # 转为灰度图
    gray 'gray')
    gray#显示灰度图像

    # 转为rgb图
    rgb 'rgb')
    rgb#显示彩色图像

    # 获取图片灰度值矩阵X
    X 1]
    #归一化
    X 255
    #保存灰度图
    writeJPEG(X, 'X.jpg')


    #对原始图像奇异值分解
    svd_result1 = svd(X)
    u1 = svd_result1$u
    v1 = svd_result1$v
    d1 = svd_result1$d
    d1 = diag(d1)
    #截断奇异值k
    k = 25
    svd_X = u1[,1:k]%*%d1[1:k,1:k]%*%t(v1[,1:k])
    svd_X[svd_X<0] = 0
    svd_X[svd_X>1] = 1
    #保存原始图像的压缩图像
    writeJPEG(svd_X, 'svd_X.jpg')

    #生成高斯噪声
    sigma = 0.05
    D 0,sigma),H,W)
    #合成含噪图像矩阵Y
    Y Y[Y<0] = 0
    Y[Y>1] = 1
    #保存含噪图像
    writeJPEG(Y, 'Y.jpg')

    #对含噪矩阵直接奇异值分解
    svd_result2 = svd(Y)
    u2 = svd_result2$u
    v2 = svd_result2$v
    d2 = svd_result2$d
    d2 = diag(d2)
    #截断奇异值k
    svd_Y = u2[,1:k]%*%d2[1:k,1:k]%*%t(v2[,1:k])
    svd_Y[svd_Y<0] = 0
    svd_Y[svd_Y>1] = 1
    writeJPEG(svd_Y, 'svd_Y.jpg')

    #最小方差估计
    u3 = svd_result2$u
    v3 = svd_result2$v
    d3 = svd_result2$d

    #多尺度小波分解
    wt 2)
    wt_W = wt@W$W1
    #估计噪声标准差
    median(abs(wt_W-median(wt_W)))/qnorm(0.75,0,1)
    sigmahat = median(abs(wt_W-median(wt_W)))/qnorm(0.75,0,1)

    #对奇异值进行调整
    d3 = (d3^2-sigmahat^2)/d3
    d3 = diag(d3)
    #截断奇异值k
    svd_Y1 = u3[,1:k]%*%d3[1:k,1:k]%*%t(v3[,1:k])
    svd_Y1[svd_Y1<0] = 0
    svd_Y1[svd_Y1>1] = 1
    writeJPEG(svd_Y1, 'svd_Y1.jpg')

    #############################
    #稀疏噪音
    #生成高斯噪声
    sigma = 0.6
    D 0,H,W)
    #噪声点数目
    num = 200
    temp1 = sample(1:H,num,T)
    temp2 = sample(1:W,num,T)
    for(i in seq(1,num)){
      D[temp1[i],temp2[i]] = rnorm(1,0,0.3)
    }

    #合成含噪图像矩阵Y
    Y Y[Y<0] = 0
    Y[Y>1] = 1
    #保存含噪图像
    writeJPEG(Y, 'yy.jpg')

    #对含噪矩阵直接奇异值分解
    svd_result2 = svd(Y)
    u2 = svd_result2$u
    v2 = svd_result2$v
    d2 = svd_result2$d
    d2 = diag(d2)
    #截断奇异值k
    svd_Y = u2[,1:k]%*%d2[1:k,1:k]%*%t(v2[,1:k])
    svd_Y[svd_Y<0] = 0
    svd_Y[svd_Y>1] = 1
    writeJPEG(svd_Y, 'svd_yy.jpg')

    5 参考文献

    【1】Donoho D L . De-noising by soft thresholding[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1995.

    【2】Nadakuditi R R . OptShrink: An algorithm for improved low-rank signal matrix denoising by optimal, data-driven singular value shrinkage[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2013, 60(5):3002-3018.

    【3】Gavish, Matan, and Donoho, David L. "Optimal Shrinkage of Singular Values." IEEE Transactions on Information Theory 63.4 (2017): 2137-152. Web.

