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  • 原始对偶算法解决最小费用最大流。通过维护两张图更为迅速的找到最小费用最大流,而且还可以求固定流量的最小费用流。
  • 原始对偶算法理解过很多次,每一个的理解都不一样,这次将其记录一下 这里定义原始问题为资源有限下的价值最大化模型,A是资源消耗矩阵,b是资源量,c是产品价值向量 max cTx s.t. Ax <= b 对偶的定义是啥...

    原始对偶算法理解过很多次,每一个的理解都不一样,这次将其记录一下

    这里定义原始问题为资源有限下的价值最大化模型,A是资源消耗矩阵,b是资源量,c是产品价值向量

    max cTx

    s.t. Ax <= b

    对偶的定义是啥呢,它先组合一下原始的约束,组合权重用y表示,那么组合出来的向量为ATy,我约束其在每个维度的值都大于c,强行赋一个定义可以是保证价值情况下的资源最小化,这样对偶问题就被构造出来了,不难可以知道bTy >= xTATy >= xTc,

    min bTy

    s.t. ATy >= c

    2、

    如果x0,y0分别是原始问题和对偶问题的最优解,那么有bTy0 = x0TATy0 = x0Tc。

    证明:因为原始问题有最优解,由单纯形法可知,x0 = B-1b,故x0Tc = bT(B-1)Tc >= bTy0,而bTy0 >= x0TATy0 >= x0Tc ,故bTy0 =  x0Tc, 故bTy0 = x0TATy0 = x0Tc

    这里证明不难,但结论是非常好的,给大家一个体感就是原始问题紧的地方(最优解时为等号的约束)在对偶问题里往往是松的(有可能为紧),但原始问题松的地方对偶问题一定是紧的

    3、

    互补松弛条件是原始对偶算法的基础,流程为:原始P--对偶D--限制原始RP-限制原始对偶DRP,其基本思想有一个可行解时,再去找对偶问题的可行解,然后按互补松弛的条件不断的迭代

    附:

    单纯形法从原问题(P)的一个可行解出发, 在满足互补松弛条件的前提下, 使得其对偶变量朝着对偶可行解的方向迭代.

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  • 问题描述 给定一个图,求解源点s到终点t的路径。 点弧关联矩阵定义如下: 列表示边,行表示一个顶点。...从而我们现在得到了: (P),(D),(RP),(DRP),接下来就是按照原始对偶算法的步骤来求解了,参看下篇。

    问题描述

    给定一个图,求解源点s到终点t的路径。
    在这里插入图片描述
    点弧关联矩阵定义如下:
    在这里插入图片描述
    列表示边,行表示一个顶点。

    可以看到,每一列一定是-1和+1组成,其中-1表示入边,+1表示出边。

    我们的目标是求解下列线性规划。
    在这里插入图片描述
    其中f表示选这条边还是不选,选为1,不选为-1,A表示上述的点弧关联矩阵。c表示费用,b表示流量守恒,即一个可行解(f1,f2…fn)必须构成一条路,而我们发现一条路上:除了s和t之外,其他路上的顶点都是一条边进入,一条边出去,即流量守恒。所以该顶点对应的行,比如是有一个+1对应的边选择了,一个-1对应的边选择了,如果该顶点还有一个+1的,也不能再选了,否则Af为1而不是0.

    对偶问题

    根据上面的原始线性规划,写出其对偶问题。
    在这里插入图片描述
    把上面矩阵形式展开,得到如下:
    在这里插入图片描述
    这里大家耐心展开验证一下即可,不多解释。
    不多,需要指出的是,前面说过,对偶问题中的变量总是有其物理含义。那么其中 y i y_i yi你可以理解为顶点 i i i到终点 t t t的最短路径长度。那么你再看看约束条件,其是说,对于任何一条边,边的左顶点的最短长度-右顶点的最短长度要比边上的长度相等或更小。这是当然的,否则如果 y i y_i yi就不是最短路径长度了,还不如选择这条边呢。

    在这里插入图片描述
    上面 f j ∗ f_j^* fj理解成 f i j ∗ f_{ij}^* fij比较好,表示(i,j)这条边选或不选。后面的 e j e_j ej同理。下面同理。
    在这里插入图片描述

    原始对偶算法

    在此之前,我们希望先对对偶问题再进行一个细微的处理。
    我们发现点弧关联矩阵并不是行满秩的,而是行-1。你可以数学上证明,在物理上你可以理解为告诉了其他行(顶点)出入边情况,就知道剩下一个点的出入边情况。

