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  • kalman滤波原理

    2018-11-30 17:27:22
    卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman,匈牙利数学家,1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953,1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波...

    1. 在学习卡尔曼滤波器之前,首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论(例如傅立叶变换,泰勒级数等等)一样,卡尔曼也是一个人的名字,而跟他们不同的是,他是个现代人!

    卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman,匈牙利数学家,1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953,1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器,正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》(线性滤波与预测问题的新方法)。如果对这编论文有兴趣,可以到这里的地址下载:http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf

    简单来说,卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm(最优化自回归数据处理算法)”。对于解决很大部分的问题,他是最优,效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年,包括机器人导航,控制,传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理,例如头脸识别,图像分割,图像边缘检测等等。

    2.卡尔曼滤波器的介绍

    (Introduction to the Kalman Filter)

    为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器,这里会应用形象的描述方法来讲解,而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是,他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机,其实卡尔曼的程序相当的简单,只要你理解了他的那5条公式。

    在介绍他的5条公式之前,先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。

    假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断,这个房间的温度是恒定的,也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度(假设我们用一分钟来做时间单位)。假设你对你的经验不是100%的相信,可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声(White Gaussian Noise),也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配(Gaussian Distribution)。另外,我们在房间里放一个温度计,但是这个温度计也不准确的,测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

    好了,现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值:你根据经验的预测值(系统的预测值)和温度计的值(测量值)。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

    假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值,来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的,所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的,假设是23度,同时该值的高斯噪声的偏差是5度(5是这样得到的:如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3,你对自己预测的不确定度是4度,他们平方相加再开方,就是5)。然后,你从温度计那里得到了k时刻的温度值,假设是25度,同时该值的偏差是4度。

    由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值,分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢?相信自己还是相信温度计呢?究竟相信谁多一点,我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2),所以Kg=0.78,我们可以估算出k时刻的实际温度值是:23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出,因为温度计的covariance比较小(比较相信温度计),所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

    现在我们已经得到k时刻的最优温度值了,下一步就是要进入k+1时刻,进行新的最优估算。到现在为止,好像还没看到什么自回归的东西出现。对了,在进入k+1时刻之前,我们还要算出k时刻那个最优值(24.56度)的偏差。算法如下:((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差,得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差(对应于上面的3)。

    就是这样,卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归,从而估算出最优的温度值。他运行的很快,而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg,就是卡尔曼增益(Kalman Gain)。他可以随不同的时刻而改变他自己的值,是不是很神奇!

    下面就要言归正传,讨论真正工程系统上的卡尔曼。
     

    3. 卡尔曼滤波器算法

    (The Kalman Filter Algorithm)

    在这一部分,我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述,会涉及一些基本的概念知识,包括概率(Probability),随即变量(Random Variable),高斯或正态分配(Gaussian Distribution)还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明,这里不能一一描述。

    首先,我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equation)来描述:
    X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 
    再加上系统的测量值:
    Z(k)=H X(k)+V(k) 
    上两式子中,X(k)是k时刻的系统状态,U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值,H是测量系统的参数,对于多测量系统,H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的covariance 分别是Q,R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。

    对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出(类似上一节那个温度的例子)。

    首先我们要利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:
    X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
    式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果,U(k)为现在状态的控制量,如果没有控制量,它可以为0。

    到现在为止,我们的系统结果已经更新了,可是,对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance:
    P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
    式(2)中,P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance,A’表示A的转置矩阵,Q是系统过程的covariance。式子1,2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个,也就是对系统的预测。

    现在我们有了现在状态的预测结果,然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值,我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k):
    X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
    其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain):
    Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

    到现在为止,我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束,我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance:
    P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) ……… (5)
    其中I 为1的矩阵,对于单模型单测量,I=1。当系统进入k+1状态时,P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样,算法就可以自回归的运算下去。

    卡尔曼滤波器的原理基本描述了,式子1,2,3,4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式,可以很容易的实现计算机的程序。

    下面,我会用程序举一个实际运行的例子。。。

    4. 简单例子

    (A Simple Example)

    这里我们结合第二第三节,举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子,而且还会配以程序模拟结果。

