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  • 递归与迭代
    2021-09-17 16:45:55

    ​ 递归的思想与迭代不同的地方在于迭代通过原来的变量推出新值,接着以新值为初始值继续递推,直到满足条件,而递归则是A循环调用本身。举个简单的例子,计算1到n的和:

    ​ 迭代实现:

    def a(n):
        sum = 0
        i = 1
        while i<=n:
            sum += i
            i += 1
        return sum

    ​ 每次都以sum的新值为基础,以sum+=i这个式子递推,直到实现功能。

    ​ 递归实现:

    def b(n):
        if n == 1:
            return 1
        return n + b(n - 1)

    ​ 重复调用n+b(n-1)操作,直到n==1结束。

    ​ 从上面的对比我们可以看出,要想写一个递归程序,需要关注两个部分,一个是程序的出口(如果没有会造成死循环),另一个则是调用的函数推导式,上述程序的推导式可写为:n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1。

    ​ 递归的思想比较简单,通俗易懂,难就难在怎么去应用。接下来我们举两个经典的例子。

    • 计算n的阶乘:

      def func(n):
          if n == 1 or n == 2:
              return 1
          else:
              return func(n-1) + func(n-2)

      阶乘在各种算法题目解法的出现频率非常高,例如爬楼梯问题,兔子问题等。

    • 汉诺塔问题

      这里简述一下。有三个立柱,其中一个立柱上按从下往上,从大到小的顺序依次叠放n个中空圆盘,现要求将圆盘转移到另一个立柱上,且顺序依旧为从下往上,从大到小。

      解决方案就是利用第三个立柱进行中转。以两个圆盘为例,先将小圆盘移到三柱,再将大圆盘移到二柱,然后将三柱的小盘移到二柱,转移完成。如果有n个盘该怎么办呢?其实还是上述的操作,直接上代码:

      def move(n,a,b,c): #a是起始柱,b是辅助柱,c是目标柱
          if n == 1:
              print(a,'->',c)
          else:
              # 将n-1个盘子从a --> b
              move(n-1,a,c,b)
              # 将剩余的最后一个盘子从a --> c
              print(a,'->',c)
              # 将剩余的n-1个盘子从 b --> c
              move(n-1,b,a,c)
      

    ​ 要想实现递归,最关键的地方就在于找到出口条件和可重复的操作式。

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    多人点赞 热门讨论 2022-05-02 10:29:12
    作者介绍:友友们好我是沐曦希,可以叫我小沐 作者主页:沐曦希的个人博客主页. ...C语言系列文章: 1. 函数零基础使用大全,助你了解函数(二) 2. 函数零基础使用大全,助你了解函数(一) ...函数递归1.1.函数递.

    作者介绍:友友们好我是沐曦希,可以叫我小沐💕
    作者主页:沐曦希的个人博客主页.🎉
    作者的gitee:https://gitee.com/muxi-c-language
    C语言系列文章:
    🎈 1. 函数零基础使用大全,助你了解函数(二)
    🎈2. 函数零基础使用大全,助你了解函数(一)
    🎉小沐和友友们一样喜欢编辑,天天敲代码🤭,沉迷学习,日渐消瘦。很荣幸能向大家分享我的所学,和大家一起进步,成为合格的卷王。✨如果文章有错误,欢迎在评论区✏️指正。那么开始今天的学习吧!😘


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    1.函数递归

    编程语言中,函数Func(Type a,……)直接或间接调用函数本身,则该函数称为递归函数。递归函数不能定义为内联函数。
    在数学上,关于递归函数的定义如下:对于某一函数f(x),其定义域是集合A,那么若对于A集合中的某一个值X0,其函数值f(x0)由f(f(x0))决定,那么就称f(x)为递归函数。

    1.1.函数递归的定义和条件

    一种计算过程,如果其中每一步都要用到前一步或前几步的结果,称为递归的。用递归过程定义的函数,称为递归函数。
    程序调用自身的编程技巧称为递归( recursion)。
    递归做为一种算法在程序设计语言中广泛应用。 一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自身的一种方法,它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解
    递归策略:
    只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算,大大地减少了程序的代码量。即递归的主要思想:大化小