    这告诉我们,在原始线性规划中就可以减少一个约束,我们假设减少的是 t t t顶点那行。设顶点个数为m,边个数为n,那么其对偶规划中的 A T y ≤ c A^Ty\le c ATyc则形式如下:
    在这里插入图片描述
    即变量少了一个 y t y_t yt,但是我们可以加上,并且和原来同解。

    在这里插入图片描述
    即加上一个对偶变量,但是令其为0,所以变量就变成了m个,从而A也不用截断t所在行,由于乘以 y t = 0 y_t=0 yt=0,其实这一行写什么都已经作废了。不过,其实这个加上去根本不为了别的,而是为了那个限制条件能够同意,否则没有 y t y_t yt的话,对于(i,t)这样的边,限制条件需要单独写 y i ≤ c i t y_i\le c_{it} yicit,但是现在令 y t = 0 y_t=0 yt=0得到了统一。

    从而得到如下:
    在这里插入图片描述
    原始对偶算法真正开始了。我们假设先得到了一个可行解 y y y,然后计算J:
    在这里插入图片描述
    再有:
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    这里我们在原规划中已经去掉了t行,所以就是如上了。不过注意一下符号,还是之前说的 f j f_j fj写成 f i j f_{ij} fij比较好理解,同理,那个 j ∈ J j\in J jJ写成 ( i , j ) ∈ J (i,j)\in J (i,j)J比较好。
    在这里插入图片描述
    这个写出对偶问题,慢慢写就行了。不过,此处可以提示一下:RP中的限制条件为:
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    注意是 n ′ n' n,因为你看RP中:

    在这里插入图片描述
    所以现在的 f ′ f' f是全部大于等于0的那些,等于0的对应的那些A列已经清除了得到 A ′ A' A

    那么其对偶为 A T y ≤ c A^Ty\le c ATyc
    在这里插入图片描述
    从而可以知道:
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    就是:
    在这里插入图片描述
    同理:
    在这里插入图片描述
    就是:

    在这里插入图片描述
    解释完毕。从而我们现在得到了:
    (P),(D),(RP),(DRP),接下来就是按照原始对偶算法的步骤来求解了,参看下篇。

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  • 假设有如下原始问题和对偶问题: 如果我们能够找到一个x,一个y,满足根据互补松弛定理,即使得: 那么这个x,y就是原始问题和对偶问题的最优解。 可是,直接这样找,相当于穷举,大海捞针,我们希望给出一个算法来...

    假设有如下原始问题和对偶问题:
    在这里插入图片描述
    如果我们能够找到一个x,一个y,满足根据互补松弛定理,即使得:
    在这里插入图片描述
    那么这个x,y就是原始问题和对偶问题的最优解。
    可是,直接这样找,相当于穷举,大海捞针,我们希望给出一个算法来找到。

    算法思路:我们首先找到对偶问题的一个可行解 y y y,并尝试找到一个原问题的可行解 x x x,使得 x x x y y y 满足互补松弛定理。如果我们找到了这样的 x x x,那么 x x x y y y 就分别是原问题和对偶问题的最优解;否则我们就需要调整 y y y,让它变得更好,继续尝试,直到找到最优解为止。

    限制的原问题 (RP) 与限制的对偶问题 (DRP)

    算法开始了:

    假设我们有了一个对偶问题的可行解 y y y,现在我们需要寻找一个新原问题的可行解 x x x 满足互补松弛定理。

    先来个定义:

    A j A_j Aj 表示矩阵 A A A 的第 j j j 列,定义 J = { j ∣ A j T y = c j } J = \{ j | A_j^Ty = c_j \} J={jAjTy=cj}(称 J J J 为允许指标集,简单来说 J J J 就是以 y y y 作为对偶可行解时,对偶问题中那些成为紧约束的编号)。根据原问题的定义和互补松弛定理,我们有(1)

    A x = b x j = 0 ∀ j ∉ J x j ≥ 0 ∀ j ∈ J Ax = b \\ x_j = 0 \quad \forall j \not\in J \\ x_j \ge 0 \quad \forall j \in J Ax=bxj=0jJxj0jJ

