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  • Python数据分析与展示之numpy生成二维及多维正态分布随机数
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    2022-02-14 16:33:10

    一、numpy模块初识

    NumPy(Numerical Python)是Python的一种开源的数值计算扩展。这种工具可用来存储和处理大型矩阵,比Python自身的嵌套列表(nested list structure)结构要高效的多(该结构也可以用来表示矩阵(matrix)),支持大量的维度数组与矩阵运算,此外也针对数组运算提供大量的数学函数库。

    二、生成0~1的数组:np.random.random

    import numpy as np  # 导入模块
    array = np.random.random(6)  # 随机生成0~1的随机数,参数表示个数
    print(array)  # 打印数组
    # 输出结果
    # [0.291581   0.94386352 0.17057392 0.68169912 0.71410809 0.48869206]

    三、正态分布(一维):np.random.randn (n)

    # 正态分布
    import numpy as np  # 导入模块
    
    array = np.random.randn(6)  # 随机生成0~1的随机数,参数表示个数
    print(array)  # 打印数组
    # 输出结果
    # [ 0.36854586 -0.14679773  0.8571154   0.32133017 -0.19686295 -1.13227268]

    四、正态分布(二维):np.random.randn (2,n)注意结果中括号数量

    # 正态分布
    import numpy as np  # 导入模块
    
    array = np.random.randn(2,6)  # 随机生成0~1的随机数,参数表示个数
    print(array)  # 打印数组
    # 输出结果
    # [[ 0.07126508 -1.00878137 -2.55524076 -0.30622609 -0.15677762  0.29451671]
    #  [ 0.82189096  0.15222826 -0.22179691 -1.0938879  -0.53919851  1.01396701]]

    五、正态分布(多维):np.random.randn (x,y)

    # 正态分布
    import numpy as np  # 导入模块
    
    array = np.random.randn(5,6)  # 随机生成0~1的随机数,参数表示个数
    print(array)  # 打印数组
    # 输出结果
    # [[-1.54956132  0.17128378 -0.50218919 -0.76759462 -1.25870508  0.81819736]
    #  [-1.5647944  -0.53984111 -0.67357775  1.32124529 -0.78602524 -0.24988648]
    #  [ 0.03747857  0.4691213   0.64394841 -0.0338305   0.32232235  0.37518126]
    #  [ 0.99779461  0.57622062 -0.80662965  0.01579862 -0.03792585  0.3087749 ]
    #  [ 0.92132549  0.85622781  1.46119892  0.05633672  1.44731465  0.64289519]]

    六、遍历数组(嵌套循环)

    # 正态分布
    import numpy as np  # 导入模块
    
    array = np.random.randn(3, 3)  # 随机生成0~1的随机数,参数表示个数
    print(array)  # 打印数组
    print("-----------------------")
    for array1 in array:  # 一重遍历
        for array2 in array1:  # 二重遍历
            if (array2 > 0) and (array2 < 1):  # 添加所需条件
                print(array2)  # 打印
    
    # 输出结果
    # [[-0.06447758  0.50622103 -1.06414826]
    #  [-0.93554389 -0.79832955 -1.92540642]
    #  [ 1.10755039  0.76215104  0.8568204 ]]
    # -----------------------
    # 0.506221028078229
    # 0.7621510394939643
    # 0.8568204017768024

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  • 文章目录代码mvnrnd输入参数mu——多元正态分布的均值sigma——多元正态分布的协方差n——多元随机数的个数mvnrnd输出参数R——多元正态随机数 代码 生成指定均值向量为(3, 2),协方差矩阵为(11.51.54)\left(\begin...


