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  • 【直观详解】什么是正则化

    万次阅读 多人点赞 2018-03-02 17:47:40
    什么是正则化,为什么使用正则化,如何实现正则化 ,外加一些对 范数 的直观理解并进行知识整理以供查阅 Why & What 正则化 我们总会在各种地方遇到正则化这个看起来很难理解的名词,其实它并没有那么高冷,很好理解...

    转自:

    https://charlesliuyx.github.io/2017/10/03/%E3%80%90%E7%9B%B4%E8%A7%82%E8%AF%A6%E8%A7%A3%E3%80%91%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%98%AF%E6%AD%A3%E5%88%99%E5%8C%96/

    https://www.zhihu.com/question/20924039

    【内容简介】主要解决什么是正则化,为什么使用正则化,如何实现正则化,外加一些对范数的直观理解并进行知识整理以供查阅

    Why & What 正则化

    我们总会在各种地方遇到正则化这个看起来很难理解的名词,其实它并没有那么高冷,很好理解。

    首先,从使用正则化的目的角度:正则化是为了防止过拟合

    过拟合

    如上图,红色这条“想象力”过于丰富上下横跳的曲线就是过拟合情形。结合上图和正则化的英文 Regularizaiton-Regular-Regularize,直译应该是:规则化(加个“化”字变动词,自豪一下中文还是强)。什么是规则?你妈喊你6点前回家吃饭,这就是规则,一个限制。同理,在这里,规则化就是说给需要训练的目标函数加上一些规则(限制),让他们不要自我膨胀。正则化,看起来,挺不好理解的,追其根源,还是“正则”这两字在中文中实在没有一个直观的对应,如果能翻译成规则化,更好理解。但我们一定要明白,搞学术,概念名词的准确是十分重要,对于一个重要唯一确定的概念,为它安上一个不会产生歧义的名词是必须的,正则化的名称没毛病,只是从如何理解的角度,要灵活和类比。

    我思考模式的中心有一个理念:每一个概念被定义就是为了去解决一个实际问题(问Why&What),接着寻找解决问题的方法(问How),这个“方法”在计算机领域被称为“算法”(非常多的人在研究)。我们无法真正衡量到底是提出问题重要,还是解决问题重要,但我们可以从不同的解决问题的角度来思考问题。一方面,重复以加深印象。另一方面,具有多角度的视野,能让我们获得更多的灵感,真正做到链接并健壮自己的知识图谱

    How 线性模型角度

    对于线性模型来说,无论是Logistic Regression、SVM或是简单的线性模型,都有一个基函数 ϕ()ϕ(),其中有很多 ww (参数)需要通过对损失函数 E()E() 求极小值(或最大似然估计)来确定,求的过程,也就是使用训练集的训练过程:梯度下降到最小值点。最终,找到最合适的 ww 确定模型。从这个角度来看,正则化是怎么做的呢?

    二次正则项

    我们看一个线性的损失函数(真实值和预测值的误差)
    E(w)=12Nn=1{tnwTϕ(xn)}2(1)(1)E(w)=12∑n=1N{tn−wTϕ(xn)}2

    E(w)E(w) 是损失函数(又称误差函数)E即Evaluate,有时候写成L即Loss
    tntn 是测试集的真实输出,又称目标变量【对应第一幅图中的蓝色点】
    ww 是权重(需要训练的部分,未知数)
    ϕ()ϕ() 是基函数,例如多项式函数,核函数
    测试样本有n个数据
    整个函数直观解释就是误差方差和1212 只是为了求导后消去方便计算

    正则化项,得到最终的误差函数(Error function)
    12Nn=1{tnwTϕ(xn)}2+λ2wTw(2)(2)12∑n=1N{tn−wTϕ(xn)}2+λ2wTw

