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  • PAGE PAGE 3 欢迎下载 概率密度函数与分布函数的Matlab作图 1二项分布分布律 x=1:100; y=binopdf(100,0.25,x; stem(x,y; title'二项分布B(1000.25)分布律; 2泊松分布分布律 x=0:100... 3正态分布概率密度函数 x=-40:80;
  • 概率密度函数分布函数区别

    千次阅读 2021-06-10 23:01:43
    概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)的区别 概率分布:给出了所有取值及其对应的概率(少一个也不行),只对离散型变量有意义。 概率函数:用函数形式给出每个取值发生的概率,P(x)(x=x1,x2,x3,...

    概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)的区别

    概率分布:给出了所有取值及其对应的概率(少一个也不行),只对离散型变量有意义。
    在这里插入图片描概率分布述
    概率函数:用函数形式给出每个取值发生的概率,P(x)(x=x1,x2,x3,……),只对离散型变量有意义,实际上是对概率分布的数学描述。

    概率分布和概率函数只对离散型变量有意义,那如何描述连续型变量呢?
    答案就是“概率分布函数F(x)”和“概率密度函数f(x)”,当然这两者也是可以描述离散型变量的。

    概率分布函数F(x):给出取值小于某个值的概率,是概率的累加形式,即:
    F(xi)=P(x<xi)=sum(P(x1),P(x2),……,P(xi))(对于离散型变量)或求积分(对于连续型变量,见后图)。
    概率分布函数F(x)的性质:
    概率分布函数性质
    概率分布函数F(x)的作用:如下图
    (1)给出x落在某区间(a,b]内的概率:P(a<x≤b)=F(b)-F(a)
    (2)根据F(x)的斜率判断“区间概率”P(A<x≤B)的变化(实际上就是后面要说的概率密度函数f(x))(特别注意:是判断“区间概率”,即x落在(A,B]中的概率,而不是x取某个确定值的概率,这是连续型变量和离散型变量的本质区别)
      某区间(A,B]内,F(x)越倾斜,表示x落在该区间内的概率P(A<x≤B) 越大。如图中(a,b]区间内F(x)的斜率最大,如果将整个取值区间以δx=b-a的间隔等距分开,则x落在(a,b]内的概率最大。为什么?因为P(A<x≤B) )=F(B)-F(A),所有区间中只有在(a,b]这个区间上(即A=a,B=b)F(B)-F(A)达到最大值,也就是图中竖向红色线段最长。
      在这里插入图片描述
    概率密度函数f(x):给出了变量落在某值xi邻域内(或者某个区间内)的
    概率变化快慢
    ,概率密度函数的值不是概率,而是概率的变化率,概率密度函数下面的面积才是概率。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    连续型变量的概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系(以正态分布为例)如下图:
      对于正态分布而言,x落在u附近的概率最大,而F(x)是概率的累加和,因此在u附近F(x)的递增变化最快,即F(x)曲线在(u,F(u))这一点的切线的斜率最大,这个斜率就等于f(u)。x落在a和b之间的概率为F(b)-F(a)(图中的红色小线段),而在概率密度曲线中则是f(x)与ab围成的面积S。如下图所示:
    在这里插入图片描述

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  • 概率密度函数与分布函数...1,分布函数F(X)的一阶导数为概率密度函数:f(x) = dF(X)/dX 概率密度曲线下的无穷积分等于1,表示:P{|X| 或者说分布函数概率密度函数的原函数。F(-∞)=0,表示分布函数以负x轴为渐近线,

