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  • 行/列分块矩阵中向量正交有什么用?如何表述?向量正交和线性无关有什么关系:两个向量间、正交向量组内、一个向量与一个向量组正交。

    目录

    一、向量正交

    二、向量线性无关

    三、二者关系

    1. 两个向量

    2. 正交向量组

    3. 一个向量与一个向量组正交

    四、小结


    一、向量正交

    1. 定义

    两向量正交,那么内积 (α,β)=0,或者写作点乘 α • β=0。

    2. 表述

    向量是一种有序数组,如a=(a1,a2,a3,……),本身是表示方向的。内积或者说点乘,就是两向量坐标对应位置的乘积的和。

    向量正交是什么意思》:https://zhidao.baidu.com/question/1608819442654220827.html?qbl=relate_question_0

    向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html


    但是,在矩阵需要分块时,常引入向量,分为列向量或行向量。

    行向量乘列向量才是内积,列向量乘行向量是矩阵。行向量不可乘行向量,列向量也不可乘列向量。

    因此在表述时,有如下几种情况。由于矩阵常常按照列分块或按行分块,一般出现同类型向量较多,也即后两种。

    • 行向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta =0
    • 行向量α与行向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta^{T} =0
    • 列向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha ^{T}\beta =0

    二、向量线性无关

    两个向量线性无关,即一个不可被另一个线性表示,即不平行。

    一个向量与一个向量组线性无关,即不可被其线性表示,不

    三、二者关系

    1. 两个向量

    证明过程:《线性代数:正交的向量一定线性无关吗?》https://zhidao.baidu.com/question/1818343757400219548.html

    结论两个向量正交,那么一定线性无关。两个向量线性无关,不一定就是正交

    理解记忆:正交是指,两个向量的夹角为90°。(无所谓行向量、列向量,这里是一种n维空间的坐标关系)

    线性无关是指,两个向量不平行(或者重合),就是夹角不为0°或180°。

    2. 正交向量组

    两两正交的非零向量组是正交向量组,其组内向量一定线性无关。反之未必,即线性无关未必正交。

    《向量组的正交性》https://wenku.baidu.com/view/859595d084254b35eefd3498.html

    证明如这篇文章。最后的例题也可看出,一个向量与一个向量组正交,实际是它与组内向量分别两两正交。正交的定义是发生在两个向量间的。

    3. 一个向量与一个向量组正交

    一个向量与一个向量组正交,是它与组内向量分别两两正交。


    《向量组和向量正交是什么意思?》https://zhidao.baidu.com/question/1389218406721751020.html

    显然是提问者(1)中的意思。不要看解答,答非所问。

    《向量组a1....an和一个向量β正交,是什么意思?》https://zhidao.baidu.com/question/332952536677157125.html?qbl=relate_question_0

    这个解答清楚。

    《证明:如果向量b与向量组a1,a2,...,as中的每个向量都正交,则b与a1,a2,...,as的任意线性组合k1a1+k2a2+...+ksas也正交》https://zhidao.baidu.com/question/1179635885024901859.html?qbl=relate_question_5

    一个相关的小证明题,帮助理解。

    四、小结

    1. 向量正交即垂直,发生在两个向量间。正交向量的坐标内积为0,注意区分表述形式。

    • 行向量α与行向量β正交,则α^Tβ=0\alpha\beta^{T} =0
    • 列向量α与列向量β正交,则α^Tβ=0\alpha ^{T}\beta =0

    2. 向量线性无关,即不可被线性表示,两向量不共线,也有向量与一个向量组线性无关(即不在向量组表示的空间内)。

    3. 两个向量正交,那么一定线性无关。两个向量线性无关,不一定就是正交。

    4. 两两正交的非零向量组是正交向量组,其组内向量一定线性无关。反之未必,即线性无关未必正交。

    5. 一个向量与一个向量组正交,是它与组内向量分别两两正交。

    强烈推荐一本书!《线性代数的几何意义》任广千(豆瓣主页)。

    从几何意义去理解线性代数非常重要,可以把各种概念串联起来。

    还在读,等读完应该要写一些读书笔记。

     

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  •  正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。  这可以用直角三角形的三边解释:  当x和y正交时,二者的点积是0,反过来也一样。这个结论在n维空间也适用,当Rn空间内的两个向量x和...

