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  • 最小二乘法参数辨识
    2021-04-18 04:25:15

    function [sysd,sys,err] = ID(Y,U,Ts)

    %

    %基于递推最小二乘法的参数辨识程序

    %仅针对二阶系统:)

    %出处:http://blog.sina.com.cn/xianfa110

    %=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=

    %Inputs:

    %=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=

    %Y = nX1 vector of your model output

    %U = nX1 vector of your model input

    %Ts = sample time

    %

    %=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=

    %Outputs:

    %=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-==-=-=-=-=-=

    %sysd = discrete-time transfer function identified

    %sys = continuous-time transfer function identified

    %err = error

    %

    if nargin<3 || nargin>3

    error('Must be three inputs!');

    end

    if length(Y)~=length(U)

    error('length of inputs must be equal.');

    end

    n=length(U);

    Y=reshape(Y,n,1);

    U=reshape(U,n,1);

    theta=[0.1;0.1;0.1;0.1;0.1];

    P=2^25*eye(5);

    R0=1;

    for m=3:n

    X=[Y(m-1) Y(m-2) U(m) U(m-1) U(m-2)]';

    alfa=1/(R0+X'*P*X);

    L=alfa*P*X;

    theta(:,m-1)=theta(:,m-2)+L*(Y(m)-X'*theta(:,m-2));

    P=P/R0-alfa*P*X*X'*P;

    err=Y(m)-X'*theta(:,m-2);

    if abs(err)<=1e-10

    break;

    end

    end

    m=length(theta(1,:));

    result=[-theta(1:2,m);theta(3:5,m)];

    t=1:m;

    figure;

    plot(t,theta(1,:),t,theta(2,:),t,theta(3,:),t,theta(4,:),t,theta(5,:));

    legend('th1','th2','th3','th4','th5');

    num=[result(3),result(4),result(5)];

    den=[1,result(1),result(2)];

    sysd=tf(num,den,Ts);

    [n,d]=d2cm(num,den,Ts,'tustin');

    sys=tf(n,d);

    %%====================================================

    exaple:

    对于以下模型:

    a4c26d1e5885305701be709a3d33442f.png

    运行之后,数据通过Scope传递到工作空间,方法参见Simulink利用Scope输出及绘制仿真波形技巧。

    输入以下代码:

    Y=data(:,3);U=data(:,2);

    [sysd,sys,e]=ID(Y,U,0.001);

    得到结果如下:

    Transfer function:

    -4.314e-009 z^2 + 8.784e-005 z + 4.362e-005

    -------------------------------------------

    z^2 - 1.975

    z + 0.9753

    Sampling time: 0.001

    Transfer function:

    -1.12e-005 s^2 - 0.04417 s + 133.1

    ----------------------------------

    s^2 + 25.02 s - 0.008906

    e =

    -6.8120e-011

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    摘  要:较高性能的永磁同步电机矢量控制系统需要实时更新电机参数,文章中采用一种在线辨识永磁同步电机参数的方法。这种基于最小二乘法参数辨识方法是在转子同步旋转坐标系下进行的,通过MATLAB/SIMULINK对基于最小二乘法的永磁同步电机参数辨识进行了仿真,仿真结果表明这种电机参数辨识方法能够实时、准确地更新电机控制参数。

    关键词:永磁同步电机;参数辨识;最小二乘法

    Simulation of PMSM based on least squares on-line parameter identification

    WANG Hong-shan , ZHANG Xing,XIE Zhen , YANG Shu-ying

    Abstract:This paper presents a bbbbbb to determine the parameters of PMSM on line which are necessary to implement the vector control strategy. The presented identification technique, based least-squares, reveals itself suitable to be applied to PMSM. The estimation is based on a standard model of PMSM, expressed in rotor coordinates. The bbbbbb is suitable for online operation to continuously update the parameter values. The developed algorithm is simulated in MATLAB/SIMULINK. Simulation results are presented, and accurate parameters for PMSM is provided.

    KEY WORDS:PMSM; Parameter Identification; Least-Squares

    0 引言

    电机参数辨识方面的文献数量颇多,研究成果丰富。参数辨识技术的研究始于70年代末、80年代初。直至今日,这个领域仍有新的研究成果出现、参数辨识的方法众多,方法与方法之间各有不同。但总的说来,现有的辨识方法可以归纳成5种类型,分别是:信号注入法、直接估算法、补偿坐标系法、最小二乘法、模型参考自适应方法。

    信号注入法通过向电机注入测试信号或者已知特性的谐波,并利用频谱特性来辨识电机参数,然而谐波或者测试信号的注入会对控制系统产生不利的影响;扩展的卡尔曼滤波和模型参考自适应控制策略,即使当出现系统和测量噪声时,仍能对电机参数进行准确估计,然而该方案实现起来比较困难。最小二乘理论是高斯在解决天体运动轨道时提出的。最小二乘辨识法是最重要的系统辨识方法之一,也是参数模型的主要辨识方法,得到了广泛的应用。本文在分析永磁同步电机的同步旋转坐标系下方程的基础上运用最小二乘法,通过matlab/simulink仿真环境对永磁同步电机的参数进行辨识,结果表明:这种参数辨识方法能够为准确地辨识出永磁同步电机的参数。