    根据第二节的描述,把房间看成一个系统,然后对这个系统建模。当然,我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的,所以A=1。没有控制量,所以U(k)=0。因此得出:
    X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
    式子(2)可以改成:
    P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

    因为测量的值是温度计的,跟温度直接对应,所以H=1。式子3,4,5可以改成以下:
    X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
    Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
    P(k|k)=(1-Kg(k))P(k|k-1) ……… (10)

    现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度,我模拟了200个测量值,这些测量值的平均值为25度,但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声(在图中为蓝线)。

    为了令卡尔曼滤波器开始工作,我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值,是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意,随便给一个就可以了,因为随着卡尔曼的工作,X会逐渐的收敛。但是对于P,一般不要取0,因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的,从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度,P(0|0)=10。

    该系统的真实温度为25度,图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果(该结果在算法中设置了Q=1e-6,R=1e-1)。

    ××××××××××××××××××

    附matlab下面的kalman滤波程序:

    clear
    N=200;
    w(1)=0;
    w=randn(1,N)
    x(1)=0;
    a=1;
    for k=2:N;
    x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);
    end


    V=randn(1,N);
    q1=std(V);
    Rvv=q1.^2;
    q2=std(x);
    Rxx=q2.^2; 
    q3=std(w);
    Rww=q3.^2;
    c=0.2;
    Y=c*x+V;

    p(1)=0;
    s(1)=0;
    for t=2:N;
    p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;
    b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
    s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));
    p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);
    end

    t=1:N;
    plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');

    展开全文
  • Kalman滤波原理及程序(手册).doc

    热门讨论 2012-05-22 09:51:58
    Kalman滤波原理及程序(手册).doc
  • Kalman滤波原理及源码(matlab)
  • Kalman滤波原理

    2014-06-11 22:05:06
    卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman,匈牙利数学家,1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953,1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器

    在学习卡尔曼滤波器之前,首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论(例如傅立叶变换,泰勒级数等等)一样,卡尔曼也是一个人的名字,而跟他们不同的是,他是个现代人!

    卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman,匈牙利数学家,1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953,1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼滤波器,正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》(线性滤波与预测问题的新方法)。如果对这编论文有兴趣,可以到这里的地址下载: http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf

    简单来说,卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm(最优化自回归数据处理算法)”。对于解决很大部分的问题,他是最优,效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年,包括机器人导航,控制,传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理,例如头脸识别,图像分割,图像边缘检测等等。

    2.卡尔曼滤波器的介绍
    (Introduction to the Kalman Filter)

    为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器,这里会应用形象的描述方法来讲解,而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。但是,他的5条公式是其核心内容。结合现代的计算机,其实卡尔曼的程序相当的简单,只要你理解了他的那5条公式。

    在介绍他的5条公式之前,先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。

    假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断,这个房间的温度是恒定的,也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度(假设我们用一分钟来做时间单位)。假设你对你的经验不是100%的相信,可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声(White Gaussian Noise),也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配(Gaussian Distribution)。另外,我们在房间里放一个温度计,但是这个温度计也不准确的,测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

    好了,现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值:你根据经验的预测值(系统的预测值)和温度计的值(测量值)。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

    假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根据k-1时刻的温度值,来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的,所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的,假设是23度,同时该值的高斯噪声的偏差是5度(5是这样得到的:如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3,你对自己预测的不确定度是4度,他们平方相加再开方,就是5)。然后,你从温度计那里得到了k时刻的温度值,假设是25度,同时该值的偏差是4度

    由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值,分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢?相信自己还是相信温度计呢?究竟相信谁多一点,我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2),所以Kg=0.78,我们可以估算出k时刻的实际温度值是:23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出,因为温度计的covariance比较小(比较相信温度计),所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

    现在我们已经得到k时刻的最优温度值了,下一步就是要进入k+1时刻,进行新的最优估算。到现在为止,好像还没看到什么自回归的东西出现。对了,在进入k+1时刻之前,我们还要算出k时刻那个最优值(24.56度)的偏差。算法如下:((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差,得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差(对应于上面的3)。

    就是这样,卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归,从而估算出最优的温度值。他运行的很快,而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg,就是卡尔曼增益(Kalman Gain)。他可以随不同的时刻而改变他自己的值,是不是很神奇!