    展开全文
  • 针对奇异值分解信号降噪方法中吸引子轨迹矩阵(Hankel矩阵)结构的确定,以及有效奇异值的选择两个关键问题,提出了一种基于遗传算法的奇异值分解信号去噪算法。首先,利用原始信号构造Hankel矩阵,运用遗传算法对...
  • 张量(三维矩阵)奇异值分解即SVD分解进行图像去噪-张量(三维矩阵)奇异值分解即SVD分解进行图像去噪-SVD,最新流行算法代码,无错误
  • 基于分块奇异值分解的两级图像去噪算法
  • 通过简化四元数矩阵奇异值分解对彩色图像进行去噪
  • 通过减少四元数矩阵奇异值分解对彩色图像进行去噪
  • 高光谱图像去噪的噪声调整迭代随机奇异值分解方法
  • 使用奇异值分解对周期信号进行去噪

    千次阅读 热门讨论 2018-07-09 12:58:15
    奇异值很多用来在预测系统上,感觉上是线性代数上的AU分解,不过高明得多,而且奇异值在周期信号的去噪效果上效果显著,我现在写的就是奇异值分解在周期信号上的应用,主体代码是一个师兄给我的,我对代码自己搞懂了...

    奇异值很多用来在预测系统上,感觉上是线性代数上的AU分解,不过高明得多,而且奇异值在周期信号的去噪效果上效果显著,我现在写的就是奇异值分解在周期信号上的应用,主体代码是一个师兄给我的,我对代码自己搞懂了再进行了部分修改,代码如下:

    %==== 输入信号 ======
    N=300; %生成300个点的信号
    t=0:30*pi/N:30*pi;t(end)=[];

    s=cos(0.1*pi*t)+sin(0.3*pi*t)+cos(0.5*pi*t)+sin(0.7*pi*t); % 原始信号
    y=s+randn(1,N);

    subplot(4,1,1); plot(s,’LineWidth’,1.5)
    title(‘原始模拟信号 ‘,’FontSize’,16)
    set(gca,’box’,’off’)
    %set(gca,’linewidth’,1.5);
    subplot(4,1,2); plot(y,’LineWidth’,1.5)
    title(‘原始模拟信号+高斯噪声’,’FontSize’,16)
    set(gca,’box’,’off’)
    %set(gca,’linewidth’,1.5);
    %=============================
    %===== 傅里叶变换结果 ====
    NFFT = 2^nextpow2(N); % Next power of 2 from length of y
    Y = fft(y,NFFT)/N;
    f = N/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);
    subplot(4,1,3);plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)),’LineWidth’,1.5) %查看信号的频谱,因为奇异值去噪一般选择2*信号主频的个数
    title(‘频率 ‘,’FontSize’,16)
    set(gca,’box’,’off’)
    %set(gca,’linewidth’,1.5);

    n=8;

    %=============================
    %==== 奇异值分解 ====
    for i=1:N/2+1
    t=i:i+N/2-1;
    for j=1:N/2
    A(j,i)=y(t(j)); %把一维信号重构为矩阵做奇异值分解
    end
    end
    [U,S,V] = svd(A);

    %=============================
    %==== 重构信号 =====
    X=zeros(size(A));
    for i=1:n; %选取前n个大奇异值
    X=X+U(:,i)*S(i,i)*V(:,i)’;
    end
    JG=zeros(1,N);
    for i=1:N
    a=0;m=0;
    for j1=1:N/2
    for j2=1:N/2+1
    if i+1==j1+j2
    a=a+X(j1,j2); %把矩阵重构回一维信号
    m=m+1;
    end
    end
    end
    JG(i)=a/m;
    end
    % JG(N/2+1:end)=X(:,end);
    subplot(4,1,4);plot(JG,’LineWidth’,1.5)
    title(‘奇异值降噪信号’,’FontSize’,16)
    xlabel(‘时间’,’FontSize’,16)
    set(gca,’box’,’off’)
    %set(gca,’linewidth’,1.5);

    set(gcf,’color’,’w’)