    1 基于最小二乘法的永磁同步电机参数辨识

    1.1 电机参数辨识的必要性

    在交流调速系统中,矢量控制技术能使交流电动机获得与他励直流电动机一样的控制特性,采用矢量控制技术的交流调速系统的性能达到直流调速系统的水平,无速度传感器的矢量控制是在常规带速度传感器的矢量控制基础上发展起来的,在无速度传感器的矢量控制中必须用到电机参数。工程上不能预知现场所用电机的参数,也不可能采用常规的空载试验和堵转试验去测量电机参数,并且随着电机的老化和周围环境的变化,电机实际参数与所给参数之间存在较大的差别,所以作为通用变频器必须具有电机参数的自测定功能。电机投入正常运行之前的参数辨识方法,特别是不需要增加任何附加电路而仅靠电机调速系统本身实现参数辨识方法已成为现代交流电机参数辨识的新特点。从控制的角度来讲, 解决受控对象参数不准的方法之一就是对受控对象的参数进行在线辨识,并不断更新其参数值, 使控制器设定值与实际值相适应。

    1.2 最小二乘法的基本原理

    最小二乘法最初是由解超定方程,求最优解提出的。设y为一组自变量

    2853dc449132f78be68292fefb538a79.png的函数,

    1d90ac208993ddc949bcc512b4083a72.png。若进行m次观测,则:

    eb3fac2616f4cd3931ddd3387e6985e6.png

    但m=n时,只要A-1存在,即可求出待定参数:a=(a1,a2...,an),上式有唯一解:a=A-1y

    7412ff8d348923ab8cc8d7139932f2f3.png

    当m>n时,称为超定方程组,通常不能选定一组参数以满足所有的m个方程,因而需要用估计方法估算最佳值。可以采用最小二乘法进行估计:

    37aadb651330ebbb614b1c091078ca8d.png

    1.3 基于最小二乘法的永磁同步电机参数辨识

    在基于最小二乘法的电机参数辨识中关键在于如何得到以待辨识参数为未知量的线性方程。下面说明如何在转子同步旋转坐标系下获得以待辨识参数为未知量线性方程的电机模型。

    首先用固定于转子的同步旋转坐标dq轴系来分析永磁同步电机的数学模型。取转子永磁体基波励磁磁场轴线(磁极轴线)为d轴,d轴与A相绕组的夹角θr,而q轴(交轴)逆时针方向超前d轴90度电角度,xy坐标系为固定在定子上的旋转坐标系,定子磁链的方向为x轴的正方向,dq轴随同转子以电角速度ωr一起旋转。dq轴上的分量可以由定子三相绕组经三相坐标系或矢量变换得到,即进行三相轴系到两相旋转轴系dq的变换。

    以电流的旋转变换为例分析如何得到转子同步旋转坐标系下的电机模型。

    d76dea876aea143ec964bdb8fe29669d.png

    式中, θr为转子位置;

    2ca00ce453cc252d68b693b41cc0d146.png为定子的d轴和q轴电流; 

    187160299c2e1771bdec91410d06040a.png为A轴、B轴和C轴的电流。

    通过式(4)的坐标变换可以得到在转子同步旋转坐标系下电机的模型方程:

    2c075741164eb4f4369ff8e951fcb9c3.png

    式中: Rs为定子电阻; Ld为d轴电感; Lq为q轴电感; Lmd为励磁电感; if为等效励磁电流。

    在电机中,若不计温度变化对永磁体的供磁的影响,可认为永磁体的基波磁场

    2956afdf614d2c422c5c75bb22c6ae31.png是恒定的,即if是个常量。

    d1c82456f1687d80fcd0612b82519bb3.png,实际上是d轴永磁体励磁磁场在q轴线圈中产生的运动电动势,也就是空载电动势e0。式(5)可以化简为:

    36fd8614162c4887e0abee0a1ba3ab79.png

    式(6)写成矩阵形式:

    bcf7d50bfcbaaf692b7998c2f2ff1e23.png

    由式(7)可以明显地看出,经过了坐标变换得到了以定子电阻Rs、q轴电感La和d轴电感Ld为未知量的线性方程,可以运用最小二乘法对电机参数进行辨识。

    2 基于最小二乘法永磁同步电机参数辨识的仿真模型

    在Matlab7.0的Simulink环境下,在分析永磁同步电机数学模型的基础上,建立了永磁同步电机参数辨识系统的仿真模型如图1所示。

    f65da7f1e9e7abb25dec3bdd9c013a2e.png

    图1 基于最小二乘法参数辨识的系统原理框图

    系统采用控制方案:根据模块化建模的思想,将控制系统分割为各个功能独立的子模块,其中主要包括:永磁同步电机本体模块、电机运行状态测量模块和最小二乘法参数辨识模块。

    通过这些功能模块的有机整合,就可在Matlab/Simulink中搭建出永磁同步电机参数辨识系统的仿真模型,并实现电机参数辨识算法。

    其中,最小二乘法参数辨识模块由于需要大量的矩阵运算,采用了M语言进行编写后作为一个模块嵌入Simulink环境中,充分利用Simulink提供模块化环境和M语言的灵活性,做到两者有效结合。

    3 仿真结果

    针对上述建立的仿真模型进行了永磁同步电机系统的仿真测试。永磁同步电机参数见表1:

    表1 仿真参数

    64d6fd6cb5182095b4b05de4e02d25c9.png

    仿真的过程中,在永磁同步电机的转子轴上加-30Nm/s递增的转矩,使永磁同步运行在发电模式的同时,电机处于不停地加速状态,这样做的目的是使得电机的状态方程满足式(7)。仿真的最大步长为 ,采用M语言编写的参数辨识模块于0.53s启动,每隔0.01s进行一次参数辨识。从而每隔0.01s利用新辨识出的电机参数在之前辨识出的电机参数的基础上进行更新,以获得准确的实时电机参数。

    图2是在电机待辨识参数初始值都为0的情况下,对永磁同步电机控制过程中参数辨识的仿真结果:虚线分别表示电机的实际参数值,实线表示参数辨识的结果。从图2的a、b和c图都可以看出从0.53s算法开始运行,永磁电机的d轴和q轴电感包括定子电阻从初始值0开始单调地向电机相应的实际参数进行收敛,并无限地逼近相应电机参数的实际值。

    仿真结果表明基于最小二乘法的参数辨识算法能够在线实时准确辨识出电机参数,具有较好的收敛性和辨识精度。

    afa742df7e2559590781e8d0b95eab1d.png

    (a)d轴电感

    f30d7e56d018ab5f738cd84ec7fbcc03.png

    (b)q轴电感

    9423fdf9937e4d44f5f97a1bc163756a.png

    (c) 定子电阻

    图2 电机参数辨识结果

    4 结 论

    为了提高对永磁同步电机的控制性能,本文在永磁同步电机的转子同步旋转坐标系下,采用最小二乘法对电机参数进行辨识,在Matlab/Simulink中搭建出永磁同步电机参数辨识系统的仿真模型。仿真结果表明基于最小二乘法的参数辨识算法能够在线实时准确辨识出电机参数,具有较好的收敛性和辨识精度。

    展开全文
  • 最小二乘法 参数辨识

    2010-06-27 13:28:12
    最小二乘参数辨识,是同济大学汽车学院的系统辨识课件,126页,看着不错,希望大家分享
  • 仅适合初学者 包含四个程序 递推最小二乘法、递推增广最小二乘法、遗忘因子递推最小二乘法、遗忘因子递推增广最小二乘法
  • nbspmatlab基于MATLAB最小二乘法系统辨识与仿真.pdf6页本文档一共被下载:次,您可全文免费在线阅读后下载本文档。 下载提示1.本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站...

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    7af312d1be2cfc1e59f15880bb7a7e7a.png

    5f207613e329ca76dc87c76d3ff77e64.png

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    第29卷第2期 许昌学院学报 V01.29.No.2

    OFXUCHANGUNIVERSITY Mar.2010

    2010年3月 JOURNAL

    文章编号:167l一9824120lO)02一0024一04

    基于MATLAB的最小二乘法系统辨识与仿真

    郭利辉1,朱励洪2,高 巍2

    摘 要:将MATLAB应用到系统辨识中,在分析最小二乘法的基本原理和推导过程的基础

    上给出了系统辩识中算法参数估计的递推公式,并进行了实例仿真.

    关键词:系统辨识;最小二乘;MATLAB

    中图分类号:TP273 文献标识码:A

    辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个互相渗透的领域.利用控制理论去解决实际问题时,

    首先需要建立被控对象的数学模型.建立数学模型有两种方法:解析法和系统辨识.1962年,L.A.zadeh

    给出“辨识”的定义为:系统辨识是在对输入和输出观测的基础上,在指定的一类系统中,确定一个与被识

    示客观系统(或将要构造的系统)本质特征的一种演算,并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的

    形式”[2】.1978年,L.Ljung给出“辨识”更加实用的定义:“辨识有三个要素——数据,模型类和准则.辨识

    就是按照一个准则在一组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型”旧1.总而言之,辨识的实质就是从

    一组模型类中选择一个模型,按照某种准则,使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性.经

    典的系统辨识方法有p“】:阶跃响应法、脉冲响应法、频率响应法、相关分析法、谱分析法、最小二乘法和极

    大似然法等,其中最小二乘法(LS)是一种经典的和最基本的,也是应用最广泛的方法,可用于动态静态、

    线性、非线性系统.

