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  • 方差分析基本思想是根据研究目的和设计类型,将总变异中的离均差平方和SS及其自由度 分别分解成相应的若干部分,然后求各相应部分的变异;再用各部分的变异与组内(或误差)变异进行比较,得出统计量F值;最后根据...
  • 方差分析基本概念

    千次阅读 2015-06-12 21:39:55
    方差分析 方差分析(ANOVA)又称...方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和,这是一个很重要的思想方差分析基本应用条件: 观察对象来自于所研究因素的各个水平之下的独立随机抽样

    方差分析

    方差分析(ANOVA)又称“变异数分析”或“F检验”,用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。

    方差分析是在可比较的数组中,把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量,采用离差平方和。方差分析方法就是从总离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和,这是一个很重要的思想。

    方差分析的基本应用条件:

    • 观察对象来自于所研究因素的各个水平之下的独立随机抽样
    • 每个水平下的应变量应该服从正态分布
    • 各水平的总体具有相同的方差

    基本思想:通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小,从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
    方差分析是基于变异分解的思想进行的,在单因素方差分析中,整个样本的变异可以

    看成有如下两个部分构成:
    总变异=随机变异+处理因素导致的变异

    在方差分析中,代表变异大小,并用来进行变异分解的指标就是离均值平方和,代表总的变异程度。

    总变异可分解成两项。第一项是各组内部的变异(组内变异),该变异只反映随机变异的大小,其大小可以用各组的离均值方差和之和,第二项为各组均数的差异,它反映了随机变异的可能与课程存在的处理因素的影响之和,其大小可以用组间平方和来表示。
    总变异的内容

    方差分析的检验统计量可以简单理解为利用随机误差作为尺度来衡量各组间的变异,即

    F=

    两两比较方法的选择

    两两比较方法的选择策略

    方差分析模型常用的术语

    因素
    因素是可能对因变量有影响的变量,一般来说,因素会有不止一个水平,而分析的目的就是考察或比较各个水平对因变量的影响是否相同。
    水平
    因素的不同取值等级称作水平,例如性别有男、女两个水平。
    单元( Cell)
    –单元亦称试验单位( Experimental Unit),指各因素的水平之间的每种组合。指各因素各个水平的组合,例如在研究性别(二水平)、血型(四水平)对成年人身高的影响时,该设计最多可以有2*4=8个单元。注意在一些特殊的试验设计中,可能有的单元在样本中并不会出现,如拉丁方设计。

    元素( Element)
    –指用于测量因变量值的观察单位,比如研究职业与收入间的关系,月收入是从每一位受访者处得到,则每位受访者就是试验的元素
    –一个单元格内可以有多个元素,也可以只有一个,甚至于没有元素。
    • 这主要在一些特殊的设计方案中出现,如正交设计
    均衡( Balance)
    – 如果在一个实验设计中任一因素各水平在所有单元格中出现的次数相同,且每个单元格内的元素数均相同,则该试验是均衡的,否则,就被称为不均衡。不均衡的实验设计在分析时较为复杂,需要对方差分析模型作特别设置才能得到正确的分析结果。

    固定因素( Fixed Factor)
    –指的是该因素在样本中所有可能的水平都出现了。从样本的分析结果中就可以得知所有水平的状况,无需进行外推。
    –绝大多数情况下,研究者所真正关心的因素都是固定因素。
    •性别:只有两种
    •疗法:只有三种
    随机因素( Random Factor)
    –该因素所有可能的取值在样本中没有都出现,目前在样本中的这些水平是从总体中随机抽样而来,如果我们重复本研究,则可能得到的因素水平会和现在完全不同!
    – 这时,研究者显然希望得到的是一个能够“泛化”,即对所有可能出现的水平均适用的结果。这不可避免的存在误差,需要估计误差的大小,因此被称为随机因素。

