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  • 系统采样频率的一些考虑

    千次阅读 2011-07-24 08:01:59
    系统采样频率的一些考虑 在数字信号处理中,要求待处理的信号都是离散的,而且还要是经过量化的。但在现实的世界中,比如电压、温度等都是连续的量,也即是通常所说的模拟信号。因此,在进行数字信号处理之前,需要...

     系统采样频率的一些考虑

     

          在数字信号处理中,要求待处理的信号都是离散的,而且还要是经过量化的。但在现实的世界中,比如电压、温度等都是连续的量,也即是通常所说的模拟信号。因此,在进行数字信号处理之前,需要把这些连续的信号转变为数字信号。这种转换由ADC来完成。将模拟信号转换为数字信号,实际上包含着两部分的工作,一是离散,二是量化。

           先来看连续信号离散化的问题。连续信号经过什么样的变换才能变为离散信号呢?如何保证这种变换不会损失连续信号所携带的信息呢?连续信号的离散化等效于连续信号与冲激串相乘,这样,只有在冲激串有值的地方,对应的连续信号才保留下来了,完成连续信号的离散化。那么冲激串的间隔为多少的情况下不损失连续信号所携带的信息呢?答案就在于奈奎斯特采样定理:采样频率大于或等于2倍的信号带宽。因为冲激串的频谱仍然为冲激串,而且间隔为采样频率fs。由卷积定理可知,时域的相乘等效于频域相卷,如果满足奈奎斯特定理要求的话,在频域就不会出现频谱混叠,也即是没有损失连续信号所携带的信息。换句话说,在满足奈奎斯特采样定理的情况下,理论上通过离散信号可以完全重构原始的联系信号。这也就是说,从离散化的角度,采样频率只需满足奈奎斯特定理就可以了。

           再来看量化的问题。由于数字信号仅在某些点上有值,具体与量化的位数有关。但连续信号是在任意点都可能有值。这样就会出现这样的问题:连续信号的某个值位于两个数字值之间。比如说采用8位量化,连续信号的取值范围为0到1。这时数字信号最小能表示的单位为0.00390625,如果连续信号在某个时刻的值为0.004的话,经过量化后只能表示成0.00390625,也即是00000001。这样,量化的过程就会产生误差了,这就是所谓的量化误差,或者说量化噪声。研究表明,量化噪声的功率为(Lsb)2/12,其中Lsb为最低位所表示的值,在刚才的例子中,就是0.00390625。相应地,量化噪声的功率谱为(Lsb)2/(12*fs)。在实际采样的过程中,我们当然希望尽量减小噪声的影响了。这时有两个办法:一是增加采样位数,以降低Lsb的值;二是提高采样频率。这也就是说,为了降低量化误差,希望采样频率尽可能大。但在实际中,采样频率也不能无限的大,因为采样率越大,意味着数据率越高,对系统的存储、处理都带来了很大的负担。为了解决这个矛盾,在采样时往往采用过采样的方法,也既是采样频率大于奈奎斯特频率,一般为2-4倍。这样可以有效降低量化噪声的影响。在处理中采用多速率的方法,通过抽取降低实际处理过程中的采样率。关于多速率处理,以后再讨论。

           综上所述,在实际中,采样频率的选择要遵循如下原则:最重要的是奈奎斯特采样定理;其次是适当的过采样。

     

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    卓老师,我有一个信号与系统的问题想请教。按照时域采样定理,采样频率≥2倍的信号频率,才能得到信号全部信息。

    而以智能车中的编码器测速为例。我们知道测速周期在可接受范围内越小越利于控速,比如2ms。但2ms采样一次速度,究竟能不能得到速度信号的全部信息我们却不得而知,归根结底是因为不知道速度信号的频率是多少。

    那么智能车速度信号的频率要如何得知呢?

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    速度光电编码盘

    (回复)提问中的问题包括有三个子问题:

    (1)根据采样定理,如何采集速度信号? 

    (2)使用光电码盘测量速度信号主要误差来源是什么?

    (3)根据车模速度控制需要究竟需要按照什么周期采集速度信号?