    如果我们能找到一个 x x x 满足上面三个条件, x x x y y y 就能满足互补松弛定理。

    x j = 0 , j ∉ J x_j=0,j\notin J xj=0,j/J,我们为了求解 x j , j ∈ J x_j,j\in J xj,jJ,构造一个优化问题,称为限制的原问题(restricted primal,RP)

    min ⁡ ∑ i = 1 m x ˉ i s.t. ∑ j ∈ J a i j x j + x ˉ i = b i x j ≥ 0 , x ˉ i ≥ 0 \begin{matrix} \min & \sum\limits_{i=1}^m \bar{x}_i \\ \text{s.t.} & \sum\limits_{j\in J} a_{ij}x_j + \bar{x}_i = b_i \\ & x_j \ge 0, \bar{x}_i \ge 0 \end{matrix} mins.t.i=1mxˉijJaijxj+xˉi=bixj0,xˉi0

    如果RP的最优解为0,则说明每一个松弛 x ˉ \bar{x} xˉ都为0,此时(1)中的3个条件都满足,是最优解,找到了 x , y x,y x,y

    在这里插入图片描述
    注:上面的 Q Q Q J J J, w ( 0 ) w^{(0)} w(0) y y y
    在这里插入图片描述

    考虑 RP 的对偶问题,称为限制的对偶问题(DRP) max ⁡ b T y s.t. A j T y ≤ 0 ∀ j ∈ J y i ≤ 1 ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , m } \begin{matrix} \max & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^T_jy \le 0 & \forall j \in J \\ & y_i \le 1 & \forall i \in \{1, 2, \dots, m\} \end{matrix} maxs.t.bTyAjTy0yi1jJi{1,2,,m}

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    注意, w ( 0 ) w^{(0)} w(0)是初始选的那个 y y y p j p_j pj是原始问题中的那个系数矩阵A中的第 j j j列。下面我们要判断,新构造的 w w w代入对偶规划的约束中的 y y y,查看能否满足。若可以满足,则新构造了一个对偶问题的可行解。
    在这里插入图片描述
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    即想要负数+非负数=非正数,那么就让这个负数减去(一个很小的正数乘以这个非负数),那么结果肯定就会非正数 ≤ 0 \le 0 0了。
    在这里插入图片描述
    貌似为了找到下一个 y y y,费了这么大的劲,竟然还求了一个DRP。我们当然会有疑惑,为什么这样求新 y y y,我告诉你,这个新 y y y代入到对偶问题中去,你会发现目标函数值比旧 y y y更大,对偶是求最大,这不正是我们想要的吗?
    设新 y y y y ∗ y^* y
    在这里插入图片描述

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    我们处在更新 y y y的过程,所以 θ > 0 , b T y ˉ > 0 \theta>0,b^T\bar{y}>0 θ>0,bTyˉ>0

    其实,我们生成一个新的 y y y的过程中有了一个现象,虽然不影响我们生成新的 y y y,但是如果我们发现这个新的现象,可以不用生成新 y y y了,直接停止算法,因为原问题没有可行解,你是找不到最优解 y ˉ \bar{y} yˉ的。
    那么这个现象是什么呢?来看看把。

    在这里插入图片描述
    由于RP与DRP是对偶,所以DRP最优值就是RP最优值,而此种情况下RP最优值大于0。等于0的情况早就排除了,在前面。
    在这里插入图片描述

    所以总结就是:如果RP中的最优值不是0,那么就看看是不是上述的情况,如果是,算法终止,如果不是就构造新的 y y y进入下一轮迭代继续调整,直接确定新的 J J J 和新的 DRP 即可(RP也不需要了,DRP和RP是一样的,RP最优值大于0,那么DRP也是),直到 DRP 的最优解让目标函数值为 0,此时的 y y y 就是对偶问题的最优解。

    其完整流程如下:
    在这里插入图片描述

    最后一个问题,送佛送到西,如何构造第一个对偶可行解。
    在这里插入图片描述
    从而问题变为:
    在这里插入图片描述

    这个方法非常类似于大M法。

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    原始对偶方法

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    注:因原文未转码,方便观看,遂作此文
    原文连接:https://www.cnblogs.com/tsreaper/p/aop5.html
    原始对偶方法利用的就是上一节课中讲到的互补松弛定理。我们首先找到对偶问题的一个可行解 y y y,并尝试找到一个原问题的可行解 x x x,使得 x x x y y y 满足互补松弛定理。如果我们找到了这样的 x x x,那么 x x x y y y 就分别是原问题和对偶问题的最优解;否则我们就需要调整 y y y,让它变得更好,继续尝试,直到找到最优解为止。