    (2)式被称为目标函数(评价函数)= 误差函数(损失函数) + 正则化项
    λλ 被称为正则化系数,越大,这个限制越强

    2式对 ww 求导,并令为0(使误差最小),可以解得

    w=(λI+ΦTΦ)1ΦTtw=(λI+ΦTΦ)−1ΦTt

    这是最小二乘法的解形式,所以在题目中写的是从“最小二乘角度”。至于为何正则化项是 λ2wTwλ2wTw 在之后马上解释

    一般正则项

    直观的详解为什么要选择二次正则项。首先,需要从一般推特例,然后分析特例情况的互相优劣条件,可洞若观火。一般正则项是以下公式的形式

    12Nn=1{tnwTϕ(xn)}2+λ2Mj=1|wj|q(3)(3)12∑n=1N{tn−wTϕ(xn)}2+λ2∑j=1M|wj|q

    M是模型的阶次(表现形式是数据的维度),比如M=2,就是一个平面(二维)内的点

    q=2就是二次正则项。高维度没有图像表征非常难以理解,那就使用二维作为特例来理解。这里令M=2,即 x={x1,x2}w={w1,w2}x={x1,x2}w={w1,w2} ,令q=0.5 q=1 q=2 q=4 有

    正则项的边缘直观表示

    横坐标是w1w1
    纵坐标是w2w2
    绿线是等高线的其中一条,换言之是一个俯视图,而z轴代表的是 λ2Mj=1|wj|qλ2∑j=1M|wj|q 的值

    空间想象力不足无法理解的读者希望下方的三维图像能给你一个直观的领悟(与绿线图一一对应)

    正则项的边缘直观表示

    q=2是一个圆非常好理解,考虑 z=w21+w22z=w12+w22 就是抛物面,俯视图是一个圆。其他几项同理(必须强调俯视图和等高线的概念,z轴表示的是正则项项的值)

    正则项的边缘直观表示

    蓝色的圆圈表示没有经过限制的损失函数在寻找最小值过程中,ww的不断迭代(随最小二乘法,最终目的还是使损失函数最小)变化情况,表示的方法是等高线,z轴的值就是 E(w)E(w)
    ww∗ 最小值取到的点

    可以直观的理解为(帮助理解正则化),我们的目标函数(误差函数)就是求蓝圈+红圈的和的最小值(回想等高线的概念并参照3式),而这个值通在很多情况下是两个曲面相交的地方

    可以看到二次正则项的优势,处处可导,方便计算,限制模型的复杂度,即 ww 中M的大小,M是模型的阶次M越大意味着需要决定的权重越多,所以模型越复杂。在多项式模型多,直观理解是每一个不同幂次的 xx 前的系数,0(或很小的值)越多,模型越简单。这就从数学角度解释了,为什么正则化(规则化)可以限制模型的复杂度,进而避免过拟合

    不知道有没有人发现一次正则项的优势,ww∗ 的位置恰好是 w1=0w1=0 的位置,意味着从另一种角度来说,使用一次正则项可以降低维度(降低模型复杂度,防止过拟合)二次正则项也做到了这一点,但是一次正则项做的更加彻底,更稀疏。不幸的是,一次正则项有拐点,不是处处可微,给计算带来了难度,很多厉害的论文都是巧妙的使用了一次正则项写出来的,效果十分强大

    How 神经网络模型角度

    我们已经知道,最简单的单层神经网,可以实现简单的线性模型。而多隐含层的神经网络模型如何来实现正则化?(毕竟神经网络模型没有目标函数)

    M表示单层神经网中隐含层中的神经元的数量

    上图展示了神经网络模型过拟合的直观表示

    我们可以通过一系列的推导得知,未来保持神经网络的一致性(即输出的值不能被尺缩变换,或平移变换),在线性模型中的加入正则项无法奏效

    所以我们只能通过建立验证集(Validation Set),拉网搜索来确定M的取值(迭代停止的时间),又称为【提前停止】

    这里有一个尾巴,即神经网络的不变量(invariance),我们并不希望加入正则项后出现不在掌控范围内的变化(即所谓图像还是那个图像,不能乱变)。而机器学习的其中一个核心目的也是去寻找不同事物(对象)的中包含信息的这个不变量(特征)。卷积神经网络从结构上恰恰实现了这种不变性,这也是它强大的一个原因

