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  • 第19卷 第2期2017年2月 天津职业院校联合学报 Journal of Tianjin Vocational Institutes NO.2Vol.19Feb.2017 MATLAB在二重积分计算中的...

    第19卷 第2期2017年2月 天津职业院校联合学报 Journal of Tianjin Vocational Institutes NO.2Vol.19Feb.2017 MATLAB在二重积分计算中的应用 徐薇薇 (天津市河东区职工大学,天津 300171) 摘 要: 文章针对大型商业计算软件 MATLAB在二重积分计算中的应用问题进行了研究,指出了二重积分的定义和求解方法,给出了 MATLAB中的函数与符号运算规则。借助具体的二重积分求解实例,给出了 MATLAB求解二重积分两种方法,并且总结了其求解的流程图。在二重积分学习的过程中,应该不断的培养学生利用 MATLAB软件计算二重积分的意识,从而提高计算二重积分的效率和对二重积分学习的兴趣。 关键词: MATLAB;二重积分;二次积分;计算中图分类号:O172.2  文献标识码: A  文章编号:1673-582X(2017)02-0116-06 收稿日期:2016-12-09 作者简介:徐薇薇(1982-),女,天津市河东区职工大学讲师,研究方向:数学与应用数学。 多元函数积分是高等数学的重要内容,在当前的社会主义现代化建设中具有十分重要而广泛的应用,许多的实际问题经过转化都可以变为多元函数积分问题。二重积分是定积分和三重积分的过度,同时通过求解二重积分可以计算曲面的面积、可以计算平面薄片的重心、可以计算平面薄片的质量。许多的学生在学习二重积分的时候常常感到无从下手,不能很好的分析二重积分的积分区域,不知道如何有效的将二重积分转化为二次积分。在二重积分求解的过程中,如果可以有效的利用大型商业计算软件 MATLAB提供的函数作为辅助工具,那么二重积分的求解就会变得容易很多。 MATALB软件是一款大型的商业化数学计算软件,其具有入门门槛低、输入简洁、运算效率高、扩展性强、内容丰富等特点,在大学数学的教学和学生的学习中发挥着十分重要的作用。学生借助MATLAB软件进行二重积分的计算一方面可以更好的掌握 MATLAB在二重积分中的有效应用,另一方面也可以加深对于二重积分求解过程的理解。本文针对 MATLAB在二重积分求解中的应用问题进行研究。 一、二重积分的定义 z = f ( x , y )为定义在有界闭区域 D 上的二元函数,将有界闭区域 D 任意分割成 n 个子域 Δσi i =1, 2,… ,在 Δσi 上任取一点 ( ξi , ηi )进行求和取极限lim n →!∑ n i =1 f ( ξi , ηi ) Δσi 。如果当被任何分 割的各个子域的直径最大值 λ →0时,此极限存在,那么此极限为函数 z = f ( x , y )在有界闭区域 D 上的二重积分,记为 D f ( x , y ) dσ =lim n →!∑ n i =1 f ( ξi , ηi ) Δσi 对于二重积分的计算重要的内容是将二重积分转化为二次积分,关键的内容就是确定积分限。 针对直角坐标系和极坐标下的积分求解过程进行总结。 (一)直角坐标系 假定二元函数 z = f ( x , y )的积分区域 D 可以用不等式 φ 1( x )" y " φ 2( x ), a " x " b ,那么 D f ( x , y ) dσ =∫ b a dx ∫ φ 2 ( x ) φ 1 ( x ) f ( x , y ) dy ,这样就可以将二重积分转化为先对变量 y ,后对变量 x 的二次积分。 ·116· 我们称该类型积分为 X 型区域积分。 假定二元函数 z = f ( x , y )的积分区域 D 可以用

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  • 第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋...