    寻找对偶可行解
    考虑以下线性规划问题作为原问题 min ⁡ x c T x s.t. A x = b ≥ 0 x ≥ 0 \begin{matrix} \min\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax = b \ge 0 \\ & x \ge 0 \end{matrix} xmins.t.cTxAx=b0x0 它的对偶问题为 max ⁡ x b T y s.t. A T y ≤ c \begin{matrix} \max\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \le c \end{matrix} xmaxs.t.bTyATyc 我们首先需要获得一个对偶问题的可行解。如果 c ≥ 0 c \ge 0 c0,显然 y = 0 y = 0 y=0 就是对偶问题的一个可行解,否则我们可以使用如下方法寻找可行解。

    给原问题增加一个变量与一条约束 x 1 + x 2 + ⋯ + x n + x n + 1 = b m + 1 x_1 + x_2 + \dots + x_n + x_{n+1} = b_{m+1} x1+x2++xn+xn+1=bm+1,其中 b m + 1 b_{m+1} bm+1 需要足够大,至少要大等于 x 1 + x 2 + ⋯ + x n x_1 + x_2 + \dots + x_n x1+x2++xn 可能的最大值。这样的约束就不会改变原问题。

    加入新约束后,我们写出新的对偶问题 max ⁡ y b T y + b m + 1 y m + 1 s.t. A T y + y m + 1 [ 1 1 … 1 ] T ≤ c y m + 1 ≤ 0 \begin{matrix} \max\limits_y & b^Ty + b_{m+1}y_{m+1} \\ \text{s.t.} & A^Ty + y_{m+1}\begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{bmatrix}^T \le c \\ & y_{m+1} \le 0 \end{matrix} ymaxs.t.bTy+bm+1ym+1ATy+ym+1[111]Tcym+10 我们很容易看出这个新对偶问题的可行解为 y i = 0 ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , m } y_i = 0 \quad \forall i \in \{1, 2, \dots, m\} yi=0i{1,2,,m} 以及 y m + 1 = min ⁡ i c i y_{m+1} = \min\limits_i \quad c_i ym+1=iminci

    限制的原问题 (RP) 与限制的对偶问题 (DRP)
    假设我们找到了对偶问题的可行解 y y y,现在我们需要寻找一个原问题的可行解 x x x 满足互补松弛定理。

    A j A_j Aj 表示矩阵 A A A 的第 j j j 列,定义 J = { j ∣ A j T y = c j } J = \{ j | A_j^Ty = c_j \} J={jAjTy=cj}(称 J J J 为允许指标集,简单来说 J J J 就是以 y y y 作为对偶可行解时,对偶问题中较紧的那些限制的编号)。根据原问题的定义和互补松弛定理,我们有 A x = b x j = 0 ∀ j ∉ J x j ≥ 0 ∀ j ∈ J Ax = b \\ x_j = 0 \quad \forall j \not\in J \\ x_j \ge 0 \quad \forall j \in J Ax=bxj=0jJxj0jJ 如果我们能找到一个 x x x 满足上面三个条件, x x x y y y 就能满足互补松弛定理。

    为了获得一个可行的 x x x,我们使用一个类似于两阶段法的思想(虽然两阶段法和原始对偶方法可能没啥联系- -),构造一个优化问题,称为限制的原问题(restricted primal,RP) max ⁡ x ∑ i = 1 m x ˉ i s.t. ∑ j ∈ J a i , j x j + x ˉ i = b i x j ≥ 0 , x ˉ i ≥ 0 \begin{matrix} \max\limits_x & \sum\limits_{i=1}^m \bar{x}_i \\ \text{s.t.} & \sum\limits_{j\in J} a_{i,j}x_j + \bar{x}_i = b_i \\ & x_j \ge 0, \bar{x}_i \ge 0 \end{matrix} xmaxs.t.i=1mxˉijJai,jxj+xˉi=bixj0,xˉi0 很显然,若目标函数值取 0,那么我们就找到了满足互补松弛定理的 x x x

    我们再来写出 RP 的对偶问题,称为限制的对偶问题(DRP) max ⁡ x b T y s.t. A j T y ≤ 0 ∀ j ∈ J y i ≤ 1 ∀ i ∈ { 1 , 2 , … , m } \begin{matrix} \max\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^T_jy \le 0 & \forall j \in J \\ & y_i \le 1 & \forall i \in \{1, 2, \dots, m\} \end{matrix} xmaxs.t.bTyAjTy0yi1jJi{1,2,,m} y ˉ \bar{y} yˉ 为 DRP 的最优解,根据强对偶定理,若 b T y ˉ = 0 b^T\bar{y} = 0 bTyˉ=0 则 RP 的目标函数值也可以取到 0,那么当前对偶可行的 y y y 就是对偶问题的最优解;否则我们有 b T y ˉ ≥ 0 b^T\bar{y} \ge 0 bTyˉ0,因为至少 y ˉ = 0 \bar{y} = 0 yˉ=0 是 DRP 的可行解。