    范数

    我并不是数学专业的学生,但是我发现在讲完线性模型角度后,有几个概念可以很轻松的解答,就在这里献丑把它们串联起来,并做一些总结以供查阅和对照。

    我们知道,范数(norm)的概念来源于泛函分析与测度理论,wiki中的定义相当简单明了:范数是具有“长度”概念的函数,用于衡量一个矢量的大小(测量矢量的测度)

    我们常说测度测度,测量长度,也就是为了表征这个长度。而如何表达“长度”这个概念也是不同的,也就对应了不同的范数,本质上说,还是观察问题的方式和角度不同,比如那个经典问题,为什么矩形的面积是长乘以宽?这背后的关键是欧式空间的平移不变性,换句话说,就是面积和长成正比,所以才有这个

    没有测度论就没有(现代)概率论。而概率论也是整个机器学习学科的基石之一。测度就像尺子,由于测量对象不同,我们需要直尺量布匹、皮尺量身披、卷尺量房间、游标卡尺量工件等等。注意,“尺子”与刻度(寸、米等)是两回事,不能混淆。

    范数分为向量范数(二维坐标系)和矩阵范数(多维空间,一般化表达),如果不希望太数学化的解释,那么可以直观的理解为:0-范数:向量中非零元素的数量;1-范数:向量的元素的绝对值;2-范数:是通常意义上的模(距离)

    向量范数

    关于向量范数,先再把这个图放着,让大家体会到构建知识图谱并串联知识间的本质(根)联系的好处

    正则项的边缘直观表示

    p-范数

    xp=(Ni=1|xi|p)1p‖x‖p=(∑i=1N|xi|p)1p

    向量元素绝对值的p次方和的 1p1p 次幂。可以敏捷的发现,这个p和之前的q从是一个东西,随着p越大,等高线图越接近正方形(正无穷范数);越小,曲线弯曲越接近原点(负无穷范数)

    而之前已经说明,q的含义是一般化正则项的幂指数,也就是我们常说的2范数,两者在形式上是完全等同的。结合范数的定义,我们可以解释一般化正则项为一种对待求参数 ww 的测度,可以用来限制模型不至于过于复杂

    −∞-范数

    x=argmini|xi|‖x‖−∞=argmini⁡|xi|

    所有向量元素中绝对值的最小值

    1-范数

    x1=Ni=1|xi|‖x‖1=∑i=1N|xi|

    向量元素绝对值之和,也称街区距离(city-block)

    43234321232101232123432344323432123210123212343234

    2-范数

    x2=Ni=1x2i‖x‖2=∑i=1Nxi2 :向量元素的平方和再开方Euclid范数,也称欧几里得范数,欧氏距离

    2.82.222.22.82.21.411.42.2210122.21.411.42.22.82.222.22.82.82.222.22.82.21.411.42.2210122.21.411.42.22.82.222.22.8

    -范数

    x=argmaxi|xi|‖x‖∞=argmaxi⁡|xi| :所有向量元素中绝对值的最大值,也称棋盘距离(chessboard),切比雪夫距离

    23222211122101221112222222322221112210122111222222

    矩阵范数

    1-范数

    A1=argmax1jnmi=1|ai,j|‖A‖1=argmax1⩽j⩽n⁡∑i=1m|ai,j|

    列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值

    -范数

    A=argmax1inmj=1|ai,j|‖A‖∞=argmax1⩽i⩽n⁡∑j=1m|ai,j|

    行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值

    2-范数

    A2=λmax(AA)‖A‖2=λmax(A∗A)

    p=2m=n方阵时,称为谱范数。矩阵 AA 的谱范数是 AA 最大的奇异值或半正定矩阵 ATAATA 的最大特征值的平方根

    AA∗ 为 AA 的共轭转置,实数域等同于 ATAT

    F-范数

    AF=mi=1nj=1|ai,j|2‖A‖F=∑i=1m∑j=1n|ai,j|2

    Frobenius范数(希尔伯特-施密特范数,这个称呼只在希尔伯特空间),即矩阵元素绝对值的平方和再开平方

    核范数

    A=ni=1λi‖A‖∗=∑i=1nλi :λiλi 若 AA 矩阵是方阵,称为本征值。若不是方阵,称为奇异值,即奇异值/本征值之和

    总结

    相信每个人在学习过程中都有过看书时,遇到0-范数正则化,或者1-范数正则化,2-范数正则化的表达时很迷惑。写到这里,希望大家能对这些看起来无法理解的晦涩名词有一个融会贯通的理解和感知!