    同学们学习信号采样定理,最容易犯的错误就是机械的照搬定理的结论,却没有注意到定理的使用条件。

    信号采样定理的应用条件有两个:一是信号是一个频带受限信号,即信号有一个最高频率;二是除了知道信号频谱的最高频率之外,不再知道其它信号的额外信息了。在此条件下,信号的奈奎斯特频率,即信号的采样频率就是信号的最高频率的两倍。

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    如果额外还知道信号的其它条件,比如信号是一个窄带信号,除了最高频率之外,还有最低频率;此时就可以使用低得多频率完成信号的采样。这一点可以参照郑君里教授《信号与系统》第三章的最后一个习题。

    举一个极端的例子,如果已知信号是一个正弦波,即信号的频谱是一个线谱,此时实际上只需要任意对信号采样三个不同时间的数据,在一般意义上便可以恢复该信号,此时成为信号的参数估计。

    对于车模的速度信号,经过光电编码盘之后,它反映在两路输出正交方波信号中,速度信号是该方波信号的频率参数。

    此时可以看成速度信号调制在两路正交同频率的方波脉冲信号中,是调频调制。因此,接受到的光电编码信号是速度信号的调制信号。

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    接收到的光电编码盘信号是速度的调制信号

    所以光电编码信号的频谱并不是速度信号的频谱,而是速度的频谱被调制后进行了频谱搬移。如果对速度信号进行采样,则需要对原来信号进行解调之后才能够获得速度信号。

    如何从光电脉冲信号解调出速度信号在第二个小问题进行回答。在此之前,还是需要讨论普通车模的速度信号的频谱范围如何确定?

    信号的频谱范围取决于信号的交流分量的范围。如果车模的速度是保持在恒速运行,不论这个速度多大,对应的频谱范围都是0。

    那么如何估计车模速度的交变分量呢?这一点可以使用车模从速度为零加速到最高速度的时间,或者从最高速度减速到0 的时间来衡量。这个时间的倒数与速度的频带宽度成正比。

    比如车模使用0.2秒从静止加速到最高速度并保持匀速运行,对于这样一个斜边速度信号,它的频谱本身是无穷大的,但可以认为其主要频谱能量集中在5Hz(0.2秒的倒数)以内。对于速度信号的采样可以使用5Hz的两倍以上的频率完成采样,即10Hz以上的采样频率。当然,为了留出一定的余量,则需要使用20H以上的频率进行采样。

    具体采样周期需要根据第二个问题-速度测量误差来源和第三个问题车模速度离散控制周期综合确定。

    第二个问题是速度测量误差来源。由于常见到的速度编码器是将速度信号调制在两路正交脉冲信号上。

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    一款实际应用的Hall传感器测量速度

    通常可以采用脉冲数量测量方法、脉冲周期测量方法、以及它们的组合方法。测量的误差与总测量时间T成反比,即测量周期越长,所获得的频率越准确。

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    对于信号的频率估计所产生的不确定性与信号的持续时间T呈现反比关系。这就是著名的信息测不准原理。相关的讨论可以参见推文《傅里叶变换与不确定性》中的叙述。

    因此,如果想获得更加精确的速度信息,则需要更长的测量周期,则对应的测量速度的频率就需要越低。最后在结合控制速度的精确度来粗略估计对速度的测量大体精度。

    最后一个问题就是关于车模速度控制周期。车模的速度调节是由单片机通过软件来实现的,这是一个离散时间控制系统。其中一个重要的参数,就是离散时间系统的控制周期的选择。

    离散时间控制系统的周期在选择上只要比起控制对象的频带宽度对应的时间常数小一个数量级,便可以达到很好的控制效果了。

    当确定下速度控制周期之后,对于速度采集的周期(频率)也就相继确定下来了,即速度控制周期就等于速度采样周期。

    需要根据控制效果来确定被控对象的控制周期。对于控制效果,往往需要根据控制结果的性能来衡量,它们包括控制量的过冲比率、上升时间、稳定时间以及稳态精度等等。这可以从控制对象的单位阶跃响应曲线来定义。

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    下面是选择了一个带有0.2秒延迟的二阶系统,它的单位冲击响应如下图所示:

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    为了提高该系统的性能,即减少系统过冲,同时提高系统的跟踪速度,可以对该系统引入负反馈控制。

    下面是引入比例负反馈控制的效果。比例控制参数从0增加到5.