    正交向量

      正交是垂直的令一种说法,两个向量正交意味着两个向量的夹角是90°。

      这可以用直角三角形的三边解释:

      当x和y正交时,二者的点积是0,反过来也一样。这个结论在n维空间也适用,当Rn空间内的两个向量x和向量y正交时:

     

      如果x是零向量,xTy还是0,也意味着零向量和任意向量正交。

    正交子空间

      正交性还可以推广到子空间,如果说一个子空间V和另一个子空间W正交,那么V中的每一个向量和W中的每一个向量正交。

      子空间V的正交子空间W也称为V的正交补空间,或V的正交补,记作:

     

    正交与垂直

      以我们比较熟悉的三维空间为例,墙角就可以看作一个典型的空间坐标系,两个墙面和地面两两垂直,每个平面都是三维空间中的二维子空间,这是否意味着子空间的正交呢?并不是这样,两个平面垂直并不等同于两个子空间正交,可以轻易找出两个分属于两个平面但不垂直的向量。实际上,在墙壁与地面的交接处,沿着接缝方向的向量同属于两个平面,但它们不会自己正交与自己,除非是零向量。

      这样看来,“正交是垂直的令一种说法”并不完全准确,实际上,正交一定垂直,垂直不一定正交。

      通过平面的例子可以看出,如果两个子空间交于一个非零向量,那么这两个子空间一定不会正交。换句话说,如果两个子空间正交,它们只能交于零向量(单独的点就是零向量,它没有方向,或者说有任意方向,并且模长为0)。

      在同一个平面中正交的例子有哪些呢?

      回顾一下子空间的定义,如果V是Rn的线性子空间,则V一定满足三个条件:

    1. 包含0向量;
    2. x是V中的一个向量,x和一个标量的乘积也在V中,即数乘封闭性;
    3. a和b是V中的向量,a+b也在V中,即加法封闭性。

      由此可见平面内只有三个子空间:原点、过原点的直线、整个平面。这样一来答案就很清晰了:

    1. 过原点的直线任何时候都不会和整个平面正交;
    2. 原点和所有过原点的直线正交,也和整个平面正交;
    3. 如果两个过原点的向量的点积是0,二者正交。

    四个基本子空间的正交补

      先看行空间如何正交与零空间。零空间的意义是Ax = 0时x的解集:

     

      这样会发现,A中的每个行向量都正交于零空间中的x:

     

      a(i)表示A中的第i行行向量,a(i)x = 0当于一个向量垂直于一个超平面。当然,行空间不仅仅包括这几行,还包括它们的线性组合,只要证明满足加法和数乘封闭性即可:

      列空间相当于A转置后的行空间,道理是一样的,所以列空间也正和零空间正交。

      A是m×n矩阵,四个基本子空间的正交性可以用下图表示,其中r是矩阵的秩:

      这相当于把m维空间分割成两个子空间,n维空间分割成另两个子空间,子空间的维数满足图中的要求。如果用正交补的记法,上图可以看作:

      以三维空间中为例:

     

      A的行向量是线性相关的,A的秩是1,所以行空间是1维的,是一条直线,与之正交的零空间是垂直于行向量的平面,<1, 3, 5>就是这个平面的法向量,由此可以得到平面方程:

       

     


     作者:我是8位的

    出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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  • 正交向量正交

    2020-12-09 21:12:01
    正交向量正交化线性相关正交向量正交化 线性相关 定义 定义1:在向量空间 VVV 的一组向量 AAA :α1,α2,⋯αm\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots \alpha_{m}α1​,α2​,⋯αm​,如果存在不全为零的数 k1,k2,⋯...

    线性相关

    定义

    • 定义1:在向量空间 V V V 的一组向量 A A A α 1 , α 2 , ⋯ α m \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots \alpha_{m} α1,α2,αm,如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ k m k_{1},k_{2},\cdots k_{m} k1,k2,km ,使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots +k_{m}\alpha_{m}=0 k1α1+k2α2++kmαm=0 则称向量组 A A A 是线性相关的,否则,称其为线性无关的。
    • 定义2:当且仅当 α 1 , α 2 , ⋯ α m \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots \alpha_{m} α1,α2,αm 全为零时,使得使 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots +k_{m}\alpha_{m}=0 k1α1+k2α2++kmαm=0 成立,称向量组线性无关。

    定理

    1. 两个向量 a a a b b b 共线的充要条件是 a a a b b b 线性相关;
    2. 三个向量 a a a b b b c c c 共面的充要条件是 a a a b b b c c c 线性相关;
    3. 向量 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a n ( n ⩾ 2 ) a_1,a_2, ···,a_n (n\geqslant 2) a1,a2,,an(n2) 线性相关的充要条件是这 n n n 个向量中的一个为其余 ( n − 1 ) (n-1) (n1) 个向量的线性组合,即有 a n a_n an ,且存在数域K中一组数 k 1 , k 2 , ⋯ k m k_{1},k_{2},\cdots k_{m} k1,k2,km ,满足 a n = k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k n − 1 a n − 1 a_n = k_1a_1+k_2a_2 + \cdots +k_{n-1}a_{n-1} an=k1a1+k2a2++kn1an1

