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  • 离散数学包含符号
    2022-01-12 16:06:44

    x∈A —— x 是 A 的元素.
    x ∉ A —— x 不是 A 的元素.
    A ⊆ B —— A 是 B 的子集,或 A 包含于 B (B 包含 A).
    A ⊂ B —— A 是 B 的真子集.
    A ⊄ B —— B 不包含 A 或 A 不包含 B
    A = B —— A 与 B 有相同的元素.
    A ∪ B —— A 并 B.
    A ∩ B —— A 交 B.
    A - B —— B 对 A 的相对补.
    A ⊕ B —— A 与 B 的对称差.
    P(A) —— A 的幂集.
    ∅ —— 空集.
    N —— 自然数集(含0).
    N+ —— 非 0 自然数集.
    Z —— 整数集.
    Z+ —— 正整数集.
    Q —— 有理数集.
    Q* —— 非零有理数集合,即 Q-{0}
    R —— 实数集.
    R* —— 非零实数集,即 R-{0}.
    C —— 复数集.

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  • 离散数学符号大全

    千次阅读 2021-01-14 11:15:12
    图G的点连通度 △(G) 图G的最大点度 A(G) 图G的邻接矩阵 P(G) 图G的可达矩阵 M(G) 图G的关联矩阵 C 复数集 N 自然数集(包含0在内) N* 正自然数集 P 素数集 Q 有理数集 R 实数集 Z 整数集 Set 集范畴 Top 拓扑空间...

    ├ 断定符(公式在L中可证)

    ╞ 满足符(公式在E上有效,公式在E上可满足)

    ┐ 命题的“非”运算

    ∧ 命题的“合取”(“与”)运算

    ∨ 命题的“析取”(“或”,“可兼或”)运算

    → 命题的“条件”运算

    A<=>B 命题A 与B 等价关系

    A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系

    A* 公式A 的对偶公式

    wff 合式公式

    iff 当且仅当

    ↑ 命题的“与非” 运算( “与非门” )

    ↓ 命题的“或非”运算( “或非门” )

    □ 模态词“必然”

    ◇ 模态词“可能”

    φ 空集

    ∈ 属于(??不属于)

    P(A) 集合A的幂集

    |A| 集合A的点数

    R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”

    ∪ 集合的并运算

    ∩ 集合的交运算

    - (~) 集合的差运算

    〡 限制

    [X](右下角R) 集合关于关系R的等价类

    A/ R 集合A上关于R的商集

    [a] 元素a 产生的循环群

    I (i大写) 环,理想

    Z/(n) 模n的同余类集合

    r(R) 关系 R的自反闭包

    s(R) 关系 的对称闭包

    CP 命题演绎的定理(CP 规则)

    EG 存在推广规则(存在量词引入规则)

    ES 存在量词特指规则(存在量词消去规则)

    UG 全称推广规则(全称量词引入规则)

    US 全称特指规则(全称量词消去规则)

    R 关系

    r 相容关系

    R○S 关系 与关系 的复合

    domf 函数 的定义域(前域)

    ranf 函数 的值域

    f:X→Y f是X到Y的函数

    GCD(x,y) x,y最大公约数

    LCM(x,y) x,y最小公倍数

    aH(Ha) H 关于a的左(右)陪集

    Ker(f) 同态映射f的核(或称 f同态核)

    [1,n] 1到n的整数集合

    d(u,v) 点u与点v间的距离

    d(v) 点v的度数

    G=(V,E) 点集为V,边集为E的图

    W(G) 图G的连通分支数

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    △(G) 图G的最大点度

    A(G) 图G的邻接矩阵

    P(G) 图G的可达矩阵

    M(G) 图G的关联矩阵

    C 复数集

    N 自然数集(包含0在内)

    N* 正自然数集

    P 素数集

    Q 有理数集

    R 实数集

    Z 整数集

    Set 集范畴

    Top 拓扑空间范畴

    Ab 交换群范畴

    Grp 群范畴

    Mon 单元半群范畴

    Ring 有单位元的(结合)环范畴

    Rng 环范畴

    CRng 交换环范畴

    R-mod 环R的左模范畴

    mod-R 环R的右模范畴

    Field 域范畴

    Poset 偏序集范畴

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  • 离散数学知识点总结

    2021-01-07 05:53:15
     命题包含两个要素:陈述句,能判断真假  命题题符号化的步骤:   1 )对于不太好理解的联结词或表达方式,如有必要,做适当的文字翻译。  2 )找出其中所有的原子命题并符号化。  3 )用适当的联结词将原子命题...
  • 命题符号化是离散数学的一个重要分支——数理逻辑的基础内容.命题符号化的正确与否,会直接影响到逻辑推理的可行性和正确性.对给定命题进行符号化就是要把该命题表达成合乎规定的命题表达式,因此在具体...