    MATLAB具有很强大的运算能力,特别是在向量、数组、矩阵运算等方面,以及求解高次方程、常微分

    方程数值积分运算、最优化方法等方面具有独特的特点,另外,MATLAB还具有精密的图形绘制的特点,

    使得运算结果能够更加直观的呈现出来一】.将MATLAB用在系统辨识中进行数据处理,使得系统参数的

    估计更加方便可行.

    1 最小二乘法的基本原理

    最小二乘法是1795年高斯在预测星体运行轨道最先提出的,它奠定了最小二乘估计理论的基础.到

    型类型,在该类型下确定系统模型的最优参数.这种具有格式规范的辨识方法可以演绎成递推形式.递推

    的最小二乘算法计算量小,可以用于在线辨识,即使辨识对象随时间发生变化,模型也可以对其进行跟踪,

    不断地进行更新和修正辨识参数,从而成为一种被广泛采用的辨识方法.

    对于如图1所示的SIsO系统:

    efk)

    u(k) y(k)

    图l SISO系统

    较疆日期:2∞8一lO一22

    作者简介:郭利辉(198I一)女。河南洛阳人。助教.在读硕士研究生。研究方向:电机与电器.

    万方数据

    第29卷第2期 郭丽辉,等:基于MATLAB的最小二乘法系统辨识与仿真 25

    其离散脉冲传递函数为:

    6l:一1+62z一2+…+6。石一4

    c∽I)=糟=1+口l彳‘1+口2=一2…+…+口n名一。’

    其中,z。1表示单位延迟算子.

    输入输出数学模型可写为:

    A(:“),,(七)=曰(:-1)Ⅱ(矗)+e(后), (2)

    其中,e(I|})表示干扰噪声,{e(后)}为均值为零、不相关的随机变量序列.

    (2)式可写为差分方程形式:

    ,,(||})=一口I,,(五一1)一n2,,(||}一2)一…一o。,,(露一,1)+

    (3)

    6l“(

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  • 非线性最小二乘法程序,用于参数辨识和分析。
  • 最小二乘法系统辨识小结

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    辨识的四要素:输入输出数据,模型集,准则函数,优化方法。
    课程中模型的结构已知,实际的辨识中会存在多个可能的模型结构,构成待辨识的模型集。

    A ( z ) = 1 + a 1 z − 1 + a 2 z − 2 + . . . . . + a n a z − n a A(z)=1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+.....+a_{n_a}z^{-n_a} A(z)=1+a1z1+a2z2+.....+anazna B ( z ) = b 1 z − 1 + b 2 z − 2 + . . . . . + b n b z − n b B(z)=b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+.....+b_{n_b}z^{-n_b} B(z)=b1z1+b2z2+.....+bnbznb C ( z ) = 1 + c 1 z − 1 + c 2 z − 2 + . . . . . + c n c z − n c C(z)=1+c_1z^{-1}+c_2z^{-2}+.....+c_{n_c}z^{-n_c} C(z)=1+c1z1+c2z2+.....+cncznc D ( z ) = 1 + d 1 z − 1 + d 2 z − 2 + . . . . . + d n d z − n d D(z)=1+d_1z^{-1}+d_2z^{-2}+.....+d_{n_d}z^{-n_d} D(z)=1+d1z1+d2z2+.....+dndznd F ( z ) = 1 + f 1 z − 1 + f 2 z − 2 + . . . . . + f n f z − n f F(z)=1+f_1z^{-1}+f_2z^{-2}+.....+f_{n_f}z^{-n_f} F(z)=1+f1z1+f2z2+.....+fnfznf
    随机白噪声 v ( t ) v(t) v(t), E ( v ( t ) ) = 0 E(v(t))=0 E(v(t))=0, D ( v ( t ) ) = σ 2 D(v(t))=\sigma^2 D(v(t))=σ2

    一.常用随机系统模型

    常用的辨识模型有以下几类:

    1.时间序列模型

    (1)自回归模型(AR) A ( z ) y ( t ) = v ( t ) A(z)y(t)=v(t) A(z)y(t)=v(t)
    该模型表示当前值是过去值的组合。
    (2)滑动平均模型(MA) y ( t ) = D ( z ) v ( t ) y(t)=D(z)v(t) y(t)=D(z)v(t)
    当前值是过去白噪声的组合。
    (3)滑动平均自回归模型(ARMA) A ( z ) y ( t ) = D ( z ) v ( t ) A(z)y(t)=D(z)v(t) A(z)y(t)=D(z)v(t)
    (4)确定性模型(ARMA) A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) A(z)y(t)=B(z)u(t) A(z)y(t)=B(z)u(t)

