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  • 叉积和点积

    万次阅读 2018-08-04 22:06:57
    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组; 向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,...ab的点积公式为: ...

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    点乘公式

    对于向量a和向量b:

                                                               

    a和b的点积公式为:

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    点乘几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量:

    根据三角形余弦定理有:

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    即:

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:
         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 

    叉乘公式

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

    a和b的叉乘公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    转自:https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

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  • 向量的点积和叉积

    千次阅读 2019-11-11 18:34:13
    1.点积 2.叉积 1.点积: 一个向量在另一个向量上的投影的长度*另一个向量的长度,正负代表方向。 a(x1,y1),b(x2,y2) a,b向量的点积 = x1x2+y1y2。 点积代表的含义为向量a在b上的投影与b长度的乘积(反过来b在a上一样) ...

    1.点积
    2.叉积

    1.点积:

    一个向量在另一个向量上的投影的长度*另一个向量的长度,正负代表方向。

    a(x1,y1),b(x2,y2) a,b向量的点积 = x1x2+y1y2。

    点积代表的含义为向量a在b上的投影与b长度的乘积(反过来b在a上一样)

    点积大于0的时候代表投影在另一个向量上,也就是说两个向量的角度差不超90

    等于0的时候代表90度

    小于零代表角度差大于90度

    如下图所示,a向量与b向量的点积为正,与b`向量的点积为负。

    在这里插入图片描述

    2.叉积

    叉积的概念: 叉积的绝对值代表a,b向量围合起来的四边形的面积,正负表示两个向量相对的位置。

    a,b向量的叉积 = x1y2 - y1x2。

    叉积的绝对值代表a,b向量围合起来的四边形的面积,而正负代表后一个向量位于前一个向量的什么位置(注意这里和点积有区别,向量相乘的先后对于叉积是有影响的)。

    现在a先b后,如果a位于b的顺时针方向(180度内),那么叉积为正。反之为负,如果共线,则为0。

    如下图所示,a向量与b向量的叉积为正,因为a在b的顺时针方向。而a向量与b`的向量的叉积为负。

    在这里插入图片描述
    这些所展示的都是二维空间里的表现形式,其应用可以扩展到多维空间.

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  • 点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学计算机图形学中。 表示方法 两个向量ab的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,...

    向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
    表示方法
    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免和字母x混淆)。
    定义
    向量积可以被定义为:|a×b|=|a||b|sin<a,b>。
    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。
    也可以这样定义(等效):
    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a,b>
    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。
    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定

    几何意义及其运用
    叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c为棱的平行六面体的体积。

    与数量积的区别
    注:向量积≠向量的积(向量的积一般指点乘)
    一定要清晰地区分开向量积(矢积)与数量积(标积)。
      
    名称: 标积/内积/数量积/点积
    运算式:(a,b和c粗体字,表示向量) a·b=|a||b|·cosθ
    几何意义 :向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积
    运算结果: 标量(常用于物理)/数量(常用于数学)

    来源(https://baike.baidu.com/item/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A7%AF/4601007?fr=aladdin)

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  • 点积(dot product) 内(inner product) 数量(scalar product) 点积是内的特例,内是数量的特例。 \vec {a} \vec a \cdot \vec b = 0 \vec a \cdot \vec b = 0 点乘: ......

    名称

    不知道为什么翻译出来了这么多的名字。。。

    • 内积:点积、点乘、数量积(标量积)。表示结果为一个标量(数)的乘法。
    • 外积:叉积、叉乘、向量积

    点积是内积(inner product)的特例,内积是数量积 (scalar product)的特例。

    表示

    1. 内积的表示: < a , b > <\pmb{a}, \pmb{b}> <aaa,bbb> a ⋅ b \pmb{a} \cdot \pmb{b} aaabbb
    2. 外积的表示: a × b \pmb{a} \times \pmb{b} aaa×bbb a ∘ b \pmb{a} \circ \pmb{b} aaabbb

    代数和几何意义

    1. 点积(dot product)也叫点乘。
    • 点积的代数定义:对应元素相乘再求和,结果是一个
      A ⋅ B = ∑ i = 0 n a i b j A·B=\sum_{i=0}^{n}a_ib_j AB=i=0naibj
    • 点积的几何定义(点乘):
      a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ c o s θ \vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|cos\theta a b =a b cosθ
    1. 叉乘也叫叉积、向量积、外积。叉乘的结果为向量(点乘的结果为标量)。
    • 叉乘的代数定义:
      a ⃗ = a 1 i ⃗ + a 2 j ⃗ + a 3 k ⃗ \vec a = a_1\vec i + a_2 \vec j + a_3 \vec k a =a1i +a2j +a3k
      b ⃗ = b 1 i ⃗ + b 2 j ⃗ + b 3 k ⃗ \vec b = b_1\vec i + b_2 \vec j + b_3 \vec k b =b1i +b2j +b3k
      a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = a 2 b 3 i ⃗ + a 3 b 1 j ⃗ + a 1 b 2 k ⃗ − a 2 b 1 k ⃗ − a 1 b 3 j ⃗ − a 3 b 2 i ⃗ = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i ⃗ + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j ⃗ + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k ⃗ \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \\ = a_2b_3\vec i+a_3b_1\vec j+a_1b_2\vec k -a_2b_1\vec k-a_1b_3\vec j-a_3b_2\vec i\\ =(a_2b_3-a_3b_2)\vec i + (a_3b_1-a_1b_3)\vec j + (a_1b_2-a_2b_1)\vec k a ×b =i a1b1j a2b2k a3b3=a2b3i +a3b1j +a1b2k a2b1k a1b3j a3b2i =(a2b3a3b2)i +(a3b1a1b3)j +(a1b2a2b1)k

