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  • 曲线拟合的最小二乘法.
  • 曲线拟合的最小二乘法
  • 曲线拟合的最小二乘法 学院光电信息学院 姓名赵海峰 学号200820501001 一曲线拟合的最小二乘法原理 由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线 称为曲线拟合的最小二乘法 若记 上式可改写为这个方程成为法方程可...
  • 实验名称曲线拟合的最小二乘法 实验目的 了解曲线拟合的最小二乘法 实验类型 设计型 实验环境 Windows XP TC 实验内容 相关知识已知 C[a,b] 中函数f(x) 的一组实验数据 xi ,y i i=0,1, ,m其中yi =f(x i ) 设 j (x( j...
  • 用于曲线拟合的最小二乘法PDF 用于曲线拟合的最小二乘法用于曲线拟合的最小二乘法用于曲线拟合的最小二乘法用于曲线拟合的最小二乘法
  • 曲线拟合的最小二乘法matlab举例,介绍了如何用MATLAB对实验所得数据,运用最小二乘法画出曲线,并计算线性度、非线性误差。
  • 曲线拟合的最小二乘法在数据采集中的应用曲线拟合的最小二乘法在数据采集中的应用
  • 数值分析实验 曲线拟合的最小二乘法的Matlab算法
  • 曲线拟合的最小二乘法,Ch.7 离散数据的曲线拟合这个课件对初学者很有用,希望对大家有所帮助!
  • 一份讲解曲线拟合的最小二乘法的PPT,大家可以学习一下
  • 内容提要:直线拟合的最小二乘法思想与推导方法、多项式拟合的最小二乘法推导思路、指数函数与幂函数拟合曲线的计算等.《递推算法与多元插值》简介本书详细介绍了多元差商与多元逆差商的递推算法及其在多元多项式与...

    内容提要:直线拟合的最小二乘法思想与推导方法、多项式拟合的最小二乘法推导思路、指数函数与幂函数拟合曲线的计算等.


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    《递推算法与多元插值》简介

    本书详细介绍了多元差商与多元逆差商的递推算法及其在多元多项式与连分式插值中的应用。内容包括常用的张量积型二元多项式与连分式插值方法概述、直角三点组上的二元多项式与连分式插值及其比较研究、直角三点组上二元多项式插值余项等的进一步研究、非矩形网格上的二元多项式插值、基于二元递推多项式的散乱数据插值、基于二元连分式的散乱数据插值递推格式、非张量积型二元连分式插值、金字塔型网格点上的三元分叉连分式插值等。

    本书可作为计算数学、应用数学等学科高年级本科生、硕士生、博士生数值分析、数值逼近、计算几何等相关课程的参考书或专业著作,还可供从事数值逼近与计算几何、计算机辅助几何设计、图像处理及相关领域的科技工作者参考。

    本书获国家科学技术学术著作出版基金资助,入选“信息与计算科学丛书”。

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  • using System;using System.Collections.Generic;...namespace 数值分析实验报告{class Gauss曲线拟合的最小二乘法{static void Main(){Imput();wucha();}#region 曲线拟合的最小二乘法private static void Imp...

    using System;

    using System.Collections.Generic;

    using System.Linq;

    using System.Text;

    namespace 数值分析实验报告

    {

    class Gauss曲线拟合的最小二乘法

    {

    static void Main()

    {

    Imput();

    wucha();

    }

    #region 曲线拟合的最小二乘法

    private static void Imput()

    {

    //Console.WriteLine("请输入数据对:");

    //string str = Console.ReadLine();

    //string[] x = str.Split(')');

    //for (int i = 0; i < x.Length; i++)

    //{

    // double[] Xarr = new double[x.Length];

    // double[] Yarr = new double[x.Length];

    // string X = x[i].Replace("(", "");

    // string[] XI = X.Split(',');

    // Xarr[i] = double.Parse(XI[0]);

    // Yarr[i] = double.Parse(XI[1]);

    // Console.ReadLine();

    //}

    Console.WriteLine("请输入实验数据的x值:");

    string[] x = Console.ReadLine().Split(',');

    Console.WriteLine("请输入实验数据的y值:");

    string[] y = Console.ReadLine().Split(',');

    if (x.Length != y.Length)

