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  • 杨辉三角与二项式定理( 19页 ).pdf
  • 杨辉三角与二项式定理

    千次阅读 2019-07-19 20:35:17
    通过二项式定理:,我们可以用杨辉三角形的性质来求组合数。时间复杂度O(n^2) int n; ll c[maxn][maxn]; void init(){ for(int i = 0;i <= n;i++){ c[i][0] = 1; for(int j = 1;j <= i;j...

    杨辉三角的数字和二项式展开的系数有对应关系,如下图:

    \\ \left ( a+b \right )^{0}=1\\ \left ( a+b \right )^{1}=a+b\\ \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\ \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\ \left ( a+b \right )^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}

    通过二项式定理:\left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k},我们可以用杨辉三角形的性质来求组合数。时间复杂度O(n^2)

    int n;
    ll c[maxn][maxn];
    void init(){
        for(int i = 0;i <= n;i++){
            c[i][0] = 1;
            for(int j = 1;j <= i;j++){
                c[i][j] = (c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
            }
        }
    }
    

    还有一个O(n)的算法,运用性质:C_{n}^{k}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1},可以算出指定n的C_{n}^{k}

    int n;
    ll c[maxn];
    void init(){
        c[0] = 1;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            c[i] = c[i-1]*(n-i+1)/i;
        }
    }    
    

    推荐一个例题:牛客Wannafly挑战赛18 - A题

    AC代码:

    #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    const int maxn = 1e3+10;
    const int mod = 1e9+7;
    typedef long long ll;
    int n;
    ll c[maxn][maxn];
    void init(){
        for(int i = 0;i <= n;i++){
            c[i][0] = 1;
            for(int j = 1;j <= i;j++){
                c[i][j] = (c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
            }
        }
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%d",&n);
        init();
        /*for(int i = 0;i <= n-1;i++){
            cout<<c[i]<<" ";
        }*/
        ll ans = 0;
        for(int i = 0;2*i <= (n-1);i=i+2){
            ans = (ans + c[n-1][i]*c[n-1-i][i]%mod)%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
        return 0;
    }
    

     

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  • 杨辉三角与二项式定理--2021.09.06(E).pdf
  • 递推求(a+b)^n中所有系数:时间复杂度O(n^2) 1。利用递推公式 #include #include using namespace std; int C[11][11]; int main() { memset(C,0,sizeof(C)); for(int i=0;i;i++){ C[i][0]=1; for(int j=1

    递推求(a+b)^n中所有项系数:时间复杂度O(n^2)

    1。利用递推公式

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    int C[11][11];
    int main()
    {
        memset(C,0,sizeof(C));
        for(int i=0;i<=10;i++){
            C[i][0]=1;
            for(int j=1;j<=i;j++)
                C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
        }
        for(int i=0;i<10;i++){
            for(int j=0;j<10;j++)
            printf("%d\t",C[i][j]);
            printf("\n");
        }
        return 0;
    }
    

    2.利用等式:C(k,n) = (n - k + 1) / k * C(k-1, n)

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    int C[11];
    int main()
    {
        memset(C,0,sizeof(C));
        C[0]=1;
        int n=4;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            C[i]=C[i-1]*(n-i+1)/i;
        printf("第%d层系数为:\n",n+1);
        for(int i=0;i<=4;i++)
            printf("%d\t",C[i]);
    
    
        return 0;
    }
    


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  • package ... import java.util.Scanner; public class 杨辉三角形与二项式定理递推 { static Scanner cin = new Scanner(System.in); static int C[][] = new int[1 ][1 ]; public static void
    package com.supermars.practice;
    
    import java.util.Scanner;
    
    public class 杨辉三角形与二项式定理递推 {
    	static Scanner cin = new Scanner(System.in);
    	static int C[][] = new int[1 << 7][1 << 7];
    
    	public static void main(String[] args) {
    		while (cin.hasNext()) {
    			int n = cin.nextInt();
    			C[0][0] = 1;
    			for (int i = 1; i <= n; i++) {
    				C[i][0] = 1;
    				for (int j = 1; j <= n; j++) {
    					C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
    				}
    			}
    
    			for (int i = 0; i <= n; i++) {
    				for (int j = 0; j <= i; j++) {
    					System.out.print(C[i][j] + " ");
    				}
    				System.out.println("");
    			}
    
