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  • 方程求解程序清单 a=-1,b=2,c=-1; w=1; m=2; n=1; h = 0.02; t=0:h:30; s1=dsolve('a*D2y+b*Dy+c*y=sin(w*t)','y(0)=m,Dy(0)=n','t'); s1_n = eval(s1); hold on plot(t,s1_n,'ko'); EulerOED(a,b,c,w,m,n,h); hold ...

    方程求解程序清单 a=-1,b=2,c=-1; w=1; m=2; n=1; h = 0.02; t=0:h:30; s1=dsolve('a*D2y+b*Dy+c*y=sin(w*t)','y(0)=m,Dy(0)=n','t'); s1_n = eval(s1); hold on plot(t,s1_n,'ko'); EulerOED(a,b,c,w,m,n,h); hold off function EulerOED(a,b,c,w,x0,x1,h) A = [x0;x1]; t=0:h:30; for i = 1:1:length(t)-1 A(:,i+1) = [1,h;(-(c/a)*h),(1-(b/a)*h)]*A(:,i) + [0;(h/a)]*sin(w*t(i)); end plot(t,A(1,:),'r*'); 对于二阶全微分方程a*y''(t)+b*y'(t)+c=sin(wt) ,不同的a,b,c,w取值和初始条件会求出不同的解,通解又是由齐次解和特解组成。其中,齐次解由特征方程决定,而特解的决定因素则比较复杂。 讨论思路 (1)通解随初始条件变化情况 (2)通解随a,b,c变化情况 b^2-4ac>0(两个不同的实根) b^2-4ac=0(两个相同的重根) b^2-4ac<0(两个不同的复数根) 1).b>0 2).b=0 3).b<0 (3)通解随w变化情况 b^2-4ac=0情况 b^2-4ac<0情况 (3)通解随w变化的规律 W属于(0,1)时,随w的增大在齐次解的旁边波动 w属于(1,+),随w的增大逐渐趋近于齐次解。 Matlab解二阶常微分方程 方程:a*y''(t)+b*y'(t)+c=sin(wt) 求解:1.解析解 2.数值解(欧拉方法) 目的:1.比较两种求解方式的拟合情况 2.通解随w变化的规律 (1)通解随初始条件变化情况 Ex1: a=2,b=3,c=1,y(0)=0;y'(0)=0,w=1 Ex2: a=2,b=3,c=1,y(0)=2;y'(0)=0,w=1 Ex3: a=2,b=3,c=1,y(0)=2;y'(0)=4,w=1 (2)通解随a,b,c变化情况 Ex1: a=2,b=3,c=1,y(0)=0;y'(0)=0,w=1 Ex4: a=-2,b=3,c=1,y(0)=0;y'(0)=0,w=1 Ex5: a=2,b=-3,c=1,y(0)=0;y'(0)=0,w=1 Ex6: a=2,b=3,c=-1,y(0)=2y'(0)=1,w=1 ? EX: a=2 ,b=2*sqrt(2) ,c=1,y(0)=0;y'(0)=0,w=1 (3).b^2-4ac<0 EX:a=4,b=-1,c=2,y(0)=0;y'(0)=0,w=1 EX:a=4,b=1,c=2,y(0)=3,y'(0)=0,w=1 EX:a=4,b=0,c=1,y(0)=2;y'(0)=0,w=1

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  • 我想用Python Sympy库解一个二阶微分方程 具体情况是这样的 ![图片说明](https://img-ask.csdn.net/upload/202007/29/1595979822_158580.png) 这个微分方程,关于f,l,g都是常数,它出来是这个形式...
  • 特征根是复数的二阶微分方程

    千次阅读 2020-11-03 13:18:24
    考虑d2ydx2+a1dydx\frac{d^2y}{dx^2}+a_1\frac{dy}{dx}dx2d2y​+a1​dxdy​ 众所周知,一般求得二阶常系数线性微分方程的通常由以下步骤 根据微分方程

    考虑如下微分方程d2ydx2+a1dydx+a2x=0\frac{d^2y}{dx^2}+a_1\frac{dy}{dx}+a_2x=0
    众所周知,一般求得二阶常系数线性微分方程的通常由以下步骤

    • 根据微分方程写出它的特征方程λ2+a1λ+a2=0\lambda^2+a_1\lambda+a_2=0
    • 求解特征方程的两个特征根λ1\lambda_1λ2\lambda_2
    • 根据特征根的不同情况参照下表写出微分方程的通解
    特征根λ1\lambda_1λ2\lambda_2 二阶常系数齐次方程的通解
    两个不同实根λ1\lambda_1λ2\lambda_2 x=C1eλ1t+C2eλ2tx=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}
    两个相等的实根λ1=λ2\lambda_1=\lambda_2 x=eλ1t(C1t+C2)x=e^{\lambda_1t}(C_1t+C_2)
    一对共轭复根λ1,2=α±iβ\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta x=eαt(C1cosβt+C2sinβt)x=e^{\alpha t}(C_1cos\beta t+C_2sin\beta t)