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    下图给出了在不同的反馈比例因子,反馈系统的过程比率。可以看到,在反馈比例系数为1.75左右时,系统过冲最小,大约在50%的过冲左右。

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    如果希望进一步减少系统的过冲,可以再引入微分控制项。下图给出了反馈比例系数为1.75,微分反馈控制系数从0增加到1的过程中,系统的单位冲击响应曲线。系统的过冲从50%降低到20%左右。

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    下图绘制出在不同的微分系数下,系统的过冲变化曲线。在微分系数为0.75左右,系统过冲达到最小。

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    根据前面两次实验,可以大体确定下系统反馈控制的最优参数,比例系数为1.75,微分系数为0.75左右。

    所形成的反馈控制如下图所示:

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    使用MATLAB的bode命令绘制出此时系统的频率特性:

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    从上图可以看出,该系统是一个低通系统。但由于延迟的存在,系统具有多个谐振峰值。第一个截止频率在1.6Hz左右,第一个谐振频率在15Hz左右。

    对于该系统如果采用单片机软件控制,则需要确定控制周期。控制周期与控制效果之间有什么关系呢?

    下图通过实验,对原来的连续控制系统进行离散化,取控制周期0.01s变化到0.75秒,观察系统的单位冲激响应的变化。

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    下图给出了在不同的控制周期下,系统的单位冲击响应的过冲比率。从图中可以看出,系统过冲量与控制周期之间并不是一个简单的曲线关系,而是随着控制周期增加呈现多次波动情况。

    对于一个特定的对象,并不是控制周期越小越好,总是存在着一些最优的控制周期。

    对于该系统,当控制周期超过0.618秒的时候,反馈系统就不再稳定,呈现发散状态。

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    从上面的实验可以看出,对于控制周期小于0.1秒的时候,系统是稳定的,而且过冲误差控制在1.35之内。下面对于控制周期在0.01至0.1秒之间再进行实验,观察在不同控制周期下的控制效果。

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    下面曲线绘制出在控制周期从0.01秒到0.1秒变化时,系统的单位冲击响应的过冲误差曲线。该曲线呈现规律的波动。

    因此,从整体上来看,对于该系统,控制周期只要小于0.1秒,系统过冲就不是很大了。控制周期从10毫秒至40毫秒之间控制性能差别不大了。

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    最后对于提问的回复进行小结:对于速度信号的测量,它的测量频率不是按照光电编码信号的最高频率来确定的,而是按照其中速度信号的频率来确定采样信号的。速度的频率范围可以从车模加速时间或者停止时间的倒数来近似确定。

    最终的速度采样周期则需要跟控制软件周期保持一致。而该周期的确定则是根据控制性能(过冲量、过渡时间、稳定精度等)来权衡。

    实践中,在控制性能能够满足要求的情况下,不要一味减小控制周期。这不仅对提高控制性能无益,同时由于对速度采样的周期减少,而带来额外的测量误差。这测量噪声在控制回路中会引起更大的控制噪声。

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    公众号留言

    留言1:卓老师,针对现在公布的初步规则我有几点疑问和建议,想和您交流一下:1.规则规定的十字路口超车标志,按您的回复来说并不是所有路口都存在。那如果在不允许抄近路的地方抄了,是否会罚时?罚时多久?

    2.规则规定的车库元素,其边缘是全部路肩铺盖还是只贴上胶带还是间隔铺设?如果在停车时撞上了车库边缘或者超出其边缘是否犯规?如果算犯规又怎么判罚?

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    3.按照比赛要求,双车基本是一定会安装交接装置的。这些装置安装后车模的长宽高究竟如何计算?是按照初始状态计算还是按照交接过程中运行的最大范围计算?

    4.初步规则中并没有明确车模交接棒的位置。那么这个位置比赛中究竟是选手自己选还是赛道直接指定?如果指定的话是指定一个位置还是一片区域?

