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  • 基于拉普拉斯机制的差分隐私保护k-means 聚类算法研究.pdf
  • 对自适应拉普拉斯机制的理解

    千次阅读 2018-11-20 21:29:28
    对自适应拉普拉斯机制的理解 给定具有模型参数θ的损失函数F(θ),通过在T随机训练批次上应用SGD算法来优化D上的损失函数F(θ)来训练网络。在每个训练步骤中,使用单个训练批次L。批次L是D中的随机训练样本集,具有...

    Adaptive Laplace Mechanism: Differential Privacy Preservation in Deep Learning
    对自适应拉普拉斯机制的理解
    给定具有模型参数θ的损失函数F(θ),通过在T随机训练批次上应用SGD算法来优化D上的损失函数F(θ)来训练网络。在每个训练步骤中,使用单个训练批次L。批次L是D中的随机训练样本集,具有预定义的批量大小| L |。

    第一步:通过在数据库D上训练有素的深度神经网络上应用LRP算法来获得所有第j个输入特征的平均相关性,表示为Rj(D)。R j(D)计算如下:
    在这里插入图片描述
    然后,我们通过将拉普拉斯噪声注入Rj用于所有第j个输入特征来导出差分私有相关性,表示为Rj(上横线)。 此步骤中的总隐私预算为ε1。

    第二步:得到一个差分隐私仿射变换层,表示为h0。给定批次L时,将自适应拉普拉斯噪声注入其仿射变换以保持差分隐私将扰乱每个隐藏神经元h0j∈h0。基于Rj,“更多噪声”被注入到与模型“不太相关”的特征中。输出,反之亦然。此步骤中使用的总隐私预算为ε2。扰动的仿射变换层表示为h0L(上横线)(图2)。
    在这里插入图片描述
    第三步:将隐藏层{h1,…,hk}堆叠在差异私有隐藏层h0L的顶部,以构建深层私有神经网络(图2)。 (h1,…,hk)的计算是基于不同的私有层h0L完成的,无需访问原始数据中的任何信息。 因此,计算不会泄露任何信息。 在每个堆叠操作之前,将标记化层(表示为h)应用于绑定的非线性激活函数,例如ReLU(图2)。
    第四步:构建隐藏层的私有结构 {h0L(上横线),h1 , … ,hk},我们需要保护输出层的标签yi。 为了实现这一点,我们推导出损失函数F的多项式近似。然后,我们通过将具有隐私预算ε3的拉普拉斯噪声注入其系数来扰乱损失函数F,以保持每个训练批次L上的差异隐私,表示为FL(θ)(上横线)。

    最后,通过顺序地最小化T训练步骤上的损失函数FL(θ)(上横线)来导出参数θT。 在每个步骤t中,随机梯度下降(SGD)算法用于在给定D中的随机批次L训练样本的情况下更新参数θt。这基本上是优化过程,而不使用来自原始数据的任何附加信息。

    在自适应拉普拉斯机制中,保持差异隐私,因为它在每个需要访问原始数据D的计算任务中强制执行。 拉普拉斯噪声仅被注入模型一次,作为预处理步骤,以在计算相关性Rj(D),第一层h0L(上横线)和损失函数FL(θ)(上横线)时保持差分隐私。 此后,训练阶段将不再访问原始数据。 隐私预算消耗不会在每个培训步骤中累积。 因此,它与训练时期的数量无关。

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  • 拉普拉斯机制向隐私数据统计信息添加噪声实现差分隐私保护时,给定ε怎么通过噪声所服从的概率密度函数![图片说明](https://img-ask.csdn.net/upload/201604/21/1461219802_834301.png)得到具体的噪声值?
  • 拉普拉斯分布

    千次阅读 2012-12-04 15:55:37
    拉普拉斯分布 Laplace distribution 拉普拉斯分布[1]是一个连续概率分布. 参数为的拉普拉斯分布的概率密度函数为 其中 参数为拉普拉斯分布的位置(Location)参数参数为拉普拉斯分布的尺度(Scale)参数为...