    概率密度函数与分布函数的几何含义

    匿名  |  浏览 4603 次
    推荐于2016-12-02 03:56:36 最佳答案
    1,分布函数F(X)的一阶导数概率密度函数:f(x) = dF(X)/dX
    概率密度曲线下的无穷积分等于1,表示:P{|X|<∞} = 1
    或者说分布函数是概率密度函数的原函数。F(-∞)=0,表示分布函数以负x轴为渐近线,
    F(∞)=1,表示分布函数在正x轴上方以y=1为渐近线。
    2,概率密度函数:f(x) 的峰值对应X的平均值:E(X);
    概率密度函数曲线f(x)的胖瘦表示X的方差D(X)的大小,胖的方差大,瘦的的方差小;
    3, F(x) = P{X<x} = ∫ (-∞,x) f(x) dx
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  • 通过Matlab实现了FSO链路的负指数分布、K分布、Gamma-Gamma分布模型的概率密度函数,可以对比分析三种分布概率密度函数,并可以根据画出不同湍流强度条件下的pdf。
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  • 概率密度函数=概率函数,只是应用的对象不同,概率函数对应离散随机变量,概率密度函数对应连续随机变量。 在离散随机变量中,概率密度函数被称为概率函数,顾名思义,就是关于概率的函数,例如:,其中,pi表示...

    理解1:

    离散随机变量:随机变量的值可以都列举出来,则该随机变量称为离散型,例如,投掷骰子事件,该事件只出现两种情况:正面和反面,可以使用整数0和1表示,0表示反面,1表示证明,则可以用离散随机变量来表示投掷骰子事件。连续性随机变量就是不能使用数列举出来的情况,例如,

    理解2:

    概率密度函数=概率函数,只是应用的对象不同,概率函数对应离散随机变量,概率密度函数对应连续随机变量。

    在离散随机变量中,概率密度函数被称为概率函数,顾名思义,就是关于概率的函数,例如:p_i=P(X=x_i) (i=0,1),其中,pi表示投掷骰子的事件的概率值,只有两个取值(0,1)。该表示中变量为x,随机变量X的取值不同,得到不同结果,即给定一个特定的X,得到一个对应的结果,所以该表达式为一个关于变量X的函数,也就是概率函数。

    倘若随机变量为连续数值,则称为概率密度函数,为何?首先看概率密度函数数学定义:

    f(x)\geq 0 ------(1)\\ \int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1 -----(2)

    如果f(x)满足公式1和2,则f(x)就是概率密度函数。公式(1)表示概率密度函数的非负性,公式(2)表示各个取值累计和为1。从几何上将,公式(2)是函数f(x)图像下的面积,该面积为1。再看密度,密度第一想到是质量密度,密度=质量/体积,即单位体积下的质量,稍微推广下就是单位***下的***。回到公式(2),一种求积分的方法就是将函数f(x)分割为小的矩形框,也就是将整个面积分为多个小矩形框,通过对矩形框面积叠加得到总面积。好的,假设现在在x轴上等分f(x)N等分,则每个矩形的面积就1/N,结合质量密度定义公式,可以得到其实1/N表示的也是一种密度的概念,某个单位”长度“下的面积,只不过这个长度可以极限小。这也就是定义中为何为密度的一个原因。另外,这里矩形面积其实就是概率的含义,看下面的公式更容易理解:

    P(a\leq X\leq b)=\int _a^bf(x)dx-----(3) 

    公式(3)表示随机变量X在区间a和b之间发生的概率,注意这里是概率,其实就是在概率密度函数下a和b区间上的面积,这里的面积就是概率。

    理解3:

    分布函数首先也是一个函数,就是给定一个值,映射到另一个值,另外它表示的是分布,分布描述的是数据整体的情况。离散情况下,用概率分布列表来表示,很简单因为离散的情况下,随机变量的所有取值都可以列举出来,所以将所有情况放到一个表中就是概率分布列表,等价于分布函数。两个重点,一个是有变量,一个是有对应的概率,并且所有变量和概率都要取到。

    对于连续性随机变量怎么办?将公式(3)推广到积分上限就是连续随机变量分布函数:

    F(y)=p(x\leq y)=\int _{-\infty }^yf(x)dx------(4)

    首先公式(4)也是一个关于y的函数, 其次变量y包括了所有变量,y本身是一个变量,它可以是任意数,所以包含了所有变量。

    对照离散随机变量分布函数,一有变量y,二是有对应的概率值(即积分值),三所有情况都考虑了,所以公式(4)就是分布函数。另一方面,从公式(4)可以看处分布函数就是概率密度函数的累计和(积分就是累积和哈),不理解,看离散随机变量分布函数定义:

    F(x)=P(X\leq x)=\sum _{x_k}p_k------(5)