    下面就要言归正传,讨论真正工程系统上的卡尔曼。

    3. 卡尔曼滤波器算法
    (The Kalman Filter Algorithm)

    在这一部分,我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述,会涉及一些基本的概念知识,包括概率(Probability),随即变量(Random Variable),高斯或正态分配(Gaussian Distribution)还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明,这里不能一一描述。

    首先,我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equation)来描述:
    X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) 
    再加上系统的测量值
    Z(k)=H X(k)+V(k) 
    上两式子中,X(k)是k时刻的系统状态,U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数,对于多模型系统,他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值,H是测量系统的参数,对于多测量系统,H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise),他们的covariance 分别是Q,R(这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。

    对于满足上面的条件(线性随机微分系统,过程和测量都是高斯白噪声),卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出(类似上一节那个温度的例子)。

    首先我们要利用系统的过程模型,来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,根据系统的模型,可以基于系统的上一状态而预测出现在状态:
    X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……….. (1)
    式(1)中,X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果,X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果,U(k)为现在状态的控制量,如果没有控制量,它可以为0。

    到现在为止,我们的系统结果已经更新了,可是,对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。我们用P表示covariance:
    P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)
    式(2)中,P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance,P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance,A’表示A的转置矩阵,Q是系统过程的covariance。式子1,2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个,也就是对系统的预测。

    现在我们有了现在状态的预测结果,然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值,我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k):
    X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3)
    其中Kg为卡尔曼增益(Kalman Gain):
    Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4)

    到现在为止,我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束,我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance:
    P(k|k)=(I-Kg(k) H)P(k|k-1) ……… (5)
    其中I 为1的矩阵,对于单模型单测量,I=1。当系统进入k+1状态时,P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样,算法就可以自回归的运算下去。

    卡尔曼滤波器的原理基本描述了,式子1,2,3,4和5就是他的5 个基本公式。根据这5个公式,可以很容易的实现计算机的程序。

    下面,我会用程序举一个实际运行的例子。。。

    4. 简单例子
    (A Simple Example)

    这里我们结合第二第三节,举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。所举的例子是进一步描述第二节的例子,而且还会配以程序模拟结果。

    根据第二节的描述,把房间看成一个系统,然后对这个系统建模。当然,我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的,所以A=1。没有控制量,所以U(k)=0。因此得出:
    X(k|k-1)=X(k-1|k-1) ……….. (6)
    式子(2)可以改成:
    P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)

    因为测量的值是温度计的,跟温度直接对应,所以H=1。式子3,4,5可以改成以下:
    X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
    Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
    P(k|k)=(1-Kg(k))P(k|k-1) ……… (10)

    现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度,我模拟了200个测量值,这些测量值的平均值为25度,但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声(在图中为蓝线)。

    为了令卡尔曼滤波器开始工作,我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值,是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意,随便给一个就可以了,因为随着卡尔曼的工作,X会逐渐的收敛。但是对于P,一般不要取0,因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的,从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度,P(0|0)=10。

    该系统的真实温度为25度,图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果(该结果在算法中设置了Q=1e-6,R=1e-1)。

    ××××××××××××××××××

    附matlab下面的kalman滤波程序:

    clear
    N=200;
    w(1)=0;
    w=randn(1,N)
    x(1)=0;
    a=1;
    for k=2:N;
    x(k)=a*x(k-1)+w(k-1);
    end


    V=randn(1,N);
    q1=std(V);
    Rvv=q1.^2;
    q2=std(x);
    Rxx=q2.^2; 
    q3=std(w);
    Rww=q3.^2;
    c=0.2;
    Y=c*x+V;

    p(1)=0;
    s(1)=0;
    for t=2:N;
    p1(t)=a.^2*p(t-1)+Rww;
    b(t)=c*p1(t)/(c.^2*p1(t)+Rvv);
    s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1));
    p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);
    end

    t=1:N;
    plot(t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b');

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  • 目录Kalman 滤波简介Kalman 滤波的应用领域参考文献 Kalman 滤波简介 在工程应用中,无论是图像采集、雷达测距、声呐测距、声音录制等,只要是传感器采集测量的数据,都携带噪声干扰,于是需要滤波来最大限度降低...

