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  • 线性代数 逆矩阵

    千次阅读 2017-07-26 15:24:37
    矩阵的反转是什么? 这是倒数一的号码: 数字的互惠 矩阵的反向是一样的想法,但我们写 A -1 为什么不是 1 / A?因为我们不分矩阵!反正 1 / 8也可以写成 8 -1 还有其他的相似之...

    矩阵的反转是什么?

    这是倒数一的号码

    8的互惠是1/8,再回来
    数字的互惠

    矩阵反向一样的想法,但我们写 -1

    A的倒数为A相反,再次返回

    为什么不是 1 / A?因为我们不分矩阵!反正 1 / 8也可以写成 -1

    还有其他的相似之处:

    当我们将一个数乘以它的倒数我们得到1

    8×( 1 / 8)=  1

    当我们乘以一个矩阵乘以它的逆时,我们得到的身份矩阵(这就像“1”为矩阵):

    A×A  -1 =  I

    相反的事情,当逆到来时:

    1 / 8)×8 =  1
    -1 ×A =  I

    身份矩阵

    我们刚刚提到了“身份矩阵”。它是相当于数字“1”的矩阵:

    身份矩阵
    3x3身份矩阵

    • 它是“正方形”(与列相同的行数),
    • 对角线有1秒,其他地方有0秒。
    • 它的标志是大写字母

    身份矩阵的大小可以是2×2,或者3×3,4×4等。

    定义

    这里是定义:

    的逆一个是 一个-1只有当:

    A×A -1 = A -1 ×A = I

    有时候根本没有反向。

    2x2矩阵

    好的,我们如何计算逆向?

    那么,对于一个2x2矩阵,反向是:

    矩阵逆2x2行列式

    换句话说:交换 a和d的位置,把底片在b和c前面,并且划分由一切行列式(广告-BC)。

    让我们试试一个例子:

    矩阵逆2x2 ex1

    我们怎么知道这是正确的答案?

    记住一定是:A×A -1 = I

    所以,让我们检查一下,当我们将矩阵乘以逆时,会发生什么:

    矩阵逆2x2 ex2

    而且,嘿!我们最终得到了身份矩阵!所以一定是对的。

    它应该是真实的:一个-1 ×A = 

    你为什么不放弃这些?看看你是否也得到了身份矩阵:

    矩阵逆2x2 ex3

     

    为什么我们需要反转?

    因为与矩阵我们不分!认真地说,没有一个按矩阵划分的概念。

    但是我们可以乘以一个反向,这实现了同样的事情。

    想像一下我们不能用数字划分

    ...有人问“如何与2人分享10个苹果?”

    但是我们可以采取2 的互惠(即0.5),所以我们回答:

    10×0.5 = 5

    他们每个5个苹果。

    同样的事情可以用矩阵:

    说我们知道Matrix A和B,想要找到Matrix X:

    XA = B

    将双方分开A(得到X = B / A)是很好的,但请记住我们不能分开

     

    但是如果我们将双方乘以A -1呢?

    XAA -1 = BA -1

    我们知道AA -1 = I,所以:

    XI = BA -1

    我们可以删除I(同样的原因我们可以从1x = ab中删除“1”号):

    X = BA -1

    我们有答案(假设我们可以计算A -1

    在这个例子中,我们非常小心得到乘法正确,因为矩阵乘法的顺序。AB几乎不等于BA。

    现实生活中的例子:巴士和火车

    一组乘坐公共汽车旅行,每位儿童3美元,成人3.20美元,合计118.40美元。

    他们乘坐火车回到每名儿童3.50美元,每名成人3.60美元,总计135.20美元。

    有几个孩子,还有几个成年人?

    首先,我们设置矩阵(小心得到行和列正确!):

    矩阵逆2x2总线

    这就像上面的例子:

    XA = B

    所以要解决它,我们需要“A”的倒数:

    矩阵逆2x2总线

     

    现在我们可以使用以下方法来解决:

    X = BA -1

    矩阵逆2x2总线

    有16个孩子和22个大人!

    答案几乎看起来像魔术。但它是基于良好的数学。

    像这样的计算(但使用更大的矩阵)有助于工程师设计建筑物,用于视频游戏和计算机动画,使东西看起来像三维等许多地方。

    它也是解决线性方程组的一种方法。

    计算由计算机完成,但人们必须了解公式。

     

    订单很重要

    说在这种情况下我们试图找到“X”:

    AX = B

    这与上面的例子不同 X现在 A.