    对于交接棒的位置老师我有个建议:可否在赛道设计时就指定一块区域交接,然后在这块区域上的某个位置再设置一个不带起跑线的车库。会车时要求后车从车库驶出接球,前车传球完后驶入该车库,其他动作不变。这样就解决了位置的问题,而且校内调试时多出的这个车库并不会影响其他组别同学调试。

    老师这就是我的疑问和建议,希望老师能够给予解答,谢谢老师!最后插一句:老师别太熬夜了,注意身体,您这推文时间太让人担心了

    回复:谢谢你通过提问规则所提出疑问可以帮助我们进一步完善规则。1)如果在没有标示的十字路口车模没有直接前行,则比赛失败;2)对于车库边缘不一定铺设路肩,只要车模外轮廓在车库内即算停车成功;否则加罚一定的时间;3)对于双车交接接力棒的装置应该计算在车模总长度内;该长度应该在比赛前、后都不超过要求,这样判罚较为简便;4)车模交接区应该在比赛前同一指定,在完成交接过程在前后一个一米的区域便于判断。你所提出的中间再设置一个停车库的建议非常好。值得吸收在正式规则中。

    留言2:老师,这个灯如果按照规则进行设定的话。那他的光线就太不均匀了(我们用的是以往的信标灯控制电路,电路面积比较小)。所以我想问一下老师,今年的比赛信标灯电路会不会改成面积更大,但更扁的电路?

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    回复:为了和之前相互能够兼容,今年的信标灯电路不会再增大了。

    留言3:卓大大,现在再给您留言可能有点晚了,但是还是想提一些建议。就是不知室内能否保留纯电磁组给节能。大大可能不知道,对于节能来说硬件的纠错周期是很长的,光是把平衡调出来就要改好几版车。因为我们不能像三轮组一样加配重条来调机械零点,就只能做一版车测一测中心,然后改一版试试(因为我们的车要尽可能轻)。

    所以留给软件真正上赛道调试的时间其实不多,像我们学校去年的节能组西部赛前只有一个星期的上赛道调试时间。本身调平衡已经不易(主要在于硬件方面想要做到最优),如果再加上调摄像头,那就有点太极限了。

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    我们组三个人虽然都是节能的萌新,但本身都有一年的竞赛基础,我相信大部分敢选节能的组别应该都和我们一样,但是这项任务我们做起来也是相当头疼,想到将来的极限操作,还是请大大能够手下留情。

    回复:谢谢你们的建议。

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  • 采样频率要高于控制频率,采样n次后取平均值,相当于一个滤波。再送去控制器进行控制,所以采样频率是控制频率的n倍,而控制频率一般是开关频率的十分之一。

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  • 采样频率、采样点数、频率分辨率

    万次阅读 多人点赞 2018-12-01 09:07:43
    解释一:频率分辨率可以理解为在使用DFT时,在频率轴上的所能得到的最小频率间隔f0=fs/N=1/NTs=1/T,其中N为采样点数,fs为采样频率,Ts为采样间隔。所以NTs就是采样前模拟信号的时间长度T,所以信号长度越长,频率...

    1.频率分辨率的2种解释 
    解释一:频率分辨率可以理解为在使用DFT时,在频率轴上的所能得到的最小频率间隔f0=fs/N=1/NTs=1/T,其中N为采样点数,fs为采样频率,Ts为采样间隔。所以NTs就是采样前模拟信号的时间长度T,所以信号长度越长,频率分辨率越好。是不是采样点数越多,频率分辨力提高了呢?其实不是的,因为一段数据拿来就确定了时间T,注意:f0=1/T,而T=NTs,增加N必然减小Ts ,因此,增加N时f0是不变的。只有增加点数的同时导致增加了数据长度T才能使分辨率越好。还有容易搞混的一点,我们在做DFT时,常常在有效数据后面补零达到对频谱做某种改善的目的,我们常常认为这是增加了N,从而使频率分辨率变好了,其实不是这样的,补零并没有增加有效数据的长度,仍然为T。但是补零其实有其他好处:1.使数据N为2的整次幂,便于使用FFT。2.补零后,其实是对DFT结果做了插值,克服“栅栏”效应,使谱外观平滑化;我把“栅栏”效应形象理解为,就像站在栅栏旁边透过栅栏看外面风景,肯定有被栅栏挡住比较多风景,此时就可能漏掉较大频域分量,但是补零以后,相当于你站远了,改变了栅栏密度,风景就看的越来越清楚了。3.由于对时域数据的截短必然造成频谱泄露,因此在频谱中可能出现难以辨认的谱峰,补零在一定程度上能消除这种现象。 
     
