精华内容
下载资源
问答
  • 二阶混合偏导

    千次阅读 2019-09-12 10:11:13
    二元函数在区域D连续且偏导数存在,则在D中,函数的混合偏导数一定相等。

    二元函数在区域D连续且偏导数存在,则在D中,函数的混合偏导数一定相等。

    展开全文
  • 二阶混合偏导 文章目录二阶混合偏导wiki武汉大学同济大学总结 偏导数是多元函数求导过程中的一个概念。 这里主要阐明一个事实:中国教材和外国教材在二阶混合偏导的记法上是有差别的。 外国: 先求导的变量写...

    二阶混合偏导


    偏导数是多元函数求导过程中的一个概念。

    这里主要阐明一个事实:中国教材和外国教材在二阶混合偏导的记法上是有差别的。

    外国:
    在这里插入图片描述
    先求导的变量写在后面。

    这种记法是国际上公认的记法,包括wiki.

    wiki

    wiki上关于二阶混合偏导的记法如下:
    在这里插入图片描述

    然而,我在同济大学《高等数学》第七版下册和武汉大学《高等数学》下册上看到的记法是相反的。

    武汉大学

    在这里插入图片描述

    可见,先求导的变量写在前面。

    同济大学

    在这里插入图片描述

    可见,先求导的变量写在前面。

    总结

    国际(wiki)上的二阶混合偏导,先求导的变量写在后面。
    国内(至少是武大和同济),先求导的变量写在前面。
    所以,对于这一点,我们一定要做到心里有数。
    好在还有一个定理,让我们不必总是很忧虑。
    在这里插入图片描述
    即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。

    展开全文
  • 参考文章:二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关 A. 错误 B. 正确

    正确的结论应为:

    二阶混合偏导数在“(二阶混合偏导数)连续”的条件下与求导的次序无关

    参考文章:二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关 A. 错误 B. 正确

    展开全文
  • 二元函数二阶混合偏导数的近似计算式与误差阶推导 问题 引理一: 引理二: 引理三: 引理四: 命题 数值实验 函数一 函数二 结论 问题 假设 f(x,y)f(x,y)f(x,y)在全平面内存在且足够的光滑,求 fxy(x0,y0)f_{xy}(x_0...

    二元函数二阶混合偏导数的近似计算式与误差阶推导

    问题

    假设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在全平面内存在且足够的光滑,求 f x y ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0) fxy(x0,y0)的计算式与误差阶

    引理一:

    f x y ( x 0 , y 0 ) , f y x ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0),f_{yx}(x_0,y_0) fxy(x0,y0),fyx(x0,y0)均在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处存在且连续,则 f x y ( x 0 , y 0 ) = f y x ( x 0 , y 0 ) f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0) fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)

    引理二:

    D ⊂ R 2 D \subset R^2 DR2为一区域,函数 f ( x , y ) ∈ C 2 ( D ) f(x,y)\in C^{2}(D) f(x,y)C2(D),且 ( x 0 , y 0 ) ∈ D , ( x 0 + h , y 0 + k ) ∈ D (x_0,y_0)\in D,(x_0+h,y_0+k) \in D (x0,y0)D,(x0+h,y0+k)D,则有二元函数带皮亚诺余项的泰勒公式
    f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 + o ( ρ 2 ) f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2}+o(\rho^2) f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)+o(ρ2)
    其中, ρ = h 2 + k 2 \rho=\sqrt{h^2+k^2} ρ=h2+k2

    引理三:

    (一元函数带拉格朗日余项的泰勒公式)设函数f(x)在包含点 x 0 x_0 x0的区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则对任意 x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x(a,b)都有
    f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + . . . + 1 n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f^{''}(x_0)(x-x_0)^2+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2!1f(x0)(xx0)2+...+n!1f(n)(x0)(xx0)n+Rn(x)
    其中, R n ( x ) = 1 ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( ξ ) ( x − x 0 ) ( n + 1 ) R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{(n+1)} Rn(x)=(n+1)!1f(n+1)(ξ)(xx0)(n+1), ξ \xi ξ x 0 x_0 x0 x x x之间

    引理四:

    (二元函数带拉格朗日余项的泰勒公式)设 D ⊂ R 3 D \subset R^3 DR3为一区域,函数 f ( x , y ) ∈ C 3 ( D ) f(x,y)\in C^{3}(D) f(x,y)C3(D),且 ( x 0 , y 0 ) ∈ D , ( x 0 + h , y 0 + k ) ∈ D (x_0,y_0)\in D,(x_0+h,y_0+k) \in D (x0,y0)D,(x0+h,y0+k)D,则有
    f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + h 3 f x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) 3 ! , θ ∈ ( 0 , 1 ) +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}{3!},\theta \in (0,1) +3!h3fxxx(x0+θh,y0+θk)+3h2kfxxy(x0+θh,y0+θk)+3hk2fxyy(x0+θh,y0+θk)+k3fyyy(x0+θh,y0+θk),θ(0,1)

    命题

    f x y ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k f_{xy}(x_0,y_0)=\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0-h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk} fxy(x0,y0)=4hkf(x0+h,y0+k)f(x0h,y0+k)f(x0+h,y0k)+f(x0h,y0k)

    证明:
    由引理四得到

    f ( x 0 + h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + h 3 f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) 3 ! +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)}{3!} +3!h3fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+3h2kfxxy(x0+θ1h,y0+θ1k)+3hk2fxyy(x0+θ1h,y0+θ1k)+k3fyyy(x0+θ1h,y0+θ1k)

    f ( x 0 − h , y 0 + k ) = f ( x 0 , y 0 ) − h f x ( x 0 , y 0 ) + k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) − 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0-h,y_0+k)=f(x_0,y_0)-hf_x(x_0,y_0)+kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)-2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0h,y0+k)=f(x0,y0)hfx(x0,y0)+kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + − h 3 f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + k 3 f y y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) 3 ! +\frac{-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+k^3f_{yyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)}{3!} +3!h3fxxx(x0θ2h,y0+θ2k)+3h2kfxxy(x0θ2h,y0+θ2k)3hk2fxyy(x0θ2h,y0+θ2k)+k3fyyy(x0θ2h,y0+θ2k)

    f ( x 0 + h , y 0 − k ) = f ( x 0 , y 0 ) + h f x ( x 0 , y 0 ) − k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) − 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0+h,y_0-k)=f(x_0,y_0)+hf_x(x_0,y_0)-kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)-2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0+h,y0k)=f(x0,y0)+hfx(x0,y0)kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + h 3 f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − k 3 f y y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) 3 ! +\frac{h^3f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-k^3f_{yyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)}{3!} +3!h3fxxx(x0+θ3h,y0θ3k)3h2kfxxy(x0+θ3h,y0θ3k)+3hk2fxyy(x0+θ3h,y0θ3k)k3fyyy(x0+θ3h,y0θ3k)

    f ( x 0 − h , y 0 − k ) = f ( x 0 , y 0 ) − h f x ( x 0 , y 0 ) − k f y ( x 0 , y 0 ) + h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) + 2 h k f x y ( x 0 , y 0 ) + k 2 f y y ( x 0 , y 0 ) 2 ! f(x_0-h,y_0-k)=f(x_0,y_0)-hf_x(x_0,y_0)-kf_y(x_0,y_0)+\frac{h^2f_{xx}(x_0,y_0)+2hkf_{xy}(x_0,y_0)+k^2f_{yy}(x_0,y_0)}{2!} f(x0h,y0k)=f(x0,y0)hfx(x0,y0)kfy(x0,y0)+2!h2fxx(x0,y0)+2hkfxy(x0,y0)+k2fyy(x0,y0)

    + − h 3 f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − k 3 f y y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) 3 ! +\frac{-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-k^3f_{yyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)}{3!} +3!h3fxxx(x0θ4h,y0θ4k)3h2kfxxy(x0θ4h,y0θ4k)3hk2fxyy(x0θ4h,y0θ4k)k3fyyy(x0θ4h,y0θ4k)

    所以,误差等于
    f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k − f y x ( x 0 , y 0 ) \frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)-f(x_0-h,y_0+k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk}-f_{yx}(x_0,y_0) 4hkf(x0+h,y0+k)f(x0+h,y0k)f(x0h,y0+k)+f(x0h,y0k)fyx(x0,y0)