    当然递归是有两个必要条件的,只有满足这两个条件递归才能正常运行起来。

    1.存在限制条件,当满足这个限制条件的时候,递归便不再继续。
    2.每次递归调用之后越来越接近这个限制条件。

    1.2.练习一

    接受一个整型值(无符号),按照顺序打印它的每一位。

    #include<stdio.h>
    int print(int n)
    {
    	if (n > 9)//递归的限制条件
    	{
    		print(n / 10);//调整变量,使变量逼近限制条件
    	}
    	printf("%d ", n % 10);
    }
    int main()
    {
    	int n = 0;
    	scanf("%d", &n);
    	int sum = print(n);
    	return 0;
    }
    

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    1.3练习二

    编写函数不允许创建临时变量,求字符串的长度。

    #include<stdio.h>
    int strlen(char* p)
    {
    	if (*p != '\0')
    	{
    		return 1 + strlen(p + 1);
    	}
    	else
    		return 0;
    }
    int main()
    {
    	char* p = "abcdef";
    	int len = strlen(p);
    	printf("%d\n", len);
    	return 0;
    }
    

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    2.递归与迭代

    2.1.练习一

    求n的阶乘。(不考虑溢出)

    #include<stdio.h>
    int factorial(int n)
    {
    	if (n > 1)
    	{
    		return n * factorial(n - 1);
    	}
    	else
    	{
    		return 1;
    	}
    }
    int main()
    {
    	int n = 0;
    	scanf("%d", &n);
    	int sum = factorial(n);
    	printf("%d", sum);
    	return 0;
    }
    

    在这里插入图片描述

    2.2.练习二

    求第n个斐波那契数。(不考虑溢出)

    #include<stdio.h>
    int Fib(n)
    {
    	if (n > 2)
    	{
    		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
    	}
    	else
    		return 1;
    }
    int main()
    {
    	int n = 0;
    	scanf("%d", &n);
    	int sum = Fib(n);
    	printf("%d", sum);
    	return 0;
    }
    

    在这里插入图片描述
    但是我们发现有问题;
    在使用fib 这个函数的时候如果我们要计算第50个斐波那契数字的时候特别耗费时间。
    使用factorial 函数求10000的阶乘(不考虑结果的正确性),程序会崩溃。
    这是因为:
    我们发现fib 函数在调用的过程中很多计算其实在一直重复。
    如果我们把代码修改一下:

    #include<stdio.h>
    int count = 0;//全局变量
    int Fib(int n)
    {
    	if (n == 3)
    		count++;
    	if (n <= 2)
    		return 1;
    	else
    		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
    }
    int main()
    {
    	int n = 0;
    	scanf("%d", &n);
    	int sum = Fib(n);
    	printf("%d\n", sum);
    	printf("count=%d", count);
    	return 0;
    }
    

    在这里插入图片描述
    count是一个很大很大的值。

    在调试factorial 函数的时候,如果你的参数比较大,那就会报错: stack overflow(栈溢出)
    这样的信息。
    系统分配给程序的栈空间是有限的,但是如果出现了死循环,或者(死递归),这样有可能导致一
    直开辟栈空间,最终产生栈空间耗尽的情况,这样的现象我们称为栈溢出。

    1. 将递归改写成非递归。
    2. 使用static对象替代nonstatic 局部对象。在递归函数设计中,可以使用static 对象替代nonstatic 局部对象(即栈对象),这不仅可以减少每次递归调用和返回时产生和释放nonstatic 对象的开销,而且static 对象还可以保
      存递归调用的中间状状态并且可为各个调用层所访问。

    比如,下面代码就采用了,非递归的方式来实现:

    //求n的阶乘
    int factorial(int n)
    {
    int result = 1;
    while (n > 1)
    {
    result *= n ;
    n -= 1;
    }
    return result;
    }
    
    //求第n个斐波那契数
    int fib(int n)
    {
    int result;
    int pre_result;
    int next_older_result;
    result = pre_result = 1;
    while (n > 2)
    {
    n -= 1;
    next_older_result = pre_result;
    pre_result = result;
    result = pre_result + next_older_result;
    }
    return result;
    }
    

    提示:

    1. 许多问题是以递归的形式进行解释的,这只是因为它比非递归的形式更为清晰。
    2. 但是这些问题的迭代实现往往比递归实现效率更高,虽然代码的可读性稍微差些。
    3. 当一个问题相当复杂,难以用迭代实现时,此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运行时开 销。

    3.写在最后

    那么今天的学习就到这里了。友友们觉得不错的可以给个关注,点赞或者收藏哦!😘感谢各位友友们的支持。以下的代码希望各位大佬们自行检验哦,毕竟亲手操作让记忆更加深刻。

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    创作不易,希望大佬你支持一下小沐吧😘

    下一期见了!