    {

    Console.WriteLine("输入有误,输入的x值与y的值个数不对应!");

    return;

    }

    Console.WriteLine("请输入实验数据各个点的权函数值:");

    string[] w = Console.ReadLine().Split(',');

    if (x.Length != w.Length)

    {

    Console.WriteLine("输入有误,输入的w值与x和y的个数不对应!");

    return;

    }

    Console.WriteLine("请输入拟合曲线的最高项次数:");

    int n = int.Parse(Console.ReadLine());

    Console.WriteLine("实验数据的法方程为:");

    double[,] G = new double[n + 1, n + 2];

    for (int i = 0; i < n + 1; i++)

    {

    for (int j = 0; j < n + 2; j++)

    {

    double X_num = 0;

    double Y_Num = 0;

    if (i + j == 0)

    {

    for (int m = 0; m < x.Length; m++)

    {

    X_num += double.Parse(w[m]);

    }

    }

    else

    {

    for (int X = 0; X < x.Length; X++)

    {

    double N = 1;

    for (int m = 0; m < i + j; m++)

    {

    if (m != n + 1)

    {

    N = N * double.Parse(x[X]);

    }

    }

    X_num += N * double.Parse(w[X]);

    if (j == n + 1)

    {

    double P = 1;

    for (int p = 0; p < i; p++)

    {

    P = P * double.Parse(x[X]);

    }

    Y_Num += P * double.Parse(w[X]) * double.Parse(y[X]);

    }

    }

    }

    if (j == n + 1)

    {

    G[i, j] = Y_Num;

    }

    else

    {

    G[i, j] = X_num;

    }

    }

    }

    for (int i = 0; i < n + 1; i++)

    {

    for (int j = 0; j < n + 2; j++)

    {

    Console.Write(G[i, j] + "\t");

    }

    Console.WriteLine();

    }

    Console.ReadLine();

    }

    #endregion

    private static void wucha()

    {

    //Console.WriteLine("请输入上面最小二乘法拟合曲线的系数:");

    //string[] xishu = Console.ReadLine().Split(' ');

    double[] wucha=new double[12];

    double[] x = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 };

    double[] f = { 0, 1.27, 2.16, 2.86, 3.44, 3.87, 4.15, 4.37, 4.51, 4.58, 4.62, 4.64 };

    for (int i = 0; i < 12; i++)

    {

    double t1 = x[i];

    double t2 = x[i] * x[i];

    double t3 = x[i] * x[i] * x[i];

    double f1 = 1.34680 + 0.06876 * t1 + 5.30520 * t2 + 1.73252 * t3;

    wucha[i] = f1 - f[i];

    Console.WriteLine("拟合曲线与在点{0}处的值与真实值的误差为:\n",x[i]);

    Console.WriteLine(wucha[i]);

    }

    Console.ReadLine();

    }

    }

    }这个程序只是实现了根据已知点来得到方程组的矩阵,解方程组的程序实现还没有实现,不过可以参考上篇高斯列主元法解方程组的程序!

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  • 曲线拟合的最小二乘法,在统计分类和数值分析中有较多应用。
  • 曲线拟合的最小二乘法c语言

    热门讨论 2012-12-16 14:30:34
    曲线拟合的最小二乘法c语言 计算方法 #include #include #define N 9 #define M 3 void main() { int i,j; float a[2][N],b[5][N],c[7]={0,0,0,0,0,0,0};; printf("请输入%d个点的X坐标\n",N); for(j=0;j;j++) ...
  • 本文实例为大家分享了Python曲线拟合的最小二乘法,供大家参考,具体内容如下模块导入import numpy as npimport gaosi as gs代码"""本函数通过创建增广矩阵,并调用高斯列主元消去法模块进行求解。"""import numpy ...