    Learning with intuitive and get Insight


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  • 什么是正则化

    2019-11-16 16:07:44
    机器学习ing 首先:正则化 要是理解成 ...为什么要规则化:为了避免过度拟合,加入了正则化 作用:就是向你的模型加入某些规则,加入先验,缩小解空间,减小求出错误解的可能性 数学公式:看了半天没看懂,再见。 ...

    机器学习ing
    首先:正则化 要是理解成 规则化就更好理解了~
    这里:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    为了便于理解就是 规则化
    为什么要规则化:为了避免过度拟合,加入了正则化
    作用:就是向你的模型加入某些规则,加入先验,缩小解空间,减小求出错误解的可能性

    数学公式:看了半天没看懂,再见。

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  • 什么是正则化? 举例说明 如下数据集,两个函数模型的拟合曲线如图: 显然,当阶次较高时,可以很好的拟合数据,但是一般性不好,过度拟合了数据。 下面是在之前的线性回归方程中假设的代价函数: 选择增加两个...

    什么是正则化?

    举例说明

    如下数据集,两个函数模型的拟合曲线如图:
    拟合曲线
    显然,当阶次较高时,可以很好的拟合数据,但是一般性不好,过度拟合了数据。

    下面是在之前的线性回归方程中假设的代价函数:
    在这里插入图片描述
    选择增加两个惩罚项来尽量减少θ3和θ4的值。
    代价函数就是我们优化的目标,我们要尽量减少代价函数的均方误差
    对代价函数增加如下两项:
    新代价函数
    为了使这个新代价函数最小化,我们要让θ3和θ4尽量小。 实现最小化后θ3和θ4的值接近于0,此时就相当于x三次方和x四次方项几乎被忽略。这样假设函数的图像就会变得更加光滑,更少曲折,也能够更泛化的预测新数据样本。就如这个例子中的二次函数拟合数据集一样。

    正则化运作思路

    当θ值比较小时,可以得到形式更简单的假设函数,函数图像也会更光滑,就不易发生过拟合问题。

    当一个案例中 的变量非常多时,我们并不能直观的知道我们该保留哪些变量,舍弃哪些变量来使我们的函数能够更好的拟合数据集。

    为了选择参数,减少参数的数目,所以在正则化问题是我们要修改线性回归的代价函数。 修改后的代价函数如下:
    修改后的代价函数
    最右边的求和项就是正则项,朗达是正则化参数

    我们的第一个目标就是能够更好的拟合数据集,第二个目标就是想要保持参数值较小。而朗达就是要保持这两个目标之间的平衡,使假设函数的形式更加简单。

    朗达值一般是设定为非常大的数。

    ————————————————————

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    什么是AI正则化?什么是机器学习正则化?什么是机器学习正则化?L1正则化?L2正则化?

    机器学习中,如果参数过多,模型过于复杂,容易造成过拟合(overfit)。即模型在训练样本数据上表现的很好,但在实际测试样本上表现的较差,不具备良好的泛化能力。为了避免过拟合,最常用的一种方法是使用使用正则化,例如 L1 和 L2 正则化。但是,正则化项是如何得来的?其背后的数学原理是什么?L1 正则化和 L2 正则化之间有何区别?本文将给出直观的解释。

    简单解释:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    1. L2 正则化直观解释

    L2 正则化公式非常简单,直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的平方和:

    L=Ein+λjw2jL=Ein+λ∑jwj2

    其中,Ein 是未包含正则化项的训练样本误差,λ 是正则化参数,可调。但是正则化项是如何推导的?接下来,我将详细介绍其中的物理意义。

    我们知道,正则化的目的是限制参数过多或者过大,避免模型更加复杂。例如,使用多项式模型,如果使用 10 阶多项式,模型可能过于复杂,容易发生过拟合。所以,为了防止过拟合,我们可以将其高阶部分的权重 w 限制为 0,这样,就相当于从高阶的形式转换为低阶。

    为了达到这一目的,最直观的方法就是限制 w 的个数,但是这类条件属于 NP-hard 问题,求解非常困难。所以,一般的做法是寻找更宽松的限定条件:

    jw2jC∑jwj2≤C

    上式是对 w 的平方和做数值上界限定,即所有w 的平方和不超过参数 C。这时候,我们的目标就转换为:最小化训练样本误差 Ein,但是要遵循 w 平方和小于 C 的条件。

    下面,我用一张图来说明如何在限定条件下,对 Ein 进行最小化的优化。


    这里写图片描述

    如上图所示,蓝色椭圆区域是最小化 Ein 区域,红色圆圈是 w 的限定条件区域。在没有限定条件的情况下,一般使用梯度下降算法,在蓝色椭圆区域内会一直沿着 w 梯度的反方向前进,直到找到全局最优值 wlin。例如空间中有一点 w(图中紫色点),此时 w 会沿着 -∇Ein 的方向移动,如图中蓝色箭头所示。但是,由于存在限定条件,w 不能离开红色圆形区域,最多只能位于圆上边缘位置,沿着切线方向。w 的方向如图中红色箭头所示。

    那么问题来了,存在限定条件,w 最终会在什么位置取得最优解呢?也就是说在满足限定条件的基础上,尽量让 Ein 最小。

    我们来看,w 是沿着圆的切线方向运动,如上图绿色箭头所示。运动方向与 w 的方向(红色箭头方向)垂直。运动过程中,根据向量知识,只要 -∇Ein 与运行方向有夹角,不垂直,则表明 -∇Ein 仍会在 w 切线方向上产生分量,那么 w 就会继续运动,寻找下一步最优解。只有当 -∇Ein 与 w 的切线方向垂直时,-∇Ein在 w 的切线方向才没有分量,这时候 w 才会停止更新,到达最接近 wlin 的位置,且同时满足限定条件。


    这里写图片描述

    -∇Ein 与 w 的切线方向垂直,即 -∇Ein 与 w 的方向平行。如上图所示,蓝色箭头和红色箭头互相平行。这样,根据平行关系得到:

    Ein+λw=0−∇Ein+λw=0

    移项,得:

    Ein+λw=0∇Ein+λw=0

    这样,我们就把优化目标和限定条件整合在一个式子中了。也就是说只要在优化 Ein 的过程中满足上式,就能实现正则化目标。

    接下来,重点来了!根据最优化算法的思想:梯度为 0 的时候,函数取得最优值。已知 ∇Ein 是 Ein 的梯度,观察上式,λw 是否也能看成是某个表达式的梯度呢?

    当然可以!λw 可以看成是 1/2λw*w 的梯度:

    w(12λw2)=λw∂∂w(12λw2)=λw

    这样,我们根据平行关系求得的公式,构造一个新的损失函数:

    Eaug=Ein+λ2w2Eaug=Ein+λ2w2

    之所以这样定义,是因为对 Eaug 求导,正好得到上面所求的平行关系式。上式中等式右边第二项就是 L2 正则化项。

    这样, 我们从图像化的角度,分析了 L2 正则化的物理意义,解释了带 L2 正则化项的损失函数是如何推导而来的。

    2. L1 正则化直观解释

    L1 正则化公式也很简单,直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的绝对值:

    L=Ein+λj|wj|L=Ein+λ∑j|wj|

    我仍然用一张图来说明如何在 L1 正则化下,对 Ein 进行最小化的优化。


    这里写图片描述

    Ein 优化算法不变,L1 正则化限定了 w 的有效区域是一个正方形,且满足 |w| < C。空间中的点 w 沿着 -∇Ein 的方向移动。但是,w 不能离开红色正方形区域,最多只能位于正方形边缘位置。其推导过程与 L2 类似,此处不再赘述。