    • 叉乘的几何定义:
      方向为垂直两个向量组成的平面的方向(法向量的方向)。大小为:
      ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ s i n θ |\vec a \times \vec b|=|\vec a||\vec b|sin\theta a ×b =a b sinθ


    仅供参考,如有问题,欢迎指出。
    https://blog.csdn.net/include_not_found_/article/details/81297279
    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9%E7%A7%AF
    https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF
    https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

    【csdn输入公式前后要加$$】
    https://blog.csdn.net/djfjkj52/article/details/104394253
    https://blog.csdn.net/xingxinmanong/article/details/78528791
    https://blog.csdn.net/u013647759/article/details/85635162

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  • matlab点积叉积、矩阵相乘的区别

    千次阅读 2019-09-29 19:59:26
    向量的点积(内)是指两个向量在其中某一个向量方向上的投影的成绩,通常可以用来引申作为向量的模。 MATLAB中用 dot(a,b)实现,也可用a'*b或者 sum(a.*b) dot(a,b,dim)返回a,b在维数dim上的点积。 向量的叉积...
  • 点积和叉乘的区别

    万次阅读 2018-01-17 16:22:38
    1、AB的点积公式: 其结果是标量。 2、几何意义:A乘以B在A上的投影。 推导过程如下: 根据三角形余弦定理: 而C = A - B,则: 所以: 二、叉乘(外叉积、向量) 假设: 1、人为定义...
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  • 向量的点积叉积

    千次阅读 2018-05-08 15:23:25
    向量的点积点积又叫内,数量,有以下两个定义: a⃗ ⋅b⃗ =abcosθ\vec{a}\cdot \vec{b}=a b cos\theta a⃗ ⋅b⃗ =axbx+ayby+azbz\vec{a}\cdot \vec{b}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z} 几何意义一个...
  • 1 点积 ...矩阵的点积/内,为对应矩阵元素的。 A,B是定义为两个相同大小的矩阵。 值得注意的是,一些对于A,B大小不同,可以分别把它们组成的向量进行内。 比如在numpy中: im...
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  • 浅谈Vector3的点积叉积

    万次阅读 2013-09-06 10:27:06
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  • 转:点积&叉积

    2017-03-08 09:28:00
    一、点积(又称“数量”、“内”) 1、理论知识 在数学中,点积的定义为a·b=|a|·|b|cos<a,b>【注:粗体小写字母表示...要与叉积进行区别)。另外点积中的夹角<a,b>没有顺序可言,即<a,b&g...
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  • 向量叉积与向量点积

    千次阅读 2016-11-29 17:14:41
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  • 【Unity3D】浅谈Vector3的点积叉积

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  • 点积计算的结果为数值,而叉积计算的结果为向量。两者要注意区别开来。 在几何数学中: 1.点积 点积的计算方式为:a·b=|a|·|b|cos<a,b>其中|a||b|表示向量的模,<a,b>表示两个向量的夹角。另外在...
  • 线性代数【19】叉积

    2021-12-07 16:30:07
    1 标准的定义: 1.1 两个向量,他们围成平行四边形的面积就是叉乘的结果: 1.2 考虑叉乘的符号: v如何在w的右侧,那么为正,...2.2 行列式的计算值如何和叉积对应起来: 2.2.1 绝对值: 叉积就是计算这...
  • 本文介绍了向量的內积和的概念,以及相关的运算公式。
  • Unity3D浅谈Vector3的点积叉积

    千次阅读 2015-05-20 17:05:57
    一、点积(又称“数量”、“内”)  1、理论知识 在数学中,点积的定义为a·b=|a|·|b|cosa,b> 【注...要与叉积进行区别)。另外点积中的夹角a,b>没有顺序可言,即a,b>=b,a>(或a·b=b·a)。所以我们可以通过
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a向量b:
  • 矢量叉积判断顺时针还是逆时针

    千次阅读 2015-11-04 15:14:09
    利用矢量叉积判断是逆时针还是顺时针。 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则三角形两边的矢量分别是: ... 则ABAC的叉积为:(2*2的行列式) |x2-x1, y2-y1| |x3-x1, y3-y1| 值为:(x2-x1)*(y3-y1) - (y2-y1)*
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空空如也

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