精华内容
下载资源
问答
  • 今天学习Hilbert空间,在知乎上查找了一些资料,知道了这几个空间的区别联系。...如果想要知道向量的长度,我们就给它加上范数的定义,由线性空间变成了赋范线性空间。 如果想要知道向量的角度...

    今天学习Hilbert空间,在知乎上查找了一些资料,知道了这几个空间的区别与联系。(仅做个人知识学习笔记)

    贴上链接:https://www.zhihu.com/question/19967778/answer/28403912

    线性空间:由基底和坐标定义的空间,只有加法和数乘的运算。

    如果想要知道向量的长度,我们就给它加上范数的定义,由线性空间变成了赋范线性空间。

    如果想要知道向量的角度,我们就给它加上內积的定义,由线性空间变成了內积空间。

    内积的有限维实线性空间称为欧式空间

    如果想要研究收敛性,我们就给它加上极限的定义,由线性空间变成了完备空间。

    赋范线性空间加上完备的概念,我们就得到了Banach空间

    内积空间加上的概念,我们就得到了Hilbert空间

    Hilbert空间, 基底一般是函数,常见的是含有各种频率的平面波函数,一种频率对应一个基底 维度是无穷.这些基底, 即平面波函数是完备的(Hilbert空间中的任何元素都可以用平面波函数展开, 其实就是指傅里叶变换), 正交(平面波函数做"点积"为delta函数). Hilbert空间中任意两元素也可以定义算符G, 也就是操作. 我们常常对保持元素"长度"(自己和自己"点积")不变的操作感兴趣. 由于Hilbert空间是复数域上的,常见的3D矢量空间是实数域上的, 所以G^2=1 的G 和F 是不同的, 虽然表达式相同.
    建立Hilbert空间的目的是为量子力学中的计算提供强有力的数学基础, 也方便了抽象出其中更本质的运算.包括之后进行的关于对称性的讨论, 都是定义在Hilbert空间上的.

    关系图

    展开全文
  • 文章目录线性空间的10条特性线性空间的子集子空间和凸集商空间 线性空间的10条特性 [1]x+y∈X[1] x+y \in X[1]x+y∈X whenever x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X [2] x+y=y+xx+y=y+xx+y=y+x for all x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X ...

    线性空间的10条特性

    [ 1 ] x + y ∈ X [1] x+y \in X [1]x+yX whenever x , y ∈ X x, y \in X x,yX
    [2] x + y = y + x x+y=y+x x+y=y+x for all x , y ∈ X x, y \in X x,yX
    [3] There exists a unique element in X , X, X, denoted by 0 , such that x + 0 = 0 + x = x x+0=0+x=x x+0=0+x=x for all x ∈ X x \in X xX;

    线性空间中一定存在0元素

    [4] Associated with each x ∈ X x \in X xX is a unique element in X , X, X, denoted by − x , -x, x, such that x + ( − x ) = x+(-x)= x+(x)= − x + x = 0 -x+x=0 x+x=0

    线性空间中元素一定存在唯一对应的负元素

    [5] ( x + y ) + z = x + ( y + z ) (x+y)+z=x+(y+z) (x+y)+z=x+(y+z) for all x , y , z ∈ X x, y, z \in X x,y,zX

    [6] α ⋅ x ∈ X \alpha \cdot x \in X αxX for all x ∈ X x \in X xX and for all α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} αF
    [ 7 ] α ⋅ ( x + y ) = α ⋅ x + α ⋅ y [7] \alpha \cdot(x+y)=\alpha \cdot x+\alpha \cdot y [7]α(x+y)=αx+αy for all x , y ∈ X x, y \in X x,yX and all α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} αF
    [ 8 ] ( α + β ) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x [8](\alpha+\beta) \cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x [8](α+β)x=αx+βx for all x ∈ X x \in X xX and all α , β ∈ F \alpha, \beta \in \mathbb{F} α,βF
    [ 9 ] ( α β ) ⋅ x = α ⋅ ( β ⋅ x ) [9](\alpha \beta) \cdot x=\alpha \cdot(\beta \cdot x) [9](αβ)x=α(βx) for all x ∈ X x \in X xX and all α , β ∈ F \alpha, \beta \in \mathbb{F} α,βF
    [ 10 ] 1 ⋅ x = x [10] 1 \cdot x=x [10]1x=x for all x ∈ X x \in X xX

