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  • 实验二 时域采样频域采样及MATLAB程序
    2021-05-06 04:43:40

    --

    实验二 时域采样与频域采样

    一 实验目的

    1 掌握时域连续信号经理想采样前后的频谱变化,加深对时域采样定理的理解

    2 理解频率域采样定理,掌握频率域采样点数的选取原则

    二 实验原理

    1 时域采样定理

    对模拟信号()a x t 以T 进行时域等间隔采样,形成的采样信号的频谱ˆ()a

    X j Ω会以采样角频率2()s s T

    πΩΩ=为周期进行周期延拓,公式为: 1ˆˆ()[()]()a a a s n X j FT x t X j jn T +∞=-∞

    Ω==Ω-Ω∑ 利用计算机计算上式并不容易,下面导出另外一个公式。

    理想采样信号ˆ()a x

    t 和模拟信号()a x t 之间的关系为: ˆ()()()a a n x

    t x t t nT δ+∞

    =-∞=-∑ 对上式进行傅里叶变换,得到:

    ˆ()[()()()()j t j t a a a n n X j x t t nT e dt x t t nT e dt δδ+∞+∞+∞+∞-Ω-Ω-∞-∞=-∞=-∞Ω=-=-∑∑⎰⎰

    在上式的积分号内只有当t nT =时,才有非零值,因此:

    ˆ()()jn T a

    a n X j x nT e +∞-Ω=-∞Ω=∑

    上式中,在数值上()()a x nT x n =,再将T ω=Ω代入,得到:

    ˆ()()()jn j a

    a T T n X j x n e X e ωωωω+∞-=Ω=Ω=-∞Ω==∑

    上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到,只要将自变量ω用T Ω代替即可。

    2 频域采样定理

    对信号()x n 的频谱函数()j X e ω在[0,2π]上等间隔采样N 点,得到

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    时域采样要点 理想采样信号的傅里叶变换=对应采样序列的傅里叶变换 频域采样定理 频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M 才能使时域不发生混叠现象 例1(3个频率实例) 采样频率Fs=1kHz,观测时间Tp=50...

    时域采样要点

    在这里插入图片描述
    理想采样信号的傅里叶变换=对应采样序列的傅里叶变换
    在这里插入图片描述

    频域采样定理

    在这里插入图片描述
    频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M
    才能使时域不发生混叠现象

    例1(3个频率实例)

    在这里插入图片描述
    采样频率Fs=1kHz,观测时间Tp=50ms

    x(n)=xa(nT)=Ae^(-a*nT) * sin(Ω0* nT) * u(nT)  
    

    使用不同的采样频率长度(点数)用公式N=Fs*Tp计算
    FFT选用64,长度不够用补充零
    X(k)=FFT[x(n)] k=0,1,2,3,…,M-1
    在这里插入图片描述

    clc
    close all;
    clear all;
    Tp=50/1000;
    Fs=1000;
    T=1/Fs;
    M=Tp*Fs;%M=50
    n=0:max(M-1,64);
    A=444.128;
    alpha=pi*50*2^0.5;
    omega=pi*50*2^0.5;
    xnt=A*exp(-alpha*n*T).*sin(omega*n*T);
    Xk=T*fft(xnt,M);
    figure
    subplot(2,1,1);
    xlabel('n');
    ylabel('xnt');
    stem(n,xnt,'.');
    axis([0,length(n),min(xnt),1.2*max(xnt)]);
    title('Fs=1000hz');
    
    k=0:M-1;
    fk=k/Tp;
    subplot(2,1,2);
    plot(fk,abs(Xk));
    axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]);
    title('T*FT[xa(nT)],Fs=1000hz');
    
    
    

    在这里插入图片描述
    如果Fs=500hz

    clc
    close all;
    clear all;
    Tp=50/1000;
    Fs=300;
    T=1/Fs;
    M=Tp*Fs;%M=50
    n=0:max(M-1,64);
    A=444.128;
    alpha=pi*50*2^0.5;
    omega=pi*50*2^0.5;
    xnt=A*exp(-alpha*n*T).*sin(omega*n*T);
    Xk=T*fft(xnt,M);
    figure
    subplot(2,1,1);
    xlabel('n');
    ylabel('xnt');
    stem(n,xnt,'.');
    axis([0,length(n),min(xnt),1.2*max(xnt)]);
    title('Fs=300hz');
    
    k=0:M-1;
    fk=k/Tp;
    subplot(2,1,2);
    plot(fk,abs(Xk));
    axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]);
    title('T*FT[xa(nT)],Fs=300hz');
    