    离散数学是计算机科学中重要的基础理论之一,同时也是培养学生缜密的思维、提高学生素质的核心课程.在离散数学的教学中,解题方法起着特殊而重要的作用.通过解题方法的训练,理论联系实际,可以培养学生综合分析问题的能力.

    命题符号化是离散数学的一个重要分支——数理逻辑的基础内容.命题符号化的正确与否,会直接影响到逻辑推理的可行性和正确性.对给定命题进行符号化就是要把该命题表达成合乎规定的命题表达式,因此在具体表达时,首先要列出原子命题,然后根据给定命题的含义,把所设的原子命题用适当的联结词连接起来.在教学过程中发现,学生在确定原子命题和选用联结词这两个关键步骤上往往容易出错,常见的错误包括:把简单命题符号化为复合命题、混淆联结词,,的使用场合,以及在使用联结词→时颠倒了前件和后件等.这些错误类型在学生中相当普遍,几乎每届学生都会出现,甚至离散数学经典教材的配套习题解答书在该类问题上也犯了以上错误.由此可见,探索如何有效解决这一教学问题显得很有必要.

    根据多年的教学发现,对具体题目的简单批改和纠正效果并不明显,因为这样做只是让学生“知其然”,未能从本质上认识错误,在遇到变化过的题目时学生还会困惑.只有从本质上剖析错误原因,找出避免错误的技巧和方法,让学生“知其所以然”,才能从根本上帮助学生杜绝错误的发生.在教学过程中总结了三种方法:真值表法、类比法和平衡主谓法.下面结合具体的例子来进行阐述.

    1、真值表法

    在命题符号化时,如果不能确定用哪个联结词,可以采用真值表法:首先列出所有可能的命题公式的真值表,然后比较原命题的含义与这些命题公式的真值情况,最后根据比较结果来确定联结词.

    常用的联结词有:,,,→,,,,↑,↓等.其中,学生在使用过程中最容易混淆的是,,.

    左孝凌等编写的《离散数学》在国内颇具影响,许多高校将它用作本科生和研究生的教材.对于该书的第1章第3节习题(7)中的命题(a)的符号化,配套的习题解答书,也犯了这类错误:命题(a)为“假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报.”其给出的解答是“设P:上午下雨.Q:我去看电影.R:我在家里读书.S:我在家里看报.则该命题可符号化为

    以上三种解答代表了的三种不同理解.为了判断究竟哪种解法正确,可以采用如下真值表法.

    首先,列出命题公式(1)、(2)、(3)的真值表(为了简化表格,不妨令W=RS),如表1所示.

    对照命题(a)的原意不难发现,当以下两种情况发生时,命题(a)为假.

    1)上午没下雨,但我没去看电影(即P=F,Q=F);2)上午下雨,但我没在家里读书或看报(即P=T,W=F).

    情况1)对应于表1的7、8两列,情况2)对应于表1的2、4两列,在这四列中,命题公式(1)、(3)的真值为T,命题公式(2)的真值为F,所以,命题公式(2)符合要求.

    2、类比法

    在使用条件联结词→符号化命题时,若不确定将哪部分作为前件、哪部分作为后件,可以采用类比法:把原命题与自己熟悉的句式作比较,先“翻译”成熟悉的句式,再确定前后件.

    条件命题P→Q表示“如果命题P成立,那么命题Q成立.”其中,P称为前件,Q称为后件,P是Q的充分条件,Q是P的必要条件.可以用条件命题表示的句式很多,除了“如果…,那么…”外,还有“若…,则…”,“只要…,就…”,“只有…,才…”,“因为…,所以…”,“…,仅当…”,“除非…,才…”,“除非…,否则非…”,“…,除非…”等.学生在解题过程中经常出现的主要错误是颠倒了前件和后件.