    协变量( Covariates)
    –指对因变量可能有影响,需要在分析时对其作用加以控制的连续性变量
    –实际上,可以简单的把因素和协变量分别理解为分类自变量和连续性自变量
    – 当模型中存在协变量时,一般是通过找出它与因变量的回归关系来控制其影响
    交互作用( Interaction)
    – 如果一个因素的效应大小在另一个因素不同水平下明显不同,则称为两因素间存在交互作用。当存在交互作用时,单纯研究某个因素的作用是没有意义的,必须分另一个因素的不同水平研究该因素的作用大小。

    蒙特卡罗方法

    *蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,是使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解。*

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  • 数据分析学习总结笔记07:方差分析1 方差分析概述1.1 方差分析简介1.2 方差分析基本思想和原理1.3 方差分析的基本假设2 单因素方差分析(One-way ANOVA)2.1 单因素方差分析概念2.2 单因素方差分析的原理2.3 单因素...

    1 方差分析概述

    1.1 方差分析简介

    方差分析(analysis of variance,ANOVA)最早由英国统计学家R. A. Fisher 提出,主要用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。通过检验多个总体均值是否相等来判断是否有显著影响,即通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等。

    • 特点:方差分析可同时分析多个样本,提高检验效率;将所有信息结合在一起,增加了分析的可靠性。

    1.2 方差分析基本思想和原理

    方差分析的基本思想和原理基于两类误差。也就是随机误差和系统误差1

    随机误差——因子的同一处理(总体)下, 样本各观察值之间的差异,这种差异可以看成是随机因素的影响, 称为随机误差。
    系统误差——因子的不同处理(不同总体)下, 各观察值之间的差异,这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的, 也可能是由于行业本身所造成的,后者所形成的误差是由系统性因素造成的, 称为系统误差。

    所以方差分析的实质是——比较两类误差,以检验均值是否相等;比较的基础是方差比;如果系统(处理)误差明显地不同于随机误差,则均值就是不相等的;反之,均值就是相等的。这里数据的误差用平方和(sum of squares)表示。

    组内平方和(Within Groups)——因子的同一处理(同一个总体)下样本数据的平方和。组内平方和只包含随机误差
    组间平方和(Between Groups)——因子的不同处理(不同总体)下各样本之间的平方和。组间平方和既包括随机误差, 也包括系统误差

    • 若原假设成立, 组间平方和与组内平方和经过平均后的数值就应该很接近, 它们的比值就会接近1
    • 若原假设不成立, 组间平方和平均后的数值就会大于组内平方和平均后的数值, 它们之间的比值就会大于1。当这个比值大到某种程度时, 就可以说不同处理之间存在着显著差异, 也就是自变量对因变量有影响。

    1.3 方差分析的基本假设

    (1)各总体的方差必须相等(方差齐性):各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的(Bartlett检验/Levene检验/Flinger-Killeen检验)。
    (2)各总体必须服从正态分布:对于因子的每一个处理, 其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本(Shapiro检验)。
    (3)各观测值相互独立(可以通过控制抽样过程来控制独立性,无具体的检验方法)。

    2 单因素方差分析(One-way ANOVA)

    2.1 单因素方差分析概念

    单因素方差分析主要用于研究定性变量或定序变量(自变量)与定量变量(因变量)之间的关系。影响因素变量的取值被称为影响因素的水平2

    • 目的:分析不同影响因素水平下,因变量是否有显著差异,即影响因素的不同水平是否对因变量产生了显著影响。
    • 应用举例
      • 分析不同施肥量是否给农作物带来显著影响;
      • 考察地区差异是否会影响妇女的生育率;
      • 研究学历对工资收入的影响。

    2.2 单因素方差分析的原理

    单因素方差分析是通过比较各个类别的组内差异和类别之间的组间差异大小来确定变量之间是否相关。

    • 如果组内差异大,组间差异小,则说明两个变量之间不相关;
    • 如果组间差异大,组内差异小,则说明两个变量之间相关。

    2.3 单因素方差分析的基本假设

    (1)独立:各组数据相互独立,互不相关;
    (2)正态:各组数据服从正态分布;
    (3)方差齐性:各组方差相等。

    3 双因素方差分析(Two-way ANOVA)