    拉普拉斯分布

    Laplace distribution

    拉普拉斯分布 [1]是一个连续概率分布. 参数为 (\mu,\beta)的拉普拉斯分布的概率密度函数为
    math
    其中
    • 参数\mu为拉普拉斯分布的位置(Location)参数
    • 参数\beta为拉普拉斯分布的尺度(Scale)参数
    • \mathop{\rm sgn}符号数
    拉普拉斯分布具有如下基本的分布特征
    • 拉普拉斯分布的期望为\mu
    • 拉普拉斯分布的方差为2\beta^2
    参考资料
    [ 1]
    Kotz, S., T. J. Kozubowski, et al. (2001). The Laplace distribution and generalizations: a revisit with applications to communications, economics, engineering, and finance, Birkhauser

    拉普拉斯分布
    机率 密度 函数
    拉普拉斯分布概率密度图
    累积分布函数
    拉普拉斯分布累积概率密度图
    参数\mu\, 位置参数实数
    b > 0\, 尺度参数(实数)
    值域x \in (-\infty; +\infty)\,
    概率密度函数\frac{1}{2\,b} \exp \left(-\frac{|x-\mu|}b \right) \,
    累积分布函数参见正文部分
    标记{{{notation}}}
    期望值\mu\,
    中位数\mu\,
    众数\mu\,
    方差2\,b^2
    偏态0\,
    峰态3\,
    熵值1 + \ln(2\,b)
    动差生成函数\frac{\exp(\mu\,t)}{1-b^2\,t^2}\,\! for |t|<1/b\,
    特征函数\frac{\exp(\mu\,i\,t)}{1+b^2\,t^2}\,\!

    概率论统计学中,拉普拉斯分布是以皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的名字命名的一种连续概率分布。由于它可以看作是两个不同位置的指数分布背靠背拼接在一起,所以它也叫作双指数分布。两个相互独立同概率分布指数随机变量之间的差别是按照指数分布的随机时间布朗运动,所以它遵循拉普拉斯分布。

    [编辑] 概率分布、概率密度以及分位数函数

    如果随机变量的概率密度函数分布为

    f(x|\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{b} \right) \,\!
        = \frac{1}{2b}    \left\{\begin{matrix}      \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu      \\[8pt]      \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu    \end{matrix}\right.

    那么它就是拉普拉斯分布。其中,μ位置参数b > 0 是尺度参数。如果 μ = 0,那么,正半部分恰好是尺度为 1/2 的指数分布。

    拉普拉斯分布的概率密度函数让我们联想到正态分布,但是,正态分布是用相对于 μ 平均值的差的平方来表示,而拉普拉斯概率密度用相对于平均值的差的绝对值来表示。因此,拉普拉斯分布的尾部比正态分布更加平坦。

    根据绝对值函数,如果将一个拉普拉斯分布分成两个对称的情形,那么很容易对拉普拉斯分布进行积分。它的累积分布函数为:

    F(x)\,= \int_{-\infty}^x \!\!f(u)\,\mathrm{d}u
        = \left\{\begin{matrix}             &\frac12 \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \mbox{if }x < \mu             \\[8pt]             1-\!\!\!\!&\frac12 \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \mbox{if }x \geq \mu            \end{matrix}\right.
     =0.5\,[1 + \sgn(x-\mu)\,(1-\exp(-|x-\mu|/b))]

    逆累积分布函数为

    F^{-1}(p) = \mu - b\,\sgn(p-0.5)\,\ln(1 - 2|p-0.5|)

    [编辑] 生成拉普拉斯变量

    已知区间 (-1/2, 1/2] 中均匀分布上的随机变量 U,随机变量

    X=\mu - b\,\sgn(U)\,\ln(1 - 2|U|)

    为参数 μ 与 b 的拉普拉斯分布。根据上面的逆累计分布函数可以得到这样的结果。

    当两个相互独立统分布指数(1/b)变化的时候也可以得到 Laplace(0, b) 变量。同样,当两个相互独立统分布一致变量的比值变化的时候也可以得到 Laplace(0, 1) 变量。

    [编辑] 相关分布

    • 如果 Y = |X-\mu| 并且 X \sim \mathrm{Laplace},则 Y \sim \mathrm{Exponential}指数分布
    • 如果 Y = X_1 - X_2X_1,\, X_2 \sim \mathrm{Exponential},则 Y \sim \mathrm{Laplace}
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           最近看了一篇论文《Collecting and Analyzing Multidimensional Data with Local Differential Privacy》,其中最关键的就是本地化差分隐私技术(以下简称LDP)在收集分析数据时的各种实现机制

    一、拉普拉斯机制

           1、假设每个用户u_{i}的数据记录t_{i}包含一个数值属性,其值位于范围[-1,1]内;

           2、定义一个输出扰动记录的随机函数:t_{i}^{*}=t_{i}+Lap(\frac{2}{\epsilon }),其中Lap(\lambda )表示遵循尺度\lambda的拉普拉斯分布的随机变量,其具有以下概率密度函数:pdf(x)=\frac{1}{2\lambda }exp(-\frac{|x|}{\lambda })期望为0、方差为2\lambda ^{2}的Laplace分布的概率密度函数);