    公式(5)表示F(x)就是一个累积和,累积加和在连续变量的情况下就是积分。

    PS:python中使用

    概率密度函数使用

    python中可以使用科学计算包scipy中的统计模块实现概率密度函数,分布函数的计算,计算前可以对数据进行标准化处理,然后标准正态分布在某个点的概率密度可用scipy.stats.norm.pdf计算。借用别人的代码绘图正态分布:

    from scipy import stats
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']#用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False#用来正常显示负号
    #正态分布概率密度
    X = []
    Y = []
    for a in np.linspace(-5, 5, 100):
        y = stats.norm.pdf(a)
        X.append(a)
        Y.append(y)
    plt.plot(X, Y)
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("p")
    plt.title("正态分布概率密度")
    plt.show()
    

    运行后得到:

    默认情况,scipy.stats.norm.pdf计算均值为0,方差为1 的正态分布,x轴上某个点对应的p值不是概率,不是概率,不是概率,是概率密度,衡量的是事件在该点处出现的密度(频率),连续随机变量在某个值的概率是0,但是根据公式(3),在x轴上某个区间的面积是概率,表示事件在该区间内出现的概率。

    计算某个值在正态分布中的概率,需要知道均值和标准差,p=scipy.stats.norm.pdf(x, loc=均值,scale = 标准差)/标准差=scipy.stats.norm.pdf(x)

    分布函数使用

    分布函数使用scipy.stats.norm.cdf,同样借用别人的代码看下分布函数的样子:

    from scipy import stats
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']#用来正常显示中文标签
    plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False#用来正常显示负号
    #正态分布概率密度
    X = []
    Y = []
    for a in np.linspace(-5, 5, 100):
        y = stats.norm.cdf(a)
        X.append(a)
        Y.append(y)
    plt.plot(X, Y)
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("p")
    plt.title("正态分布累积概率分布")
    plt.show()
    

    结果如图:

    可以看处,分布函数是一个递增函数,肯定是啊,因为它是一个累积和啊,而且最大值为1(所有概率加和为1)。x轴某点对应的值表示事件P(X\leq x)发生的概率。

    查表的话,同概率密度函数用法相同:p=scipy.stats.norm.cdf(x, loc=均值,scale = 标准差)。

    产生正态分布样本

    使用numpy中的np.random.normal()函数:

    import numpy as np
    #设置随机数种子seed
    np.random.seed(456789)
    #生成15个均值为10,标准差为2的正态分布样本
    r = np.random.normal(loc=10, scale=2, size=15)
    print(r)

     

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    写在前面

    如果有大一大二的新生看到这篇博文,如果你此时正在翘《概率论与数理统计》这门课,无论你以后想打算从事算法岗位,还是做金融量化,或者想走科研的道路,成为大佬,那么就请现在好好学习这门课,因为这也是为了不耽误你们以后撩妹、打游戏的宝贵时间,而又可以系统性学习这门课程的最好时间。

    由于最近的研究和学习涉及的理论基础知识越来越多,很多知识点容易混淆,同时也为了可以在今后的论文或者研究中用专业的术语和论证来尽情的表(zhuang)达(bi),因此最近打算重新学一遍《概率论与数理统计(陈希孺编著)》。

    当乍一看到概率函数、概率分布函数、概率密度函数以及累积概率函数这一堆术语时,像我这种概率论学习不扎实的必然会头疼,所以打好基础还是很重要的。在学习《概率论》时,引用陈希孺老师的一句话:研究一个随机变量,不只是要看它能取哪些值,更重要的是它取各种值的概率如何,这样就可以把握住核心了,上面这堆术语都是用来描述随机变量的概率的。既然是用来描述随机变量的概率,那下面就先说一下随机变量。

    离散型随机变量与连续型随机变量

    离散型随机变量(Discrete random variable)与连续型随机变量(Continuous random variable)的区别也很好划分,只要看一下随机变量的取值能否一一列举出来就可以。如掷骰子、扔硬币、性别等,取值都是可以直接列举出来的,这样就是离散型随机变量。而像天气的温度,器件的寿命、测量误差等,这样的取值不能全部列举出来,只能通过一个区间来表示,这样的就是连续型随机变量。