    线性空间的子集

    (1)对加和,数乘封闭的子集就是该线性空间的线性子空间。

    子空间和凸集

    (1)对加和,数乘封闭的子集就是该线性空间的线性子空间。
    (2)线性包
    (3)凸包:又有绝对凸的(凸加balanced),所有线性子空间都是绝对凸的。

    商空间

    商空间是按照一定关系对应的,线性空间中的元素对的集合,它可以用一个元素来表示一个集合,看样子可以用来降维。

    直和

    在一个线性空间X中存在两个子线性空间M和N,X中的一个元素可以分别由M,N中唯一的一个元素相加得到。unique性质。

    赋范线性空间

    (1)范数是定义在线性空间上的一个实值函数,具有四条特性
    N1. ∥ x ∥ ≥ 0 \|x\| \geq 0 x0;
    N2. ∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0 \|x\|=0 \Longleftrightarrow x=0 x=0x=0
    N3. ∥ λ x ∥ = ∣ λ ∣ ∥ x ∥ \|\lambda x\|=|\lambda|\|x\| λx=λx
    N4. ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \|x+y\| \leq\|x\|+\|y\| x+yx+y (Triangle Inequality).
    (2)在赋范线性空间中,可以由范数定义一个测度, d ( x , y ) = ∥ x − y ∥ d(x, y)=\|x-y\| d(x,y)=xy:每一个赋范线性空间都是一个测度空间,一般我们把赋范线性空间的测度用上述范数来定义。测度具有下述两种特性
    ​ (i) d ( x , y ) = d ( x + z , y + z )  (Translation Invariance)  d(x, y)=d(x+z, y+z) \quad \text { (Translation Invariance) } d(x,y)=d(x+z,y+z) (Translation Invariance) 

    ​ (ii) d ( λ x , λ y ) = ∣ λ ∣ d ( x , y ) d(\lambda x, \lambda y)=|\lambda| d(x, y) \quad d(λx,λy)=λd(x,y) (Absolute Homogeneity),

    商空间的范数和商映射

    (1)商空间X/M的范数,就是对应y的下确界
    ∥ [ x ] ∥ : = inf ⁡ y ∈ [ x ] ∥ y ∥ = inf ⁡ m ∈ M ∥ x + m ∥ = inf ⁡ m ∈ M ∥ x − m ∥ = d ( x , M ) ,  where  [ x ] ∈ X / M \|[x]\|:=\inf _{y \in[x]}\|y\|=\inf _{m \in M}\|x+m\|=\inf _{m \in M}\|x-m\|=d(x, M), \text { where }[x] \in X / M [x]:=y[x]infy=mMinfx+m=mMinfxm=d(x,M), where [x]X/M

    赋范线性空间的完备性

    (1)赋范空间的收敛:它是定义在范数的基础上上的,不只是一个赋范线性空间的序列号趋于无穷的时候等于一个值。所以它也叫作范数收敛或者强收敛。
    lim ⁡ n → ∞ ∥ x n − x ∥ = 0 \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x_{n}-x\right\|=0 limnxnx=0

    (2)完备性
    柯西数列:

    一个柯西序列是指一个这样一个序列,它的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切地说,在去掉有限个元素后,可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。
    在这里插入图片描述
    完备性就是
    一个度量空间X中的所有柯西数列都会收敛到X 中的一点 ,那么X被称为是一个完备空间