    Kalman 滤波简介

    在工程应用中,无论是图像采集、雷达测距、声呐测距、声音录制等,只要是传感器采集测量的数据,都携带噪声干扰,于是需要滤波来最大限度降低噪声的干扰。
    经典最优滤波理论包括 Wiener(维纳)滤波理论和 Kalman(卡尔曼)滤波理论。前者采用频域方法,后者采用时域空间方法。
    采用频域设计法是造成 Wiener 滤波器设计困难的根本原因,因此人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优滤波器的方法。Kalman 滤波器所用的信息量都是时域内的量,滤波算法是递推的,克服了经典 Wiener 滤波方法的缺点和不足。

    Kalman 滤波的应用领域

    1. 导航制导、目标定位和跟踪领域。
    2. 通信与信号处理、数字图像处理、语音信号处理。
    3. 天气预报、地震预报。
    4. 地质勘探、矿物开采。
    5. 故障诊断、检测。
    6. 证券股票市场预测。

    参考文献

    • 《卡尔曼滤波器及应用——MATLAB仿真》
    展开全文
  • kalman滤波原理及程序(手册).doc KALMAN滤波原理及仿真手册KF/EKF/UKF原理应用实例MATLAB程序本手册的研究内容主要有KALMAN滤波,扩展KALMAN滤波,无迹KALMAN滤波等,包括理论介绍和MATLAB源程序两部分。本手册所...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gifkalman滤波原理及程序(手册).doc

