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  • 如何用Matlab计算相关系数和偏相关系数
    2021-04-20 00:39:29

    ​《本文同步发布于“脑之说”微信公众号,欢迎搜索关注~~》

    在脑科学领域的研究中,进行相关分析必不可少,比如说,我们想知道计算出来的某个指标是否与临床数据或行为学数据之间存在正相关或负相关关系。计算相关系数,最常用的是Pearson相关系数和Spearman相关系数。此外,在研究中,偏相关分析也很常用,其在计算两个变量的相关系数的同时把第三个变量当成协变量来排除这个变量的影响。本文,笔者对相关系数和偏相关系数的原理进行简单论述,并重点说明如何用Matlab实现相关系数和偏相关系数的计算。

    Pearson和Spearman相关系数

    Pearson相关系数。Pearson相关系数是一种反映两个变量线性相关程度的统计量,两个变量的线性相关程度用相关系数r表示,r的计算公式如下所示:

    2e03923055dec79ab88fab4c09367c67.png

    相关系数r的值属于[-1,+1]之间。关于Pearson相关系数具体的说明,大家可以自行百度,这里笔者重点介绍如何用Matlab实现Pearson相关系数的计算。

    例1:用Matlab计算变量A和B之间的Pearson相关系数r,以及A、B之间是否显著相关,

    A=[41,63,83,71,94,62,60,42,55,67],

    B=[10,16,26,29,20,9,8,13,18,14]。

    在Matlab命令窗口中输入以下命令即可:

    A=[41,63,83,71,94,62,60,42,55,67];

    B=[10,16,26,29,20,9,8,13,18,14];

    [r,p]=corr(A’,B’)

    r =0.5997

    p =0.0669

    注意:这里计算相关系数r以及相应的p值用的是corr函数。实际上,corr函数既可以计算Pearson相关系数也可以计算Spearman相关系数,默认情况下计算的是Pearson相关系数,格式如下:

    Pearson相关系数:[r,p]=corr(X,Y,‘type’,‘Pearson’)

    Spearman相关系数:[r,p]=corr(X,Y,‘type’,‘Spearman’)

    另外,需要注意的是,corr函数中两个变量X、Y必须是列向量,而不能是行向量,如例1中用[r,p]=corr(A’,B’)的命令,需要对A、B进行转置。

    Spearman相关系数。又称秩相关系数,是利用两变量的秩次大小作线性相关分析,具体的原理这里不展开说,需要进一步了解的可以自行百度。在例1中已经说到,Matlab中的corr函数同时可以计算Spearman相关系数。

    例2:用Matlab计算变量A和B之间的Spearman相关系数r,以及A、B之间是否显著相关,

    A=[41,63,83,71,94,62,60,42,55,67],

    B=[10,16,26,29,20,9,8,13,18,14]。

    在Matlab命令窗口中直接输入以下命令即可:

    A=[41,63,83,71,94,62,60,42,55,67];

    B=[10,16,26,29,20,9,8,13,18,14];

    [r,p]=corr(A’,B’,‘type’,‘Spearman’)

    r =0.6727

    p =0.0394

    结果显示A、B之间的相关系数r=0.6727,p=0.0394,存在显著的正相关。

    偏相关分析

    偏相关分析(Partial correlation analysis),简单地说,是在消除其他变量C影响的条件下,计算的A、B两变量之间的相关系数。Matlab中,计算偏相关系数所用的函数是partialcorr,使用方法如下:

    [R,P] = partialcorr(X,Y,Z); %在控制变量Z的影响下,计算变量X、Y的偏相关系数。

    例3:在消除变量C的影响下,用Matlab计算变量A和B之间的偏相关系数R。

    A=[41,63,83,71,94,62,60,42,55,67],

    B=[10,16,26,29,20,9,8,13,18,14];

    C=[0.81,0.90,0.12,0.91,0.63,0.09,0.27,0.54,0.95,0.96]。

    直接在Matlab命令窗口中输入如下命令即可:

    A=[41,63,83,71,94,62,60,42,55,67];

    B=[10,16,26,29,20,9,8,13,18,14];

    C= [0.81,0.90,0.12,0.91,0.63,0.09,0.27,0.54,0.95,0.96];