    (3)巴拿赫空间
    [a] Banach space是一个metric由norm给出的完备赋范空间(所有的赋范空间都是度量空间)。

    [b] 如果每一个赋范线性空间X中的绝对收敛级数都收敛到一个数,那么我们就叫X为巴拿赫空间。

    (4)赋范线性空间的有界集,完全有界集和紧子集
    [a] 有界很简单,就是对于赋范线性空间X中所有元素的范数永远小于一个正数。
    [b] 完全有界,总是可以被一个同一赋范线性空间的子集中的元素所限制。
    [c] 序列紧:赋范线性空间中的每一个序列都是一个收敛到一个数的序列,那么这个赋范线性空间就是序列紧的。其中序列紧和紧在度量空间中是等价的。
    [d] 当一个赋范线性空间中的一个子集中的每一个序列都有一个柯西子序列,那么这个子集就是完全有界集。

    (5)有限维赋范线性空间X特性
    [a] X上所有的范数都是等价的
    [b] X是完备的,且是闭合的
    [c] X中一个子集如果是闭合并且有界的,那么它也是序列紧的。

    展开全文
  • 线性赋范空间,泛函分析第一章,线性赋范空间。是PDF的。第1 讲 线性空间。第1 讲 线性空间
  • 线性空间/向量空间 线性空间=向量空间!!这两个概念是等价的。线性空间的概念如下: 简单来说,线性空间就是定义了加法和数乘运算、且满足上述八条运算规律的非空集合。 常见的线性空间有:实数域;全体n维...

    哇,开始重新补数学知识了以后,才发现有好多“XX空间”这样的概念啊,这本书说这个,那篇文章又用那个,搞得人云里雾里,所以在这里把基础知识整理一下,主要关注“空间”概念本身和概念之间的区别。


    线性空间/向量空间

    线性空间=向量空间!!这两个概念是等价的。线性空间的概念如下:

    简单来说,线性空间就是定义了加法和数乘运算、且满足上述八条运算规律的非空集合。

    常见的线性空间有:实数域R;全体n维向量(x_1,x_2,...,x_n)^T构成的n维空间R^n(实线性空间)或C^n(复线性空间);实数域上所有m\times n矩阵按照矩阵加法和数与矩阵的乘法构成的线性空间R^{m\times n}等。

    线性空间的性质有:

    线性空间中零元素是唯一的。

    线性空间中任一元素的负元素是唯一的。

    对于线性空间中的任意元素\alpha有 0\alpha =0,(-1)\alpha =-\alpha ,k0=0

    如果 k\alpha =0,则 k=0 或 \alpha =0

    还有非常重要的“线性相关”、“”、“维数”、“线性子空间”的概念,想必大家都很熟悉了,在这里就不多说了,有疑问的可以点这里


    范数+线性赋范空间

    线性赋范空间就是定义了范数的线性空间,范数和线性赋范空间的定义如下:

    在这里需要说明一下,一个线性空间可以引入多个范数。常用的范数有:

    • L1范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值之和,
    • L2范数:  ||x|| 为x向量各个元素平方和的1/2次方,L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数,
    • Lp范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方,
    • L∞范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值最大的那个元素的绝对值,
    • L-∞范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值最小的那个元素的绝对值,

    度量空间/距离空间+线性度量空间

    度量空间亦称距离空间,在数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。

    在一维、二维、三维线性空间中,“距离”的概念都是很直观的,但是再往更高维度线性空间或者非线性空间扩展,物理意义上“距离”的定义显然不适用了,因此我们可以采用更抽象的方式定义“距离”和“距离空间(度量空间)”:

    X是非空集合,对于X中任意的两个元素x与y,若按某一法则都对应唯一的实数d(x,y),而且满足下述三个性质:

    (1) 【非负性】d(x,y)≥0,[d(x,y)=0,当且仅当x=y];

    (2) 【对称性】d(x,y)=d(y,x);

    (3) 【三角不等性】对于任意的x,y,z∈X,恒有 d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。

    则称d(x, y)为x与y的距离,并称X是以d为距离的距离空间

    线性度量空间,很显然,就是在线性空间的基础上在定义距离的空间。

    在这里,我们还可以把距离和范数联系起来:

    • 曼哈顿距离(对应L1范数)
    • 欧式距离(对应L2范数)
    • 切比雪夫距离(对应L∞范数)

    同一个空间可以由多个范数,但是只能定义一个距离,所以,我们可以通过范数来定义距离,但是不能通过距离来定义范数。


    内积空间+欧氏空间+酉空间

    线性空间中仅定义了线性运算(加法和数乘),之后,我们可以引入“距离”的概念,使得向量具有了“模(长度)”的特征。如果我们进一步定义了内积(也称为点积或标量基),将一对矢量与一个纯量连接起来,那就相当于我们在这个空间中引入了“夹角”的概念,并可以进一步谈论矢量的正交、投影等。

    定义了内积的线性空间被称为内积空间,具体定义如下:

    K是实数域时,我们将U称为实内积空间,也称为欧几里得(Euclid)空间欧氏空间;K是复数域时,我们将U称为复内积空间,也称为酉空间U空间

    内积空间满足以下性质:

     


    希尔伯特空间+巴拿赫空间

    完备的内积空间称为希尔伯特(Hilbert)空间,而完备的赋范空间称为巴拿赫(Banach)空间。在这里,完备性的意思就是柯西序列在内部收敛。希尔伯特空间是巴拿赫空间的特例,是用内积定义的范数。这个按我目前学到的用的不多,我也太了解,就不详细展开了,以后用到了再补充吧,Bye~


    参考

    http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6sgceP9H45f.html

    https://wenku.baidu.com/view/084bd34124c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec0e.html

    https://blog.csdn.net/lulu950817/article/details/80424288

    https://max.book118.com/html/2017/1008/136508481.shtm

     

    展开全文
  • 线性空间(向量空间)是一个比较初级的空间,如果在里面定义了范数,就成了赋范线性空间赋范线性空间满足完备性,就成了巴那赫空间;赋范线性空间中定义了角度,就有了内积空间,内积空间再满足完备性,就得到...

    参考:
    https://baike.baidu.com/item/%E8%B5%8B%E8%8C%83%E7%A9%BA%E9%97%B4/2285667?fr=aladdin
    http://blog.csdn.net/mr_hai_cn/article/details/53207307#reply
    http://blog.csdn.net/soudog/article/details/2050632
    https://www.zhihu.com/question/19967778

    距离

    首先我们给出距离的定义。以了解数学上关于距离抽象的定义。
    这里写图片描述
    如果满足上面的3个条件,我们就称d(x,y)是这两点之间的距离。
    另外我们需要理解的是,距离度量的是一种长度,既然距离是长度的量化,那么度量的就有可能是直线也有可能是曲线,就像在地球仪上找2点距离,就需要画一个大圆,然后求弧长。

    向量间距离

    上面讨论的距离,只是一种高度概括抽象的距离的特性。这里给出其中常用的几种具体的向量间距离公式。情形1到情形3,分别是欧氏距离,棋盘距离,曼哈顿距离(也叫城市距离)。
    这里写图片描述

    向量范数

    向量范数可以看成向量x=(x1,x2,…,xn)到零点的距离。
    当我们这样理解范数的时候,那么对上面3种情形的距离公式,我们得到的对应的向量的范数就为:
    这里写图片描述
    我们会发现向量的范数与向量间的距离的公式很相似,即是其中的那个y向量为0时的情况。之所以所有的向量范数都以0向量为标准,是因为在线性空间中0向量是唯一不变的。

    各种空间的关系

    在我们继续展开讨论之前,我希望给出一个总括性的结论,让大家对数学上提出的各种空间的相互关系有一个总的认识。线性空间(向量空间)是一个比较初级的空间,如果在里面定义了范数,就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性,就成了巴那赫空间;赋范线性空间中定义了角度,就有了内积空间,内积空间再满足完备性,就得到希尔伯特空间。这些空间都是线性空间
    这里写图片描述
    那么什么是完备性呢?
    如果我们想研究收敛性(极限)怎么办?—定义完备性
    简单的说就是空间在极限运算中,取极限不能跑出去。所以,显然有理数集,无理数集不具有完备性。实数集具有完备性。