    2.方程误差模型

    误差是指描述输入和输出之间的差分方程的误差.
    (1)受控自回归模型(ARX) A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) + v ( t ) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)
    (2)受控自回归滑动平均模型(ARMAX) A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) + D ( z ) v ( t ) A(z)y(t)=B(z)u(t)+D(z)v(t) A(z)y(t)=B(z)u(t)+D(z)v(t)
    (3)受控ARAR模型(ARARX) A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) + v ( t ) / C ( z ) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)/C(z) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)/C(z)
    (4)受控ARARMA模型(ARARMAX) A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) + D ( z ) C ( z ) v ( t ) A(z)y(t)=B(z)u(t)+\frac{D(z)}{C(z)}v(t) A(z)y(t)=B(z)u(t)+C(z)D(z)v(t)

    3.输出误差模型

    (1)输出误差模型(OE) y ( t ) = B ( z ) A ( z ) u ( t ) + v ( t ) y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+v(t) y(t)=A(z)B(z)u(t)+v(t)
    (2)输出误差滑动平均模型(OEMA) y ( t ) = B ( z ) A ( z ) u ( t ) + D ( z ) v ( t ) y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+D(z)v(t) y(t)=A(z)B(z)u(t)+D(z)v(t)
    (3)输出误差自回归模型(OEAR) y ( t ) = B ( z ) A ( z ) u ( t ) + 1 C ( z ) v ( t ) y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+\frac{1}{C(z)}v(t) y(t)=A(z)B(z)u(t)+C(z)1v(t)
    (4)输出误差自回归滑动平均模型(OEARMA) y ( t ) = B ( z ) A ( z ) u ( t ) + D ( z ) C ( z ) v ( t ) y(t)=\frac{B(z)}{A(z)}u(t)+\frac{D(z)}{C(z)}v(t) y(t)=A(z)B(z)u(t)+C(z)D(z)v(t)

    二.辨识模型

    为了辨识系统参数,一般把系统的参数写成一个参数向量形式,输入输出写成一个信息向量形式,就得到系统的辨识模型,也称为辨识表达式.一般单输入单输出线性参数系统的辨识模型可以表达为: y ( t ) = φ T ( t ) θ + v ( t ) y(t)=\varphi^T(t)\theta+v(t) y(t)=φT(t)θ+v(t)

    三. 最小二乘基本原理

    以一个典型的受控自回归模型为例:
    设系统的模型为 y ( t ) + a 1 y ( t − 1 ) + a − 2 y ( t − 2 ) = b 1 u ( t ) + b 2 u ( t − 1 ) + v ( t ) y(t)+a_1y(t-1)+a-2y(t-2)=b_1u(t)+b_2u(t-1)+v(t) y(t)+a1y(t1)+a2y(t2)=b1u(t)+b2u(t1)+v(t)
    将其写为如下的形式: y ( t ) = − a 1 y ( t − 1 ) − a 2 y ( t − 2 ) + b 1 u ( t ) + b 2 u ( t − 1 ) + v ( t ) y(t)=-a_1y(t-1)-a_2y(t-2)+b_1u(t)+b_2u(t-1)+v(t) y(t)=a1y(t1)a2y(t2)+b1u(t)+b2u(t1)+v(t)
    设观测的数据长度为t,对这个模型有: y ( 3 ) = − a 1 y ( 2 ) − a 2 y ( 1 ) + b 1 u ( 3 ) + b 2 u ( 2 ) + v ( 3 ) y(3)=-a_1y(2)-a_2y(1)+b_1u(3)+b_2u(2)+v(3) y(3)=a1y(2)a2y(1)+b1u(3)+b2u(2)+v(3) y ( 4 ) = − a 1 y ( 3 ) − a 2 y ( 2 ) + b 1 u ( 4 ) + b 2 u ( 3 ) + v ( 4 ) y(4)=-a_1y(3)-a_2y(2)+b_1u(4)+b_2u(3)+v(4) y(4)=a1y(3)a2y(2)+b1u(4)+b2u(3)+v(4) . . . . . . . . . . . . . . . ............... ............... y ( t ) = − a 1 y ( t − 1 ) − a 2 y ( t − 2 ) + b 1 u ( t ) + b 2 u ( t − 1 ) + v ( t ) y(t)=-a_1y(t-1)-a_2y(t-2)+b_1u(t)+b_2u(t-1)+v(t) y(t)=a1y(t1)a2y(t2)+b1u(t)+b2u(t1)+v(t)
    Y = [ y ( 3 ) , y ( 4 ) . . . . y ( t ) ] T Y=[y(3),y(4)....y(t)]^T Y=[y(3),y(4)....y(t)]T φ T ( i ) = [ − y ( i − 1 ) , − y ( i − 2 ) , u ( i ) , u ( i − 1 ) ] \varphi^T(i)=[-y(i-1),-y(i-2),u(i),u(i-1)] φT(i)=[y(i1),y(i2),u(i),u(i1)] θ = [ a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ] \theta=[a_1,a_2,b_1,b_2] θ=[a1,a2,b1,b2] H = [ φ ( 3 ) , φ ( 4 ) , . . . . . φ ( t ) ] T H=[\varphi(3),\varphi(4),.....\varphi(t)]^T H=[φ(3),φ(4),.....φ(t)]T V = [ v ( 3 ) , v ( 4 ) . . . . v ( t ) ] T V=[v(3),v(4)....v(t)]^T V=[v(3),v(4)....v(t)]T

