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  • 博弈论——非完全信息扩展式博弈

    千次阅读 2019-01-04 14:15:04
    扩展式博弈中,有些时候博弈的信息是不完全的: 玩家不知道其他玩家之前的决策 玩家不记得自己之前的决策 此时使用虚线连接这些信息集相同的决策点。 基本概念 非完全信息扩展式博弈表示为:G={N,J,P,I,{ui}}G...

    版权声明:本文为原创文章,未经博主允许不得用于商业用途。

    在扩展式博弈中,有些时候博弈的信息是不完全的:

    • 玩家不知道其他玩家之前的决策
    • 玩家不记得自己之前的决策

    此时使用虚线连接这些信息集相同的决策点。

    基本概念

    • 非完全信息扩展式博弈表示为: G = { N , J , P , I , { u i } } G=\{N,J,P,I,\{u_i\}\} G={N,J,P,I,{ui}}
    • 信息集: I = { I 1 , I 2 , . . . , I N } I=\{I_1,I_2,...,I_N\} I={I1,I2,...,IN}为所有玩家的信息集, I i = { I i 1 , I i 2 , . . . , I n i } I_i=\{I_{i1},I_{i2},...,I_{n_i}\} Ii={Ii1,Ii2,...,Ini}为玩家i的所有决策节点根据信息的划分。
      • 信息集 I i I_i Ii中的每个元素为到达该玩家某一决策点或多个决策节点,使用从根节点到此节点的路径表示。
      • 在完全信息博弈中每个元素只包含一个节点。
      • 显然信息集某元素中的多个路径下候选决策集是相同的,记作 A ( I i j ) = A ( h ) = A ( h ′ ) , h , h ′ ∈ I i j A(I_{ij})=A(h)=A(h'),h,h'\in I_{ij} A(Iij)=A(h)=A(h),h,hIij,因此才无法区分。
      • P ( I i j ) P(I_{ij}) P(Iij)为在该处做出决策的玩家。

    在此博弈中:在这里插入图片描述

    玩家1无法分辨玩家2所做决策,因此其信息集为 I 1 = { ϕ , { L A , L B } } I_1=\{\phi,\{LA,LB\}\} I1={ϕ,{LA,LB}},其中LA和LB具有相同的候选决策集{a,b}

    玩家2为完美回忆的,其信息集为 I 2 = { L } I_2=\{L\} I2={L}

    • 完美回忆(Perfect Recall):如果玩家i记住自己之前的所有决策则是完美回忆的。
      • 如果所有玩家都是完美回忆的,则该博弈是完美回忆的。
    • 纯策略(Pure Strategies):玩家i的纯策略定义为 a i ∈ A ( I i 1 ) × A ( I i 2 ) × . . . × A ( I i m ) a_i\in A(I_{i1})\times A(I_{i2})\times...\times A(I_{im}) aiA(Ii1)×A(Ii2)×...×A(Iim)
    • 混合策略(Mixed Strategies):作用在该玩家纯策略上的概率分布函数。
    • 行为策略(Behavioral Strategies):玩家i的一系列的概率分布函数 β i = { β i 1 ( I i 1 ) , β i 2 ( I i 2 ) , . . . , β i n i ( I i n i ) } \beta_i=\{\beta_{i1}(I_{i1}),\beta_{i2}(I_{i2}),...,\beta_{in_i}(I_{in_i})\} βi={βi1(Ii1),βi2(Ii2),...,βini(Iini)},其中 β i k \beta_{ik} βik为作用在 A ( I i k ) A(I_{ik}) A(Iik)决策集上的概率分布函数,其中 P ( I i k ) = i P(I_{ik})=i P(Iik)=i
      • 从概率的角度,在行为策略中每次决策之间是相互独立的,而混合策略则可能不是相互独立的。
      • 在完全信息博弈中,行为策略和混合策略可以相互转化,混合策略可以看作行为策略的联合分布函数。
    • 库恩定理(Kuhn Theorem):在完美回忆的有穷扩展式博弈中,行为策略和混合策略可以相互转化,且采取行为策略和混合策略的结果是等价的。
    • 子博弈:具有独立信息集的子树,即子树的任意节点不能和外部节点共用信息集,直观表示就是没有从子树内部到外部的虚线。
      • 定理:完美回忆博弈至少有一个子博弈完美均衡(后向归纳)
    • 信念(Belief):在非完全信息的扩展式博弈中的信念( μ \mu μ)是关于信息集的一组概率分布函数,如果信息集只有一个节点则概率为1。
      • 贝叶斯一致性:信念符合贝叶斯定律。
      • 一致性:信念是概率的极限。
      • 评估(Assessment):评估记作 ( β , μ ) (\beta,\mu) (β,μ),可以评估一组信念和行为的一致性和贝叶斯一致性。且一致性可以推出贝叶斯一致性。
    • 序惯理性(Sequential Rational):序列理性是建立在信念上的,即对于每个信息集上的信念,玩家i都做出最优决策。 ∀ I i j , u i ( β i , β − i ∣ I i j , μ ) ≥ u i ( β i ′ , β − i ∣ I i j , μ ) \forall I_{ij},u_i(\beta_i,\beta_{-i}|I_{ij},\mu)\geq u_i(\beta_i',\beta_{-i}|I_{ij},\mu) Iij,ui(βi,βiIij,μ)ui(βi,βiIij,μ)
      • ( β , μ ) (\beta,\mu) (β,μ)是序贯均衡的如果其满足一致性和序贯理性。
      • 完美回忆的有穷扩展式博弈一定有序惯均衡
      • 序贯均衡中的行为策略是SPE