    那么选择DFT时N参数要注意:1.由采样定理:fs>=2fh,2.频率分辨率:f0=fs/N,所以一般情况给定了fh和f0时也就限制了N范围:N>=fs/f0。 
     
    解释二:频率分辨率也可以理解为某一个算法(比如功率谱估计方法)将原信号中的两个靠得很近的谱峰依然能保持分开的能力。这是用来比较和检验不同算法性能好坏的指标。在信号系统中我们知道,宽度为N的矩形脉冲,它的频域图形为sinc函数,两个一阶零点之间的宽度为4π/N。由于时域信号的截短相当于时域信号乘了一个矩形窗函数,那么该信号的频域就等同卷积了一个sinc函数,也就是频域受到sinc函数的调制了,根据卷积的性质,因此两个信号圆周频率之差W0必须大于4π/N。从这里可以知道,如果增加数据点数N,即增加数据长度,也可以使频率分辨率变好,这一点与第一种解释是一样的。同时,考虑到窗函数截短数据的影响存在,当然窗函数的特性也要考虑,在频率做卷积,如果窗函数的频谱是个冲击函数最好了,那不就是相当于没截断吗?可是那不可能的,我们考虑窗函数主要是以下几点:1.主瓣宽度B最小(相当于矩形窗时的4π/N,频域两个过零点间的宽度)。2.最大边瓣峰值A最小(这样旁瓣泄露小,一些高频分量损失少了)。3.边瓣谱峰渐近衰减速度D最大(同样是减少旁瓣泄露)。在此,总结几种很常用的窗函数的优缺点: 
     
    矩形窗:B=4π/N  A=-13dB  D=-6dB/oct  
    三角窗:B=8π/N  A=-27dB   D=-12dB/oct  
    汉宁窗:B=8π/N  A=-32dB   D=-18dB/oct  
    海明窗:B=8π/N  A=-43dB   D=-6dB/oct  
    布莱克曼窗:B=12π/N  A=-58dB  D=-18dB/oct  

     

    可以看出,矩形窗有最窄的主瓣,但是旁瓣泄露严重。汉宁窗和海明窗虽主瓣较宽,但是旁瓣泄露少,是常选用的窗函数。

     

     

     

    2. 

    采样周期与频率分辨率

     

    fs/N

    常称作为频率分辨率,它实际是作

    FFT

    时谱图中的两条相邻谱线之间的频率间隔,也有称作步

    长。单位是

    Hz

    Khz

    等。频率分辨率实际有二重含意,在这里只是其中一种。

     

    2. 采样周期与频率分辨率 
    fs/N常称作为频率分辨率,它实际是作FFT时谱图中的两条相邻谱线之间的频率间隔,也有称作步长。单位是Hz、Khz等。频率分辨率实际有二重含意,在这里只是其中一种。 

    1/fs的单位的s、ms、us或分、时...年等。1/fs代表采样周期,是时间域上两个相邻离散数据之间的时间差。 
    因此fs/N用在频率域,只在DFT以后的谱图中使用;而1/fs用时间域,只要数据经采样,离散化后任何其它的应用中都可使用。例如有的数字滤波器中就用到。 
    Δf=fs/N=1/T;Δf是频率采样间隔,同时也是频率分辨率的重要指标,如果这个值越小,则频率分辨率越高。 
    1/fs往往用在求时间序列上,如(0:N-1)*1/fs等等,如果这个不好理解,可以把前面的公式求倒数,这就清楚多了 。

