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  • 微积分的本质
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    2021-05-14 10:34:32

    从计算圆的面积来探索微积分

    将圆分割成相等的圆环,排列在一起组成近似三角形,三角形的面积即近似原的面积,分割的越小,越接近
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    所以,微积分的本质就是:

    将困难问题化为无限小量之和
    无限逼近真实值
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  • 微积分本质

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    借此了解微积分的本质,以此补全数学之源以及数学之用的空缺。参考《托马斯微积分》和b站《微积分的本质》

    1  从圆的面积说起

    1.1 问题

      古时候,人们想要知道圆的面积是多少?那么可以由几种方案,一种是把圆铺开,一种是把一个圆分成很多很多个圆环再

    求和。这种思想就是微积分的来源。

    形如上图,我们把圆铺开,其长度就是圆周长,其宽是dr,dr取的越小,自然也就越精确。

    而把圆变成很多个环的话,每个环铺开是一个长方形,将这些长方形的面积累加起来即可。如下图

    当dr取的越小越精确,自然就得到了三角形面积为圆面积的近似。我们似乎解决求出圆的面积问题,是一个更近似的过程。但数学家不会,数学家借助解决一个问题,他们希望解决一类问题发展处解决这一类的问题的工具微积分应运而生。它的思想就是一句话

    将所要实际问题的东西切分成一个很小很小的块,然后求和。

    比如非匀速汽车的行驶路程和时间关系,借助一个例子

    我们想要知道这个函数的面积,那么利用微积分思想,其可以切分近似。

     

    2  导数的悖论

     当我们讨论导数时,我们不是在讨论"瞬时速率“,我们在讨论在一个极小的地方的变换率。比如汽车的行驶速度和时间以及路程的函数中

    速度与时间的函数面积就是其路程,我们会遇到很多很多这样的问题。

     比如在网络传播中,我们知道感染速度和感染时间的函数,那么其函数底下面积就是感染人数。感染速度越快,其感染人数越多,和上图是一样的逻辑,只不过在网络上比较不好近似得到其函数关系,只能够利用较强的假设得到。

    导数的标准定义是:dr极小的变化率

    3 求导的几何意义

     

    利用导数的标准定义,再采取一个x平方的小例子。我们可以得到求导的几何直观理解,在上图中,x的增加成为x+dx,那么其函数值增加为两个小长方形+一个小正方形。小正方形因为包含dx而约去,两个小长方形面积为2xdx,约去dx,就是留下来的导数2x了。

    4 求导的种类

    所有的求导依据导数标准定义都有其几何方面的理解,求导主要由加,乘,复合三种基本运算直至所有的求导运算,只需要掌握这三种的本质几何解释,其它求导都是一样的。类似于线性代数,只需要理解向量及其加和数乘运算,其他都是一样的。

    下面看下求导的加法法则几何理解,(从两个函数根据dx变化之和理解)

     

    下面是求导的乘法法则几何理解。(从两个函数依据dx变化的面积考虑)

    下面是求导的复合法则几何理解。(从两个函数依据dx变化的复合考虑)

     



    7  极限

     

    这就是导数的定义,导数帮我们得到极限,而极限可以帮助我们计算导数。极限,强调的是趋于该点周围附近的取值,而是该点取值。

     

    8 微积分基本定理

    在这里,积分的几何含义就出来了。比如我们有个小车是非匀速走完某段路的,假设我们坐在车里,仅仅能够看到速度盘v(t)和一段时间t,如何求得t时刻走的路程呢?  很明显,我们知道v(t)函数下方的面积就是其走过的路程。我们又发现下方面积的函数f(t)的导数就是v(t),于是一切都显然了,这也就介绍了为什么求积分可以用求原函数的方法代入上下限求解。

     

     

     

     

     

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    微积分的本质是什么?我给自己设定的要求是本段没有一个公式,而且中学生都能听得懂。

    求一个直角三角形的高,可以通过底长和夹角来推算,但如果三角形是一个曲边的呢?再用加角和底边儿推算就会产生很大的误差。

    那该怎么办呢?不妨曲边三角形分成三段,形成三个蓝色直角三角形的,再通过它们夹角和底长推算数三个小高度,这三个小高度就叫做“微分”。

    然后,将这三个微分累积起来,就叫做“积分”,这个积分就是我们所求的曲边三角形的高度。

    问题来了,这三个蓝色直角三角形的高度,其实是低于实际高度的,会有一个红色的小误差。

    如何将这个误差消除呢?如果分成更多段,形成更多的蓝色直角三角形,那么这个红色的误差就会快速缩小。

    如果分成无穷多段,形成无穷多个蓝色直角三角形,那这个红色的小误差就会消失。

    所以说微积分的本质就是:通过无穷小来求总和。

    这算不算史上最容易理解的微积分科普?