    KALMAN滤波原理及仿真手册KF/EKF/UKF原理应用实例MATLAB程序本手册的研究内容主要有KALMAN滤波,扩展KALMAN滤波,无迹KALMAN滤波等,包括理论介绍和MATLAB源程序两部分。本手册所介绍的线性滤波器,主要是KALMAN滤波和ΑΒ滤波,交互多模型KALMAN滤波,这些算法的应用领域主要有温度测量、自由落体,GPS导航、石油地震勘探、视频图像中的目标检测和跟踪。EKF和UKF主要在非线性领域有着重要的应用,目标跟踪是最主要的非线性领域应用之一,除了讲解目标跟踪外,还介绍了通用非线性系统的EKF和UKF滤波处理问题,相信读者可以通过学习本文通用的非线性系统,能快速掌握EKF和UKF滤波算法。本文所涉及到的每一个应用实例,都包含原理介绍和程序代码(含详细的中文注释)。一、四维目标跟踪KALMAN线性滤波例子在不考虑机动目标自身的动力因素,将匀速直线运动的船舶系统推广到四维,即状态包含水平方向的位置和速度和纵向TKYKXKX的位置和速度。则目标跟踪的系统方程可以用式(31)和(32)表示,(249)1UX(2410)KVHKZ其中,,,,,10TT0522T01TYXXYXZ,U,V为零均值的过程噪声和观测噪声。T为采样周期。为了便于理解,将状态方程和观测方程具体化05101122KWTKYXTKYX12KVYXKYXZ假定船舶在二维水平面上运动,初始位置为(100M,200M),水平运动速度为2M/S,垂直方向的运动速度为20M/S,GPS接收机的扫描周期为T1S,观测噪声的均值为0,方差为100。过程噪声越小,目标越接近匀速直线运动,反之,则为曲线运动。仿真得到以下结果12010080604020020402004006008001000120014001600估估估估估估估估估估估估01020304050600510152025估估估估估估估估估估图31跟踪轨迹图图32跟踪误差图仿真程序KALMAN滤波在目标跟踪中的应用实例FUNCTIONKALMANCLCCLEART1雷达扫描周期,N80/T总的采样次数XZEROS4,N目标真实位置、速度X,1100,2,200,20目标初始位置、速度ZZEROS2,N传感器对位置的观测Z,1X1,1,X3,1观测初始化DELTA_W1E2如果增大这个参数,目标真实轨迹就是曲线了QDELTA_WDIAG05,1,05,1过程噪声均值R100EYE2观测噪声均值F1,T,0,00,1,0,00,0,1,T0,0,0,1状态转移矩阵H1,0,0,00,0,1,0观测矩阵二、视频图像目标跟踪KALMAN滤波算法实例如下图所示,对于自由下落的皮球,要在视频中检测目标,这里主要检测目标中心,即红心皮球的重心,在模型建立时可以将该重心抽象成为一个质点,坐标为。,YX图261下落的球图262检测下落的球图263跟踪下落的球那么对该质点跟踪,它的状态为,状态方程如下YXKX0101KWGDTK观测方程为01KVXKZ在这个过程中,前提是目标检测,一定要找到重心,与雷达目标跟踪,YX中观测目标位置是一回事。图像目标检测跟踪程序目标检测函数,这个函数主要完成将目标从背景中提取出来FUNCTIONDETECTCLEAR,CLC清除所有内存变量、图形窗口计算背景图片数目IMZEROZEROS240,320,3FORI15将图像文件IJPG的图像像素数据读入矩阵IMIM{I}DOUBLEIMREAD DATA/ ,INT2STRI, JPG IMZEROIM{I}IMZEROENDIMBACKIMZERO/5MR,MC,DIMSIZEIMBACK遍历所有图片FORI160读取所有帧运行程序得到的X,Y方向的位置跟踪偏差分析0102030405060050100150200Y方向的位置偏差0102030405060050100150X方向的位置偏差三、通用非线性系统的EKF实现例子所谓的非线性方程,就是因变量与自变量的关系不是线性的,这类方程很多,例如平方关系,对数关系,指数关系,三角函数关系等等。这些方程可分为两类,一类是多项式方程,一种是非多项式方程。为了便于说明非线性卡尔曼滤波扩展KALMAN滤波的原理,我们选用以下系统,系统状态为,它仅包含一维变量,即,系统状态方程为KXKXX32121COS815250WK观测方程为32220KVXKY其中,式311是包含分式,平方,三角函数在内的严重非线性的方程,为过程噪声,其均值为0,方差为Q,观测方程中,观测信号与状态KWKY的关系也是非线性的,也是均值为0,方差为R的高斯白噪声。因此XKV关于311和322是一个状态和观测都为非线性的一维系统。以此为通用的非线性方程的代表,接下来讲述如何用扩展KALMAN滤波来处理噪声问题。第一步初始化初始状态,,协防差矩阵。0XY0P第二步状态预测32321COS815251|KKKKX第三步观测预测324201|1|KXKY第九步协方差更新32101|KPHKKIKPN以上九步为扩展卡尔曼滤波的一个计算周期,如此循环下去就是各个时刻EKF对非线性系统的处理过程。其他参数设置请查看源程序,仿真以上系统得到状态滤波结果,如图321所示,滤波后的状态与真值之间的偏差如图图322所示。0510152025303540455015105051015估估估EKF估估估05101520253035404550012345678图321EKF滤波处理后的状态与真值对比图322偏差分析EKF一维非线性系统仿真程序函数功能一维非线性系统扩展KALMAN滤波问题状态函数XK105XK25XK/1XK28COS12KWK观测方程Z(K)XK2/20VKFUNCTIONEKF_FOR_ONE_DIV_UNLINE_SYSTEM初始化T50总时间Q10R1产生过程噪声WSQRTQRANDN1,T产生观测噪声VSQRTRRANDN1,T四、EKF在纯方位寻的导弹制导中的应用例子考虑一个在三维平面XYZ内运动的质点M,其在某一时刻K的位置、速度和加速度可用矢量可以表示为TZYXZYXZYXAAKVKVRKRK质点M可以在三维空间内做任何运动,同时假设三个XYZ方向上运动具有加性系统噪声KW,则在笛卡尔坐标系下该质点的运动状态方程为,1KWXFKXK通常情况下,上述方程为线性的,即能表示为以下方式,U其中,3332301IEIITTTTT320/TI为测量周期,也叫扫描周期,采样时间间隔等。动态噪声为TKWTZYXKKW00而且,19QE326310IQWET是高斯型白色随机向量序列。KW现在考虑一个带有观测器的飞行中的导弹,可以假设为质点M,对移动的目标进行观测,如下图所示,导弹与目标的相对位置依然可用XYZ表示,那么,导弹对目标纯方位