    3.1 无交互作用的双因素方差分析

    有的时候,因变量可能受到来自一个以上的因素的影响,最典型的就是双因素方差分析。假如因素A与因素B没有联合效应,则称为无交互作用的双因素方差分析。

    • 举例:假如某经销商想知道一款饮料的销售额与销售地点和饮料包装风格的关系,探究这两个因素是否都在影响销售额或者只有一个因素影响销售额。

    3.2 有交互作用的双因素方差分析

    因素之间的交互作用在现实中很常见,比如胖胖的人喜欢蓝色的衣服,南方的人更喜欢喝雪花啤酒等,前者是体重和颜色的交互作用,后者是地区和啤酒品牌的交互作用。
    因此,如果两个因素联合在一起对因变量有显著的影响,则称这样的方差分析为有交互作用的方差分析。

    4 方差分析实践操作

    目前有许多统计工具和软件都可以实现方差分析,以下介绍几重最基础的操作。

    4.1 Excel

    操作步骤:“数据”-“数据分析”。
    Excel方差分析

    4.2 SPSS

    操作步骤:“分析”-“比较均值”-“单因素ANOVA”。
    SPSS方差分析

    4.3 R语言

    可参阅:R语言——方差分析,其内容较为详细。

    • 本文主要根据个人学习,并搜集部分网络上的优质资源总结而成,如有不足之处敬请谅解,欢迎批评指正、交流学习!

    1. 应用统计学与R语言实现学习笔记(八)——方差分析 ↩︎

    2. 数据分析技术MOOC ↩︎

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  • 方差分析

    千次阅读 2017-10-22 22:21:19
    一、方差分析基本思想 1. 方差分析的概念 方差分析(ANOVA)又称变异数分析或F检验,其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同,检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。我们要学习的主要内容包括...

    一、方差分析的基本思想
    1. 方差分析的概念
    方差分析(ANOVA)又称变异数分析或F检验,其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同,检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。我们要学习的主要内容包括单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析和两因素方差分析即配伍组设计的方差分析。
    2. 方差分析的基本思想
    下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想:
    如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值(mmol/L)如下,
    患者:0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
    健康人:0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
    问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同?
    从以上资料可以看出,24个患者与健康人的血磷值各不相同,如果用离均差平方和(SS)描述其围绕总均数的变异情况,则总变异有以下两个来源:
    (1)组内变异,即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等;
    (2)组间变异,即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。
    而且:SS总=SS组间+SS组内 v总(自由度)=v组间+v组内

    如果用均方(即自由度v去除离均差平方和的商)代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响,则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商(即F值)与1相比较,若F值接近1,则说明各组均数间的差异没有统计学意义,若F值远大于1,则说明各组均数间的差异有统计学意义。实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表(方差分析用)获得。
    3. 方差分析的应用条件
    应用方差分析对资料进行统计推断之前应注意其使用条件,包括:
    (1)可比性,若资料中各组均数本身不具可比性则不适用方差分析。
    (2)正态性,即偏态分布资料不适用方差分析。对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等变量变换方法变为正态或接近正态后再进行方差分析。
    (3)方差齐性,即若组间方差不齐则不适用方差分析。多个方差的齐性检验可用Bartlett法,它用卡方值作为检验统计量,结果判断需查阅卡方界值表。
    二、方差分析的主要内容
    根据资料设计类型的不同,有以下两种方差分析的方法:
    1. 对成组设计的多个样本均数比较,应采用完全随机设计的方差分析,即单因素方差分析。
    2. 对随机区组设计的多个样本均数比较,应采用配伍组设计的方差分析,即两因素方差分析。
    两类方差分析的基本步骤相同,只是变异的分解方式不同,对成组设计的资料,总变异分解为组内变异和组间变异(随机误差),即:SS总=SS组间+SS组内,而对配伍组设计的资料,总变异除了分解为处理组变异和随机误差外还包括配伍组变异,即:SS总=SS处理+SS配伍+SS误差。整个方差分析的基本步骤如下:
    (1) 建立检验假设;
    H0:多个样本总体均数相等。
    H1:多个样本总体均数不相等或不全等。检验水准为0.05。
    (2) 计算检验统计量F值;
    (3)确定P值并作出推断结果。
    三、多个样本均数的两两比较
    经过方差分析若拒绝了检验假设,只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息,应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。