    注意

    1. 对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的;
    2. 包含零向量的任何向量组是线性相关的;
    3. 含有相互平行的向量的向量组必线性相关;
    4. 向量组是线性相关的,那么增加向量的个数,不改变向量的相关性。【局部相关,整体相关】
    5. 向量组是线性无关的,那么减少向量的个数,不改变向量的无关性。【整体无关,局部无关】

    正交向量

    通常,两个向量垂直的充分必要条件是它们夹角的余弦为零,亦即它们的数量积为零。在一般的欧式空间中,仍以内积定义两向量夹角的余弦。

    定义:如果对于欧式空间中的两个向量 x x x y y y ( x , y ) = 0 (x,y)=0 (x,y)=0 ,则称 x x x y y y 正交垂直 ,记为 x ⊥ y x\perp y xy

    结论:

    1. x x x y y y 正交时, y y y x x x 也正交;
    2. 零向量与任意向量均正交;
    3. 如果 x ⊥ y x\perp y xy ,且 x x x y y y 线性相关,则此二向量中至少有一个是零向量。

    定义:如果欧式空间中一组非零向量两两正交,则称为正交向量组。

    定理:设 x 1 , x 2 , ⋯ x m x_{1},x_{2},\cdots x_{m} x1,x2,xm 是正交向量组,则它们必线性无关。

    上述定理可以表明,在 n n n 维欧式空间中,两两正交的非零向量不能超过 n n n 个。例如,在平面上找不到三个两两正交的非零向量;在通常的三维空间 R 3 R^3 R3 中,找不到四个两两正交的非零向量。

    正交基

    定义:在欧式空间 V n V^n Vn 中,由 n n n 个非零向量组成的正交向量组称为 V n V^n Vn正交基 ;由单位向量组成的正交基称为 标准正交基法正交基 ;其基向量称为 单位坐标向量

    一个基为标准正交基的 充要条件 是它的度量矩阵为单位矩阵。

    证明:设 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,xn 为标准正交基,则由定义有 ( x i , x j ) = x i T x j = { 1  if  i = j 0  if  i ≠ j \left ( x_{i},x_{j} \right )=x_{i}^{T}x_{j}=\begin{cases} 1 & \text{ if } i=j \\ 0 & \text{ if } i\neq j \end{cases} (xi,xj)=xiTxj={10 if i=j if i=j 可见 ,它的度量矩阵是单位矩阵。反之,如果以单位矩阵为度量矩阵,则由矩阵相等可得 ( x i , x j ) = x i T x j \left ( x_{i},x_{j} \right )=x_{i}^{T}x_{j} (xi,xj)=xiTxj ,即 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,xn 为标准正交基。

    正交化

    定理:对于欧式空间 V n V^n Vn 的任一基 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,xn ,都可以找到一个标准正交基 y 1 , y 2 , ⋯ y n y_{1},y_{2},\cdots y_{n} y1,y2,yn 。换言之,任一非零欧式空间都有正交基和标准正交基。

    这个正交基我们可以通过Gram-Schmidt正交化获得。

    Gram-Schmidt正交化方法是将 线性无关 的向量转化为 标准正交化向量 的方法。注意这里的前提,Gram-Schmidt正交化方法是对线性无关的向量操作。

    假设欧式空间 V n V^n Vn 中的任一基为 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,xn ,我们通过Gram-Schmidt正交化方法得到该基的正交基和标准正交基。