    微积分的酝酿是在17世纪上半叶到17世纪末这半个世纪。

    1608年伽利略第一架望远镜的制成,不仅引起了人们对天文学研究的高潮,而且还推动了光学的研究。

    开普勒通过观测归纳出三条行星运动定律:

    (1)行星运动的轨道是椭圆的,太阳位于该椭圆的一个焦点上。

    (2)由太阳到行星的焦半径在相等的时间内扫过的面积相等。

    (3)行星绕太阳公转周期的平方,与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

    最后一条定律是在1619年公布的,而从数学上的推证开普勒的经验定律,成为当时自然科学的中心课题之一。1638年伽利略《关于两门新科学的对话》出版,为动力学奠定了基础,促进人们开始对动力学概念与定理作出精确的数学描述。望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线和求曲线的切线,而炮弹的最大射程和求行星的轨道的近日点、远日点等涉及函数最大值、最小值等问题;而求曲线所围成的面积、曲线长、重心和引力计算也激发了人们的兴趣。

    在17世纪中叶,几乎所有的科学大师都致力于未解决这些难题而寻求一种新的数学工具。正是为解决这些疑难问题,一门新的学科——微积分应运而生。

    微积分的创立,归纳为处理以下几类问题:

    (1)已知物体运动的路程和时间的关系,求物体在任意时刻的速度和加速度;反之,已知加速度与速度,求任意时刻速度和路程。

    (2)求曲线的切线,这是纯几何问题,但对科学应用具有重大意义,如透镜的设计、运动物体在运动轨迹上任一点的运动方向(即该点切线方向)等。

    (3)求函数最大值、最小值,前面提到弹道射程问题、近日点、远日点等问题都属于这一类问题。

    (4)求积问题,包括求曲线长、曲线所围面积、曲面所围体积等。

    而这些问题的解决,原有的已经无能为力了,只有当变量引进数学,能描述运动过程的数学新工具——微积分的创立后,这些难题才得以解决。其中最重要的是速度和距离以及曲线的切线和曲线下的面积这两类问题。正是为了解决这两类问题,才有了牛顿和莱布尼茨各自独自创立了微积分。

    说到微积分,我觉得这是我们接近世界本质,所迈出的第一步。

    为什么这么说呢?因为,如果数学还停留在算个横平竖直、矩形三角的面积的话,那么离应用真的是差太远了。

    数学是什么?

    一个工具,如果说物理是在探究这个世界的一些规律和原理的话,那么数学就是物理的语言。

    如果没有微积分,这个语言就几乎失去了价值。这个世界其实没有那么多棱角,连随便一块石头,都有风、水和岁月的侵蚀,来把棱角打磨。那么微积分就是打开了通向这个“圆滑”的世界的大门;除此之外,这个世界还是多变的,虽然说“你不可能踏入同一条河流两次”这样的观点太唯心,但是正是这样的思想告诉了我们一个道理:

    这个世界变化太快。

    而微积分给了我们去跟上变化的资本。

    万变不离其宗,你怎么变,我都可以去积分积出来。

    用哲学的角度看:

    积分是看到了量变产生的质变。

    微分是放大丝毫的变化,让你不被任何一个“平滑掉”的数据,蒙蔽双眼。

    微积分,让我们有可能看清世界。

    微分和积分的本质必须合起来讲,才有可能通俗易懂;要是分开来讲,反而变抽象了。

    我们不妨以事物在时间中产生变化为例。积分相当于是指事物经历时间后产生的总变化量,微分则相当于指事物在每一个刹那的微小变化量。因此,积分显然是由微分累积而成的。所以这个道理其实只是一个非常简单的常识,可以归纳为一句话:

    一段时间的总变化量,是由这段时间中的每个刹那的变化量累积而成的!

    这是不是简单到跟废话没有差别?的确就是这么简单。

    我们将总变化量切分成一份一份(由时间来衡量的话,就是一刹那一刹那)的变化量的过程叫做微分;而将一份一份的变化量累积出总变化量的过程叫做积分。

    我们要特别注意到,这里有一个难点:

    • 每个刹那的变化量,或者说每一份微分其实基本都是不同的,因为每个刹那的变化率在绝大多数情况下都不是均匀的(否则我们就不需要微积分了)。

    • 就像我们开车时,由于每个刹那的实际速率其实都是不同的,导致每个刹那的位移量也有大小不同。

    因此,我们就必须能找到办法来计算每一份微分,然后能通过微分来计算积分。这就是微积分所要完成的总任务。

    微积分的本质,事实上彻底体现在一个数学公式,被称为“微积分基本定理”,又称为“牛顿-莱布尼兹公式”:

    这个公式如果能够理解的话,其实就等于彻底理解了微积分思想的全部。剩下的就只是对微分与积分规则的技术性掌握了。既然是谈本质,我们这里就不谈技术性问题了。

    这个公式涉及到两个函数,一个是f(x),一个是F(x)。至于什么是函数,不懂的话得自己去自学,毕竟这属于初高中的知识,否则得通俗到从小学讲起了。

    在这个公式中,F(x)可称为f(x)的一个原函数或者不定积分。F(x)在x点上的变化量,也即在x点时的微分,我们标记为dF(x);它是在x点的变化率也即f(x)与该点发生的微小变化量dx的乘积,也即dF(x)=f(x)dx。所以f(x)=dF(x)/dx,因此f(x)又称为F(x)的导数函数。