    = 1 24 h k ( ( h 3 f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + k 3 f y y y ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) ) =\frac{1}{24hk}((h^3f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+k^3f_{yyy}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)) =24hk1((h3fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+3h2kfxxy(x0+θ1h,y0+θ1k)+3hk2fxyy(x0+θ1h,y0+θ1k)+k3fyyy(x0+θ1h,y0+θ1k))

    − ( − h 3 f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) + k 3 f y y y ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) ) -(-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)+k^3f_{yyy}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)) (h3fxxx(x0θ2h,y0+θ2k)+3h2kfxxy(x0θ2h,y0+θ2k)3hk2fxyy(x0θ2h,y0+θ2k)+k3fyyy(x0θ2h,y0+θ2k))

    − ( h 3 f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) + 3 h k 2 f x y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − k 3 f y y y ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) ) -(h^3f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)+3hk^2f_{xyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-k^3f_{yyy}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)) (h3fxxx(x0+θ3h,y0θ3k)3h2kfxxy(x0+θ3h,y0θ3k)+3hk2fxyy(x0+θ3h,y0θ3k)k3fyyy(x0+θ3h,y0θ3k))

    + ( − h 3 f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h 2 k f x x y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − 3 h k 2 f x y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) − k 3 f y y y ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) ) ) +(-h^3f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3h^2kf_{xxy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-3hk^2f_{xyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)-k^3f_{yyy}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k))) +(h3fxxx(x0θ4h,y0θ4k)3h2kfxxy(x0θ4h,y0θ4k)3hk2fxyy(x0θ4h,y0θ4k)k3fyyy(x0θ4h,y0θ4k)))

    将等式右边合并同类项按照 h 3 , h 2 k , h k 2 , k 3 h^3,h^2k,hk^2,k^3 h3,h2k,hk2,k3分成四类考虑

    h 3 h^3 h3的几项为

    h 3 24 h k ( f x x x ( x 0 + θ 1 h , y 0 + θ 1 k ) + f x x x ( x 0 − θ 2 h , y 0 + θ 2 k ) − f x x x ( x 0 + θ 3 h , y 0 − θ 3 k ) − f x x x ( x 0 − θ 4 h , y 0 − θ 4 k ) ) \frac{h^3}{24hk}(f_{xxx}(x_0+\theta_1 h,y_0+\theta_1 k)+f_{xxx}(x_0-\theta_2 h,y_0+\theta_2 k)-f_{xxx}(x_0+\theta_3 h,y_0-\theta_3 k)-f_{xxx}(x_0-\theta_4 h,y_0-\theta_4 k)) 24hkh3(fxxx(x0+θ1h,y0+θ1k)+fxxx(x0θ2h,y0+θ2k)fxxx(x0+θ3h,y0θ3k)fxxx(x0θ4h,y0θ4k))

    G ( θ ) = f x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) , H ( θ ) = f x x x ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) G(\theta)=f_{xxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k),H(\theta)=f_{xxx}(x_0-\theta h,y_0+\theta k) G(θ)=fxxx(x0+θh,y0+θk),H(θ)=fxxx(x0θh,y0+θk)

    则上面几项可以化为 h 2 24 k ( ( G ( θ 1 ) − G ( − θ 4 ) + ( H ( θ 2 ) − H ( − θ 3 ) ) ) \frac{h^2}{24k}((G(\theta_1)-G(-\theta_4)+(H(\theta_2)-H(-\theta_3))) 24kh2((G(θ1)G(θ4)+(H(θ2)H(θ3)))

    = h 2 24 k ( ( θ 1 + θ 4 ) G ′ ( ξ 1 ) + ( θ 2 + θ 3 ) H ′ ( ξ 2 ) ) =\frac{h^2}{24k}((\theta_1+\theta_4)G^{'}(\xi_1)+(\theta_2+\theta_3)H^{'}(\xi_2)) =24kh2((θ1+θ4)G(ξ1)+(θ2+θ3)H(ξ2))

    而用链式法则对 G , H G,H G,H求导,得到

    G ′ ( θ ) = h f x x x x ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) + k f x x x y ( x 0 + θ h , y 0 + θ k ) G^{'}(\theta)=hf_{xxxx}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+kf_{xxxy}(x_0+\theta h,y_0+\theta k) G(θ)=hfxxxx(x0+θh,y0+θk)+kfxxxy(x0+θh,y0+θk)