    1. β 1 = x 1 \beta_{1}=x_1 β1=x1 ,作所求正交基中的第一个向量。
    2. β 2 = x 2 + k β 1 \beta_{2}=x_2+k\beta_{1} β2=x2+kβ1 ,由于我们要构造的正交基两两向量相互正交,有 ( β 1 , β 2 ) = 0 (\beta_{1},\beta_{2})=0 (β1,β2)=0 ,通过这个条件来计算待定常数 k k k
    3. ( β 1 , x 2 + k β 1 ) = ( β 1 , x 2 ) + k ( β 1 , β 1 ) = 0 (\beta_{1},x_2+k\beta_{1})=(\beta_{1},x_2)+k(\beta_{1},\beta_{1})=0 (β1,x2+kβ1)=(β1,x2)+k(β1,β1)=0 k = − ( x 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) k=-\frac{(x_2,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})} k=(β1,β1)(x2,β1) 代入 β 2 = x 2 + k β 1 \beta_{2}=x_2+k\beta_{1} β2=x2+kβ1 ,这样就得到两个相互正交的向量 β 1 \beta_{1} β1 β 2 \beta_{2} β2,且 β 2 ≠ 0 \beta_{2} \neq 0 β2=0
    4. β 3 = x 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 \beta_{3}=x_3+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1} β3=x3+k2β2+k1β1 ,再由正交条件 ( β 1 , β 3 ) = 0 (\beta_{1},\beta_{3})=0 (β1,β3)=0 ( β 2 , β 3 ) = 0 (\beta_{2},\beta_{3})=0 (β2,β3)=0 来决定出常数 k 1 k_1 k1 k 2 k_2 k2 k 2 = − ( x 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) , k 1 = − ( x 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) k_2=-\frac{(x_3,\beta _{2})}{(\beta _{2},\beta _{2})},k_1=-\frac{(x_3,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})} k2=(β2,β2)(x3,β2),k1=(β1,β1)(x3,β1)
    5. 以此类推,继续进行下去,直到最后一个向量。

    上述获得的向量组 ( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) (\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{n}) (β1,β2,,βn) 即为欧式空间 V n V^n Vn 中的一个 正交基 。再将各向量单位化,即除以各自的模,得到单位正交向量组 y 1 , y 2 , ⋯ y n y_{1},y_{2},\cdots y_{n} y1,y2,yn,也即 标准正交基
    y i = β i ∣ β i ∣ , i = 1 , 2 , . . . , n y_{i}=\frac{\beta_i}{\left | \beta _{i} \right |},i=1,2,...,n yi=βiβi,i=1,2,...,n 由基 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,xn 求标准正交基 y 1 , y 2 , ⋯ y n y_{1},y_{2},\cdots y_{n} y1,y2,yn 的过程也称把基 x 1 , x 2 , ⋯ x n x_{1},x_{2},\cdots x_{n} x1,x2,xn 正交单位化正交规范化

    为简单起见,以包含四个向量的向量组为例,介绍Schmidt正交化的具体过程。假设向量组为 x 1 = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) x_{1}=\left ( 1,1,0,0 \right ) x1=(1,1,0,0) x 2 = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) x_{2}=\left ( 1,0,1,0 \right ) x2=(1,0,1,0) x 3 = ( − 1 , 0 , 0 , 1 ) x_{3}=\left ( -1,0,0,1 \right ) x3=(1,0,0,1) x 4 = ( 1 , − 1 , − 1 , 1 ) x_{4}=\left ( 1,-1,-1,1 \right ) x4=(1,1,1,1) ,求解其标准正交基。

    :首先先把它们正交化。
    β 1 = x 1 = ( 1 , 1 , 0 , 0 ) \beta_{1}=x_1=\left ( 1,1,0,0 \right ) β1=x1=(1,1,0,0)
    β 2 = x 2 + k β 1 \beta_{2}=x_2+k\beta_{1} β2=x2+kβ1 ,常数 k k k k = − ( x 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) = − 1 2 k=-\frac{(x_2,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}=-\frac{1}{2} k=(β1,β1)(x2,β1)=21,则
    β 2 = x 2 + k β 1 = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) − 1 2 ( 1 , 1 , 0 , 0 ) = ( 1 2 , − 1 2 , 1 , 0 ) \begin{aligned} \beta_{2}&=x_2+k\beta_{1} \\ &=\left ( 1,0,1,0 \right )-\frac{1}{2}\left ( 1,1,0,0 \right )\\ &=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,0) \end{aligned} β2=x2+kβ1=(1,0,1,0)21(1,1,0,0)=(21,21,1,0)

    β 3 = x 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 \beta_{3}=x_3+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1} β3=x3+k2β2+k1β1 ,常数 k 1 k_1 k1 k 2 k_2 k2 k 1 = − ( x 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) = 1 2 , k 2 = − ( x 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) = − − 1 / 2 3 / 2 = 1 3 k_1=-\frac{(x_3,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}=\frac{1}{2},k_2=-\frac{(x_3,\beta _{2})}{(\beta _{2},\beta _{2})}=-\frac{-1/2}{3/2}=\frac{1}{3} k1=(β1,β1)(x3,β1)=21,k2=(β2,β2)(x3,β2)=3/21/2=31, 则
    β 3 = x 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 = ( − 1 , 0 , 0 , 1 ) + 1 3 ( 1 2 , − 1 2 , 1 , 0 ) + 1 2 ( 1 , 1 , 0 , 0 ) = ( − 1 3 , 1 3 , 1 3 , 1 ) \begin{aligned} \beta_{3} &= x_3+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1}\\ &= \left ( -1,0,0,1 \right )+\frac{1}{3}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,0)+\frac{1}{2}\left ( 1,1,0,0 \right )\\ &= (-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},1) \end{aligned} β3=x3+k2β2+k1β1=(1,0,0,1)+31(21,21,1,0)+21(1,1,0,0)=(31,31,31,1)