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  • 目录迭代递归基本概念应用场景尾递归递归与迭代区别递归与迭代的转换参考 迭代 迭代(iteration)是重复反馈过程的活动,其目的通常是为了接近并到达所需的目标或结果。 每一次对过程的重复被称为一次“迭代”,而每一...

    文章放置于:https://github.com/zgkaii/CS-Notes-Kz,欢迎批评指正!

    迭代

    迭代(iteration)是重复反馈过程的活动,其目的通常是为了接近并到达所需的目标或结果。 每一次对过程的重复被称为一次“迭代”,而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。

    利用迭代算法解决问题,需要做好以下三个方面的工作:

    • 确定迭代变量
    • 建立迭代关系式
    • 对迭代过程进行控制

    以计算n的阶乘n!为例,先计算1乘2,然后得到结果再乘以3,在用得到结果乘以4…一直乘到n。用Java代码表示:

        public static int factorial(int n) { 
            int res = 1;						// 1.迭代变量
            for (int i = 2; i < n; i++) {		// 3.迭代过程进行控制
                res *= i;					    // 2.建立迭代关系式
            }
            return res; 
        }
    

    递归

    基本概念

    程序调用自身的编程技巧称为递归( recursion)。递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法,它实质上是把一个大型复杂的原问题拆分成具有相同性质的子问题来求解。

    递归至少满足以下两个条件:

    • 在过程或函数内调用自身;
    • 必须有一个明确的递归终止条件。

    还是以阶乘为例,n的阶乘n! = n*(n-1)*... *1 (n>0),用Java代码表示:

        public static int factorial(int n) { 
            if (n == 1) 
                return 1; 
            return n * factorial(n-1); 
        }
    

    那么计算5!时程序的执行过程如下:

    factorial(5) 
       factorial(4) 
          factorial(3) 
             factorial(2) 
                factorial(1) 
                   return 1 
                return 2*1 = 2 
             return 3*2 = 6 
          return 4*6 = 24 
       return 5*24 = 120
    

    又如裴波拉契(Fibonacci)数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...,其递推公式为:F(n) = F(n−1) + F(n−2) 其中(n > 2), F(1) = 1, F(0) = 0,用Java代码表示:

        public static int fibonacci(int n) {
            if (n <= 1) 
                return n;
            return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
        } 
    

    以计算fibonacci(5) 为例,一层一层的分解过程画成图,递归树如下:

    应用场景

    递归应用广泛,除了运用在裴波拉契数列,阶乘,汉诺塔等问题上(可查看Recursion),还用于处理具有天然的递归性的数据结构的问题,例如链表反转、求树的深度等。

    写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律,并且基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,最后将递推公式和终止条件翻译成代码这里有一个思维误区,有人认为要写出递归代码一定要画出完整的递归树,明白每一步递归过程才行。既然递归是一个反复调用自身的过程,这就说明它每一级的功能都是一样的,实际上我们只需要关注一级递归的解决过程即可

    也就是说,在用递归解决问题时,只需关注递归终止条件 与 (当前层)逻辑处理 和 (传递到的下一层)递归调用即可,大致模板如下:

    public void recursion(参数0) {
        if (终止条件) {    // 必须
            return;
        }
        
        逻辑处理 		  // 非必须
        recursion(参数1) // 递归调用(必须)
        ...
        逻辑处理 		  // 非必须
    }
    

    以树的前序遍历(PreOrder Traversal in a binary tree)为例:

    前序遍历,按照访问根节点—>左子树—>右子树的方式遍历这棵树,而在访问左子树或者右子树的时候,按照同样的方式遍历,直到遍历完整棵树。因此整个遍历过程天然具有递归的性质,我们可以直接用递归函数来模拟这一过程。

        public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
            List<Integer> list = new ArrayList<>();
            preorder(root, list);
            return list;
        }
    
        private void preorder(TreeNode root, List<Integer> list) {
            // 终止条件
            if (root == null) {
                return;
            }
            // 递归调用
            list.add(root.val);
            preorder(root.left, list);
            preorder(root.right, list);
        }
    

    尾递归

    实际开发中,递归代码很容易造成堆栈溢出。这是因为函数调用会使用栈来保存临时变量,每调用一个函数,都会把临时变量封装为栈帧压入内存栈,等函数执行完成时,才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大,或者没有设置好出口,或者调用层级太多,都有可能导致栈空间不够,而出现栈溢出(stack overflow)的问题。

    实际上,有很多递归问题都可以优化成尾递归的形式。很多编译器都能够将尾递归的形式优化成循环的形式。那什么是尾递归呢?