    例题1

    在这里插入图片描述

    在此博弈中, I 1 = { ( ϕ , L ) } I_1=\{(\phi ,L)\} I1={(ϕ,L)} I 2 = { R } I_2=\{R\} I2={R} A ( I 11 ) = { L , R } , A ( I 21 ) = { U , D } A(I_{11})=\{L,R\}, A(I_{21})=\{U,D\} A(I11)={L,R},A(I21)={U,D}

    ​ 因此纯策略有: { L U , L D , R U , R D } \{LU,LD,RU,RD\} {LU,LD,RU,RD},且收益为 u = { ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 5 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } u=\{(1,0),(1,0),(5,1),(2,2)\} u={(1,0),(1,0),(5,1),(2,2)},显然R为Player1的严格占优策略,因此纳什均衡为(R,D)

    ​ 如果使用行为策略,则设Player1的行为策略为 [ L , p ; R , 1 − p ] [L,p;R,1-p] [L,p;R,1p],则收益期望为: U 1 = p 2 + p ( 1 − p ) × 100 + ( 1 − p ) × 2 U_1=p^2+p(1-p)\times 100+(1-p)\times 2 U1=p2+p(1p)×100+(1p)×2,当 p = 49 / 99 p=49/99 p=49/99时取得最大值 2599 11 ≃ 26.3 \frac{2599}{11}\simeq 26.3 11259926.3

    例题2

    在这里插入图片描述

    求序贯均衡

    假设行为策略为 β = ( β 1 , β 2 ) = ( p , r ; q ) \beta=(\beta_1,\beta_2)=(p,r;q) β=(β1,β2)=(p,r;q),其中p,r,q为选择A,E,C的概率。

    则由贝叶斯公式,Player1在 { A C , A D } \{AC,AD\} {AC,AD}处关于AC的信念为 μ = q \mu=q μ=q

    • 如果玩家2行为策略中,q=0,则 μ = 0 \mu=0 μ=0,玩家1将选择DF,则此时玩家2收益为0,非最优策略。
    • 如果q=1,则 μ = 1 \mu=1 μ=1,玩家1将选择CE,同样不是最优策略。
    • 如果 q ∈ ( 0 , 1 ) q\in (0,1) q(0,1),则玩家1收益为 u 1 = 16 μ r + 16 ( 1 − μ ) ( 1 − r ) = 16 − 16 q − 16 r ( 1 − 2 q ) u_1=16\mu r+16(1-\mu)(1-r)=16-16q-16r(1-2q) u1=16μr+16(1μ)(1r)=1616q16r(12q),且保证玩家2选择AC和AD的纯策略收益相同,即 16 ( 1 − r ) = 16 r ⇒ r = 1 / 2 16(1-r)=16r \Rightarrow r=1/2 16(1r)=16rr=1/2
      • q > 1 / 2 q>1/2 q>1/2时, u 1 u_1 u1为r的增函数,因此r=1时收益最大。
      • q &lt; 1 / 2 q&lt;1/2 q<1/2时, u 1 u_1 u1为r的减函数,因此r=0时收益最大。
      • q = 1 / 2 q=1/2 q=1/2时, r ∈ [ 0 , 1 ] r\in[0,1] r[0,1],即只有此时可以满足 r = 1 / 2 r=1/2 r=1/2,因此子博弈收益为(8,8)占优,因此p=1。
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  • 不完美信息扩展式博弈中在线虚拟遗憾最小化
  • 博弈论——扩展式博弈(Extensive Game)

    千次阅读 2019-01-03 19:38:03
    扩展式博弈中,玩家按照博弈的进程在不同阶段进入决策而不是同时决策,因此决策实际上是一个树形结构,博弈从根节点开始,沿一条路径到达叶节点结束。 非叶节点处某一玩家做出决策 不同分支为不同决策后博弈的...