    在这里插入图片描述
    Fs=200hz

    clc
    close all;
    clear all;
    Tp=50/1000;
    Fs=200;
    T=1/Fs;
    M=Tp*Fs;%M=50
    n=0:max(M-1,64);
    A=444.128;
    alpha=pi*50*2^0.5;
    omega=pi*50*2^0.5;
    xnt=A*exp(-alpha*n*T).*sin(omega*n*T);
    Xk=T*fft(xnt,M);
    figure
    subplot(2,1,1);
    xlabel('n');
    ylabel('xnt');
    stem(n,xnt,'.');
    axis([0,length(n),min(xnt),1.2*max(xnt)]);
    title('Fs=200hz');
    
    k=0:M-1;
    fk=k/Tp;
    subplot(2,1,2);
    plot(fk,abs(Xk));
    axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]);
    title('T*FT[xa(nT)],Fs=200hz');
    
    
    

    在这里插入图片描述
    可以看出来1000hz时混叠很少
    300hz混叠严重
    200hz混叠更严重

    例2

    在这里插入图片描述

    clc
    close all;
    clear all;
    M=27;
    N=32;
    n=0:M;
    xa=1:floor(M/2)+1;
    xb=ceil(M/2)-1:-1:0;
    xn=[xa,xb];
    figure
    subplot(3,2,1);
    stem(n,xn,'.');
    axis([0,length(n),min(xn),1.2*max(xn)]);
    title('x(n)');
    xlabel('n');
    ylabel('x(n)');
    Xk=fft(xn,1024);%1024点FFT[x(n)],用于近似xn的FT
    X32k=fft(xn,32);
    x32n=ifft(X32k);
    X16k=X32k(1:2:N);
    x16n=ifft(X16k,N/2);
    k=0:1023;
    wk=2*k/1024;
    subplot(3,2,2);
    plot(wk,abs(Xk));
    axis([0,2,0,1.2*max(abs(Xk))]);
    title('FT[x(n)]');
    xlabel('\omega/\pi');
    ylabel('|X(e^j^\omega)|');
    
    k=0:N-1;
    subplot(3,2,3);
    stem(k,abs(X32k),'.');
    title('32-point frequence sample');
    xlabel('k');
    ylabel('|X32(k)|');
    axis([0,32,0,1.2*max(abs(X32k))]);
    n32=0:N-1;
    subplot(3,2,4);
    stem(n32,x32n,'.');
    title('32-point IDFT[X32(k)]');
    xlabel('n');
    ylabel('|x32(n)|');
    axis([0,32,0,1.2*max(x32n)]);
    
    
    k=0:N/2-1;
    subplot(3,2,5);
    stem(k,abs(X16k),'.');
    title('16-point frequence sample');
    xlabel('k');
    ylabel('|X16(k)|');
    axis([0,16,0,1.2*max(abs(X16k))]);
    n16=0:N/2-1;
    subplot(3,2,6);
    stem(n16,x16n,'.');
    title('16-point IDFT[X16(k)]');
    xlabel('n');
    ylabel('|x16(n)|');
    axis([0,16,0,1.2*max(x16n)]);
    
    
    

    在这里插入图片描述
    可以看到x(n)的频谱函数X(e^jw)在[0,2pi]采样16点,N=16
    M=27
    N<M时域发生混叠,xN(n)≠x(n)

    最后

    用最少点数的DFT得到频谱采样
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 基于MATLAB的数字信号处理(2) 时域采样和频域采样

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    一、实验目的

    时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。 要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化, 以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息;要求掌握频域采样会引起时域周期化的概念,以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

    二、实验原理与方法

    1. 时域采样定理的要点


    展开全文
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    时域采样定理

    给定模拟信号 : x ( t ) = A e − a t s i n ( Ω t ) u ( t ) , 式 中 A = 444.128 , a = 50 2 , Ω = 50 2 r a d / s x(t) = Ae^{-at}sin(\Omega t)u(t) ,式中A=444.128,a= 50\sqrt{\smash[b]{2 }},\Omega =50\sqrt{\smash[b]{2 }} rad/s x(t)=Aeatsin(Ωt)u(t),A=444.128,a=502 ,Ω=502 rad/s
    现用DFT求该模拟信号的幅频特性,已验证时域采样定理。