    离散型随机变量的概率函数与概率分布函数

    离散型随机变量的概率函数也就是用函数的形式来表示随机变量取值的概率
    X X X是离散型随机变量,其全部可能取值是 a 1 , a 2 , . . . , a n {a_{1},a_{2},...,a_{n}} a1,a2,...,an,则它的概率函数表示为:
    p i = P ( X = a i ) ( i = 1 , 2 , . . . , n ) p_{i} = P(X = a_{i}) \quad (i=1,2,...,n) pi=P(X=ai)(i=1,2,...,n)
    离散型随机变量的概率函数的自变量是离散型随机变量 X X X的取值,因变量是对应取值的概率,它给出了将全部概率1在其所有可能值上的分配情况,由于离散型随机变量的有限性,所以也常以列表的形式展示离散型随机变量的概率分布:

    知道了离散型随机变量的概率分布后,那么就来说一下离散型随机变量的概率分布函数,在介绍离散型随机变量的概率分布函数之前,先看一下概率分布函数的定义,注意这里没有区分是离散型还是连续型随机变量
    X X X为随机变量,则随机变量的概率分布函数为:
    P ( X ≤ x ) = F ( x ) ( − ∞ &lt; x &lt; ∞ ) P(X \leq x) = F(x) \quad (- \infty &lt;x&lt; \infty) P(Xx)=F(x)(<x<)
    那么,当 X X X是离散型随机变量时,它的概率分布函数为:
    F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ { i ∣ a i ≤ x } p i F(x) = P(X \leq x) = \sum_{\{i|a_{i}\leq x\}}p_{i} F(x)=P(Xx)={iaix}pi
    从上面的形式可以看出概率分布函数就是概率函数取值的累加,所以它又叫做累积概率函数(Cumulative Distribution Function)

    连续型随机变量的概率密度函数与概率分布函数

    说完了离散型随机变量的概率函数和概率分布函数,下面来说一下连续型随机变量的概率密度函数和概率分布函数。
    为什么到了连续型随机变量这里,概率函数就没有了,反而多了一个概率密度函数呢?其实连续型随机变量的概率密度函数就相当于是离散型随机变量的概率函数。试想一下,在离散型随机变量的概率函数表示每个离散值对应的概率的函数,但是连续型随机变量有无穷个数值,单单描述其中一个数值的概率是不可能的,所以就通过了一个区间内的概率密度来表示数据的集中分布程度。
    引用陈希孺老师教程中的定义:设连续型随机变量 X X X有概率分布函数 F ( x ) F(x) F(x),则 F ( x ) F(x) F(x)的导数 f ( x ) = F ′ ( x ) f(x) = F&#x27;(x) f(x)=F(x)称为 X X X的概率密度函数。
    可以设想一根极细的无穷长的金属杆,总的质量为1,概率密度相当于各个点的质量密度。
    连续型随机变量 X X X的密度函数具有以下三条基本性质:
    1、 f ( x ) ≥ 0 f(x)\geq0 f(x)0
    2、 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1 f(x)dx=1
    3、对于任何常数 a &lt; b a&lt;b a<b,有 P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x P(a\leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx P(aXb)=F(b)F(a)=abf(x)dx
    加深一下印象,看一下连续型随机变量最常见的一种分布,正态分布的概率分布函数和概率密度函数:

    总结

    1、离散型随机变量的概率函数和连续型随机变量的概率密度函数都用来描述随机变量如何在所有取值处分配总的概率1。离散型随机变量的概率函数可以直接得到离散型变量对应的概率值,连续型随机变量则是通过一个区间内概率密度函数的面积来表示概率值。
    2、无论是离散型还是连续型概率分布函数,可以按照它的另一个叫法累积概率函数来理解,既然是累积概率,那么得到的公式是一个求和的形式,得到的图像是一个递增的过程。
    3、由于概率分布的研究多是侧重于连续型随机变量,毕竟连续型随机变量的概率分布函数和概率密度函数作为连续函数,还有很多可以研究的点,所以后期会再整理一些常见的连续型随机变量的概率分布函数和概率密度函数。

    REF

    《概率论与数理统计(陈希孺编著)》
    https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

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空空如也

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概率密度函数与分布函数