    本文实例为大家分享了Python曲线拟合的最小二乘法,供大家参考,具体内容如下

    模块导入

    import numpy as np

    import gaosi as gs

    代码

    """

    本函数通过创建增广矩阵,并调用高斯列主元消去法模块进行求解。

    """

    import numpy as np

    import gaosi as gs

    shape = int(input('请输入拟合函数的次数:'))

    x = np.array([0.6,1.3,1.64,1.8,2.1,2.3,2.44])

    y = np.array([7.05,12.2,14.4,15.2,17.4,19.6,20.2])

    data = []

    for i in range(shape*2+1):

    if i != 0:

    data.append(np.sum(x**i))

    else:

    data.append(len(x))

    b = []

    for i in range(shape+1):

    if i != 0:

    b.append(np.sum(y*x**i))

    else:

    b.append(np.sum(y))

    b = np.array(b).reshape(shape+1,1)

    n = np.zeros([shape+1,shape+1])

    for i in range(shape+1):

    for j in range(shape+1):

    n[i][j] = data[i+j]

    result = gs.Handle(n,b)

    if not result:

    print('增广矩阵求解失败!')

    exit()

    fun='f(x) = '

    for i in range(len(result)):

    if type(result[i]) == type(''):

    print('存在自由变量!')

    fun = fun + str(result[i])

    elif i == 0:

    fun = fun + '{:.3f}'.format(result[i])

    else:

    fun = fun + '+{0:.3f}*x^{1}'.format(result[i],i)

    print('求得{0}次拟合函数为:'.format(shape))

    print(fun)

    高斯模块

    # 导入 numpy 模块

    import numpy as np

    # 行交换

    def swap_row(matrix, i, j):

    m, n = matrix.shape

    if i >= m or j >= m:

    print('错误! : 行交换超出范围 ...')

    else:

    matrix[i],matrix[j] = matrix[j].copy(),matrix[i].copy()

    return matrix

    # 变成阶梯矩阵

    def matrix_change(matrix):

    m, n = matrix.shape

    main_factor = []

    main_col = main_row = 0

    while main_row < m and main_col < n:

    # 选择进行下一次主元查找的列

    main_row = len(main_factor)

    # 寻找列中非零的元素

    not_zeros = np.where(abs(matrix[main_row:,main_col]) > 0)[0]

    # 如果该列向下全部数据为零,则直接跳过列

    if len(not_zeros) == 0:

    main_col += 1

    continue

    else:

    # 将主元列号保存在列表中

    main_factor.append(main_col)

    # 将第一个非零行交换至最前

    if not_zeros[0] != [0]:

    matrix = swap_row(matrix,main_row,main_row+not_zeros[0])

    # 将该列主元下方所有元素变为零

    if main_row < m-1:

    for k in range(main_row+1,m):

    a = float(matrix[k, main_col] / matrix[main_row, main_col])

    matrix[k] = matrix[k] - matrix[main_row] * matrix[k, main_col] / matrix[main_row, main_col]

    main_col += 1

    return matrix,main_factor

    # 回代求解

    def back_solve(matrix, main_factor):

    # 判断是否有解

    if len(main_factor) == 0:

    print('主元错误,无主元! ...')

    return None

    m, n = matrix.shape

    if main_factor[-1] == n - 1:

    print('无解! ...')

    return None

    # 把所有的主元元素上方的元素变成0

    for i in range(len(main_factor) - 1, -1, -1):

    factor = matrix[i, main_factor[i]]

    matrix[i] = matrix[i] / float(factor)

    for j in range(i):

    times = matrix[j, main_factor[i]]

    matrix[j] = matrix[j] - float(times) * matrix[i]

    # 先看看结果对不对

    return matrix

    # 结果打印

    def print_result(matrix, main_factor):

    if matrix is None:

    print('阶梯矩阵为空! ...')

    return None

    m, n = matrix.shape

    result = [''] * (n - 1)

    main_factor = list(main_factor)

    for i in range(n - 1):

    # 如果不是主元列,则为自由变量

    if i not in main_factor:

    result[i] = '(free var)'

    # 否则是主元变量,从对应的行,将主元变量表示成非主元变量的线性组合

    else:

    # row_of_main表示该主元所在的行

    row_of_main = main_factor.index(i)

    result[i] = matrix[row_of_main, -1]

    return result

    # 得到简化的阶梯矩阵和主元列

    def Handle(matrix_a, matrix_b):