    		}
    
    	}
    }
    

    package com.supermars.practice;
    
    import java.util.Scanner;
    
    public class 杨辉三角形与二项式定理组合公式 {
    	// C[k]=(n-k+1)/k*C[k-1]
    	static Scanner cin = new Scanner(System.in);
    	static long C[] = new long[1 << 7];
    
    	public static void main(String[] args) {
    		while (cin.hasNext()) {
    			int n = cin.nextInt();
    
    			C[0] = 1;
    			for (int i = 1; i <= n; i++) {
    				C[i] = C[i - 1] * (n - i + 1) / i;
    			}
    			print_C(n);
    
    		}
    	}
    
    	private static void print_C(int n) {
    		for (int i = 0; i <= n; i++) {
    			System.out.print(C[i] + " ");
    		}
    		System.out.println("");
    
    	}
    }
    


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  • 给定n个数a1,a2····an,依次求出相邻两个数值和,将得到一个新数列,重复上述操作,最后结果将变为一个数,问这个数除以m的余数那些数无关?例如n=3,m=2时,第一次得到a1+... 看一下 n 的范围是 10^5 , 在二项...

    给定n个数a1,a2····an,依次求出相邻两个数值和,将得到一个新数列,重复上述操作,最后结果将变为一个数,问这个数除以m的余数与那些数无关?例如n=3,m=2时,第一次得到a1+a2,a2+a3,在求和得到a1+2*a2+a3,它除以2的余数和a2无关。1=<n<=10^5, 2=<m<=10^9

     

    思路分析 :

      看一下 n 的范围是 10^5 , 在二项式定理中又有这个公式

    所以很容易在 O(n)的时间内推出所有项的系数,但是越往后面推 ,数会越大,爆掉 long long ,因此我们得换个方法

    对 m 用唯一分解定理,那么接下来判断一个数是不是 m 的倍数,只需要判断这个数分解出的所有项的指数是否都大于等于 m 的即可

    !!! 在用到容器的时候,如果有循环读入,一定要记得清空,不然一直超时

    !!! 这个题最后输出的地方也好坑呀... 一直PE

    代码示例 :

    #define ll long long
    const ll maxn = 1e6+5;
    const ll mod = 1e9+7;
    const double eps = 1e-9;
    const double pi = acos(-1.0);
    const ll inf = 0x3f3f3f3f;
    
    vector<ll>prime;
    ll e[1000], f[1000];
    ll n, m;
    ll k = 0;
    
    void init(){
         k = 0;
        prime.clear();
        memset(f, 0, sizeof(f));
        memset(e, 0, sizeof(e));
        for(ll i = 2; i <= sqrt(m); i++){
            if (m % i == 0){
                prime.push_back(i);
                while(m % i == 0) {
                    m /= i;
                    e[k]++;    
                }
                k++;
            }
        }
        if (m != 1) {
            prime.push_back(m);
            e[k]++;
        }
        //prllf("++++ %d\n", e[0]);
    }
    
    void add(ll x, ll d){
        
        for(ll i = 0; i < prime.size(); i++){
            
            ll su = prime[i]; 
            while (x%su == 0){
                f[i] += d;
                x /= su;
            }
        }
    }
    
    bool check(){
        for(ll i = 0; i < prime.size(); i++){
            if (f[i] < e[i]) return false;
        }
        return true;
    }
    vector<ll>ans;
    
    int main() {
        //freopen("in.txt", "r", stdin);
        //freopen("out.txt", "w", stdout);
        
        while(cin >> n >> m){ 
            init();
            n--;
            ans.clear();
            for(ll i = 1; i < n; i++){
                add(n-i+1, 1);
                add(i, -1);
                if (check()) ans.push_back(i+1);
            }
            printf("%d\n", ans.size());
            for(ll i = 0; i < ans.size(); i++){
                printf("%lld%c", ans[i], i==ans.size()-1?'\n':' ');
            }
            if (ans.size() == 0) printf("\n");
        }
        return 0;
    }
    

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/ccut-ry/p/8929708.html

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