    [R,P] = partialcorr(A’,B’,C’)

    R =0.6614

    P =0.0524

    结果表明,在控制变量C影响的条件下,计算得到A、B之间的相关系数R=0.6614,P=0.0524,A、B之间不存在显著相关。

    总结

    本文,笔者对如何用Matlab计算Pearson相关系数、Spearman相关系数和偏相关系数进行了详细论述,希望对大家的研究有所帮助。

    注:解读不易,请多多转发支持,您的每一次转发是对我们最好的支持!本文原文及附加材料,请添加赵老师微信索要(微信号:15560177218)

    标签:Spearman,Pearson,变量,相关系数,corr,Matlab,计算

    来源: https://blog.csdn.net/weixin_41880581/article/details/110872368

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    当研究某一种因素对另一种因素的影响或相关程度,把其他因素的影响排除在外,而单独研究这两种因素之间的相关系数时,就要使用偏相关分析方法。偏相关程度用偏相关系数来衡量。换句话说,当有多个变量存在时,为了研究任意两个变量之间的关系,而使与这两个变量有联系的其他变量都保持不变,即控制其他变量,计算这两个变量之间的相关性。

    一般的,在多个变量y,x1,x2,…,xp之间,如果只考虑y与xi(i = 1,2,…,p)之间的相关关系,而消除其他变量对他们的影响,这就是偏相关。在偏相关中,根据被固定的变量数目的多少,可分为零阶偏相关、一阶偏相关、二阶偏相关…(p-1)阶偏相关。
    零阶偏相关就是简单相关,一阶偏相关就是在考虑y与xi的相关时,只固定一个变量xj(j≠i),即消除了变量xj的影响。二阶偏相关就是在考虑y与xi的相关时,固定xi以外的任意两个变量,即消除这两个变量的影响,其余各阶偏相关以此类推。

    偏相关系数的计算

    1.一阶偏相关系数计算

    以三个变量(y, x1, x2)为例,导出偏相关系数的计算公式:

    (1)求在控制变量x2下,y与x1的偏相关系数为ryx1∙x2,可先做y对x2,x1对x2的回归:

    (2)求ryx1∙x2

    2.二阶偏相关系数计算

    一般来说,有多个变量y与x1,x2,…,xp,对于y与xj(j = 1,2,…,p)的(p-1)阶偏相关系数有推导公式:

    用该公式可以得到任意阶的偏相关系数,其中,c是其余变量的任意子集合。

    二阶偏相关系数计算公式如下:

    偏相关系数的假设检验

    偏相关系数的假设检验类似于简单相关系数的t检验,所用公式为:

    式中r为偏相关系数,n为样本容量,p为变量个数,当p=1时即为两变量简单相关系数的t检验公式。

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    首先看下相关系数、偏相关系数的计算公式

    image

    Xi=[1.1, 1.9, 3]
    Yi=[5.0, 10.4, 14.6]
    E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2
    E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10
    E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02
    Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02
    此外:还可以计算:
    D(X)=E(X²)-E²(X)=(1.1²+1.9²+3²)/3 - 4=4.60-4=0.6 σx=0.77
    D(Y)=E(Y²)-E²(Y)=(5²+10.4²+14.6²)/3-100=15.44 σy=3.93
    X,Y的相关系数:
    r(X,Y)=Cov(X,Y)/(σxσy)=3.02/(0.77×3.93) = 0.9979
    
    协方差与方差之间有如下关系:
    D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
    D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
    协方差与期望值有如下关系:
    Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
    协方差的性质:
    (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);
    (2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(a,b是常数);
    (3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)。
    由协方差定义,可以看出Cov(X,X)=D(X),Cov(Y,Y)=D(Y)。
    设X和Y是随机变量,若E(X^k),k=1,2,...存在,则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩。
    若E{[X-E(X)]k},k=1,2,...存在,则称它为X的k阶中心矩。
    若E{(X^k)(Y^p)},k、l=1,2,...存在,则称它为X和Y的k+p阶混合原点矩。
    若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l },k、l=1,2,...存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。
    显然,X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩,方差D(X)是X的二阶中心矩,协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。
    