    我们可以得到: Y = H θ + V Y=H\theta+V Y=Hθ+V
    令准则函数为 J ( θ ) = ( Y − H θ ) T ( Y − H θ ) J(\theta)=(Y-H\theta)^T(Y-H\theta) J(θ)=(YHθ)T(YHθ)
    J J J θ \theta θ求偏导,并令其偏导数为零.得到 θ \theta θ的估计值 θ L S = ( H T H ) − 1 H T Y \theta_{LS}=(H^TH)^{-1}H^TY θLS=(HTH)1HTY

    四.最小二乘估计的统计特性

    1.无偏性定理

    已知 θ \theta θ的最小二乘估计 θ L S = ( H T H ) − 1 H T Y \theta_{LS}=(H^TH)^{-1}H^TY θLS=(HTH)1HTY,辨识模型可以写成: Y = H θ + W Y=H\theta+W Y=Hθ+W, W W W代表任意形式的噪声.在这里先不考虑 W W W中未知参数的辨识,只考虑与输入和输出(可测)有关的待估计参数.
    θ L S \theta_{LS} θLS的数学期望 E ( θ L S ) = E [ ( H T H ) − 1 H T Y ] E(\theta_{LS})=E[(H^TH)^{-1}H^TY] E(θLS)=E[(HTH)1HTY] = E [ ( H T H ) − 1 H T ( H θ + W ) ] θ =E[(H^TH)^{-1}H^T(H\theta+W)]\theta =E[(HTH)1HT(Hθ+W)]θ = E [ θ + ( H T H ) − 1 H T W ] =E[\theta+(H^TH)^{-1}H^TW] =E[θ+(HTH)1HTW] = θ + E [ ( H T H ) − 1 H T W ] =\theta+E[(H^TH)^{-1}H^TW] =θ+E[(HTH)1HTW]其中 ( H T H ) − 1 H T 为 常 数 (H^TH)^{-1}H^T为常数 (HTH)1HT,所以 E ( θ L S ) = θ + ( H T H ) − 1 H T E [ W ] E(\theta_{LS})=\theta+(H^TH)^{-1}H^TE[W] E(θLS)=θ+(HTH)1HTE[W] W W W为白噪声,则 E ( θ L S ) = θ E(\theta_{LS})=\theta E(θLS)=θ. E ( θ L S ) E(\theta_{LS}) E(θLS) θ \theta θ的无偏估计.
    或当噪声向量 W W W的均值为0,且与 H H H无关时, E ( θ L S ) E(\theta_{LS}) E(θLS) θ \theta θ的无偏估计.

    2.估计误差协方差定理

    对一个系统 Y = H θ + W Y=H\theta+W Y=Hθ+W,设噪声向量 W W W的均值为零,协方差矩阵 c o v [ W ] = R v cov[W]=R_v cov[W]=Rv,且 W W W H H H相互独立,则参数估计误差 θ L S ~ = θ L S − θ \tilde{\theta_{LS}}=\theta_{LS}-\theta θLS~=θLSθ的协方差矩阵为 c o v [ θ L S ~ ] = E [ ( H T H ) − 1 H T R v H ( H T H ) − 1 ] cov[\tilde{\theta_{LS}}]=E[(H^TH)^{-1}H^TR_vH(H^TH)^{-1}] cov[θLS~]=E[(HTH)1HTRvH(HTH)1]
    c o v [ θ L S ~ ] = σ 2 E [ ( H T H ) − 1 ] cov[\tilde{\theta_{LS}}]=\sigma^2E[(H^TH)^{-1}] cov[θLS~]=σ2E[(HTH)1]
    如果 W W W是一白噪声序列,且其方差为 σ 2 \sigma^2 σ2,则 c o v [ θ L S ~ ] = σ 2 E [ ( H T H ) − 1 ] cov[\tilde{\theta_{LS}}]=\sigma^2E[(H^TH)^{-1}] cov[θLS~]=σ2E[(HTH)1]