    1. 多个样本均数间两两比较
      多个样本均数间两两比较常用q检验的方法,即 Newman-kueuls法,其基本步骤为:
      建立检验假设–>样本均数排序–>计算q值–>查q界值表判断结果。
    2. 多个实验组与一个对照组均数间两两比较
      多个实验组与一个对照组均数间两两比较,若目的是减小第II类错误,最好选用最小显著差法(LSD法);若目的是减小第I类错误,最好选用新复极差法,前者查t界值表,后者查q界值表。
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  • 在网上查看了很多的方法分析的步骤,自己看书觉得书上写的也不太清楚,作罢,自己结合假设检验的原理以及步骤写出了方差分析基本步骤(主要是自己的理解。 方差分析是什么 用比较通俗的话来说就是,利用方差分析...

    本来我想简单理解,用一点话就讲完。但是讲着讲着发现,几句话根本就不能够帮助我简单理解啊,所以就写了很多…

    前言

    在网上查看了很多的方法分析的步骤,自己看书觉得书上写的也不太清楚,作罢,自己结合假设检验的原理以及步骤写出了方差分析的基本步骤(主要是自己的理解。

    方差分析是什么

    用比较通俗的话来说就是,利用方差来分析一些问题,什么问题呢?主要是用来研究在不同组的数据对我们所研究的一个指标的影响是否有差异

    举例子

    这还是有些说不清楚,举例子,作为学生,我们考察这个高三学生的学习成绩,我们想知道不同地区的学习成绩之间是否存在差异。这里的地区为北京、上海、广东。那么全国的学生成绩就是一个总体,方差分析主要是将一个比较笼统的数据,像我们分地区(北京、上海、广东)这样进行分组,分为组内(北京地区的学生成绩,上海的学生成绩等)和组间(北京、上海、广东三个地区的学生成绩),进而来分析地区不同是否他们的成绩也会有差异

    例子抽象,进一步理解

    简单介绍一下方差分析中可能会涉及到的概念,因为介绍方差分析需要借助他们来描述。
    首先,我们要根据研究的目的确定所要研究的对象,统计学一般用数据来研究客观现象的性质,所以我们应该先确定一个指标。
    指标是反映总体数量特征的概念和数值,有两个要素,指标的概念和指标的数值。上面的例子中学生成绩就是指标的概念,学生成绩90/100就是指标的数值。这里我们把所研究的指标为试验指标。
    再接着,需要知道影响学生成绩的因素。因素相当于是变量一样,是会对我们所研究的试验指标的取值造成影响。在学生成绩的例子中,因素就是地区。

    那么总结一下,方差分析主要是利用方差来分析总体的变动情况。其中引起变动分为:可控因素,不可控因素。

    其他:
    由于因素个数的不同,可以分为单因素多因素的方差分析这里主要讲的是单因素方差分析。还有一个多因素的方差分析是在单因素的基础之上,还考虑了不同因素之间的交互作用,即不同因素还会有一个影响。

    方差分析的基本思想

    通过对方差分解,分析影响总体方差波动的影响因素,根据影响的来源分为组内误差和组间误差。

    主要任务

    1. 看各组水平对总体所研究的指标的影响是否有差异。也就是我们常见的,检验水平均值是否都相等。
    2. 估计未知参数。假设的各个总体的均值;总体随机误差的估计。