    我们先讨论一个概念:尾调用。尾调用 (tail call) 指的是一个函数的最后一条语句也是一个返回调用函数的语句。在函数体末尾被返回的可以是对另一个函数的调用,也可以是对自身调用(即自身递归调用)(尾调用优化)。

    例如:

        function foo(data) {
            d(data);			
            if ( a(data) ) {
                return b(data); // 尾调用
            }
            return c(data);     // 尾调用   
        }
    

    若函数在尾位置调用自身(或是一个尾调用本身的其他函数等等),则称这种情况为尾递归。尾递归是一种特殊的尾调用,即在尾部直接调用自身的递归函数。对尾递归的优化也是关注尾调用的主要原因。尾调用不一定是递归调用,但是尾递归特别有用,也比较容易实现。

    举个例子:

    def recsum(x):
      if x == 1:
        return x
      else:
        return x + recsum(x - 1)
    

    调用recsum(5)为例,相应的栈空间变化:

    recsum(5)
    5 + recsum(4)
    5 + (4 + recsum(3))
    5 + (4 + (3 + recsum(2)))
    5 + (4 + (3 + (2 + recsum(1))))
    5 + (4 + (3 + (2 + 1)))
    5 + (4 + (3 + 3))
    5 + (4 + 6)
    5 + 10
    15
    

    可观察,堆栈从左到右,增加到一个峰值后再计算从右到左缩小,这往往是我们不希望的,使用迭代、尾递归,对普通递归进行优化,减少可能对内存的极端消耗。修改以上代码,可以成为尾递归:

    def tailrecsum(x, running_total=0):
      if x == 0:
        return running_total
      else:
        return tailrecsum(x - 1, running_total + x)
    

    对比后者尾递归对内存的消耗:

    tailrecsum(5, 0) 
    tailrecsum(4, 5) 
    tailrecsum(3, 9)
    tailrecsum(2, 12) 
    tailrecsum(1, 14) 
    tailrecsum(0, 15) 
    15
    

    则是线性的。

    我们再来看裴波拉契(Fibonacci)数列的例子,将其改为尾递归:

    • 思路1:统计步数从简单情境递增到n
        public static int fibonacci(int n, int i, int pre, int cur) { 
            if (n <= 2)
                return 1;
            else if (i == n)
                return cur;
            else return fibonacci(n, i + 1, cur, pre + cur);
        }
    	// 以计算fib(5)为例
        fibonacci(5, 2, 1, 1)
        fibonacci(5, 3, 1, 2)
        fibonacci(5, 4, 2 ,3)
        fibonacci(5, 5, 3, 5)
    
    • 思路2:统计步数从n递减到简单情境
        public static int fibonacci(int i, int pre, int cur) {
            if (i <= 2)
                return cur;
            else return fibonacci(i - 1, cur, pre + cur);
        }
    	// 以计算fib(5)为例
        fibonacci(5, 1, 1)
        fibonacci(4, 1, 2)
        fibonacci(3, 2, 3)
        fibonacci(2, 3, 5)
    

    递归与迭代区别

    递归是一个树结构,可以将其理解为重复“递推”和“回归”的过程,当“递推”到达底部时就会开始“回归”;而迭代是一个环结构,从初始迭代变量开始,每次迭代都更新迭代变量,多次迭代直到到达结束状态。

    理论上递归和迭代时间复杂度方面是一样的,但实际应用中(函数调用和函数调用堆栈的开销)递归比迭代效率要低。

    递归与迭代的转换

    理论上递归和迭代可以相互转换,从上面的n的阶乘的问题也可以看出。但实际从算法结构来说,递归声明的结构并不总能转换为迭代结构(原因有待研究)。迭代可以转换为递归,但递归不一定能转换为迭代。

    将递归算法转换为非递归算法有两种方法,一种是直接求值(迭代),不需要回溯;另一种是不能直接求值,需要回溯。前者使用一些变量保存中间结果,称为直接转换法,后者使用栈保存中间结果,称为间接转换法。

    直接转换法

    直接转换法通常用来消除尾递归(tail recursion)和单向递归,不借助堆栈结构将递归转化为迭代结构来替代。(单向递归 → 尾递归 → 迭代)