    也就是对于我这种记性不好的人来说每次求微分方程的时候都要查表

    相信很多人对特征根是复数通解的形式感到疑惑,为什么不能统一成x=C1eλ1t+C2eλ2tx=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}的形式?
    在我和室友查阅课本(工科数学分析基础)后,发现其实也可以统一成上述形成,而且表中的结果是x=C1eλ1t+C2eλ2tx=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}的进一步推导。

    设上述特征方程有一对共轭复数根λ1=α+iβ\lambda_1=\alpha+i\betaλ2=αiβ\lambda_2=\alpha-i\beta。此时,齐次方程有两个特解x1=e(α+iβ)tx2=e(αiβ)tx_1=e^{(\alpha+i\beta)t},x_2=e^{(\alpha-i\beta)t}
    根据美丽的欧拉公式可知x1=eα(cosβt+isinβt)x2=eα(cosβtisinβt)x_1=e^\alpha (cos\beta t+isin\beta t),x_2=e^\alpha (cos\beta t-isin\beta t)
    根据常系数线性微分方程解的叠加性不难知道
    12(x1+x2)=eαcosβt12i(x1x2)=eαsinβt\frac{1}{2}(x_1+x_2)=e^\alpha cos\beta t,\frac{1}{2i}(x_1-x_2)=e^\alpha sin\beta t
    均为方程的解,cossincos,sin是线性无关的,由此eαcosβte^\alpha cos\beta teαsinβte^\alpha sin\beta t也应该线性无关,那么他们也应该能作为上述方程的两个特解,那么他们的线性组合就为方程的通解即
    x=eαt(C1cosβt+C2sinβt)x=e^{\alpha t}(C_1cos\beta t+C_2sin\beta t)

    由此对于d2ydx2+a1dydx+a2x=0\frac{d^2y}{dx^2}+a_1\frac{dy}{dx}+a_2x=0,如果它的特征根是复数λ1,2=α±iβ\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta那么就可以设通解为x=eαt(C1cosβt+C2sinβt)x=e^{\alpha t}(C_1cos\beta t+C_2sin\beta t)此形式。

    这应该是一个星期前已经考虑过的问题,不过今天大物课学到简谐运动的时候由想到了这个,上课想了一会儿然后导致后面大物课云里雾里,因此还是把它记下来。

    以上结论参考《工科数学分析基础》如有错误或者不明确之处请在评论区指明谢谢。

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  • 二阶常系数微分方程通解

    千次阅读 2019-03-05 23:18:51
    二阶常系数微分方程通解 (一.) 二阶常系数微分方程通解的组成: 其对应二阶常系数微分方程通解 + 二阶常系数微分方程的特解 (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解 形如:y′′+py′+qy=Pm(x)eαxy&amp;...

    二阶常系数微分方程的通解

    (一.) 二阶常系数微分方程的通解的组成:

          其对应二阶常系数微分方程的通解 +  二阶常系数微分方程的特解
    

    (二.) 构造二阶常系数微分方程的特解

    1. 形如:y+py+qy=Pm(x)eαxy&#x27;&#x27;+py&#x27;+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程。

      Pm(x)m( P_{m(x)}表示最高次数为m的多项式。)

      y=Q(X)eαx构造:y*=Q_{(X)}e^{\alpha x}

              y=Q(X)eαx+αQ(X)eαx\Rightarrow y*&#x27;=Q_{(X)}&#x27;e^{\alpha x}+\alpha Q_{(X)}e^{\alpha x},

                    y=Q(X)eαx+2αQ(X)eαx+α2Q(X)eαxy*&#x27;&#x27;= Q_{(X)}&#x27;&#x27;e^{\alpha x}+2\alpha Q_{(X)}&#x27;e^{\alpha x} +{\alpha}^2Q_{(X)}e^{\alpha x}

                      y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*&#x27;, y*&#x27;&#x27; ,代入y&#x27;&#x27;+py&#x27;+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}:

                      eαx[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)eαx\Rightarrow e^{\alpha x}[Q_{(X)}&#x27;&#x27;+(2\alpha +p)Q_{(X)}&#x27;+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}e^{\alpha x}

                          即,[Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)]=Pm(x)[Q_{(X)}&#x27;&#x27;+(2\alpha +p)Q_{(X)}&#x27;+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}]= P_{m(x)}