    H ′ ( θ ) = − h f x x x x ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) + k f x x x y ( x 0 − θ h , y 0 + θ k ) H^{'}(\theta)=-hf_{xxxx}(x_0-\theta h,y_0+\theta k)+kf_{xxxy}(x_0-\theta h,y_0+\theta k) H(θ)=hfxxxx(x0θh,y0+θk)+kfxxxy(x0θh,y0+θk)

    因此,原来几项可以化为

    h 2 24 k ( ( θ 1 + θ 4 ) ( h f x x x x ( x 0 + ξ 1 h , y 0 + ξ 1 k ) + k f x x x y ( x 0 + ξ 1 h , y 0 + ξ 1 k ) ) \frac{h^2}{24k}((\theta_1+\theta_4)(hf_{xxxx}(x_0+\xi_1 h,y_0+\xi_1 k)+kf_{xxxy}(x_0+\xi_1 h,y_0+\xi_1 k)) 24kh2((θ1+θ4)(hfxxxx(x0+ξ1h,y0+ξ1k)+kfxxxy(x0+ξ1h,y0+ξ1k))

    + ( θ 2 + θ 3 ) ( − h f x x x x ( x 0 − ξ 2 h , y 0 + ξ 2 k ) + k f x x x y ( x 0 − ξ 2 h , y 0 + ξ 2 k ) ) ) +(\theta_2+\theta_3)(-hf_{xxxx}(x_0-\xi_2 h,y_0+\xi_2 k)+kf_{xxxy}(x_0-\xi_2 h,y_0+\xi_2 k))) +(θ2+θ3)(hfxxxx(x0ξ2h,y0+ξ2k)+kfxxxy(x0ξ2h,y0+ξ2k)))

    由于 θ 1 + θ 4 \theta_1+\theta_4 θ1+θ4 θ 2 + θ 3 \theta_2+\theta_3 θ2+θ3一般不相等,所以无法用拉格朗日中值定理进一步化简

    因此当 h , k h,k h,k大小接近的时候,若假设上面的四阶偏导数均有界,则有误差阶数为 O ( h 2 ) O(h^2) O(h2)

    类似地对 h 2 k , h k 2 , k 3 h^2k,hk^2,k^3 h2k,hk2,k3讨论,得到在h与k同阶的时候,误差阶数为 O ( h 2 ) O(h^2) O(h2)

    数值实验

    函数一

    f ( x , y ) = x 2 s i n ( y ) + e x y 2 f(x,y)=x^2sin(y)+e^{xy^2} f(x,y)=x2sin(y)+exy2

    f x ( x , y ) = 2 x s i n ( y ) + y 2 e x y 2 f_{x}(x,y)=2xsin(y)+y^2e^{xy^2} fx(x,y)=2xsin(y)+y2exy2

    f y ( x , y ) = x 2 c o s ( y ) + 2 x y e x y 2 f_{y}(x,y)=x^2cos(y)+2xye^{xy^2} fy(x,y)=x2cos(y)+2xyexy2

    f x y ( x , y ) = 2 x c o s ( y ) + 2 y e x y 2 + 2 x y 3 e x y 2 f_{xy}(x,y)=2xcos(y)+2ye^{xy^2}+2xy^3e^{xy^2} fxy(x,y)=2xcos(y)+2yexy2+2xy3exy2

    	import numpy as np
    	def f1(x,y):
    	    return x*x*np.sin(y)+np.exp(x*y*y)
    	def f1xy(x,y):
    	    return 2*x*np.cos(y)+2*y*np.exp(x*y*y)+2*x*y*y*y*np.exp(x*y*y)
    	x=2.5
    	y=1.8
    	h=0.1
    	k=0.1
    	print("(%.4f,%.4f)二阶混合偏导数真实值:%.10f"%(x,y,f2xy(x,y)))
    	print("序号\th,k\t\t近似公式计算值\t\t误差\t\t误差衰减倍数")
    	for i in range(20):
    	    now=(f1(x+h,y+k)-f1(x-h,y+k)-f1(x+h,y-k)+f1(x-h,y-k))*0.25/h/k
    	    print("%d\t%.7f\t%.10f\t%.10f"%(i+1,h,now,now-f1xy(x,y)),end='')
    	    if i>0:
    	        print("\t%.6f"%(las/(now-f1xy(x,y))))
    	    else:
    	        print()
    	    las=now-f1xy(x,y)
    	    h*=0.5
    	    k*=0.5
    