    各空间之间差别的简化展示

    1.线性空间(向量空间)
    线性空间又称作向量空间,关注的是向量的位置,对于一个线性空间,知道基(相当于三维空间中的坐标系)便可确定空间中元素的坐标(即位置);线性空间只定义了加法和数乘运算。
    如果我们想知道向量的长度怎么办?—-定义范数,引入赋范线性空间
    2.赋范线性空间定义了范数的线性空间!!
    如果我们想知道向量的夹角怎么办?—-定义内积,引入内积空间
    3.内积空间定义了内积的线性空间!!
    4.欧式空间定义了内积的有限维实线性空间!!
    如果我们想研究收敛性(极限)怎么办?—-定义完备
    5.Banach空间完备的赋范线性空间!!!
    6.Hilbert空间完备的内积空间!!!(极限运算中不能跑出度量的范围)

    线性空间

    线性空间又称作向量空间,关注的是向量的位置,对于一个线性空间,知道基(相当于三维空间中的坐标系)便可确定空间中元素的坐标(即位置);线性空间只定义了加法和数乘运算。
    如果我们想知道向量的长度怎么办?—定义范数,引入赋范线性空间。即在线性空间中,我们是无法得出向量的长度的。

    向量空间和线性空间的细微区别

    线性空间和向量空间基本上是一个东西,但是线性空间中的元素可以是任何东西;在选定基以后可以表示成向量的形式,所以线性空间也叫向量空间。
    具体来说,向量空间是狭义的,他的元素只能是向量。线性空间是广义的,他的元素可以任何东西,可以是向量,矩阵,多项式,函数……在线性空间选定了基以后就可以表示成向量的形式,这时2者就是同一个意思了。

    线性空间的一些直观理解

    摘抄于http://blog.csdn.net/soudog/article/details/2050632,感谢作者。
    在线性空间中,当你选定一组基之后,不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象,而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动(变换)。而使某个对象发生对应运动的方法,就是用代表那个运动的矩阵,乘以代表那个对象的向量。
    简而言之,在线性空间中选定基之后,向量刻画对象,矩阵刻画对象的运动,用矩阵与向量的乘法施加运动。或者我们也可以把矩阵理解为映射,一种变换函数,通过矩阵的乘法将原始点映射到想要映射的终点。
    需要注意的是,上面的一句话中的运动并不是在说真正意义上的运动,即它所造成的结果(形成映射的终点)的过程并不会经过这个线性空间中的任何一个无关点,即不会形成路径到达终点。所以矩阵刻画对象的运动,用矩阵与向量的乘法施加运动改成矩阵是线性空间里跃迁的描述更为准确。

    基是一组线性无关的內积为0的向量的集合。
    直观地理解,选基就是找坐标系。

    相似矩阵

    若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述(之所以会不同,是因为选定了不同的基,也就是选定了不同的坐标系),则一定能找到一个非奇异矩阵P,使得A、B之间满足这样的关系:
    这里写图片描述
    上面的公式也就是相似矩阵的定义公式。
    从这里看,所谓的相似矩阵,就是同一个线性变换在不同基上的描述矩阵。也就是说一族相似矩阵都是对同一个线性变换在不同基下的描述。

    赋范空间 (赋范线性空间)

    首先给出百度百科上关于赋范空间的定义。
    这里写图片描述
    从上面的定义可以看出,赋范空间中添加了范数这一概念。所以导致添加了范数的线性空间形成了一个新的空间叫做赋范空间。因此赋范空间有向量的模长,即范数。也就是可以讨论长度了。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角,为了克服这一缺陷,我们引入了內积的概念。

    內积空间

    内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积,或标量积,或点积。这个增添的结构允许我们严格地讨论矢量的“夹角”和“长度”