    # 拼接成增广矩阵

    matrix_01 = np.hstack([matrix_a, matrix_b])

    matrix_01, main_factor = matrix_change(matrix_01)

    matrix_01 = back_solve(matrix_01, main_factor)

    result = print_result(matrix_01, main_factor)

    return result

    if __name__ == '__main__':

    a = np.array([[2, 1, 1], [3, 1, 2], [1, 2, 2]],dtype=float)

    b = np.array([[4],[6],[5]],dtype=float)

    a = Handle(a, b)

    以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持聚米学院。

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  • 文章目录曲线拟合的最小二乘法引入0 曲线拟合的最小二乘法 引入 对于未知的函数y=f(x)y=f(x)y=f(x),已知一些节点数据An(xi,yi)A_n(x_i,y_i)An​(xi​,yi​),希望构建函数y=g(x)y=g(x)y=g(x)逼近y=f(x)y=f(x)y=f...

    曲线拟合的最小二乘法

    引入

    • 对于未知的函数y=f(x)y=f(x),已知一些节点数据Am(xi,yi)A_m(x_i,y_i),希望构建函数y=φ(x)y=φ(x)逼近y=f(x)y=f(x)

    • 在插值中,一般严格要求在每个插值节点处都没有偏差,都满足δi=φ(xi)f(xi)=0δ_i=φ(x_i)-f(x_i)=0;而有时候拟合时允许在节点处有偏差,但总的偏差应该尽可能小。

    • 可以使偏差的绝对值之和尽可能小,但为了方便计算,采用偏差的平方和,即i=1m[φ(xi)f(xi)]2\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{[φ(x_i)-f(x_i)]^2}尽可能小。

    • 按此原则构建拟合曲线y=φ(x)y=φ(x)的方法,称为曲线拟合的最小二乘法。

    丰富

    考虑计算方便和实际意义,进行两处的丰富:

    1. φ(x)φ(x)的函数类型需要提前选取好。
      常常在简单函数中选取,如代数多项式或三角多项式。
      可以选好n(n<m)n(n<m)个函数φi(x)φ_i(x),构成φ(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)φ(x)=a_0φ_0(x)+a_1φ_1(x)+...+a_nφ_n(x)aia_i为参数,后续需要求解。

    2. 节点数据AmA_m的重要性有时不同。
      有必要添加权系数ωi>0ω_i>0,使得i=1mωi[φ(xi)f(xi)]2\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{ω_i[φ(x_i)-f(x_i)]^2}最小。

    综上,根据最小二乘问题:i=1mωi[φ(xi)f(xi)]2\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{ω_i[φ(x_i)-f(x_i)]^2}最小,求出的φ(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)φ(x)=a_0φ_0(x)+a_1φ_1(x)+...+a_nφ_n(x)则是该最小二乘问题的最小二乘解。

    求解

    φi(x)φ_i(x)人为选取后,需要求解φ(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)φ(x)=a_0φ_0(x)+a_1φ_1(x)+...+a_nφ_n(x)中的参数aia_i来确定φ(x)φ(x)的形式,即是求多元函数S(a0,a1,...an)=i=1mωi[k=0nakφk(xi)f(xi)]2S(a_0,a_1,...a_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{ω_i[\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{a_kφ_k(x_i)}-f(x_i)]^2}的极小值点。

    由多元函数求极小值的必要条件,有Saj=0,j=0,1,...,n\displaystyle\frac{∂S}{∂a_j}=0, j=0,1,...,n

    求偏导后,即
    在这里插入图片描述
    移项,即
    在这里插入图片描述
    下面是推导过程,看懂即可,此处不再手打。关于下图中的离散点集的内积,类似函数的内积,也就是两个函数在每个离散点处乘积的累加。由于离散,所以只在节点处累加,如果是函数,则是在定义域积分,可看作无数离散点、无数次累加。
    不过,下图中写成内积形式,是为了以简洁的形式写出(3.5.9)的矩阵;不以简洁形式则类似公式(3.5.11)的形式,不过(3.5.11)代入了选取的φi(x)φ_i(x)
    在这里插入图片描述
    选取φi(x)=xi,i=0,1,...,n.φ_i(x)=x^i,i=0,1,...,n.
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    为了简单地编写下面的作业,只需要利用公式(3.5.11)中的矩阵。

