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  • Laplace分布

    2020-09-04 19:13:18
    0. 参考 百度百科 维基百科 https://www.cnblogs.com/jiaxin359/p/8872986.html
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  • matlab laplace分布

    千次阅读 2017-05-30 10:03:43
    matlab laplace分布

    分布

    • f(x|u,b)=12bexp|xu|b

    代码

    %% laplace distribution
    % x : variable
    % b : size para
    %miu: location para
    syms x b miu
    fx = 1 / (2*b) * exp( -abs(x-miu)/b );
    
    fx = subs(fx, {miu,b}, {0,5});
    res = double(int(fx, x, -5, 5));
    
    xx = -10:.1:10;
    fx = double(subs( fx, x, xx ));
    plot(xx, fx)
    

    可视化

    这里写图片描述

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  • 基于Laplace分布的稀疏概率矩阵分解用于协同过滤
  • PDF 满足以下表达式的概率分布称为 Laplace 分布, Laplace(x;μ,γ)=12γexp(−|x−μ|γ)Laplace(x;μ,γ)=12γexp(−|x−μ|γ)Laplace (x; \mu, \gamma) = \frac 1 {2\gamma}exp\left( - \frac{|x-\mu|}{\gamma}...

    PDF 满足以下表达式的概率分布称为 Laplace 分布,

    Laplace(x;μ,γ)=12γexp(|xμ|γ)
    , 其中

    • μ 是位置参数, 中心峰值出现的位置
    • γ 是尺度参数, 集中的程度

    xx

    一些性质

    看百度百科

    在 ML 中

    主要用到它可以在制定的位置 μ 处放置峰值.

    Ref

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    L1、L2正则化来源推导

    L1L2的推导可以从两个角度:

    •     带约束条件的优化求解(拉格朗日乘子法)
    •     贝叶斯学派的:最大后验概率

    1.1 基于约束条件的最优化

    对于模型权重系数w的求解释通过最小化目标函数实现的,也就是求解:

    首先,模型的复杂度可以用VC来衡量。通常情况下,模型VC维与系数w的个数成线性关系:即:

    w数量越多,VC越大,模型越复杂

    为了限制模型的复杂度,我们要降低VC,自然的思路就是降低w的数量,即:

    让w向量中的一些元素为0或者说限制w中非零元素的个数。我们可以在原优化问题上加入一些优化条件:

    其中约束条件中的||w||0是指L0范数,表示的是向量w中非零元素的个数,让非零元素的个数小于某一个C,就能有效地控制模型中的非零元素的个数,但是这是一个NP问题,不好解,于是我们需要做一定的“松弛”。为了达到我们想要的效果(权重向量w中尽可能少的非零项),我们不再严格要求某些权重w为0,而是要求权重w向量中某些维度的非零参数尽可能接近于0,尽可能的小,这里我们可以使用L1L2范数来代替L0范数,即:

    注意哈:这里使用L2范数的时候,为了后续处理(其实就是为了优化),可以对\left \| w \right \|_{2}进行平方,只需要调整C的取值即可。

    然后我们利用拉式乘子法求解:

    其中这里的\alpha是拉格朗日系数,\alpha>0,我们假设\alpha的最优解为\alpha ^{*},对拉格朗日函数求最小化等价于:

    上面和

    等价。所以我们这里得到对L1L2正则化的第一种理解:

    L1正则化h\LARGE \rightleftharpoons 在原优化目标函数中增加约束条件\left \| w \right \|_{1 }\leq C

    L2正则化\LARGE \rightleftharpoons在原优化目标函数中增加约束条件\left \| w \right \|{_{2}^{2}}\leq C

    1.2基于最大后验概率估计

    在最大似然估计中,是假设权重w是未知的参数,从而求得对数似然函数(取了log):

    从上式子可以看出:假设y^{i}的不同概率分布,就可以得到不同的模型。

    若我们假设:

    的高斯分布,我们就可以带入高斯分布的概率密度函数:

    上面的C为常数项,常数项和系数不影响我们求解maxl(w)的解,所以我们可以令

    我们就得到了Linear Regursion的代价函数。

    在最大化后验概率估计中,我们将权重w看做随机变量,也具有某种分布,从而有:

    同样取对数:

    可以看出来后验概率函数为在似然函数的基础上增加了logP(w)P(w)的意义是对权重系数w的概率分布的先验假设,在收集到训练样本{X,y}后,则可根据w在{X,y}下的后验概率对w进行修正,从而做出对w的更好地估计。

    若假设w_{j}的先验分布为0均值的高斯分布,即

    则有:

    可以看到,在高斯分布下的效果等价于在代价函数中增加L2正则项。

    若假设w_{j}服从均值为0,参数为a的拉普拉斯分布,即:

    则有:

    可以看到,在拉普拉斯分布下logP(w)的效果等价在代价函数中增加L1正项。

    故此,我们得到对于L1,L2正则化的第二种理解:

    L1正则化可通过假设权重w的先验分布为拉普拉斯分布,由最大后验概率估计导出。

    L2正则化可通过假设权重w的先验分布为高斯分布,由最大后验概率估计导出。
     

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  • 的高斯分布,我们就可以带入高斯分布的概率密度函数: 上面的C为常数项,常数项和系数不影响我们求解 的解,所以我们可以令 我们就得到了Linear Regursion的代价函数。 在最大化后验概率估计中,我们...
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