           3、显然,该估计t_{i}^{*}是无偏的,因为在每个t_{i}^{*}中注入的拉普拉斯噪声Lap(\frac{2}{\epsilon })具有零均值(即期望为0)t_{i}^{*}的方差是\frac{8}{\epsilon ^{2}}即方差为2\lambda ^{2}

           4、一旦数据采集者接收到所有被扰动的元组,它就只计算它们的平均值\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}t_{i}^{*}作为误差等级为O(\frac{1}{\epsilon \sqrt{n}})(不知道怎么得出来的~)的均值估计值。

           简而言之,用户将数据添加一个拉普拉斯噪声Lap(\frac{2}{\epsilon })后发送给数据收集者,数据收集者对得到的数据元组先求平均值后再对外发布。

    二、拉普拉斯机制变体

           SCDF由Soria-Comas和Domingo-Ferrer提出,可以获得多维数据的改进结果精度;Stairease mechanism由Geng 等人提出,实现了无界输入值的最佳性能。具体而言,对于单个数值t_{i},两种方法都注入随机噪声n_{i},该随机噪声n_{i}来自以下分段恒定概率分布:

                                

           在SCDF中,;在Stairease mechanism中,m=\frac{2}{1+e^{\epsilon /2}}。 

           注意:Stairease mechanism中的最优性结果不适用于有界输入的情况(有界输入是指输入集合数据分布是有上界或者下界的,即均大于或者均小于某个值)。

           这两种方法就是改变了噪声的注入方式。

    三、Duchi等人的解决方法

           杜奇等人提出了一种在LDP下扰动多维数据元组的方法。 以下算法说明了Duchi等人对于一维案例的解决方案:

                                

           特别的是,给定一个元组t_{i}\in[-1,1],算法返回一个扰动的元组t_{i}^{*},它等于\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1}-\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1},具有以下概率:

                                

           注意:a.以上两概率之和为1;

                     b.当\epsilon趋近于0时,两概率趋近于相等,为\frac{1}{2}

                     c.当\epsilon不趋近0时,x=\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1}的概率大于x=-\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1}的概率。

           杜奇等人证明t_{i}^{*}是输入值t_{i}的无偏估计。 另外,t_{i}^{*}的方差是:

                                

                                

            因此,当t_{i} = 0时,t_{i}^{*}取最坏(最大)方差,等于(\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1})^{2}。 在接收到该算法输出的扰动元组时,收集者简单地计算所有用户的属性的平均值以获得估计的平均值。

            以上解决方案的缺点:下图说明了拉普拉斯机制和Duchi等人的解决方案在变化时返回的噪声值最坏(最大)方差。当\epsilon \leq 2时,Duchi等人的解决方案比拉普拉斯机制提供的方差小得多,但是当\epsilon > 2时,后者明显优于后者。

                                

            回想一下,Duchi等人的解决方案总返回 t_{i}^{*}=\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1}或 t_{i}^{*}=-\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1}。因此,该解决方案输出的噪声值t_{i}^{*}总是具有绝对值|\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1}|> 1,因此无论隐私预算有多大,t_{i} = 0时t_{i}^{*}的方差总是大于1。相反,拉普拉斯机制产生\frac{8}{\epsilon ^{2}}的噪声方差,其随着增加而呈二次方减小,由此在\epsilon大的时候是优选的。然而,当\epsilon小时,分母\epsilon ^{2}会导致很大的噪声方差,而Duchi等人的解决方案不会遇到这个问题,因为它的方差被确定在相对较小的范围内[-\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1},\frac{e^{\epsilon }+1}{e^{\epsilon }-1}]

           噪声方差的大小会直接影响扰动数据的方差大小,扰动数据方差越小说明数据之间的相似度越高,即差分隐私保护越成功,所以各种实现机制以方差趋小为目的。

            下一篇讲一下改进后的实现机制。

     

     

     

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  • 高斯,拉普拉斯分布

    2020-06-08 08:46:08
    一般来说我们可以使用正则化来...我发现的常见方法是高斯,拉普拉斯,L1和L2。 高斯还是L2,拉普拉斯还是L1?这有什么不同吗? 可以证明L2和高斯或L1和拉普拉斯正则化对算法具有同等影响。获得正则化效果的方法有两种.

    在这里插入图片描述

    一般来说我们可以使用正则化来避免过度拟合。但是实际上什么是正则化,什么是通用技术,以及它们有何不同?