    例题3.7:直线拟合

    题目介绍

    在这里插入图片描述

    编程之前

    对于线性函数的拟合,n=1,只需要取法方程组的前两行两列来计算a0和a1。

    在这里插入图片描述
    然后可以再利用前面一篇中求解线性方程组中的函数来求出(a0,a1)(a_0,a_1)

    代码

    //数据准备:x、y为已知的节点数据,w为权重数据,m为节点数
    void PreapreDatasetA1(vector<double>& x, vector<double>& y, 
    	vector<double>& w, int& m) {
    	m = 5;
    	x = { 1,2,3,4,5 };
    	y = { 1.2,2.7,5.3,7.1,8.5 };
    	w = { 2,1,1,3,1 };
    }
    
    //线性拟合:x、y为已知的节点数据,w为权重数据,m为结点数
    void LinearFitting(vector<double> x, vector<double> y, 
    	vector<double> w, int m) {
    	//MA=B
    	vector<vector<double>> M;//图3.5.11中的第1个矩阵,从左往右
    	//矩阵初始化
    	vector<double> r1 = { 0,0 };
    	vector<double> r2 = { 0,0 };
    	M.push_back(r1);
    	M.push_back(r2);
    
    	vector<double> A = { 0, 0 };//图3.5.11中的第2个矩阵
    	vector<double> B = { 0, 0 };//图3.5.11中的第3个矩阵
    
    	//计算出矩阵M和B
    	for (int i = 0; i < m;i++) {
    		M[0][0] += w[i];
    		M[0][1] += w[i] * x[i];
    		M[1][0] += w[i] * x[i];
    		M[1][1] += w[i] * x[i] * x[i];
    		B[0] += w[i] * y[i];
    		B[1] += w[i] * x[i] * y[i];
    	}
    
    	//高斯消元
    	GaussElimination_Sequence(M, n, B);
    
    	//回代上三角
    	CalcUpperTraiangularMatrix(M, n, B, A);
    
    	cout << "计算结果:y="<< A[0]  << "+" << A[1] << "x" << endl;
    
    }
    
    void LineFittingTest() {
    	vector<double> x, y, w;
    	int m;
    	PreapreDatasetA1(x, y, w, m);
    	LinearFitting(x, y, w, m);
    	
    	cout << "H";
    }
    

    例题3.8:指数曲线拟合

    题目介绍

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    代码

    方式1

    或许可以直接偷懒改一下输入数据,为表3.3,那么也就和上一题一样了:

    void PreapreDatasetA2(vector<double>& x, vector<double>& y, 
    	vector<double>& w, int& m) {
    	m = 9;
    	x = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };
    	y = { 0.25,0.35,0.438,0.573,0.648,0.725,0.84,0.947,1.04 };
    	w = { 1,1,1,1,1,1,1,1,1, };
    }
    

    输出时修改一下打印方式:

    cout << "计算结果:u="<< A[0]  << "+" << A[1] << "x" << endl;
    cout << "计算结果:y=10^(" << A[0] << "+" << A[1] << "x)" << endl;
    

    方式2

    也可以输入表3.2的数据,根据(xi,yi)(x_i,y_i),先取对数,求出uiu_i(计算出表3.3的数据,保留的位数不同,精度也不同),再进行线性拟合。

    void PreapreDatasetB1(vector<double>& x, vector<double>& y, 
    	vector<double>& w, int& m) {
    	m = 9;
    	x = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };
    	y = { 1.78,2.24,2.74,3.74,4.45,5.31,6.92,8.85,10.97 };
    	w = { 1,1,1,1,1,1,1,1,1, };
    
    	for (int i = 0; i < m; i++)
    	{
    		y[i] = log10(y[i]);
    	}
    }
    
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  • 基于c++的曲线拟合的最小二乘法

    热门讨论 2010-06-19 13:11:24
    曲线拟合 最小二乘法 c++ c 基于c++ 输入点时候结束请输入一个负数 附带源代码
  • (C#)曲线拟合的最小二乘法

    万次阅读 2011-12-31 22:33:24
    using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace 数值分析实验报告 ... class Gauss曲线拟合的最小二乘法 { static void Main() { Imput();

空空如也

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曲线拟合的最小二乘法