              讨论:
              (1) αr2+pr+q=0\alpha 不是特征方程 r^2 + pr +q=0 的解
             Q(X)+(2α+p)Q(X)+(α2+pα+Q(x)=0由Q_{(X)}&#x27;&#x27;+(2\alpha +p)Q_{(X)}&#x27;+({\alpha}^2+p\alpha+Q_{(x)}=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              (2)αr2+pr+q=0\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的单根
             Q(X)+(2α+p)Q(X)=0由Q_{(X)}&#x27;&#x27;+(2\alpha +p)Q_{(X)}&#x27;=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}&#x27;=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              (3)αr2+pr+q=0\alpha 是特征方程 r^2 + pr +q=0 的重根
             Q(X)=0由Q_{(X)}&#x27;&#x27;=0 可构造:

                  Q(X)=amxm+a(m1)x(x1)a1x+a0Q_{(X)}&#x27;&#x27;=a_mx^m+a_{(m-1)}x^{(x-1)}\cdots a_1x+a_0

              最后,根据多项式相等,则其对应系数相等可求解

    解题步骤:

    1.) 求解二阶常系数非齐次微分方程对应的齐次微分方程的通解
    2.) 遇到形式为 y+py+qy=Pm(x)eαxy&#x27;&#x27;+py&#x27;+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程, 构造y=Q(X)eαxy*=Q_{(X)}e^{\alpha x}
    3.) y,y,y,y+py+qy=Pm(x)eαx将 y*, y*&#x27;, y*&#x27;&#x27; ,代入y&#x27;&#x27;+py&#x27;+qy = P_{m(x)}e^{\alpha x}并化简
    4.) 判断 α\alpha 是否为特征方程的根?单根?重根?
    5. )根据 α\alpha 确定所构造的多项式次数并求解。

    1. 形如:y+py+qy=[Pm(x)cosy&#x27;&#x27;+py&#x27;+qy =[P_{m(x)}cosβ\betax+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinβ\betax]eαxx]e^{\alpha x} 的二阶常系数微分方程。

    【欧拉公式: eβxie^{\beta xi}=cosβ+isinβ\beta+isin\betaxx

              eβxie^{\beta xi}=cosβx+isinβ\beta x+isin\betaxx
              eβxie^{-\beta xi}=cosβxisinβx\beta x-isin\beta x

    \Rightarrow cosβ\beta x= eβxi+eβxi2\frac{e^{\beta xi}+e^{-\beta xi}}{2}
          sin β\beta x= eβxieβxi2i\frac{e^{\beta xi}-e^{-\beta xi}}{2i}

    \therefore [Pm(x)cos[P_{m(x)}cosβ\betax+Pn(x)sinx+P_{n(x)}sinβ\betax]eαxx]e^{\alpha x}
       
      =[Pm(x)2+Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}+\frac{P_{n(x)}}{2i}] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}+[Pm(x)2Pn(x)2i][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}}{2i}] e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}

      =[Pm(x)2Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] e(α+βi)xe^{(\alpha +\beta i) x}+[Pm(x)2Pn(x)i2][\frac{P_{m(x)}}{2}-\frac{P_{n(x)}i}{2}] e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}

      = Ps(x)e(α+βi)xP_{s(x)} e^{(\alpha +\beta i) x} + Ps(x)\overline{P_{s(x)} }e(αβi)xe^{(\alpha -\beta i) x}                    (s=maxm,n)(其中s=max{m,n})

    Ps(x),Ps(x)P_{s(x)},\overline{P_{s(x)} } 为共轭复多项式。】

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  • 二阶常系数线性微分方程其一般形式, y'' +p y' + qy = f(x) ① 可以写成 => (y' + λ1 * y)' + λ2(y' + λ1 * y) = f(x) (λ1 + λ2 = p , λ1 * λ2 = q) 令 u = (y' + λ1 ...

    二阶常系数线性微分方程其一般形式,

      y'' +p y' + qy = f(x)                                               ①

     可以写成

      =>    (y' + λ1 * y)' + λ2(y' + λ1 * y) = f(x)      (λ1 + λ2 = p , λ1 * λ2 = q)

     令 u = (y' + λ1 * y),得

      u' + λ2*u = f(x)

      就可以当成一阶线性微分方程来解了。

        -----------------------------------------------------

      接着我们再讲下一阶线性微分方程的一个好记的解法:

       其一般形式

       y' + p(x)y  = f(x)

      我们可以将两边同乘一个u,得

      u*y' + u*p(x)y = u*f(x)                                                    ①

      我们可以认为 (uy)' = y' * u + u*p(x)y                    注:  (uv)' = u'v + uv'

      即  u' = up(x)      =>

               du/dx = up(x)

               du/u   = p(x)dx             得 ,

                u = e^∫p(x)dx

       得到 u 的值之后,就可以把 u 带入原式①,得

               uy = ∫f(x)*udx

      这样就得到y的通解了,这个方法还是比较好记的。

     

     

     

     

     

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    千次阅读 多人点赞 2020-11-22 14:28:11
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二阶微分方程的通解公式