    结果如下:
    这里写图片描述
    具体为什么要把一维信号变换成矩阵A,可以看一下这个文献,讲得还是比较清楚的:https://wenku.baidu.com/view/f75ffefcfab069dc50220132.html?qq-pf-to=pcqq.group
    奇异值分解最好运算不要超过3000以上,因为运算量太大了,我的机子算大数据量(2600以上)的奇异值分解要卡好一会。

    展开全文
  • 针对近红外光谱物质含量检测过程中噪声影响模型精度和稳定性的问题,引入广义S变换与奇异值分解(SVD)。利用广义S变换得到光谱数据的时频谱,并将二维时频谱系数矩阵作为SVD的Hankel矩阵求解奇异值,再采用k-均值聚类...
  • 矩阵奇异值分解与照片压缩、去噪

    千次阅读 2016-04-23 18:14:14
    奇异值分解现实世界中大部分矩阵都不是方阵,这时如果我们想描述矩阵的特征,就要用到奇异值分解。 假设A是一个N * M的矩阵,那么得到的U是一个N * N的方阵(里面的向量是正交的,U里面的向量称为左奇异向

    #从特征值分解引入
    我们知道矩阵的特征值分解是提取矩阵特征的一个方法,

    这里写图片描述

    其中v是一个一维矩阵,λ是特征值,代表v表示的矩阵特征的重要性。

    但矩阵的特征值分解有一个局限性,在于变换的矩阵必须是方阵。

    奇异值分解

    现实世界中大部分矩阵都不是方阵,这时如果我们想描述矩阵的特征,就要用到奇异值分解。

    这里写图片描述
    假设A是一个N * M的矩阵,那么得到的U是一个N * N的方阵(里面的向量是正交的,U里面的向量称为左奇异向量),Σ是一个N * M的矩阵(除了对角线的元素都是0,对角线上的元素称为奇异值),V’(V的转置)是一个N * N的矩阵,里面的向量也是正交的,V里面的向量称为右奇异向量),从图片来反映几个相乘的矩阵的大小可得下面的图片
    这里写图片描述

    其中,Σ中对角线上的每个元素就是奇异值,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说,我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵,这里定义一下部分奇异值分解:

    这里写图片描述

    r是一个远小于m、n的数,如此

    这里写图片描述

    右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于A的矩阵,在这儿,r越接近于n,则相乘的结果越接近于A。

    照片压缩

    这是一张美女照片
    这里写图片描述

    像素为高度450*宽度333。

    我们都知道,图片实际上对应着一个矩阵,矩阵的大小就是像素大小,比如这张图对应的矩阵阶数就是450*333,矩阵上每个元素的数值对应着像素值。

    我们对该像素矩阵进行奇异值分解会得到形如上图公式的结果,
    如果我们令上面图形中的r为1,即只取结果中第一个(同时也是最大的,奇异值分解的结果中只,在Σ矩阵的对角线上,奇异值是按大小排列的),会得到下图

    这里写图片描述

    结果原图根本看不清,如果我们增大r的值,使r为5,会得到下图
    这里写图片描述

    继续增加,使r为20

    这里写图片描述

    这时就比较清楚了,如果使r为50,基本就和原图看不出差别了

    这里写图片描述

    该像素矩阵表示一张照片,如果全部保存的话,需要 450*333=149850个元素的值,如果我们要存储很多高清的图片,而又受限于存储空间的限制,在尽可能保证图像可被识别的精度的前提下,我们可以保留奇异值较大的若干项,舍去奇异值较小的项即可。例如在上面的例子中,如果我们只保留奇异值分解的前50项,和存储原始矩阵相比,存储量仅为后者的26%。

    数据去噪

    奇异值分解不仅可以用作数据压缩,也可以用作数据去噪,比如下面这样图片
    这里写图片描述
    相对于白色和黑色的格子,白色夹杂的灰色格子即为噪声。

    通过奇异值分解,我们发现矩阵的奇异值从大到小分别为:14.15,4.67,3.00,0.21,……,0.05。除了前3个奇异值较大以外,其余奇异值相比之下都很小。强行令这些小奇异值为0,然后只用前3个奇异值构造新的矩阵,得到