    为了避免这样的错误,首先把(a“)只要P,就Q”,(b“)只有P,才Q”,作为两个典型句式重点讲解,让学生理解:在句式(a)中,P是Q的充分条件,应符号化为P→Q;在句式(b)中,P是Q的必要条件,应符号化为Q→P.然后要求学生在处理其它句式时,先将该句式“翻译”成句式(a)或(b),再进行符号化.

    例如,设P:我有空.Q:我将上街.则命题“除非我有空,我才会上街.”可以“翻译”成“只有我有空,我才会上街.”因而可以符号化为Q→P.而命题“我将上街,除非我没空.”可以“翻译”成“只要我有空,我就会上街.”,因而原命题可以符号化为P→Q.

    事实上,上文提到的一些句式都能“翻译”成句式(a)或(b),其“翻译”和符号化结果如表2所示.

    3、平衡主谓法

    在对命题进行符号化时,如果遇到主语是“A和B”或“A与B”等表示多人(或物)的形式时,若不确定该命题是简单命题还是复合命题,可以采用平衡主谓法.分析谓语的性质,如果谓语也是多人(或物)间的关系或者需要多人(或物)共同完成的一件事情,则该命题是一个简单命题;否则该命题就是复合命题,应被分解成多个简单命题并用联结词连接.

    例如,在命题“小王和小李是同学”中,同学是一种关系,所以该命题是一个简单命题.而另一个命题“小王和小李是三好生”中,三好生就不是关系,因此该命题应符号化为PQ(其中,P:小王是三好生,Q:小李是三好生).

    4、结论

    对于数理逻辑这个学科分支来说,命题符号化是基础也是难点,初次接触的学生不容易完全掌握.以上提出的三种方法,希望能对学生有所帮助,给同仁有所借鉴.当然,命题符号化的题目形式千变万化,在教学过程中还应该注重培养学生的灵活性以及归纳和创新的能力.

    参考文献:

    [1]左孝凌,李为鑑,刘永才.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社,2007:1-12.

    [2]左孝凌,李为鑑,刘永才.离散数学——理论分析题解[M].上海:上海科学技术文献出版社,2005:19-64.

    [3]于晶晶,张爱琴,彭程.离散数学——全程导学及习题全解[M].北京:中国时代经济出版社,2007:12-15..

    [4]何锋.离散数学教学中的命题符号化难点讨论[J].计算机教育,2007(S):38-40.

    [5]陈敬华,胡松林.关于命题逻辑中两个问题的思考[J].湖北师范学院学报:自然科学版,2011,31(4):103-106.

    [6]唐金文.解析命题符号化[J].曲靖师范学院学报,2002,21(6):71-73.

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    逻辑与证明

    1.1命题逻辑

    命题

    定义1:一个命题就是一条陈述句。

    ​ 要么针、要么假,不能既真又假。

    定义2:命题的真假叫做命题的真值。

    ​ 只有两种真值:真、假。

    注意:在判断陈述句真假时,需要明确其所在的场景。

    原子命题:其真假独立于其他命题的最小命题。

    一般用小写字母表示。

    复合命题:已有命题用逻辑运算符组合成的新命题。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qTCTApSM-1639226661302)(C:\Users\20193\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20211211193108214.png)]

    逻辑运算符:用于组合命题的符号

    基本的逻辑运算符包含:

    否定合取析取蕴涵双蕴涵亦或
    ¬
    否命题:非

    合取命题:且

    -只有p与q同时为真时,才为真

    析取命题:或

    在这里插入图片描述

    –只有当p与q同为假时,p∨q才为假,否则为真

    异或:

    在这里插入图片描述

    –只有当p、q其中一个为真时,p⊕q才为真,否则为假

    蕴涵:

    –只有当 p 为真 q 为假时,p→q 才为假,否则为真

    蕴涵的逆、逆否、反命题

    原命题:p→q

    • 逆:q→p
    • 反:¬p→ ¬q
    • 逆否:¬q→ ¬p

    蕴涵命题的等价形式:

    ¬p ⋁ ¬q

    双蕴涵:

    –当p→q、q→p同真时,p ⇿ q为真

    逻辑运算符的优先级:

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