    β 4 = x 4 + k 3 β 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 \beta_{4}=x_4+k_3\beta_{3}+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1} β4=x4+k3β3+k2β2+k1β1 ,常数 k 1 k_1 k1 k 2 k_2 k2 k 1 = − ( x 4 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) = 0 , k 2 = − ( x 4 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) = 0 , k 3 = − ( x 4 , β 3 ) ( β 3 , β 3 ) = 0 k_1=-\frac{(x_4,\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}=0,k_2=-\frac{(x_4,\beta _{2})}{(\beta _{2},\beta _{2})}=0,k_3=-\frac{(x_4,\beta _{3})}{(\beta _{3},\beta _{3})}=0 k1=(β1,β1)(x4,β1)=0,k2=(β2,β2)(x4,β2)=0k3=(β3,β3)(x4,β3)=0, 则 β 4 = x 4 + k 3 β 3 + k 2 β 2 + k 1 β 1 = ( 1 , − 1 , − 1 , 1 ) \beta_{4}=x_4+k_3\beta_{3}+k_2\beta_{2}+k_1\beta_{1}= ( 1,-1,-1,1 ) β4=x4+k3β3+k2β2+k1β1=(1,1,1,1)

    再单位化,便有
    y 1 = β 1 ∣ β 1 ∣ = 1 2 β 1 = ( 1 2 , 1 2 , 0 , 0 ) y_{1}=\frac{\beta_1}{\left | \beta _{1} \right |}=\frac{1}{\sqrt{2}}\beta _{1}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,0) y1=β1β1=2 1β1=(2 1,2 1,0,0) y 2 = β 2 ∣ β 2 ∣ = 2 6 β 2 = ( 1 6 , − 1 6 , 2 6 , 0 ) y_{2}=\frac{\beta_2}{\left | \beta _{2} \right |}=\frac{2}{\sqrt{6}}\beta _{2}=(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},0) y2=β2β2=6 2β2=(6 1,6 1,6 2,0) y 3 = β 3 ∣ β 3 ∣ = 3 2 β 3 = ( − 1 12 , 1 12 , 1 12 , 3 12 ) y_{3}=\frac{\beta_3}{\left | \beta _{3} \right |}=\frac{\sqrt{3}}{2}\beta _{3}=(-\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{3}{\sqrt{12}}) y3=β3β3=23 β3=(12 1,12 1,12 1,12 3) y 4 = β 4 ∣ β 4 ∣ = 1 2 β 4 = ( 1 2 , − 1 2 , − 1 2 , 1 2 ) y_{4}=\frac{\beta_4}{\left | \beta _{4} \right |}=\frac{1}{2}\beta _{4}=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) y4=β4β4=21β4=(21,21,21,21)

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  • 在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到: 一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维数分别为n-r,m-r,...我们首先从我们熟悉的正交向量说起。 1、正交向量 我们都知...

    在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到:

            一个秩为r,m*n的矩阵A中,其行空间和列空间的维数为r,零空间和左零空间的维数分别为n-r,m-r,并且有行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。
           “掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山!”,MIT教授如是说。那么什么是正交子空间呢?我们首先从我们熟悉的正交向量说起。
     

    1、正交向量

        我们都知道,如果两个向量x,y正交,则其夹角为90度,可表示为表达式:

    注意:x,y的顺序没有区别,即下式也成立:

    两个向量正交,可以表示为下图:

    由勾股定理可知:

    将上式展开得:

    我们举例说明:假设两个向量分别为x,y,z=x+y:

    其中x,y满足下式:

    向量的长度(即向量的2范数)的平方为:

    显然满足勾股定理:

     

    上面的推导,已证明勾股定理,自己可以仔细领会。
     

    2、正交子空间

        定义:两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交。
        文章开头说到,行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。下面我们来证明行空间与零空间正交,列空间与左零空间正交。
        
    行空间与零空间正交的证明    
        在 《矩阵的零空间》一文中,我们知道,Ax=0的解就是矩阵的零空间,则:
    展开可得:

    上式说明,矩阵的每一行向量都与零空间正交,而矩阵的行空间就是其行向量的线性组合,则说明行空间与零空间正交。同理,我们亦可以证明列空间与左零空间正交,在此就不重复了。

     

     

     

    原文:http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41171579

    作者:nineheadedbird

     

     

     

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