    这里写图片描述

    可以看到噪声明显减少了。

    在机器学习中的用途

    其实,这也是我看奇异值分解的初衷,当你得到的数据样本比较大,数据矩阵元素数量太大时,可以通过奇异值分解,只取排在前列,值比较大的奇异值,提取其中的主要特征,来减少运算量。同时也可以当样本数据中存在噪声时,同时强制使奇异值较小的为0来进行数据去噪。

    展开全文
  • 奇异值分解是应用广泛的一种矩阵分解方法,任何一个矩阵都有一个SVD分解,SVD在数据压缩、去噪、图像处理中有重要应用。1. 特征值分解了解SVD,首先来看矩阵特征值分解。特征值分解满足条件为:假设矩阵A为实对称...
  • 奇异值分解(SVD)可能是最著名和使用最广泛的矩阵分解方法。所有矩阵都有一种 SVD 方法,这使得其比特征分解(eigendecomposition)等其它方法更加稳定。因此,这种方法在很多应用中都有应用,包括压缩、去噪、数据...
  • 有关奇异值分解的论文集,包括奇异值分解的原理介绍及应用。其中包括奇异值分解在数字水印及水印图像的应用、奇异值分解在文本分类中的应用、奇异值分解用于图像去噪奇异值分解在潜在语义检索中的应用等等。
  • 内容:一个基于奇异值分解的数字水印源代码,其中可以实现混沌之乱和奇异之分解的数字水印嵌入clcclose allclear all% 保存开始时间start_time=cputime;iTimes=4; %置乱次数alpha=0.2;blocksize=8; % 设置块的大小% ...
  • 矩阵分解 - 奇异值分解 SVD奇异值分解几何解释紧奇异值分解(无损压缩)计算方法截断奇异值分解(有损压缩)计算方法...亦或有噪声,要进行去噪奇异值分解就是解决方法中的一个。它将矩阵分解为三个矩阵相乘的...
  • SVD 奇异值分解

    2018-04-08 23:51:49
    SVD 奇异值分解SVD 奇异值分解提供了一个矩阵拆分成简单有意义的几块的一种方法。SVD可以用于图像压缩,去噪,也是 PCA 的数学基础。1、主要内容 Python 实现 SVD >>>A=mat([[1,2,3],[4,5,6]]) >>> from numpy ...
  • SVD奇异值分解

    2021-01-07 21:37:25
    SVD奇异值分解概述定义求解过程图像压缩案例 概述 SVD应用: 1.用于数据降维、压缩和去噪; 2.用于PCA降维; 3.推荐系统、自然语言处理等。 SVD诞生: Ax=λx,对A进行特征值分解A=WΣWT要求A必须为方阵、实对称矩阵...
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  • SVD(奇异值分解)真的是一个神奇的东西,这里就写个小结。 其实原理并不是那么难理解。 它在数据去噪方面和降维上有特殊作用,也与PCA有很大的联系。 首先我们先回顾一下 EVD,特征值分解,可以对SVD有更好地...
  • 关于奇异值的知识,可以参考:机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用 一般来说,较少的奇异值就可以表达一个矩阵很重要的信息,所以我们可以舍掉一部分奇异值来实现压缩。 在图像处理中,...
  • 在图像处理方面,矩阵分解被广泛用于降维(压缩)、去噪、特征提取、数字水印等,是十分重要的数学工具,其中特征分解(谱分解)和奇异值分解是两种常用方法,本文简单介绍如何在OpenCV中使用它们对图像进行分解,然后...
  •  奇异值分解是一个有着很明显物理意义的方法,在图像去噪方面有很重要的应用。大致意义可以这样理解:在描述一个人时,给别人描述浓眉大眼,方脸,爆炸头等,很容易就可以让人联想到这个人的大致模样。  实际上,...
  • 同时,由于进行了区间化,成功避免了小波分解过程中对边界图像的延拓,边界问题得以有效解决,使重构精度得到了显著提高。实验表明,区间最小能量小波框架去噪效果比非区间小波框架去噪效果更好。

空空如也

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奇异值分解去噪