    尾递归函数递归调用返回时正好是函数的结尾,因此递归调用时就不需要保留当前栈帧,可以直接将当前栈帧覆盖掉。

    这里以LeetCode 爬楼梯为例,其本质上就是一个斐波拉契数列。

    按照递归求解(超时):

        public int climbStairs(int n) {
            if (n <= 2) 
                return n;
            return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
        }
    

    尾递归(通过并超过100%)

        public int climbStairs(int n) {
            if (n <= 2) 
                return n;
            return helper(n, 1, 2);
        }
    
        private int helper(int i, int pre, int cur) {
            if (i <= 2)
                return cur;
            else return helper(i - 1, cur, pre + cur);
        }
    

    迭代(通过并超过100%)(这里也体现了动态规划的思想)

        public int climbStairs(int n) {
            if (n <= 1) {
                return n;
            }
            int n1 = 0, n2 = 1, res = 1;
            for (int i = 2; i <= n; ++i) {
                n1 = n2; 
                n2 = res; 
                res = n1 + n2;
            }
            return res;
        }
    

    间接转换法

    递归实际上利用了系统堆栈实现自身调用,那么我们也可以通过借助堆栈模拟递归的执行过程或者使用堆栈的循环结构算法。因为递归本身就是通过堆栈实现的,我们只要把递归函数调用的局部变量和相应的状态放入到一个栈结构中,在函数调用和返回时做好push和pop操作。保存中间结果模拟递归过程,将其转为非递归形式。

    还是以上面爬楼梯为例,采用栈(通过并超过100%):

        public int climbStairs(int n) {
            if(n < 3) return n;
            Stack<Integer> st = new Stack<Integer>();
            
            st.push(new Integer(1));
            st.push(new Integer(2));
            
            int i = 3;
            while(i <= n){
                Integer a = st.peek();
                st.pop();
                Integer b = st.peek();
                st.push(a);
                st.push(new Integer(a.intValue() + b.intValue()));
                i++;
            }
            return st.peek().intValue();
        }
    

    参考

    • https://www.cnblogs.com/bakari/p/5349383.html
    • https://leetcode-cn.com/circle/article/yXFal5/
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  • 递归与迭代的区别

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    递归(recursion):递归常被用来描述以自相似方法重复事物的过程,在数学和计算机科学中,指的是在函数定义中使用函数自身的方法。(A调用A)

    1.递归在函数中的具体形式:

    (1)必须明确终止条件,并给出终止时的处理

    (2)必须有间接或直接调用自身解决小规模问题的步骤

    def recursion(大规模问题):

      if end_condition:                                  #终止条件

        end                                               #终止的处理

      else:

        recursion(小规模子问题)    #调用自身

    2.递归的应用:

    (1)问题的定义是按递归定义的(Fibonacci函数,阶乘,…);

    (2) 问题的解法是递归的(有些问题只能使用递归方法来解决,例如,汉诺塔问题,…);

    (3) 数据结构是递归的(链表、树等的操作,包括树的遍历,树的深度,…)

    3.递归的优缺点

    (1)递归的优点:简洁,容易处理问题,代码可读性高

    (2)时间和空间消耗大

    迭代(iteration):重复反馈过程的活动,每一次迭代的结果会作为下一次迭代的初始值。(A重复调用B)

    1.迭代在程序中的表示:

    (1)必须设置计数器,可以通过计数设置或条件设置,否则会一直迭代

    (2)必须有返回值可以作为再次迭代的初值

    def iteration(A):

      return B

    C

    for i in range(n):

      C=interation(C)

    2.迭代的优缺点

    (1)优点:代码效率高,时间空间消耗比递归小

    (2)缺点:不够简洁,容易混淆

    递归是一个树结构,从字面可以其理解为重复“递推”和“回归”的过程,当“递推”到达底部时就会开始“回归”,其过程相当于树的深度优先遍历。

    迭代是一个环结构,从初始状态开始,每次迭代都遍历这个环,并更新状态,多次迭代直到到达结束状态。

     迭代计算n!

    int calculate(int n){
        int result = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            result *= i;
        }
    }

    递归计算n!

    int recursion(int n){
        if(n <= 1){
            return 1;
        }
        return n * calculate(n - 1);
    }

    结论:

    迭代和递归

    (1)迭代:函数内某段代码实现循环,函数调用时使用前一次循环的返回值作为初始值,A调用B,使5用计数器结束循环

    (2)递归:重复调用自身实现循环,A调用A,设置结束条件

    (3)递归中一定有迭代,但是迭代中不一定有递归,大部分可以相互转换.能用迭代的不用递归,


     

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