    3.噪声方差估计定理

    对一个系统 Y = H θ + W Y=H\theta+W Y=Hθ+W,设 W W W H H H是统计独立的零均值白噪声向量, W W W的分量为零均值白噪声向量 v ( t ) v(t) v(t),则v(t)的方差 σ 2 \sigma^2 σ2的估计为: σ 2 ^ = J [ θ L S ~ ] t − n , t 充 分 大 时 \hat{\sigma^2}=\frac{J[\tilde{\theta_{LS}}]}{t-n},t充分大时 σ2^=tnJ[θLS~],t其中 n : = d i m θ = θ 的 维 数 n:=dim\theta=\theta的维数 n:=dimθ=θ

    五.常用的各类最小二乘辨识算法

    1.递推最小二乘辨识

    适用模型
    受控自回归模型(ARX): A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) + v ( t ) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)
    将上述模型写为辨识模型的形式: Y = H θ + W Y=H\theta+W Y=Hθ+W
    递推最小二乘的算法如下: θ ^ ( t ) = θ ^ ( t − 1 ) + L ( t ) [ y ( t ) − φ T ( t ) θ ^ ( t − 1 ) ] \hat\theta(t)=\hat\theta(t-1)+L(t)[y(t)-\varphi^T(t)\hat\theta(t-1)] θ^(t)=θ^(t1)+L(t)[y(t)φT(t)θ^(t1)] L ( t ) = P ( t − 1 ) φ ( t ) 1 + φ T ( t ) P ( t − 1 ) φ ( t ) L(t)=\frac{P(t-1)\varphi(t)}{1+\varphi^T(t)P(t-1)\varphi(t)} L(t)=1+φT(t)P(t1)φ(t)P(t1)φ(t) P ( t ) = [ I − L ( t ) φ T ( t ) ] P ( t − 1 ) , P ( 0 ) = p 0 I P(t)=[I-L(t)\varphi^T(t)]P(t-1),P(0)=p_0I P(t)=[IL(t)φT(t)]P(t1),P(0)=p0I φ ( t ) = [ − y ( t − 1 ) , − y ( t − 2 ) . . . . , − y ( t − n a ) , u ( t − 1 ) , u ( t − 2 ) , . . . . . u ( t − n b ) ] \varphi(t)=[-y(t-1) ,-y(t-2)....,-y(t-n_a),u(t-1),u(t-2),.....u(t-n_b)] φ(t)=[y(t1),y(t2)....,y(tna),u(t1),u(t2),.....u(tnb)]
    计算顺序如下:
    P ( 0 ) − > L ( 1 ) − > θ ^ ( 1 ) − > P ( 1 ) − > L ( 1 ) − > θ ^ ( 2 ) − > . . . . . P(0)->L(1)->\hat\theta(1)->P(1)->L(1)->\hat\theta(2)->..... P(0)>L(1)>θ^(1)>P(1)>L(1)>θ^(2)>.....
    其中P(0)一般取 1 0 6 10^6 106数量级.

    2.带遗忘因子最小二乘系统辨识

    适用模型
    受控自回归模型(ARX): A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) + v ( t ) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)
    将上述模型写为辨识模型的形式: Y = H θ + W Y=H\theta+W Y=Hθ+W.
    算法如下:
    θ ^ ( t ) = θ ^ ( t − 1 ) + L ( t ) [ y ( t ) − φ T ( t ) θ ^ ( t − 1 ) ] \hat\theta(t)=\hat\theta(t-1)+L(t)[y(t)-\varphi^T(t)\hat\theta(t-1)] θ^(t)=θ^(t1)+L(t)[y(t)φT(t)θ^(t1)] L ( t ) = P ( t − 1 ) φ ( t ) λ + φ T ( t ) P ( t − 1 ) φ ( t ) L(t)=\frac{P(t-1)\varphi(t)}{\lambda+\varphi^T(t)P(t-1)\varphi(t)} L(t)=λ+φT(t)P(t1)φ(t)P(t1)φ(t) P ( t ) = 1 λ [ I − L ( t ) φ T ( t ) ] P ( t − 1 ) , P ( 0 ) = p 0 I P(t)=\frac{1}{\lambda}[I-L(t)\varphi^T(t)]P(t-1),P(0)=p_0I P(t)=λ1[IL(t)φT(t)]P(t1),P(0)=p0I
    λ \lambda λ一般取0.9~1,当 λ \lambda λ取1时即为标准最小二乘算法.