    “正规化是我们对学习算法所做的任何修改,旨在减少其泛化误差,而不是其训练误差。”
    换句话说:通过防止算法过度拟合训练数据集,可以将正则化用于训练对看不见的数据更好地泛化的模型。

    那么,如何修改逻辑回归算法以减少泛化误差呢?

    我发现的常见方法是高斯,拉普拉斯,L1和L2。

    高斯还是L2,拉普拉斯还是L1?这有什么不同吗?

    可以证明L2和高斯或L1和拉普拉斯正则化对算法具有同等影响。获得正则化效果的方法有两种。

    第一种方法:添加正则项

    为了计算逻辑回归的回归系数,对数似然函数(也称为目标函数)的负数被最小化
    在这里插入图片描述
    其中LL表示似然函数的对数,β表示系数,y表示因变量,X表示自变量。

    第一种方法

    是通过将正则化项R(β)乘以参数λ∈R +到目标函数上来惩罚高系数
    在这里插入图片描述

    但是为什么我们要惩罚高系数呢? 如果一个特征仅在一个类别中出现,则将通过逻辑回归算法为其分配很高的系数。 在这种情况下,模型可能会非常完美地了解有关训练集的所有详细信息。

    被添加以惩罚高系数的两个常见的正则化项是l1范数或范数l2的平方乘以½,这激发了名称L1和L2正则化。

    注意。 系数½用于L2正则化的某些推导中。 这使得计算梯度更容易,但是,仅常数值可以通过选择参数λ来补偿。

    l1范式定义为
    在这里插入图片描述
    L2正则化的正则化项定义为
    在这里插入图片描述

    第二种方法:

    贝叶斯正则化观点

    第二种方法假定系数的给定先验概率密度,并使用最大后验估计(MAP)方法。 例如,我们假设系数为均值0和方差σ2的高斯分布或系数为方差σ2的拉普拉斯分布。

    在这种情况下,我们可以通过选择方差来控制正则化的影响。 较小的值导致较小的系数。 但是,σ2的较小值可能会导致拟合不足。

    所提及的两种方法密切相关,并且通过正确选择控制参数λ和σ2,可得出该算法的等效结果。 在KNIME中,以下关系成立:

    如果λ= 1 /σ2,则高斯先验等于L2
    如果λ=√2/σ,则拉普拉斯先验等于L1

    选择线性回归的先验

    主要思想是在使我们达到L1和L2正则化的线性回归系数上选择贝叶斯先验。 让我们看看它是如何工作的。

    正态分布(高斯)先验
    我们将从正态分布开始,并在每个𝛽𝑖值之前放置一个零均值正态分布,所有方差都等于𝜏2。 根据公式:
    在这里插入图片描述

    并根据公式:

    在这里插入图片描述

    和我们的先前公式填充似然函数:
    在这里插入图片描述

    我们删除了许多常量。我们可以看到,这与(L2正则化)相同,其中𝜆 = 𝜎2 / 𝜏2假定为在常规线性模型中为常数) 回归,我们就可以选择我们的先验。 我们可以通过更改adjust来调整所需的正则化量。 同样,我们可以调整要加权先验系数的数量。 如果我们有一个很小的方差大large,那么系数将非常接近0; 如果我们有很大的方差(小的𝜆,那么系数不会受到太大的影响(类似于我们没有任何正则化的情况)。

    拉普拉斯先验
    首先,让我们回顾一下拉普拉斯分布的密度(通常在初学者概率类中没有引入的密度):
    在这里插入图片描述
    有时将其称为“双指数”分布,因为它看起来像是两个背对背放置的指数分布(使用位置参数适当缩放)。 它在形式上也与我们的高斯十分相似,

    与所有小系数一样,从零均值拉普拉斯先验开始,就像我们在上一节中所做的那样:
    在这里插入图片描述
    与L2正则化相比,Laplacean先验的效果略有不同。 L1促进稀疏性,而不是防止任何系数过大(由于平方)。 也就是说,将一些系数归零。 如果您先查看拉普拉斯(Laplacean)的密度,然后平均密度会急剧增加,则这是有道理的。

    直观地看待此问题的另一种方法是比较两个解决方案4。让我们假设我们正在估计回归中的两个系数。 在L2正则化中,解𝛽 =(1,0)具有与𝛽 =(12√,12√)相同的权重,因此它们均被平等对待。 在L1正则化中,相同的两种解决方案更倾向于稀疏的一种:
    在这里插入图片描述

    因此,L2正则化没有任何特定的内置机制来支持归零系数,而L1正则化实际上偏爱这些稀疏解。

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