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  •  卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman,匈牙利数学家,1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953,1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们现在要学习的卡尔曼...
  • kalman 滤波算法原理

    2017-07-28 11:40:06
    kalman 滤波算法原理
  • kalman 滤波

    2019-04-21 20:55:33
    简要介绍了kalman 滤波原理和算法 ,包含matlab 程序源代码
  • kalman滤波方法介绍

    2011-09-23 06:18:04
    详细的介绍了kalman滤波原理,方法。并有实际例题。
  • 标量非线性系统EKF 标量系统状态方程: ...%函数功能:标量非线性系统扩展kalman滤波问题 %状态函数:X(k+1)=0.5X(k)+2.5X(k)/(1+X(k)^2)+8cos(1.2k)+w(k) %观测方程:Z(k)=X(k)^2/20+v(k) %%%%%%%%%%%%%%%..
  • kalman滤波融合原理及其matlab仿真

    万次阅读 多人点赞 2018-08-05 13:51:21
    1、 kalman原理 卡尔曼滤波是一种递推式滤波方法,不须保存过去的历史信息,新数据结合前一刻已求得的估计值及系统本身的状态方程按一定方式求得新的估计值。 1.1、线性卡尔曼 假设线性系统状态是k,卡尔曼原理...
  • kalman滤波

    2018-06-25 13:56:00
    kalman滤波原理(通俗易懂) 1. 在学习卡尔曼滤波器之前,首先看看为什么叫“卡尔曼”。跟其他著名的理论(例如傅立叶变换,泰勒级数等等)一样,卡尔曼也是一个人的名字,而跟他们不同的是,他是个现代人! ...
  • kalman滤波简介

    2012-06-28 11:03:23
    kalman滤波的基础简介,从简单的阻值测定实例开始介绍kalman滤波的公式推导,十分的简单易懂;主要设计贝叶斯原理、极大似然定理...
  • Kalman滤波算法原理(Matlab/C/C++)

    千次阅读 2016-07-21 12:24:48
    为此,本研究采用Kalman滤波对观测进行最佳估计,进而对时序数据进行降维处理。Kalman滤波是R. E. Kalman提出的一种时域滤波算法,其采用时间递推的方式,考虑了系统的过程噪声和测量噪声,是一种对观测值的线性最小...
  • 自适应kalman滤波

    2013-04-24 09:34:19
    自适应kalman滤波基本原理及其在变形监测中的应用
  • 基于Kalman滤波原理对地铁换乘客流系统构建状态方程,并根据历史数据对状态方程中的状态转移矩阵进行标定,然后运用灰色关联分析的方法来确定该状态转移矩阵在待预测时间序列上的值,进而实现客流量的预测....
  • 介绍Kalman滤波原理,根据小波变换在对域和频域都有良好的局部化性质,检测量测噪声的变化,实时调整自适应因子,间接改变Kalman滤波器的当前观测和过去信息的比例关系。仿真结果表明:该算法对噪声干扰有较强的自...
  • Kalman滤波 python实现

    2021-03-24 17:05:21
    在学kalman滤波原理,希望通过python能加深对公式和原理的理解。 记录一下 import numpy as np import math import matplotlib.pyplot as plt ''' dynam_params:状态空间的维数; measure_params:测量值的维...
  • Kalman滤波

    2014-10-21 11:25:58
    Kalman滤波简介
  • kalman滤波心得

    2011-03-31 11:01:52
    笔者仔细研读了kalman滤波原理,有所领悟,共享于此,相信对读者有所裨益
  • 卡尔曼滤波原理及实现---介绍的详细,适合初学者;卡尔曼增益K解释的较好 http://www.tina-vision.net/docs/memos/2003-003.pdf 在求解卡尔曼增益的过程中: 对两个云团进行重叠,找到重叠最亮的点(实际上...

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