    3.新息与残差之间的关系

    新息: e ( t ) = y ( t ) − φ T ( t ) θ ^ ( t − 1 ) e(t)=y(t)-\varphi^T(t)\hat\theta(t-1) e(t)=y(t)φT(t)θ^(t1)
    残差: ε ( t ) = y ( t ) − φ T ( t ) θ ^ ( t ) \varepsilon(t)=y(t)-\varphi^T(t)\hat\theta(t) ε(t)=y(t)φT(t)θ^(t)
    e ( t ) = [ 1 + 1 λ φ T ( t ) θ ^ ( t ) ] ε ( t ) e(t)=[1+\frac{1}{\lambda}\varphi^T(t)\hat\theta(t)]\varepsilon(t) e(t)=[1+λ1φT(t)θ^(t)]ε(t)

    4.有限数据窗最小二乘系统辨识

    适用模型
    受控自回归模型(ARX): A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) + v ( t ) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)
    将上述模型写为辨识模型的形式: Y = H θ + W Y=H\theta+W Y=Hθ+W.
    算法如下:
    θ ^ ( t ) = θ ^ ( t − 1 ) + P ( t ) [ φ ( t ) , − φ ( t − p ) ] [ y ( t ) − φ T ( t ) θ ^ ( t − 1 ) , y ( t − p ) − φ T ( t − p ) θ ^ ( t − 1 ) ] T \hat\theta(t)=\hat\theta(t-1)+P(t)[\varphi(t),-\varphi(t-p)][y(t)-\varphi^T(t)\hat\theta(t-1),y(t-p)-\varphi^T(t-p)\hat\theta(t-1)]^T θ^(t)=θ^(t1)+P(t)[φ(t),φ(tp)][y(t)φT(t)θ^(t1),y(tp)φT(tp)θ^(t1)]T Q ( t ) = P ( t − 1 ) − P ( t − 1 ) φ ( t ) φ T ( t ) P ( t − 1 ) 1 + φ T ( t ) P ( t − 1 ) φ ( t ) Q(t)=P(t-1)-\frac{P(t-1)\varphi(t)\varphi^T(t)P(t-1)}{1+\varphi^T(t)P(t-1)\varphi(t)} Q(t)=P(t1)1+φT(t)P(t1)φ(t)P(t1)φ(t)φT(t)P(t1) P ( t ) = Q ( t ) + Q ( t ) φ ( t − p ) φ T ( t − p ) Q ( t ) 1 − φ T ( t − p ) Q ( t ) φ ( t − p ) P(t)=Q(t)+\frac{Q(t)\varphi(t-p)\varphi^T(t-p)Q(t)}{1-\varphi^T(t-p)Q(t)\varphi(t-p)} P(t)=Q(t)+1φT(tp)Q(t)φ(tp)Q(t)φ(tp)φT(tp)Q(t)

    5.带遗忘因子的有限数据窗最小二乘算法

    适用模型
    受控自回归模型(ARX): A ( z ) y ( t ) = B ( z ) u ( t ) + v ( t ) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t) A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)
    将上述模型写为辨识模型的形式: Y = H θ + W Y=H\theta+W Y=Hθ+W.
    θ ^ ( t ) = α ( t − 1 ) + P ( t ) φ ( t ) [ y ( t ) − φ T ( t ) α ( t − 1 ) ] \hat\theta(t)=\alpha(t-1)+P(t)\varphi(t)[y(t)-\varphi^T(t)\alpha(t-1)] θ^(t)=α(t1)+P(t)φ(t)[y(t)φT(t)α(t1)] P ( t ) = 1 λ [ P α ( t − 1 ) − P α ( t − 1 ) φ ( t ) φ T ( t ) P α ( t − 1 ) λ + φ T ( t ) P α ( t − 1 ) φ ( t ) ] P(t)=\frac{1}{\lambda}[P_{\alpha}(t-1)-\frac{P_{\alpha}(t-1)\varphi(t)\varphi^T(t)P_\alpha(t-1)}{\lambda+\varphi^T(t)P_{\alpha}(t-1)\varphi(t)}] P(t)=λ1[Pα(t1)λ+φT(t)Pα(t1)φ(t)Pα(t1)φ(t)φT(t)Pα(t1)] α ( t − 1 ) = θ ^ ( t − 1 ) − λ p − 1 P α ( t − 1 ) φ ( t − p ) [ y ( t ) − φ T ( t − p ) θ ^ ( t − 1 ) ] \alpha(t-1)=\hat\theta(t-1)-\lambda^{p-1}P_{\alpha}(t-1)\varphi(t-p)[y(t)-\varphi^T(t-p)\hat\theta(t-1)] α(t1)=θ^(t1)λp1Pα(t1)φ(tp)[y(t)φT(tp)θ^(t1)] P α ( t − 1 ) = P ( t − 1 ) + P α ( t − 1 ) φ ( t − p ) φ T ( t − p ) P α ( t − 1 ) λ − 1 − φ T ( t − p ) P α ( t − 1 ) φ ( t − p ) P_{\alpha}(t-1)=P(t-1)+\frac{P_{\alpha}(t-1)\varphi(t-p)\varphi^T(t-p)P_\alpha(t-1)}{\lambda^{-1}-\varphi^T(t-p)P_{\alpha}(t-1)\varphi(t-p)} Pα(t1)=P(t1)+λ1φT(tp)Pα(t1)φ(tp)Pα(t1)φ(tp)φT(tp)Pα(t1)

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