     

    3. 采样定理

              采样过程所应遵循的规律,又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。

      时域采样定理  频带为F的连续信号 f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt),f(t1±2Δt),...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F,便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。

    时域采样定理的另一种表述方式是:当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥2fM。图为模拟信号和采样样本的示意图。  
      时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。  
      频域采样定理  对于时间上受限制的连续信号f(t)(即当│t│>T 时,f(t)=0,这里T =T2-T1是信号的持续时间),若其频谱为F(ω),则可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只要这
    些采样点的频率间隔。  
      参考书目  
     刘文生、李锦林编:《取样技术原理与应用》,科学出版社,北京,1981。 
     
    4. 分析频率/采样点数/谱线数的设置要点 
    1.最高分析频率:Fm指需要分析的最高频率,也是经过抗混滤波后的信号最高频率。根据采样定理,Fm与采样频率Fs之间的关系一般为:Fs=2.56Fm;而最高分析频率的选取决定于设备转速和预期所要判定的故障性质。

    2.采样点数N与谱线数M有如下的关系: 
    N=2.56M  其中谱线数M与频率分辨率ΔF及最高分析频率Fm有如下的关系:ΔF=Fm/M  即:M=Fm/ΔF  所以:N=2.56Fm/ΔF 
    ★采样点数的多少与要求多大的频率分辨率有关。例如:机器转速3000r/min=50Hz,如果要分析的故障频率估计在8倍频以下,要求谱图上频率分辨率ΔF=1 Hz ,则采样频率和采样点数设置为: 
    最高分析频率Fm=8·50Hz=400Hz; 
    采样频率Fs=2.56·Fm=2.56 ·400Hz=1024Hz; 
    采样点数N=2.56·(Fm/ΔF)=2.56·(400Hz/1Hz)=1024

    谱线数M=N/2.56=1024/2.56=400条

     

    、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

    5,采样长度T是指能够分析到信号中的最低频率所需要的时间纪录长度。如果信号中含有最低频率为fl,采样后要保持该频率成分,则采样长度应为:          T>fl/2                 (2)    
    因此,采样长度不能取得太短,否则进行频率分析时,在频率轴上的频率间隔Δf(Δf=1/T)太大,频率分辨率太低,一些低频成分就分析不出来。
    另外,采样长度T与采样点数N,采样时间间隔Δt成正比,
    即:          T=NΔt=N/f            (3)    
    如果采样长度T取得较长,虽然频率分辨率得到了提高,但在△t不变的情况下,采样点数N增多,使计算机的工作量增大;当N不变时,则采样的时间间隔Δt增大,采样频率降低,所能分析的最高频率fmax也随之降低,因此需要综合考虑采样长度、采样点数和采样频率的关系问题。

    在一般信号分析仪中,采样点数是固定的,取为 N=256,512,1024,2048 点几个档次,各档分析频率范围f取决于采样频率的高低,
    即:         fc=fs/2.56=1/(2.56Δt)     (4)    
    则在频率轴上的频率间隔为:    Δf=1/T=1/(NΔt)=2.56 fc/N      =(1/100,1/200,1/400,1/800)fc     (5)    
    频谱图上的线条数为:    n=fc /Δf=N/2.56=100,200,400,800   (6)    
    对于一台具体的分析仪器,当采样点数N(或谱线条数n)固定后,它的频率分析范围取决于采样间隔Δt(或采样频率fs);最低分析频率取决于采样长度T(或频率分辨率)。例如,某台分析仪器的采样点数为N=1024,采样时间间隔Δt=0.4ms,采样长度为T=0.4s(实际为0.4096),
    则可分析的频率范围为fc=1/(2.56Δt)=(2.56 ×0.4×l0-3)-1≈1 kHz;
    最低的分析频率为f1=1/(2.56Δt)=(2.56 ×0.4S)-1≈1 Hz;
    在频率轴上的频率间隔为Δf=1/(NΔt)=(1024×0.4×l0-3)-1=2.44Hz。

    △f=Fm/M,可见谱线数M越大频率分辩率△f越小即频率分辩率越高。

     

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