    (2.5000,1.8000)二阶混合偏导数真实值:2.6708851424
    序号 h,k 近似公式计算值 误差 误差衰减倍数
    1 0.1000000 133118.5135877089 25192.8754518838
    2 0.0500000 113820.5496154785 5894.9114796533 4.273665
    3 0.0250000 109375.4104465985 1449.7723107733 4.066095
    4 0.0125000 108286.6028087446 360.9646729195 4.016383
    5 0.0062500 108015.7871949166 90.1490590915 4.004087
    6 0.0031250 107948.1696480652 22.5315122401 4.001021
    7 0.0015625 107931.2706538942 5.6325180690 4.000256
    8 0.0007813 107927.0462427288 1.4081069037 4.000064
    9 0.0003906 107925.9901575744 0.3520217493 4.000057
    10 0.0001953 107925.7261663675 0.0880305424 3.998859
    11 0.0000977 107925.6601095200 0.0219736948 4.006178
    12 0.0000488 107925.6436347961 0.0054989710 3.995965
    13 0.0000244 107925.6391525269 0.0010167017 5.408637
    14 0.0000122 107925.6431579590 0.0050221338 0.202444
    15 0.0000061 107925.5615234375 -0.0766123876 -0.065553
    16 0.0000031 107925.3906250000 -0.2475108251 0.309531
    17 0.0000015 107925.4882812500 -0.1498545751 1.651673
    18 0.0000008 107926.7578125000 1.1196766749 -0.133837
    19 0.0000004 107917.9687500000 -7.6693858251 -0.145993
    20 0.0000002 107887.5000000000 -38.1381358251 0.201095

    函数二

    f ( x , y ) = x 3 2 s i n ( x + y ) f(x,y)=x^{\frac{3}{2}}sin(x+y) f(x,y)=x23sin(x+y)

    f x ( x , y ) = x 3 2 c o s ( x + y ) + 3 2 x 1 2 s i n ( x + y ) f_{x}(x,y)=x^{\frac{3}{2}}cos(x+y)+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}sin(x+y) fx(x,y)=x23cos(x+y)+23x21sin(x+y)

    f y ( x , y ) = x 3 2 c o s ( x + y ) f_{y}(x,y)=x^{\frac{3}{2}}cos(x+y) fy(x,y)=x23cos(x+y)

    f x y ( x , y ) = − x 3 2 s i n ( x + y ) + 3 2 x 1 2 c o s ( x + y ) f_{xy}(x,y)=-x^{\frac{3}{2}}sin(x+y)+\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}cos(x+y) fxy(x,y)=x23sin(x+y)+23x21cos(x+y)

    	import numpy as np
    	def f2(x,y):
    	    return x**1.5*np.sin(x+y)
    	def f2xy(x,y):
    	    return 1.5*(x**0.5)*np.cos(x+y)-x**1.5*np.sin(x+y)
    	x=5
    	y=5
    	h=0.1
    	k=0.1
    	print("(%.4f,%.4f)二阶混合偏导数真实值:%.10f"%(x,y,f2xy(x,y)))
    	print("序号\th,k\t\t近似公式计算值\t\t误差\t\t误差衰减倍数")
    	for i in range(15):
    	    now=(f2(x+h,y+k)-f2(x-h,y+k)-f2(x+h,y-k)+f2(x-h,y-k))*0.25/h/k
    	    print("%d\t%.7f\t%.10f\t%.10f"%(i+1,h,now,now-f2xy(x,y)),end='')
    	    if i>0:
    	        print("\t%.6f"%(las/(now-f2xy(x,y))))
    	    else:
    	        print()
    	    las=now-f2xy(x,y)
    	    h*=0.5
    	    k*=0.5
    