    代码

    生成指定均值向量为(3, 2),协方差矩阵为 ( 1 1.5 1.5 4 ) \left(\begin{aligned}&1&1.5\\&1.5&4\end{aligned}\right) (11.51.54)的二元正态分布的随机数:

    mu = [3 2]; % 均指向量
    nov = [1 1.5; 1.5 4]; % 协方差矩阵
    
    % 生成100个二元正态分布随机数
    R = mvnrnd(mu, nov, 100);
    
    % 绘制二元正态分布散点图
    scatter(R(:,1),R(:,2),'filled');
    grid on;
    

    在这里插入图片描述


    mvnrnd输入参数

    mu——多元正态分布的均值

    :数值向量 | 数值矩阵

    含义:多元正态分布的平均值,指定为 1×d数值向量m×d数值矩阵。如果 mu 是一个向量,那么 mvnrd 复制该向量以匹配 sigma 的后续维度。如果 mu 是一个矩阵,那么 mu 的每一行就是单个多元正态分布的均值向量。

    数据类型:整型 | 双精度浮点型


    sigma——多元正态分布的协方差

    :对称半正定矩阵 | 数字数组

    含义:多元正态分布的协方差,指定为 d×d对称半正定矩阵d×d×m 数值数组。如果 sigma 是一个矩阵,那么 mvnrnd 复制该矩阵以匹配 mu 中的行数。如果 sigma 是一个数组,那么 sigma 的每一个元素,sigma(: , :, i) 是单个多元正态分布的协方差矩阵,因此是一个对称的半正定矩阵。

    如果协方差矩阵是对角矩阵,包含沿对角线的方差和零协方差,则还可以将 sigma 指定为 1×d向量 或 仅包含对角线项的1×d×m数组

    数据类型:整型 | 双精度浮点型


    n——多元随机数的个数

    :正标量整数

    含义:多变量随机数的数目,指定为正标量整数。n 指定 R 中的行数。

    数据类型:整型 | 双精度浮点型


    mvnrnd输出参数

    R——多元正态随机数

    :数值矩阵

    多元正态随机数,返回为以下值之一:

    • mxd数值矩阵,其中 m 和 d 是由 μ 和 σ 指定的尺寸
    • n×d数值矩阵,其中 n 是指定的输入参数,d 是由 mu 和 sigma 指定的维数

    如果 mu 是矩阵,sigma 是数组,那么 mvnrnd 使用 mu(i, : ) 和 sigma(:, :, i) 计算 R(i, : )。

    展开全文
  • 目录0引言1、函数名2、示例2.1正态分布随机数2.2偏正态分布2.3对数正态分布写在最后的话 0引言 最近在看偏正态分布相关的东西,偏正态分布的定义形式还是挺多样的,在偏态分布及其数字特征(R语言可视化)中我介绍的...

    0引言

    最近在看偏正态分布相关的东西,偏正态分布的定义形式还是挺多样的,在偏态分布及其数字特征(R语言可视化)中我介绍的最初的一种定义。在平时做模型做随机模拟的时候的需要产生随机数来检验自己模型估计的有效性,我们可以通过各种分层表示用已知的分布去近似,也可以通过筛法使用均匀分布去生成、也可以用MCMC去采样。但是最为一个专业的统计软件——R语言肯定是有内置函数或者内置包去做的。大家感兴趣原理的也可以自行打开R函数查看。
    本文的主要目的是介绍R语言内部的产生下面分布的随机数的函数。
    – 一元正态分布随机数
    – 一元偏正态分布随机数
    – 一元对数正态随机数
    – 多元正态分布随机数
    – 多元偏正态分布随机数
    – 多元对数正态随机数

    1、函数名

    对于熟悉R语言的人只有函数名字和包名即可,下面列出具体名字。

    维度分布函数
    一维度正态分布rnormstats
    一维度偏正态分布rsnsn
    一维度对数正态rlnormstats
    多维度正态分布mvrnormMASS
    多维度偏正态分布rmsnsn
    多维度对数正态mvlognormalMethylCapSig

    但是对于很多R小白的科研大佬来说只有一个名字是比较浪费时间的,下面给出具体案例。

    2、示例

    先把该安装的包岸上并且载入,后面有备注大家按需安装载入。

    install.packages("MethylCapSig")  # 多元对数正态包
    install.packages("MASS")  # 多元正态分布包
    install.packages("sn")  # 偏态数据包
    library(MASS)
    library(sn)
    library(MethylCapSig)
    