    版权声明:本文为原创文章,未经博主允许不得用于商业用途。

    基本概念

    • 在扩展式博弈中,玩家按照博弈的进程在不同阶段进入决策而不是同时决策,因此决策实际上是一个树形结构,博弈从根节点开始,沿一条路径到达叶节点结束。

      • 非叶节点处某一玩家做出决策
      • 不同分支为不同决策后博弈的走向
      • 叶节点为博弈结果
    • 在普通博弈基础上扩展式博弈的组成增加了:

      • 历史(Histories)H:从根节点到当前决策节点的路径中经过的决策的序列(有序集)。特别的,根节点历史为 ϕ \phi ϕ
      • Player Function: P ( h ) P(h) P(h)表示在历史h后进行决策的玩家。
    • 因此扩展式博弈可以表示为: G = { N , H , P , { u i } } G=\{N,H,P,\{u_i\}\} G={N,H,P,{ui}}

    例如在如下博弈中:
    在这里插入图片描述
    N = { 1 , 2 } N=\{1,2\} N={1,2}

    H = { ϕ , A , B , A L , A R } H=\{\phi,A,B,AL,AR\} H={ϕ,A,B,AL,AR}

    P : P ( ϕ ) = 1 ; P ( A ) = 2 P:P(\phi)=1; P(A)=2 P:P(ϕ)=1;P(A)=2

    • 纯策略:玩家i的纯策略可以定义为: × h ∈ H { a S : ( h , a S ) ∈ H , P ( h ) = i } \times_{h\in H}\{a^S:(h,a^S)\in H,P(h)=i\} ×hH{aS:(h,aS)H,P(h)=i},即所有决策玩家为i的节点决策集的笛卡儿积。(按照从根节点开始按层次书写)

      • 纯策略的纳什均衡可由列表法直接计算得出。
      • 定理:完全信息的扩展式博弈至少存在一个纯策略纳什均衡(因为每个节点都必须要选出一个最佳策略)
    • initial history: A ( h ) = { a : ( h , a ) ∈ H } A(h)=\{a:(h,a)\in H\} A(h)={a:(h,a)H},即h后的所有候选决策集。

    • terminal history set: Z = { ( a 1 . . . a i ) : i → inf ⁡   o r   a i + 1 ∉ H } Z=\{(a^1...a^i):i\rightarrow \inf\ or\ a^{i+1}\notin H\} Z={(a1...ai):iinf or ai+1/H}

    • 博弈长度: l ( G ) = max ⁡ h ∈ H { ∣ h ∣ } l(G)=\max\limits_{h\in H}\{|h|\} l(G)=hHmax{h},即博弈树高度

    • s i s_i si为玩家i的纯策略,则定义 s i ( h ) = a , a ∈ A ( h ) , a ∈ s i , P ( h ) = i s_i(h)=a,a\in A(h),a\in s_i, P(h)=i si(h)=a,aA(h),asi,P(h)=i,即玩家i在策略 s i s_i si下在h的终点节点所做选的策略。

    子博弈

    • 子博弈(Subgame):即博弈树的一个高度大于1的子树。特别的,博弈树也是一个子博弈。

      • 子博弈可表示为 G ( h ) = { N , H ∣ h , P ∣ h , { u i ∣ h } } G(h)=\{N,H|_h,P|_h,\{u_i|_h\}\} G(h)={N,Hh,Ph,{uih}}
      • s i ∣ h ( h ′ ) = s i ( h , h ′ ) s_i|_h(h&#x27;)=s_i(h,h&#x27;) sih(h)=si(h,h)
    • 子博弈完美均衡(Subgame Perfect Equilibrium):博弈结果为为子博弈完美的当且仅当每一个子博弈都达到纳什均衡。

      • 定理:完全信息的扩展式博弈中一定存在完美子博弈
      • SPE可以通过后向归纳法求得,即不断用子博弈的均衡结果代替子树,直到到达根节点。
    • 单步偏离原则(One Deviation Principlr):

      s   i s   S P E &ThickSpace; ⟺ &ThickSpace; ∀ i ∈ N , ∀ h ∈ { H − Z }   s . t . P ( h ) = i s\ is\ SPE\iff\forall i\in N, \forall h\in \{H-Z\}\ s.t.P(h)=i s is SPEiN,h{HZ} s.t.P(h)=i

      u i ∣ h ( s i ∗ ∣ h , s − i ∗ ∣ h ) ≥ u i ∣ h ( s i , s − i ∗ ∣ h ) u_i|_h(s^*_i|_h,s^*_{-i}|h)\geq u_i|_h(s_i,s^*_{-i}|h) uih(sih,sih)uih(si,sih),其中 s i 和 s i ∗ s_i和s_i^* sisi只在 A ( h ) A(h) A(h)中选取不同决策。