    第15卷第2期2012年3月 高 等 数 学 研 究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.15,No.2Mar.,2012 基于 MATLAB的二重积分计算方法 王若鹏,夏赞勋,谢鹏燕,张 鹏 (北京石油化工学院数理系,北京102617) 收稿日期:2011-05-06;修改日期:2012-02-23 基金项目:北京市 URT计划项目子项目(2010J00067) 作者简介:王若鹏(1975-),男,副教授,主要从事优化理论与方法的教学与研究.Email:wangruopeng@bipt.edu.cn 夏赞勋(1989-),男,信息与计算科学专业2008级本科在读.Email:xiazanxun@bipt.edu.cn 摘 要   运用 MATLAB 软件,通过对 MATLAB 内部函数的改造,就一般区域上二重积分的计算给出几种计 算方法及相应的 MATLAB 命令,通过实例比较可显示所给方法的有效性.这些方法可加以推广后用以计算一般区 域上的三重积分. 关键词   二重积分;MATLAB;数值积分 中图分类号  O172.2 文献标识码  A 文章编号  1008-1399(2012)02-0061-03 考虑如下内积分限是函数的二重积分问题[ 1-2] I = D f ( x , y ) d x d y = ∫ b a d x ∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . ( 1) 这里考虑f ( x , y )= xy ,  a =1,  b =2, c ( x )=sin  x ,  d ( x )=cos  x . 为叙述方便,不妨记 g ( x )=∫ d ( x ) c ( x ) f ( x , y ) d y . MATLAB7.0提供的计算二重积分的方法有符号 解 法 和 数 值 解 法[ 3]. 符 号 解 法 是 使 用MATLAB内部命令int计算两次一重积分,其结果往往是符号,要计算积分值,必须使用vpa计算其数值,在2009a版本中,也可以利用quad2d计算二重积分值,但是对稍微复杂的二重积分,这两个命令无法计算其积分值.而数值解法是利用dblquad函数,但要求内外积分限都是常函数,即只能计算矩形区域上的二重积分.对于一般区域上的二重积分计算,文 [ 2, 4-5]建 议 使 用 美 国 学 者 Howard Wilson 和 Bryce Gardner开发的数值积分工具箱中的函数 gquadzdggen. 事实上,通过对 MATLAB中相关计算重积分的函数加以改造,就能胜任内积分限为函数的二重积分计算工作.文中通过对一元函数数值积分方法的推 广、dblquad函数的改造以及quadl命令的程序处理等三种方法实现一般区域上二重积分的计算问题. 1  二重积分的计算方法 1.1  一元函数数值积分方法的推广 当积分区域为一般区域时,MATLAB 没有相应的内部函数,可借用一元函数数值积分的方法进行求解.数值解法计算定积分时有梯形公式、龙贝格公式和高斯公式等,这里只讨论梯形公式. 对于二重积分( 1),利用梯形法将区间[ a , b ]等 分为 m 份,记 hx = b - a m , xi = a + ihx ( i =1, 2,…, m ), 则有 I ≈ h ( x g ( a )- g ( b ) 2 +∑ m -1 i =1 g ( xi )) , 其中 g ( xi )=∫ d ( xi ) c ( xi ) f ( xi , y ) d y

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  • 普通二重积分计算的难点、易错点

    千次阅读 多人点赞 2020-06-08 09:20:29
    这种带有绝对值/max这类的二重积分。看着参考答案的解题步骤你会了,但是你真真正正理解了吗? 好好细品一下这篇文章,让你的二重积分计算不再是难点

    这种含有绝对值的二重积分计算问题,我相信是很多高数初学者有点懵逼的内容

    含绝对值

    被积函数含有绝对值的二重积分一般都要分正负,最好是画个图来判断正负,有的特殊的可以直接用偶倍奇零的方法解决。例如例1,我们都知道cosx在一象限为正,二象限为负。那么cos(x+y)呢?同理呀。cosx在0到π/2为正,那么cos(x+y)也在0到π/2为正。且题目给了你x和y的取值,俩个取值加起来是不是0到π?那不就是一二象限嘛!而且由此可知,分界线是x+y=π/2。按照题给的范围就是下面那个图的样子。至于下面的图为什么没标π,x的区间为什么都是0到π/2?因为你看嘛,我们已经知道x+y=π/2为分界线,按照我们设的区域,x+y<π/2范围在下方,x+y>π/2的范围在上方。至于为什么没标π,因为,题目给的范围都是0到π/2之间。(个人见解,如有说的不对的地方欢迎指出)
    在这里插入图片描述
    再看例2,根号下的绝对值。肯定是大的一方在前面呀(因为绝对值说明是正数肯定是大的减小的才是正数)。x²>y的话,绝对值打开x²放前面。y>x²的话,绝对值打开y在前面。既然是根据这俩大小来判断的,那么y=x²就是那个分界线。如图画出来。y要比x²大,那么上面红色部分我们称为D1,剩下的蓝色部分就是D2。绝对值打开,俩个区域加起来即可得解。
    在这里插入图片描述
    至于例3,和例2同理,看谁大绝对值打开后谁就在前。分界线就是那个xy=1/4。知道分界线和具体区域后,画个图出来判断。哪个区域是D1,那个区域是D2。加起来!
    至于红色划线部分是为了方便计算的。加一个D2在D1的被积函数减一个D2在D1的被积函数,那没变嘛。然后前后俩组分开组合一下,前面一组加起来后,哇哦,就是个正方形了!而后面那组加起来后,变2倍了!!这样计算就容易多了,不然D1还要分区域来计算(浪费草稿纸)
    在这里插入图片描述
    综上:这种含绝对值的题目,主要就是判断绝对值内谁大谁小,打开绝对值后谁正谁负。然后得出个分界线,画个图后,分情况拆区域加起来,算!