    展开全文
  • 但是这样做是不对的,因为如果说对于类似“欧几里何空间”这样的空间,跟我们生活中的三维空间极为相似,我们确实可以想象到一个具体的例子,但是对于类似“希尔伯特空间”之类的,我们很难用一个具体的实例来印证。...
  • 1. 距离、向量空间、度量空间线性度量空间  距离包括各个点之间的距离,向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离等。  距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异,下面是关于距离的属性: 1)元素...
  • 线性赋范空间和内积空间就是距离结构 代数结构 相结合的产物,较距离空间有很大的优越性。 线性赋范空间就是在 线性空间 中,给向量赋予范数,即规定了向量的长度,而没有给出向量的夹角。 在内积空间中,向量不仅...
  • 为了对模糊范数的若干性质和模糊赋范空间进行研究,在研究模糊赋范线性空间的同时对模糊范数及其相对应的模糊等价范数的性质进行必要研究。在此基础上讨论了模糊等价范数的相关性质,给出一些例子来说明以上研究结果的...
  • 泛函分析 线性空间 度量空间及拓扑 赋范空间的例
  • 赋范空间,度量空间线性赋范空间线性度量空间,希尔伯特空间, 巴拿赫空间,拓扑空间如何不被他们吓到?函数空间一、问题的提出在微积分中可以定义极限和连续,依赖于距离 那么,什么是距离呢? 通俗的看法,...
  • 概率线性赋范空间与随机算子 (1987年)
  • 数值分析(03)赋范线性空间
  • 泛函分析线性赋范空间论文.doc
  • 赋范线性空间

    千次阅读 2018-02-05 11:36:35
    设 F=R" role="presentation">F=RF=R\mathbb F = \mathbb R 或 C," role="presentation">C,C,\mathbb C, V" role="presentation">VVV 为数域 F" role="presentation">FF\mathbb F 上的一个线性空间,如果 V" role=...
  • 3.3紧集及有限维赋范线性空间.doc
  • 测度、线性赋范空间、内积空间
  • 关于赋范线性空间的λ-性质 (1990年)
  • 2.2 赋范线性空间

    2020-03-19 20:38:26
  • 【泛函分析】 2 赋范线性空间

    千次阅读 2018-10-05 18:40:32
    1 线性空间 满足加法数乘的线性运算 线性包spanA: 凸包coA: 即有限凸组合组成的集合 同构:是双射且 线性流形:线性子空间对某个向量的平移, ...2 赋范线性空间 2.1 定义 1.准范数: [1]正定性:; ...
  • 设E是赋范线性空间,f是E上的线性泛函。证明:f连续的充要条件是f的零空间N={x|f(x)=0}为E的闭子空间。 怎么求解
  • 赋范线性空间中Recession锥的表示定理的简化证明 (1992年)
  • 3. 无限维线性赋范空间上泛函的极值 (1).ppt
  • 第4章-赋范线性空间与矩阵范数4.1 赋范线性空间4.1.1 向量的范数4.1.2 向量范数的性质4.2 矩阵的范数4.2.1 矩阵范数的定义与性质4.2.2 算子范数4.2.3 谱范数的性质和谱半径4.3 摄动分析与矩阵的条件数4.3.1 病态方程...
  • 本文在概率线性赋范空间中引进概率积分、Gateaux微分的概念,研究了它们的基本性质,得出了溉率线性赋范空间中的Schauder原理.
  • 概率赋范空间不一定是拓扑线性空间,从而不一定是概率空间.对于概率空间,举例说明了存在概率空间,不能找到一个三角函数使之转换成概率赋范空间.最后对α-简单空间的定义进行了推广,讨论了α-...
  • 在一维实空间中开集、闭集构造的基础上,给出了一般可分赋范线性空间中开集、闭集的构造,并进行了证明。
  • 赋范空间中,紧线性算子T的零空间有2个性质:(1)对每一非零的特征值,TA= T-λl的零空间是N(Tλ)为有限维的;(2)总存在一正整数r使得对大于r的所有整数n,N(Tnλ)都相等,证明了这2个性质的假设条件还可减弱。

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 20,173
精华内容 8,069
关键字:

线性空间与赋范线性空间