    假设有一个事物在运动,我们不妨将函数f(x)理解为记录该事物的速度关于时间的函数,而将F(x)理解为该事物的位移关于时间的函数。于是dF(x)=f(x)dx的意思其实是指x刹那时的微小位移量,等于x刹那时的速率与该刹那时间的乘积。

    如果初始时刻是a,而末了时刻是b,则时间的自变量x就从a变化到了b。于是F(b)-F(a)显然就是指从时刻a到时刻b,事物的位移量,也即f(x)在这个时间段的定积分。它是怎么计算出来的呢?它是从时刻a到时刻b的每一份微小位移(微分)累积而成的总位移量(积分)。

    明白了上述道理后,我们会发现,如果我们掌握了计算微分以及积分的基本规则,我们也就有办法计算变化率不均匀事物在运动变化中的瞬间变化率(导数),瞬间变化量(微分)以及积累的总变化量(积分)的根本办法。这显然就更加对应现实世界了。

    —版权声明—

    来源:数学与通识

    仅用于学术分享,版权属于原作者。

    若有侵权,请联系微信号:Eternalhui或nhyilin删除或修改!

    —THE END—

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    因此这一系列的笔记,我会着重记录一些直观理解以及启发性的观点,忽略公式的记忆和推导部分。


    微积分体系中的三个核心知识点

    微分、积分以及微分和积分之间的互逆关系
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    从微元法和面积近似的角度看圆面积公式的推导

    故事的开端从,你为了计算圆的面积,将圆剪成了若干个同心圆环来近似求解,开始。

    p.s.将圆拆解的方式有很多种,选择将圆剪成若干个圆环,保留了圆的对称性,这在数学中是一个良好的性质。

    如果能为每一个圆环找到一个合适的面积计算公式,通过将所有圆环面积求和即能计算得到整个圆的面积。
    在这里插入图片描述

    将每一个圆环拉直,在厚度较小时,可以很好地近似成一个长方形——其长为圆的周长,宽为每一个圆环之间的厚度差,其大小取决于你剪裁的粒度。

    接下来这个步骤可以很直观地解释“微元法”中——对ds微元面积函数“积分“”就可以得到总面积的观点。
    p.s.虽然,作者在视频中讲述的时候并没有提到所谓“微元”、“积分”等概念,但这的确是一个很好的启蒙。

    在这里插入图片描述
    将圆中每一个圆环单独拎出来,并将圆环拉直成一个类矩形,根据圆环取出的不同位置,可以在数轴上从0到r的位置上将这些矩形块进行排列。

    得到上图的分布,因为每一个类矩形的高都是2πr,且横轴就是关于r的分布,因此在二维坐标系中画出y = 2πr的曲线,该曲线下每一个小矩形块的最高点延伸到该曲线上的某一点。

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    当矩形块分割得足够细的时候,就可以用该曲线下的面积来等价替换得到圆形的面积。

    可行的方法论

    1. 化繁为简,分而治之
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      将一个大的问题进行微小划分,当分割得无限细的时候,这个时候每一个部分就可以称为一个微元。
    1. 用图像下的面积来替代原来问题的解
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    不规则曲线下面积的求解思想——引出微积分基本定理

    以一个很直观的角度引出了“积分”的概念,也相当于是谈论了为什么数学家需要“积分”这个工具。

    积分函数

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    如图,若想要求某抛物线下的面积,通过移动x=k这条边界线,面积自然也会发生变化。

    想要找到一个函数能够代表,随着x的不同,围成的不同的面积,把这样的函数就称为该曲线对应的函数的积分。

    动机:之所以想要找出这样一个函数,不是为了仅仅提出一个数学难题,而是为了能够很好地将问题转化称为求解某图像下的面积。

    积分函数的性质

    求解积分函数的方法【依然分而治之】

    考虑该曲线下围成的面积的变化量:当我把该直线往横轴上进行一点微小移动,来比较该面积的微小变化。

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    dA依然可以用一个类矩形来近似代替,从而得到下图中的性质——dA/dx=f(x)
    纵然我们不知道A(x)是什么,但是我们知道每一个A(x)具有如上性质。

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    导数

    在这里插入图片描述
    粗略来说,导数衡量的是函数对取值的微小变化的敏感程度。

    • 引出导数的概念,也是因为导数有其用途,尤其是在解决积分问题时——通过明确导数,从而还原出相应的原函数。

    微积分基本定理

    • 描述:通过某个图像下方面积函数的导数,能够还原出定义这个图像的函数,就叫做“微积分基本定理”

      在这里插入图片描述
    • 意义:将积分和导数这两大概念联系起来。

    后记

    【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集P1

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