    2.1正态分布随机数

    这块介绍如何生成一元和多元的正态分布随机数。生成正态分布的随机数的函数是rnorm,多元正态随机数用mvrnorm

    #生成n个均值0标准差1的正态随机数
    > n = 10
    > rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
     [1]  0.6035027 -0.9081701  1.5303255  0.3761588 -1.6406858 -1.5728766
     [7] -1.6586157  0.8287051  1.7688131  1.1472097
    
    mvrnorm(n = 1, mu, Sigma, tol = 1e-6, empirical = FALSE, EISPACK = FALSE)
    # 生成均值为mu,协方差矩阵为Sigma的10次观测的多元正态随机数
    > mu <- rep(0, 2)
    > mu
    [1] 0 0
    > Sigma <- matrix(c(5,1,1,2),2,2)
    > Sigma
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    > mvrnorm(n, mu, Sigma)
                [,1]       [,2]
     [1,]  0.3458454  0.3552218
     [2,] -4.9145503 -2.2932391
     [3,]  2.3285543  1.7957570
     [4,]  2.6422543  1.4493042
     [5,] -2.0447422 -0.5195390
     [6,] -0.5682730 -0.1557601
     [7,] -0.0560933  0.6941458
     [8,]  3.5873361  2.1324344
     [9,] -0.3522617 -1.0535145
    [10,]  1.9490186 -1.7155158
    

    2.2偏正态分布

    这块介绍如何生成一元和多元的偏正态分布随机数。生成偏正态分布的随机数的函数是rsn,多元正态用rmsn

    rsn(n=1, xi=0, omega=1, alpha=0, tau=0,  dp=NULL)
    # 生成10个位置参数为5,标准差为2,偏度为5的一元偏正态分布
    > n = 10
    > rsn(n, 5, 2, 5)
     [1] 6.366628 4.622272 4.973537 5.716082 6.438601 7.489781 5.034990 5.762948
     [9] 9.547775 8.470482
    attr(,"family")
    [1] "SN"
    attr(,"parameters")
    [1] 5 2 5 0
    
    rmsn(n=1, xi=rep(0,length(alpha)), Omega, alpha,  tau=0, dp=NULL)
    # 生成多元偏态分布,均值向量xi,协方差矩阵,偏度向量 alpha
    > xi <- c(0, 0)
    > xi
    [1] 0 0
    > Omega <- matrix(c(5,1,1,2),2,2)
    > Omega
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    > alpha <- c(2,-2)
    > alpha
    [1]  2 -2
    > rmsn(10, xi, Omega, alpha)
                 [,1]       [,2]
     [1,] -0.65320266  0.6861521
     [2,]  1.37481687 -0.1659318
     [3,]  3.14522100  0.4529551
     [4,] -0.07057607 -0.6608571
     [5,] -2.68493331 -2.9035422
     [6,]  2.19216656  0.7597699
     [7,]  1.50244323  0.7730602
     [8,] -1.81347772 -1.4717120
     [9,] -0.56875748 -0.8176260
    [10,]  0.88476306 -0.3663496
    attr(,"family")
    [1] "SN"
    attr(,"parameters")
    attr(,"parameters")$xi
    [1] 0 0
    
    attr(,"parameters")$Omega
         [,1] [,2]
    [1,]    5    1
    [2,]    1    2
    
    attr(,"parameters")$alpha
    [1]  2 -2
    
    attr(,"parameters")$tau
    [1] 0
    

    2.3对数正态分布

    这块介绍如何生成一元和多元的对数正态分布随机数。生成对数正态分布的随机数的函数是rlnorm,多元对数正态用mvlognormal

    生成10个对数均值为0,对数标准差为1的对数随机数。
    > n = 10
    > rlnorm(n, meanlog = 0, sdlog = 1)
     [1] 1.5638173 0.7085567 0.9552697 0.7990129 0.3913724 2.3829746 2.7009141
     [8] 2.3251721 4.7090633 0.5284348
    