    一开始要求原问题的 b ≥ 0 b \ge 0 b0 可能是为了保证 RP 问题有可行解(如果 b ≥ 0 b \ge 0 b0 那么 RP 问题至少有可行解 x = 0 x = 0 x=0 x ˉ = b \bar{x} = b xˉ=b)。不过这可能也不是很有必要,如果发现 RP 问题无可行解,或者 DRP 问题无有限最优解,那就说明了原问题无可行解。

    改进当前的对偶可行解
    如果 DRP 的最优解让 DRP 的目标函数值超过 0,说明当前的 y y y 还不是最优的。我们来想办法用 y ˉ \bar{y} yˉ 改进 y y y。我们让新的对偶可行解 y ^ = y + θ y ˉ \hat{y} = y + \theta\bar{y} y^=y+θyˉ(其中 θ ≥ 0 \theta \ge 0 θ0),显然有 b T y ^ = b T y + θ b T y ˉ > b T y b^T\hat{y} = b^Ty + \theta b^T\bar{y} > b^Ty bTy^=bTy+θbTyˉ>bTy,说明对偶问题的目标函数值的确改进了。但别忘了, y ^ \hat{y} y^ 仍然需要是对偶可行的,也就是说, A T y ^ = A T y + θ A T y ^ ≤ c A^T\hat{y} = A^Ty + \theta A^T\hat{y} \le c ATy^=ATy+θATy^c 仍要满足。

    我们来考虑 θ \theta θ 的取值范围。对于 j ∈ J j \in J jJ,因为 A j T y ˉ ≤ 0 A^T_j\bar{y} \le 0 AjTyˉ0,无论 θ \theta θ 取多大,都不会超过 c c c 的限制,所以这些项不会限制 θ \theta θ 的取值;对于 j ∉ J j \not\in J jJ,我们选择 θ = min ⁡ j ∉ J , A j T y ˉ > 0 c j − A j T y A j T y ˉ \theta = \min_{j \not\in J, A^T_j\bar{y} > 0} \quad \frac{c_j - A^T_jy}{A^T_j\bar{y}} θ=jJ,AjTyˉ>0minAjTyˉcjAjTy 这样就会让 j ∉ J j \not\in J jJ 中的一条限制变紧,其它限制则不会超过,仍然是对偶可行的。当然啦,如果 θ \theta θ 可以无限增大,说明对偶问题没有有限最优解,那么原问题无可行解。

    y y y 调整为 y ^ \hat{y} y^ 之后,就进入下一轮迭代继续调整(当然我们不需要再从原问题开始,慢慢写出 RP 和 DRP 了,直接确定新的 J J J 和新的 DRP 即可),直到 DRP 的最优解让目标函数值为 0,此时的 y y y 就是对偶问题的最优解。

    算法的时间复杂度
    事实上,原始对偶问题就是通过枚举 J J J 来获得对偶问题的最优解。由于 J J J 至多有 2 n 2^n 2n 个,所以这个方法是一定会终止的。当然,这个方法的最差复杂度也是指数级的。如果限制条件在进入 J J J 后不会出来,那么算法就能在线性步数内结束。

    这个方法看起来比单纯形法麻烦多了。单纯形法只要解一个优化问题就能得到最优解,这个方法一下子变出来四个优化问题。但是这个方法对特定问题是非常有效的,对于一些特定问题来说,我们可以一下子看出(或者在很短的时间内方便地算出)DRP 的最优解。下面就来举例说明原始对偶方法的应用。

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  • 原始形式和对偶形式是从两个方面去计算梯度下降的问题,两种方法找误分点的个数是一样的,区别在于,找到一个误分点时两者接下来的计算方法:(N为训练集大小,n为特征数量) (1)对偶形式:扫一遍N,计算每条数据...
  • 如上图所示,在[2,10]x[2,10]的矩形区域内随机生成50个点作为正样本,在[-6,0]x[-2,2]的矩形区域内随机生成50个点作为负样本。要求: ...2.分别用李航《统计学习方法》课本中的算法2.1和算法2.2求解...

空空如也

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原始对偶算法