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  • Unity 一条线在另一条线投影

    千次阅读 2016-07-29 09:07:21
    昨天上午需要一个功能 求一条线 另外一天线上的 一个点: 这条绿色的线就是我要求的点; ;">using UnityEngine; using System.Collections; public class LineProcess : MonoBehaviour { public...

    不知道,大家有没有对 Unity的坐标 和 向量的关系 产生 过疑问?

    其实他的坐标就是向量,

    这张图里面就有四个点 Zero, P0,P1 和 P2,  他们的关系相信大家都知道, 三角型法则, 两个向量相加等于 第三个向量。 所以  Vercter(Zer0, P0) = Vercter(p0, p1) + Vercter(Zero, P1 ), 其他的关系 以此类推。


    昨天上午需要一个功能 求一条线 在另外一天线上的 一个点:


    这条绿色的线就是我要求的点;


    <span style="font-size:24px;">using UnityEngine;
    using System.Collections;
    
    public class LineProcess : MonoBehaviour {
    
        public Transform p1, p2;
        public Transform p0;
        public Transform pZero;
        public Vector3 V1, V2;
        public Vector3 Vproject;
        public Vector3 VHor;
    
        // Use this for initialization
        void Start () {
     
    	
    	}
    	
    	// Update is called once per frame
    	void Update () {
            V1  = p0.position - p1.position;
            V2  = p2.position - p1.position;
    
            Debug.DrawLine( pZero.position,  p0.position, Color.magenta );
            Debug.DrawLine( pZero.position,  p1.position, Color.magenta );
            Debug.DrawLine( pZero.position,  p2.position, Color.magenta );
    
    
            Debug.DrawLine(p0.position, p1.position, Color.blue);
            Debug.DrawLine(p1.position, p2.position, Color.gray);
            Debug.DrawLine(p2.position, p0.position, Color.yellow);
    
    
            Vproject = Vector3.Project( V1, V2 );
            VHor     = Vproject - V1 ;
    
       
    
            Debug.DrawLine(p0.position, VHor+ p0.position, Color.green);
    
        }
    }
    </span>


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    射影线束与二次曲线

    二次曲线:任意一个二次方程
    a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f = 0 ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0
    解析定义的任何曲线,它或者是三种圆锥曲线之一(抛物线,椭圆,双曲线),或是一条直线,或是一对直线,或是一个点,或是虚的。

    射影对应
    称平面上过一点的所有直线的集合为一线束
    如下图,在 O O O O ′ ′ O'' O的线束之间可以建立这样的一一对应: O O O的线束中任意四条直线 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d O ′ ′ O'' O中任意四条直线 a ′ ′ , b ′ ′ , c ′ ′ , d ′ ′ a'',b'',c'',d'' a,b,c,d具有同样的交比。
    在两线束之间,任意一个具有这种性质的一一对应称为射影对应。存在着射影对应的线束我们称为是射影相关的。
    射影对应与射影相关
    可以证明,圆锥曲线 K K K上任意四点 A , B , C , D A,B,C,D A,B,C,D K K K上第五个点 O O O用直线 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d连接起来,交比(abcd)与 K K K上点 O O O的位置无关。下图给出椭圆的例子,显然, O O ′ O O' OO形成的线束是射影相关的。
    椭圆上的交比
    射影几何断言:二次曲线是两族射影相关的线束的相应直线的交点的轨迹。

    二次曲线的这样的射影性质,启发我们对这些曲线的作图采用一种一般的方法。

    下面我们用射影线束画椭圆,双曲线和抛物线。

    画图方法

    基本画法
    如图,我们给定定直线 m 和 n ( 黑 色 ) m和n(黑色) mn(),选取定点 A , B , C ( 红 色 ) A ,B ,C(红色) A,B,C(),连接A与 m m m上一点 K K K(动点,为绿色)以及 C 与 K C与K CK,我们建立了 A A A的线束 A K 与 C AK与C AKC的线束 C K CK CK的一一对应,这样的对应是射影对应。同样由于 C K 与 直 线 n CK与直线n CK线n交于一点,我们连接 B B B与这一点,形成的直线交直线 A K 于 P AK于P AKP,使得 C 的 线 束 与 B C的线束与B C线B的线束存在一一对应(射影对应)关系。这样我们建立了 A 的 线 束 与 C 的 线 束 A的线束与C的线束 A线C线的一一对应(射影对应),当 K 在 m K在m Km上移动时, A P AP AP B P BP BP是这一射影相关的一一对应关系中的相对应的直线。
    根据上面提到的二次曲线的射影性质,移动点 K K K P P P的轨迹是二次曲线,并且经过A,B。改变定点 A , B A,B A,B与定直线 m , n m,n m,n的位置,可以画出不同的二次曲线。

    实例

    双曲线

    双曲线

    抛物线

    抛物线

    椭圆

    椭圆
    三个定点中,当 A A A A ′ A' A关于直线 n n n对称, A ′ ′ 与 C A''与C AC关于直线 m m m对称时,画出的轨迹是一个圆。
    圆

    参考书目

    R.柯朗, H.罗宾, 库兰特, et al. 什么是数学:对思想和方法的基本研究(第三版)[M]. 2005.

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    void CShape::init() {
        glClearColor(0.0f, 1.0f, 0, 1.0f);
        glutInitDisplayMode(GLUT_RGB | GLUT_SINGLE);
        glutInitWindowPosition(100, 100);
        glutInitWindowSize(400, 300);
        glutCreateWindow("**");
    
    
        glOrtho(-0.0f, 0.0f, -0.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f);//设置中心坐标
        glEnable(GL_LINE_SMOOTH);
        glEnable(GL_BLEND);
        glBlendFunc(GL_SRC_ALPHA, GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA);
        glHint(GL_LINE_SMOOTH_HINT, GL_DONT_CARE);
        glLineWidth(0.8);
        glutDisplayFunc(&CShape::drawLine);
        glutMainLoop();
    }
    


    glOrtho就是一个正射投影函数。它创建一个平行视景体。实际上这个函数的操作是创建一个正射投影矩阵,并且用这个矩阵乘以当前矩阵。其中近裁剪平面是一个矩形,矩形左下角点三维空间坐标是(left,bottom,-near),右上角点是(right,top,-near);远裁剪平面也是一个矩形,左下角点空间坐标是(left,bottom,-far),右上角点是(right,top,-far)。所有的near和far值同时为正或同时为负。如果没有其他变换,正射投影的方向平行于Z轴,且视点朝向Z负轴。这意味着物体在视点前面时far和near都为负值,物体在视点后面时far和near都为正值。




    void CShape::drawLine(void) {
        glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
        glPointSize(5.0f);
        glBegin(GL_LINE_STRIP); // set the Mode
        glColor3f(1.0f, 0.0f, 0.0f);
        glVertex3f(0.0f, 0.0f, 0.0f);//
        glVertex3f(0.5f, 0.75f, 0.0f);
        glEnd();
        glFlush();
    
    }
    


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线在另一条线上的投影