    mvlognormal(n, Mu, Sigma, R)
    # 生成10个 5维度的多元对数正态分布
    > n = 10
    > p = 5
    > Mu = runif(p, 0, 1)
    > mvlognormal(n, Mu, Sigma = rep(2, p), R = toeplitz(0.5^(0:(p-1))))
                [,1]       [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
     [1,] 0.19001058 1.03046394 0.96453695 0.82259809 0.15816013
     [2,] 0.17443047 0.06155735 0.37621382 0.33498919 0.27119953
     [3,] 0.34553546 0.28509934 0.29120016 0.04141813 0.22553617
     [4,] 0.11498941 0.35994614 0.23380755 0.15672124 0.04621199
     [5,] 0.32452033 0.11553876 0.55283657 0.26637357 0.11062302
     [6,] 0.04953786 0.16264098 1.75032911 6.34862167 1.38340544
     [7,] 0.32886451 0.30378793 0.02375825 0.02375620 0.89213319
     [8,] 0.16846539 0.03653899 0.11298382 0.22751003 0.09530435
     [9,] 0.07762988 0.31748557 0.05862739 0.03529833 0.12301490
    [10,] 0.18367711 2.58261427 0.03078996 0.01153906 0.07951331
    > 
    

    写在最后的话

    希望可以帮助大家学习R语言。水平有限发现错误还望及时评论区指正,您的意见和批评是我不断前进的动力。

    展开全文
  • 在前面的章节中,我们介绍了多元随机变量的有关概念,重点围绕着多元随机变量的联合概率、条件与边缘概率分布以及独立...1.再谈相关性:基于多元正态分布很简单,我们举一个例子,之前我们介绍过随机变量的正态分布...

    在前面的章节中,我们介绍了多元随机变量的有关概念,重点围绕着多元随机变量的联合概率、条件与边缘概率分布以及独立性和相关性,阐述了多元随机变量之间的关系,这些都是多元随机变量重点需要关注和研究的问题。在上述理论知识的基础之上,我们在这一小节里以多元正态分布作为实际例子,让大家能够更直观的理解和强化这些概念和方法。

    1.再谈相关性:基于多元正态分布

    很简单,我们举一个例子,之前我们介绍过随机变量的正态分布,这里我们引入多元随机变量的正态分布:

    如果向量$Z$由若干个遵从标准正态分布的独立同分布随机变量 $Z_1,Z_2,...,Z_n$组成,那么我们就说向量$Z$遵从$n$元标准正态分布。

    1.1.二元标准正态分布

    为了便于讨论,我们这里主要讨论二元随机变量的情况。由随机变量$X$和$Y$组成的二元标准正态分布中,随机变量$X$和$Y$都服从均值为$0$,方差为$1$的标准正态分布,并且随机变量$X$和$Y$之间的协方差为$0$。其协方差矩阵为:$\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}$。

    我们利用$python$来生成服从二元标准正态分布的随机变量$X$和$Y$,并且通过可视化的方式进行观察。

    代码片段:

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    import seaborn

    seaborn.set()

    mean = np.array([0, 0])

    conv = np.array([[1, 0],

    [0, 1]])

    x, y = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=5000).T

    plt.figure(figsize=(6, 6))

    plt.plot(x, y, 'ro', alpha=0.2)

    plt.gca().axes.set_xlim(-4, 4)

    plt.gca().axes.set_ylim(-4, 4)

    plt.show()

    在代码中,我们生成了各自均值为$0$,方差为$1$,随机变量间的协方差为$0$的二元标准正态分布随机变量$X$和$Y$,一共生成$3000$组样本,我们实际观察一下可视化的结果。

    运行结果:

    图1.二元标准正态分布样本示意图

    从图中我们发现,在均值点(这里对应的是原点)附近,样本出现的概率较高(我们设置的样本点的透明度为$0.2$,因此颜色越深意味着样本点的个数越多),远离均值点的地方样本出现的概率较低,并且无论向任何方向,总体上概率没有表现出太大区别。

    1.2.二元一般正态分布

    我们通过调整参数,可以逐渐将二元标准正态分布变换为二元一般正态分布。我们可以调整的参数主要有以下三个方面:

    第一:调整多个随机变量自身的均值,这样是让样本整体在二维平面上进行平移,这个很简单,我们就不多说了。

    第二:调整随机变量$X$,$Y$自身的方差,当然此时我们还是保留他们互相之间彼此独立的关系,我们来观察一下样本图像的特点。

    与标准二元正态分布对照,我们设定随机变量$X_2$的方差为$4$,$Y_2$的方差为$0.25$,对比观察一下:

    代码片段:

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    import seaborn

    seaborn.set()

    mean = np.array([0, 0])

    conv_1 = np.array([[1, 0],

    [0, 1]])

    conv_2 = np.array([[4, 0],

    [0, 0.25]])

    x_1, y_1 = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv_1, size=3000).T

    x_2, y_2 = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv_2, size=3000).T

    plt.plot(x_1, y_1, 'ro', alpha=0.05)

    plt.plot(x_2, y_2, 'bo', alpha=0.05)

    plt.gca().axes.set_xlim(-6, 6)

    plt.gca().axes.set_ylim(-6, 6)

    plt.show()

    运行结果:

    图2.彼此独立的二元非标准正态分布示意图

    从图中对比可以看出,蓝色的样本点就是调整了随机变量各自的方差,但保持随机变量$X$和$Y$之间协方差为$0$的样本分布。

    第三:就是调整协方差。我们保持随机变量各自的方差不变,通过改变协方差的值,来观察协方差的变换给随机变量间的相关特性带来的影响以及在图像上的反映。

    代码片段:

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    import seaborn

    seaborn.set()

    fig, ax = plt.subplots(2, 2)

    mean = np.array([0,0])

    conv_1 = np.array([[1, 0],

    [0, 1]])

    conv_2 = np.array([[1, 0.3],

    [0.3, 1]])

    conv_3 = np.array([[1, 0.85],

    [0.85, 1]])

    conv_4 = np.array([[1, -0.85],

    [-0.85, 1]])

    x_1, y_1 = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv_1, size=3000).T

    x_2, y_2 = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv_2, size=3000).T

    x_3, y_3 = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv_3, size=3000).T

    x_4, y_4 = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv_4, size=3000).T

    ax[0][0].plot(x_1, y_1, 'bo', alpha=0.05)

    ax[0][1].plot(x_2, y_2, 'bo', alpha=0.05)

    ax[1][0].plot(x_3, y_3, 'bo', alpha=0.05)

    ax[1][1].plot(x_4, y_4, 'bo', alpha=0.05)

    plt.show()

    在代码中,我们生成了四组二元正态分布,其中第一组是作为对照用的二元标准正态分布。第二组的协方差为$0.3$,第三组的协方差为$0.85$,第四组的协方差为$-0.85$。

    运行结果:

    图3.彼此相关的二元非标准正态分布对比示意图

    从运行结果中我们发现,与二元标准正态分布的样本图像呈现为圆形相比,协方差不为$0$的二元正态分布呈现为一定斜率的椭圆图像,并且协方差越大,椭圆越窄。

    同时协方差为正和为负,椭圆的方向是相反的,这个很容易理解,分别对应体现了正相关和负相关的关系。

    2.聚焦相关系数

    有了生成多元正态分布随机变量的方法和可视化手段之后,我们再来从量化的角度回答前面一个小节中提到过的问题:协方差大的两个随机变量,他们之间的相关性一定就大于协方差小的随机变量吗?

    我们来看下面这段代码:

    代码片段:

    ```

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    import seaborn

    seaborn.set()

    展开全文
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