    (5.0000,5.0000)二阶混合偏导数真实值:3.2680094602
    序号 h,k 近似公式计算值 误差 误差衰减倍数
    1 0.1000000 3.2674426586 -0.0005668017
    2 0.0500000 3.2678703460 -0.0001391142 4.074362
    3 0.0250000 3.2679748435 -0.0000346167 4.018704
    4 0.0125000 3.2680008162 -0.0000086441 4.004682
    5 0.0062500 3.2680072998 -0.0000021604 4.001154
    6 0.0031250 3.2680089201 -0.0000005401 4.000008
    7 0.0015625 3.2680093253 -0.0000001350 4.001843
    8 0.0007813 3.2680094264 -0.0000000338 3.989878
    9 0.0003906 3.2680094504 -0.0000000098 3.446221
    10 0.0001953 3.2680094533 -0.0000000069 1.421488
    11 0.0000977 3.2680094242 -0.0000000360 0.191759
    12 0.0000488 3.2680093311 -0.0000001291 0.278833
    13 0.0000244 3.2680094242 -0.0000000360 3.586371
    14 0.0000122 3.2680064440 -0.0000030162 0.011938
    15 0.0000061 3.2679975033 -0.0000119569 0.252259

    由上面几个函数的例子可以看出,h和k减小为原来一半时,误差减小为原来的四分之一,因此验证了误差的阶数为平方级别

    结论

    对于足够光滑的函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y),有二阶混合偏导数计算式:

    f x y ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 − h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 − k ) + f ( x 0 − h , y 0 − k ) 4 h k f_{xy}(x_0,y_0)=\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0-h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0-k)+f(x_0-h,y_0-k)}{4hk} fxy(x0,y0)=4hkf(x0+h,y0+k)f(x0h,y0+k)f(x0+h,y0k)+f(x0h,y0k)

    该计算式的误差阶上界数为二阶

    由于作者水平有限,如果推导过程中有错误或考虑不周之处,还望不吝指正。

    展开全文
  • matlab-高数 diff 二阶偏导

    千次阅读 2019-02-17 16:18:00
    zx2=diff(zx1,x) % 传说中的二阶偏导,连续两次对x   result z = x^3*y^2 - 3*x*y^3 - x*y + 1 zx2 = 6*x*y^2 >>   resource [文档] ww2.mathworks.cn/help/matlab [文档] ww2....
  • http://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/6023368 ...  1. 一阶差分: ...2. 二阶偏导数的推导和近似:   3. 上式以点(i+1,j)为中心,用i代换i+1可得以(i,
  • 如果二阶混合偏导数连续,则二阶混合偏导可交换求导次序 题型 判断是否可微,第一步先看偏导数是否存在,第二步再看那个极限是否等于0 D选项不是偏导数连续!偏导数连续指的是二元连续! 利用前面...
  • 2010-5 2012-5 2012-11 2013-5 2014-6 2014-11 2015-5 2015-13 2016-6 2017-5 2017-12 2018-13 2019-11
  • 多元函数中的偏导数全导数以及隐函数

    万次阅读 多人点赞 2019-03-31 22:48:01
    定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。 全微分 与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单对x或y的微分称为偏微分。 若x,y同时增加,称为全增...
  • 海森矩阵的混合偏导数是海森矩阵非主对角线上的元素。假如他们是连续的,那么求导顺序没有区别 ,即 上式也可写为 在正式写法中, 如果  f  函数在区域  D  内连续并处处存在二阶导数,那么 ...
  • 一般地,n个自变量的二阶线性微分方程可表示为 ∑i,j=1naij(x1,⋅⋅⋅,xn)∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj(x1,⋅⋅⋅,xn)∂u∂xj+c(x1,⋅⋅⋅,xn)u=f(x1,⋅⋅⋅,xn)(1) \sum_{i,j=1}^na_{ij}(x_1,···,x_n)\frac{\partial...
  • 对于导数还有些印象,对于偏导数,只知道名字了,大学这一年的高数,...二阶混合偏导数就是对函数先关于其中一个自变量求一次导数, 再在此基础上关于另一个自变量求一次导数,即d(dy/dx1)/dx2 高阶偏导数依此类推. ...
  • 对于任意的二元二阶齐次线性微分方程, \(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+b_1\dfrac{\...
  • mathematica--求偏导