      即对有限博弈树,判断是否为SPE只需考虑当前节点决策是否最优,而不需要考虑历史决策。

    例题

    主从博弈(Stackleberg Competition)

    规则和古诺均衡类似,两家公司决定产量,不过Player1先决定产量以后Player2再决定产量。

    收益满足 u i ( q 1 , q 2 ) = ( m a x { 0 , a − b ( q 1 + q 2 ) } − c ) q i u_i(q_1,q_2)=(max\{0,a-b(q_1+q_2)\}-c)q_i ui(q1,q2)=(max{0,ab(q1+q2)}c)qi

    • Player2:对于Player2决策节点构成的子博弈, q 1 q_1 q1为已知量,最大收益为导数为0时,因此 q 2 = ( a − c − b q 1 ) / 2 b q_2=(a-c-bq_1)/2b q2=(acbq1)/2b,和古诺均衡一致。
    • Player1:由后向归纳法,可以将Player2决策的节点收缩为收益为 ( a − c − b q 1 ) / 2 b (a-c-bq_1)/2b (acbq1)/2b的叶节点,因此此时Player1的收益为 ( a − b ( q 1 + a − c − b q 1 2 b ) − c ) q 1 (a-b(q_1+\frac{a-c-bq_1}{2b})-c)q_1 (ab(q1+2bacbq1)c)q1,导数为零时 q 1 = a − c 2 b q_1=\frac{a-c}{2b} q1=2bac
    • 回代得, q 2 = a − c 4 b q_2=\frac{a-c}{4b} q2=4bac,Player1收益更多。
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    扩展式博弈

    图1 扩展式博弈

     

    1. 问题提出——新产品开发

    两企业(企业1和企业2)准备各自开发同一新产品,并投放市场。开发中企业的投入、产出如图所示:

    新产品开发投入-产出图

    图2 新产品开发投入-产出图

    两个企业都知道市场需求,且企业1先决策企业2观测到企业1的选择后再进行选择。试问企业1和企业2将如何选择?

     

    2. 问题描述——扩展式博弈

    扩展式博弈(extensive form game):与战略式博弈侧重博弈结果相比,扩展式博弈更注重对参与人在博弈过程中所遇到决策问题的序列结构的详细分析。

    描述方式:博弈树

    扩展式博弈四要素

    1) 参与人集合clip_image006

    2) 参与人的行动顺序;

    3) 每个参与人行动时面临的决策问题,包括参与人行动时可供他选择的行动方案及他所了解的信息;

    4) 参与人的支付函数

    “新产品开发”博弈扩展式描述:

    新产品开发博弈博弈树描述(需求大)

    图3 需求大的情况下新产品开发博弈的博弈树描述

    新产品开发博弈博弈树描述(需求小)

    图4 需求小的情况下新产品开发博弈的博弈树描述

     

    3. 问题的解——子博弈精炼Nash均衡

    子博弈:原博弈的一部分,始于原博弈中一个位于单结信息集中的决策结x,并由决策结x及其后续结共同组成,与原博弈具有相同的信息结构

    扩展式博弈的战略组合clip_image012是一个子博弈精炼Nash均衡,当且仅当满足以下条件:

    1) 它是原博弈的Nash均衡;

    2) 它在每个子博弈上给出(或构成)Nash均衡。

    逆向归纳法

    1) 找出博弈的所有子博弈

    2) 按照博弈进程的“反方向”逐一求解各个子博弈,即最先求解最底层的子博弈,在求解上一层的子博弈,……,直至原博弈。

    逆向归纳法求解新产品开发博弈(需求大)

    图5 逆向归纳法求解新产品开发博弈(需求大)

    子博弈精炼Nash均衡为(开发,(开发,开发))

     

    逆向归纳法求解新产品开发博弈(需求小)

    图6 逆向归纳法求解新产品开发博弈(需求小)

    子博弈精炼Nash均衡(开发,(不开发,开发))

     

    Kuhn定理:每个有限扩展式博弈都存在子博弈精炼Nash均衡。

     

    参考文献:

    [1] 罗云峰. 博弈论教程. 北京: 清华大学出版社, 北京交通大学出版社, 2007.

    转载于:https://www.cnblogs.com/6DAN_HUST/archive/2010/01/15/1648335.html

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    完全信息扩展式博弈

    perfect information extensive-form games

    是一种涉及时间的博弈。

    在这里插入图片描述

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    子博弈

    在这里插入图片描述

    子博弈定义

    在这里插入图片描述

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