    方差分析的基本步骤

    基本步骤-任务1

    1. 设置指标变量(高三学生的学习成绩),给出影响实验指标的因素(地区),给出因素的不同水平(这里是指不同的地区)。
    2. 建立模型,给出模型的基本假定。模型是指标变量X的表达式;
      基本假定有
      (1) 总体的分布为正态分布。全国高三学生成绩服从正态分布,所有地区的指标变量都服从正态分布,各地区下每个学生的成绩也服从正态分布。
      (2) 不同总体的方差都相等,称为方差齐性。
      (3) 相互独立。每个水平下的变量都是相互独立的,每个水平间的变量也是相互独立的。
    3. 给出方差分析进行检验的假定,建立原假设和备择假设。
      原假设:各个总体的水平的均值相等。
      备择假设:至少存在两个总体的水平不相等。
    4. 总偏差平方和分解。SST=SSA+SSE。
      SST(Sum of Squares for Total):总的偏差平方和
      SSA:组间误差平方和。(不知道为啥是A,看英文书上写的是Sum of Squares Between groups)
      SSE(Sum of Squared Error/Sum of Squares within groups):组内误差平方和。
    5. 分析组间平方和与组间平方和的统计特征。也就是找出他们的分布,方便之后构造检验统计量,对模型的原假设作出判断。
    6. 构造检验统计量
    7. 给定显著性水平,构造拒绝域。
    8. 作出推断。由样本数据计算检验统计量的取值,判定是否落入拒绝域中。

    方差分析的一些其他的运用–参数估计–任务2

    主要执行任务2

    1. 估计总体的方差。不论原假设是否成立,组内误差平方和 / 总体标准差 始终服从 χ 2 \chi^2 χ2卡方分布(Chi-Square Distribution).所以我们考虑将构造关于组内误差平方和的形式来估计总体的方差。
    2. 估计总体的均值 ,各个水平下的均值。他们是分别利用总体的样本平均数和各个水平的样本平均数统计量来作为总体均值的估计量,计算样本统计量的取值,作为总体均值的估计值。
    3. 当拒绝原假设时,使用LSD(Least Significance Difference)最小显著方差方法找到哪两个水平的均值不相等,并使用上一步求总体均值的方法求得不同水平总体均值差的估计量,由样本数据计算求得估计值。
    4. 同时,再进一步,求出均值差的区间估计。直接利用的分布构造枢轴量,给定一置信水平,即可求得。

    对比假设检验的步骤

    1. 根据研究目的,建立原假设和备择假设。
    2. 构造检验统计量。
    3. 给定显著性水平,给出拒绝域的形式。
    4. 计算检验统计量的取值,对比是否落入拒绝域中,作出判断。

    方差分析添加的步骤

    1. 模型建立,基本假定。
    2. 总体平均数的计算。
    3. 总平方和分解。
    4. 求出分解后SSA和SSE的统计分布,方便之后构造检验统计量。
    5. 每个水平的均值估计。一般是用各水平的样本均值$$这一统计量作为总体均值的估计量,样本观测值计算得到的数值,作为总体均值的估计值。
    6. 总体随机误差项方差的估计。其中用到了之前分析得到的统计特征,通过对总体的分布得到,样本组内均方误差(SSE/n-s)就是总体随机误差项方差的估计。
    7. 通过检验,拒绝原假设时,通过最小显著性差法(Least Significant Difference)找到哪两个变量之间有显著差异,进行区间估计。

    对比总结

    可以好好看一下,其实也就是这个步骤。方差分析加上了前面构造模型和基本假定的步骤,后面加上了一些未知参数的取值的步骤

    最后的话

    啰啰嗦嗦终于说完,以上就是我对方差分析的理解。按照是什么–基本思想–主要任务–主要步骤来展开。写了三天左右,我终于摆脱了网上那些统一化的步骤,结合假设检验,给出了自己的理解。感谢,开心。

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