    千次阅读 2020-08-04 16:24:00
    用Mathematica求复杂函数的偏导确实是非常快捷方便 1、语法 2、求一阶偏导 ...3、求混合偏导 如:求f(x,y)=x^3siny的一阶混合偏 4、求二阶偏导 如:求f(x,y)=x*exp(xy) 对x的二阶偏导 ...
  • 前一篇内容使用了大篇幅介绍一些基本概念,本篇则正式进入多元函数微分学的内容。...本篇内容为偏导数,在学习多元函数偏导数之前,先回顾一下一元函数的导数 二元函数偏导数定义 偏增量与全增量 ...
  • 它是一个由多元函数的二元偏导偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率,形式上如下$$\begin{bmatrix} {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}} & {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \ x_2}} & {\cdots} &{\...
  • 偏导数求导次序问题

    千次阅读 2020-01-19 23:07:59
  • 多元函数微分学之偏导

    万次阅读 2018-07-23 17:26:10
    在图像上显示可以想象下,例如z=f(x,y)这是一个三维 图形,然后对x求偏导其实就这一点所在的平行于zx平面的切面是投影到z,x上的函数线条的导数,同样的对y求偏导就是放到了zy上看。 备注:...
  • 第二节 偏导

    2018-11-21 13:54:56
    教学目的:学习偏导数的定义,学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点:偏导数的定义,判断二元函数偏导数的存在性,计算二元、多元函数的偏导数。 教学难点:判断二元函数偏导数的存在性,计算多元函数的...
  • 二元函数偏导数的几何意义

    万次阅读 2018-04-17 22:09:38
    二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)z = f(x,y)在点(x0,y0)(x0,y0)(x_0, y_0)的偏导数:ddxf(x,y0)|x=x0ddxf(x,y0)|x=x0\frac{d}{dx}f(x,y_0)|_{x = x_0}即fx(x0,y0)fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0)是曲线在点 M0(x0,y0,f(x0,y0))M0(x0,...
  • 这里我们大致地复习一下偏导数,雅克比矩阵以及黑塞矩阵的定义和关系。 导数向量与雅克比矩阵(Jacobi matrix) 函数的某个因变量对某个自变量求的导数即为它们关于函数的偏导数。当因变量为一元的情况下,各个自...
  • 多元函数连续不是偏导存在的充分条件也不是必要条件。 而偏导连续则是更强的条件,即偏导存在且连续可以推出多元函数连续,反之不可。 下面来分析,首先大家需要了解这些定义都是人定义出来的,可以反映多元函数的...
  • diff(func,x,n) 其中,func是要求的函数,x是要对其求导的变量,n是可选的,表示求n阶导数,默认为1阶导数。 例子1 注意,在用diff进行求导之前,需要用symbols函数定义变量 from sympy import diff from sympy...
  • 第九章(2) 偏导

    2019-10-04 11:32:08
    1.偏导数的定义: (1)对于二元函数,如果在点的邻域内有定义, (2)当固定其中一个变量,比如y,那么二元函数变为关于x的一元函数 ,如果此一元函数的导数存在,则称函数在此点对x 是可偏导的,这个导数就是关于x...
  •    二阶混合偏导二阶混合偏导二阶混合偏导: ∂(∂z∂x)∂y=∂2z∂x∂y\frac{\partial(\frac{\partial z}{\partial x})}{\partial y}=\frac{\partial^2z }{\partial x\partial y}∂y∂(∂x∂z​)​=∂x∂y∂2z​ ...
  • https://zhidao.baidu.com/question/1608434785786995267.html
  • 偏导、梯度、散度、拉普拉斯算子

    千次阅读 2020-01-11 23:41:30
    在前面导数和偏导数的定义中,均是沿坐标轴 正方向 讨论函数的变化率。那么当我们讨论函数沿任意方向的变化率时,也就引出了方向导数的定义,即: 某一点在某一趋近方向上的导数值。 梯度 运算的对像是纯量,...
  • 多元函数概念和偏导

    千次阅读 2020-04-21 14:56:48
    偏导数 注意:偏导数的表示是一个整体 并且这种情况只能用定义来做 1.偏导数的概念 2.偏导数的几何意义 对多元函数而言,即使函数的各个偏导数都存在...其中二三叫做混合偏导二阶二阶以上的叫做高阶偏导数 ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 1,462
精华内容 584
关键字:

二阶混合偏导