    再看看偏相关系数的计算公式
    image
    image

    python实现

    x1=np.random.rand(10)
    x2=np.random.rand(10)
    x3=np.random.rand(10)
    print(x1)
    print(x2)
    print(x3)
    

    image

    # 利用pandas
    df=pd.DataFrame([x1,x2,x3],index=['a','b','c']).T
    print('数据:\n',df)
    print('相关系数矩阵为:\n',df.corr())
    r_ab=df.a.corr(df.b)
    r_ac=df.a.corr(df.c)
    r_bc=df.b.corr(df.c)
    r_ab_c=(r_ab-r_ac*r_bc)/(((1-r_ac**2)**0.5)*((1-r_bc**2)**0.5))
    print('ab_c的一阶偏相关系数为:',r_ab_c)
    

    image

    # 利用Numpy
    lst=[x1,x2,x3]
    res=np.corrcoef(lst)
    print('相关系数矩阵为:\n',res)
    label=['a','b','c']
    corr=dict()
    for row in range(res.shape[0]):
        for col in range(res.shape[1]):
            corr['r_{}{}'.format(label[row],label[col])]=res[row][col]
    r_ab=corr['r_ab']
    r_ac=corr['r_ac']
    r_bc=corr['r_bc']
    r_ab_c=(r_ab-r_ac*r_bc)/(((1-r_ac**2)**0.5)*((1-r_bc**2)**0.5))
    print('ab_c的一阶偏相关系数为:',r_ab_c)
    

    image

    # 利用sicpy
    from scipy import stats
    r_ab=stats.pearsonr(x1,x2)[0]
    r_ac=stats.pearsonr(x1,x3)[0]
    r_bc=stats.pearsonr(x2,x3)[0]
    r_ab_c=(r_ab-r_ac*r_bc)/(((1-r_ac**2)**0.5)*((1-r_bc**2)**0.5))
    print('ab_c的一阶偏相关系数为:',r_ab_c)
    

    image

    # 自己写公式
    import math
    def calc_corr(a,b):
        E_a = np.mean(a)
        E_b = np.mean(b)
        E_ab=np.mean(list(map(lambda x:x[0]*x[1],zip(a,b))))
    
        # 计算分子,协方差—cov(a,b)=E(ab)-E(a)*E(b)
        cov_ab = E_ab - E_a * E_b
    
        def square(lst):
            res=list(map(lambda x:x**2,lst))
            return res
        
        # 计算分母,D(X)=E(X²)-E²(X)
        D_a=np.mean(square(a))-E_a**2
        D_b=np.mean(square(b))-E_b**2
    
        σ_a=np.sqrt(D_a)
        σ_b=np.sqrt(D_b)
        
        corr_factor = cov_ab / (σ_a*σ_b)
        return corr_factor
    
    r_ab=calc_corr(x1,x2)
    r_ac=calc_corr(x1,x3)
    r_bc=calc_corr(x2,x3)
    r_ab_c=(r_ab-r_ac*r_bc)/(((1-r_ac**2)**0.5)*((1-r_bc**2)**0.5))
    print('ab_c的一阶偏相关系数为:',r_ab_c)
    

    image

    展开全文
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    1、相关分析通过计算两个变量之间的相关系数,分析变量间线性相关的程度,在多元相关分析中,由于受到其他变量的...2、当其他变量被固定住,即将他们控制起来后,给定的任意两个变量之间的相关系数叫偏相关系数,偏相关

    1、相关分析通过计算两个变量之间的相关系数,分析变量间线性相关的程度,在多元相关分析中,由于受到其他变量的影响,皮尔森相关系数只能从表面上反映两个变量相关的性质,往往不能真实地反映变量之间的线性相关程度,甚至会给人造成相关的假象,因此,在某些场合,简单的皮尔森相关系数并不是刻画相关关系的本质统计量。

    2、当其他变量被固定住,即将他们控制起来后,给定的任意两个变量之间的相关系数叫偏相关系数,偏相关系数才是真正反映两个变量相关关系的统计量。例如可以控制工龄的影响,来研究工资收入与受教育程度的相关关系。

    3、偏相关系数的计算

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