    Tp=64/1000;  %观察时间 Tp=64微妙
    %Fs=1000Hz
    Fs=1000; T=1/Fs;
    M=Tp*Fs; n=0:max(M-1,64);
    A=444.128; alpha=pi*50*2^0.5; omega=pi*50*2^0.5;
    xnt=A*exp(-alpha*n*T).*sin(omega*n*T);
    Xk=fft(xnt,M); 
    subplot(3,2,1);
    stem(n,xnt,'.');  %
    xlabel('n');
    title('Fs=1000Hz');
    k=0:M-1; fk=k/Tp;
    subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk));
    xlabel('f(Hz)');
    ylabel('幅度');
    
    title('T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz');
    %FS=300HZ
    Fs=300;T=1/Fs;
    M=Tp*Fs;n=0:max(M-1,64);
    A=444.128;alpha=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;
    xnt=A*exp(-alpha*n*T).*sin(omega*n*T);
    Xk=fft(xnt,M);
    subplot(3,2,3);
    stem(n,xnt,'.');
    xlabel('n');
    title('Fs=300Hz');
    k=0:M-1;fk=k/Tp;
    subplot(3,2,4);plot(fk,abs(Xk));
    xlabel('f(Hz)');
    ylabel('幅度');
    title('T*FT[xa(nT)],Fs=300Hz');
    %Fs=200HZ
    Fs=200;T=1/Fs;
    M=Tp*Fs;n=0:max(M-1,64);
    A=444.128;alpha=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;
    xnt=A*exp(-alpha*n*T).*sin(omega*n*T);
    Xk=fft(xnt,M);
    subplot(3,2,5);n=0:length(xnt)-1;
    stem(n,xnt,'.');
    xlabel('n');
    title('Fs=200Hz');
    k=0:M-1;fk=k/Tp;
    subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk));
    xlabel('f(Hz)');
    ylabel('幅度');
    title('T*FT[xa(nT)],Fs=200Hz');
    
    

    实验结果:
    在这里插入图片描述

    频域采样定理

    给定信号如下:
    x ( n ) = { n + 1 0 ≤ n ≤ 13 27 − n 1 4 ≤ n ≤ 26 0 其他 x(n)= \begin {cases} n+1 &\text 0 \leq n \leq 13 \\ 27-n &\text 14 \leq n \leq 26\\ 0 &\text{其他} \end{cases} x(n)=n+127n00n1314n26其他
    编程分别对频谱函数 X ( e j w ) = F T [ x ( n ) ] X(e^{jw})=FT[x(n)] X(ejw)=FT[x(n)] 在区间【0,2 π】上等间隔采样32点和16点。

    M=27; N=32; n=0:M;
    %产生M长三角波序列
    xa=0:floor(M/2);   % floor()向下取整,ceil()向上取整
    xb=ceil(M/2)-1:-1:0;
    xn=[xa,xb];
    XK=fft(xn,1024);  %近似xn的TF序列
    X32K=fft(xn,32);  %32点采样
    X32n=ifft(X32K);  %恢复 
    X16K=fft(xn,16);
    X16n=ifft(X16K);
    subplot(3,2,1);stem(n,xn,'.');
    xlabel('n');title('xn');
    subplot(3,2,2);plot(abs(XK));
    xlabel('w/pi');ylabel('幅值');title('|FT(xn)|');axis([0,1050,0,200]);
    n1=0:N/2-1;
    subplot(3,2,3);stem(X16n,'.');
    xlabel('n');title('16点采样');
    k=0:N/2-1;
    subplot(3,2,4);stem(k,abs(X16K),'.');
    xlabel('k');ylabel('|x_1_6(k)|');
    title('16点频域采样');
    n2=0:N-1;
    subplot(3,2,5);stem(n2,X32n,'.');
    xlabel('n');title('32点采样');
    k=0:N-1;
    subplot(3,2,6);stem(k,abs(X32K),'.');
    xlabel('k');ylabel('|x_3_2(k)|');
    title('32点频域采样');
    

    实验结果:
    在这里插入图片描述

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