    含max(min同理)

    至于下面这种max类型,其实和绝对值打开的判断和计算方法可以说是一模一样,只不过不一样的是。只有最大的才从max这个小黑屋里面出来。以下图为例,先画出给的积分区域把x和y的范围限制住,然后判断max内的数谁大谁小。xy>1那么xy出来;xy<1那么1出来。这样我们很容易知道xy=1即分界线。就如图所示咯
    在这里插入图片描述
    同理
    在这里插入图片描述
    至于这个定积分的。因为是判断max内三个数的大小,所以我们就判断这三个数在x定义域内谁大谁小。即:y=x³,y=x²,y=1。然后我们要判断的是x的范围(x可以是任意数)。x<-1时,我们可以知道三次方那个是最小的,不看了。然后后面俩个,既然x没规定范围,而下限是给定了的,那么0到-1我们知道是小数,那么1更大,放1出来。若不是0到-1的范围呢,就t²更大。放出来,因为x<-1是俩种情况,加起来就完了。当-1<x<1时,明显1最大,放出来计算。x>1时,还是有2种情况,下限给定,x在0到1之间为小数,即1最大,放出来。然后x>1的部分,明显t³最大,放出来计算。俩块部分加起来计算。
    最后得出的结论就用如下方式展现出来,这样更直观一些
    在这里插入图片描述

    结束语

    还是不懂?我不信。

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  • 积分域边界曲线为参数方程的二重积分计算

    万次阅读 多人点赞 2017-10-07 23:32:08
    1,此题来源于李永乐复习全书(数学一,2018版本)二重积分章节的某一例题,提出了在计算二重积分的过程中,当积分域的边界曲线为参数方程时的二重积分的一种常用解法思想。 2,题目如下图,(可能在红色部分理解有些...
                                                                       积分域边界曲线为参数方程的二重积分的计算
     
    1,此题来源于李永乐复习全书(数学一,2018版本)二重积分章节的某一例题,提出了在计算二重积分的过程中,当积分域的边界曲线为参数方程时的二重积分的一种常用解法思想。(更好的阅读体验,请移步我的 个人博客)
     
    2,题目如下图,(可能在红色部分理解有些困难):
    题目
     
    3,对于本题的解释如下:
    解答
     
    4,如有不妥或你有好的见解之处还请多多指教,(联系18395561365艾特163.com,艾特换成@)。
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  • 二重积分若干例题分析

    千次阅读 2020-04-03 16:41:40
    二重积分辅导的若干总结
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  • 复化辛普森公式求二重积分matlab源码及例题

    千次阅读 多人点赞 2020-06-08 17:04:18
    复化辛普森公式求二重积分matlab源码 直接拷贝到matlab编辑器,傻瓜式操作。具体算法自行探究,网上都有,小编只提供代码。用的好的请加个关注,篱落~~成殇~~再次先行谢过。 %%%%%%%%%% 2020.6.5 %%%%%%%%% %%%%...
  • 专升本高数学习总结——二重积分

    千次阅读 2017-03-08 10:30:34
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    千次阅读 多人点赞 2019-06-20 17:26:47
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    万次阅读 多人点赞 2019-03-13 01:50:40
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    千次阅读 2019-05-10 09:47:00
    转载于:https://www.cnblogs.com/dugudongfangshuo/p/10842669.html
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    1.二重积分对称性证明 1.1.积分区域D关于坐标轴对称 定理:如果积分区域D关于xxx轴对称,f(x,y)f(x,y)f(x,y)为yyy的奇偶函数,则二重积分 ∬Df(x,y)dxdy={0,f(x,−y)=−f(x,y)2∬D1f(x,y)dxdy,f(x,−y)=f(x,y) \iint...
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  • 二重积分例题一般要求你求平面区域的面积 所以这里就分两种坐标计算的题型 平面直角坐标 I=∬Df(x,y)dxdyI = \iint_D f(x,y)d_xd_yI=∬D​f(x,y)dx​dy​ X型区域:I=∫abdx∫y1(x)y2(x)f(x,y)dyI = \int_a^{b} ...
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二重积分的计算例题