    3. L1 与 L2 解的稀疏性

    介绍完 L1 和 L2 正则化的物理解释和数学推导之后,我们再来看看它们解的分布性。


    这里写图片描述

    以二维情况讨论,上图左边是 L2 正则化,右边是 L1 正则化。从另一个方面来看,满足正则化条件,实际上是求解蓝色区域与黄色区域的交点,即同时满足限定条件和 Ein 最小化。对于 L2 来说,限定区域是圆,这样,得到的解 w1 或 w2 为 0 的概率很小,很大概率是非零的。

    对于 L1 来说,限定区域是正方形,方形与蓝色区域相交的交点是顶点的概率很大,这从视觉和常识上来看是很容易理解的。也就是说,方形的凸点会更接近 Ein 最优解对应的 wlin 位置,而凸点处必有 w1 或 w2 为 0。这样,得到的解 w1 或 w2 为零的概率就很大了。所以,L1 正则化的解具有稀疏性。

    扩展到高维,同样的道理,L2 的限定区域是平滑的,与中心点等距;而 L1 的限定区域是包含凸点的,尖锐的。这些凸点更接近 Ein 的最优解位置,而在这些凸点上,很多 wj 为 0。

    关于 L1 更容易得到稀疏解的原因,有一个很棒的解释,请见下面的链接:

    https://www.zhihu.com/question/37096933/answer/70507353

    4. 正则化参数 λ

    正则化是结构风险最小化的一种策略实现,能够有效降低过拟合。损失函数实际上包含了两个方面:一个是训练样本误差。一个是正则化项。其中,参数 λ 起到了权衡的作用。


    这里写图片描述

    以 L2 为例,若 λ 很小,对应上文中的 C 值就很大。这时候,圆形区域很大,能够让 w 更接近 Ein 最优解的位置。若 λ 近似为 0,相当于圆形区域覆盖了最优解位置,这时候,正则化失效,容易造成过拟合。相反,若 λ 很大,对应上文中的 C 值就很小。这时候,圆形区域很小,w 离 Ein 最优解的位置较远。w 被限制在一个很小的区域内变化,w 普遍较小且接近 0,起到了正则化的效果。但是,λ 过大容易造成欠拟合。欠拟合和过拟合是两种对立的状态。

    转载自 https://blog.csdn.net/red_stone1/article/details/80755144,感谢原作者辛勤付出。

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  • 并且笔者还说到,之所以产生过拟合现象由于训练数据中存在一定的噪音,而我们为了尽可能的做到拟合每一个样本点(包括噪音),往往就会使用复杂的模型。最终使得训练出来的模型很大程度上受到了噪音数据的影响,例如...
  • 什么L1正则化导致稀疏解

    千次阅读 热门讨论 2018-09-25 20:13:41
    首先你要知道L1范式和L2范式怎么来的,然后什么要把L1或者L2正则项加到代价函数中去.L1,L2范式来自于对数据的先验知识.如果你认为,你现有的数据来自于高斯分布,那么就应该在代价函数中加入数据先验P(x),一般...
  • 什么这个时候可以尝试收集更多的数据来解决呢?因为,high variance...如果你增加了数据量去训练之后,variance还是很大,那说明我们遇到了典型的 over fitting,我们就需要考虑用 正则化手段了。 三、正则化(Regu
  • 本文主要包含以下内容:一、什么是正则化二、参数范数模型2.1 L1正则和L2正则2.2 为什么通过L1正则、L2正则能够防止过拟合2.3 L2正则的表现2.4 L1正则化为什么会产生稀疏解2.5 L2正则为什么求解比较稳定三、Dropout...
  • 一、L1正则化与L2正则化的区别以及为什么L1正则化可以产生稀疏矩阵,L2正则化可以防止过拟合 正则化(regularization):机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项,常用的额外项一般有两种,一般英文...

空空如也

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什么是正则化