    使用矩阵乘法的顺序通常会改变答案。不要以为AB = BA,这几乎不是真的。

     

    那么我们如何解决这个问题呢?使用相同的方法,但把A -1放在前面:

    -1 AX = A -1 B

    我们知道A -1 A = I,所以:

    IX = A -1 B

    我们可以删除我:

    X = A -1 B

    我们有答案(假设我们可以计算A -1

    为什么我们不试试我们的巴士和列车的例子,但是这样做的数据就是这样设置的。

    可以这样做,但我们必须小心我们如何设置。

    这就是AX = B的样子:

    矩阵逆2x2总线

    看起来很整洁!我想我喜欢这样。

    还要注意
    ,与上一个示例相比,行和列如何交换(“转置”)。

    为了解决这个问题,我们需要“A”的倒数:

    矩阵逆2x2总线
    这就像我们之前的反向,但是
    转置(行和列交换)。

    现在我们可以解决使用:

    X = A -1 B

    矩阵逆2x2总线

    同样的答案:16名儿童和22名成年人。

    所以,矩阵是强大的东西,但他们确实需要正确设置!

     

    逆向可能不存在

    首先,要有一个反转矩阵必须是“正方形”(相同数量的行和列)。

    而且行列式也不能为零(或者我们最终除以零)。这个怎么样:

    矩阵逆2x2单数

    24-24?这等于0,而1/0未定义
    我们不能再去了!这个矩阵没有反向。

    这样的矩阵称为“奇异”,只有当行列式为零时才会发生。

    这是有道理的,看看数字:第二行只是第一行的两倍,不会添加任何新的信息

    决定因素让我们知道这个事实。

    (想象一下在我们的公共汽车和火车上的例子,火车上的价格都比公车高了50%,所以现在我们无法弄清大人和小孩之间的区别,需要有一些东西把它们分开。

    更大的矩阵

    与较大的矩阵(例如3x3,4x4等)相比,2x2的反 比较容易

    对于那些较大的矩阵,有三种主要的方法来计算逆矩阵:

     

    结论

      • 只有当A×A -1 = A -1 ×A = I时, A的逆A-1
      • 为了找到一个2x2矩阵的逆:交换 A和D的位置,把底片中的B和C的前面,划分由行列式(AD-BC)的一切。
      • 有时候根本没有反向
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    重点掌握二阶矩阵的逆,分块矩阵的逆

    用高斯消元法或者伴随矩阵计算高阶矩阵的逆计算量特别大,一般再考试中不会出现。(如果出现,有巧妙的办法可以绕开)

    用分块矩阵计算的好处是,有两块是保证正确的。C这一块计算量略大一点。

    一定要把表达式的计算复杂度化到最简

     

     

     

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  • 线性代数分块矩阵求逆矩阵Linear algebra is the branch of mathematics concerning linear equations by using vector spaces and through matrices. Matrix is the key to linear algebra. All the linear algebra...

    线性代数分块矩阵求逆矩阵

    Linear algebra is the branch of mathematics concerning linear equations by using vector spaces and through matrices. Matrix is the key to linear algebra. All the linear algebra revolves around matrices. Columns are the heart of a Matrix. From column space to null space of a matrix is based on Columns. Therefore, whenever we have to go for Column operations, then we have to call our columns.

    线性代数是使用向量空间和矩阵的线性方程组的数学分支。 矩阵是线性代数的关键。 所有线性代数都围绕矩阵旋转。 列是矩阵的核心。 矩阵的从列空间到空空间都是基于列的。 因此,每当必须进行列操作时,就必须调用列。

    The following code shows how to call a whole column of a matrix.

    以下代码显示了如何调用矩阵的整个列。

    用于调用矩阵列的Python代码 (Python code for calling column of a matrix)

    # Linear Algebra Learning Sequence
    # Calling Column of a Matrix
    
    import numpy as np
    
    # Use of np.array() to define a matrix
    V = np.array([[1,2,3],[2,3,5],[3,6,8],[323,623,823]])
    print("--The Matrix-- \n",V)
    
    j = int(input("Enter j (column number) : "))
    
    # Printing the V[i][j] element of the matrix
    ln = len(V)
    for i in range(ln):
        print("Component [",i,"] [",j,"] :", V[i][j-1])   
    
    

    Output:

    输出:

    --The Matrix-- 
     [[  1   2   3]
     [  2   3   5]
     [  3   6   8]
     [323 623 823]]
    Enter j (column number) : 2
    Component [ 0 ] [ 2 ] : 2
    Component [ 1 ] [ 2 ] : 3
    Component [ 2 ] [ 2 ] : 6
    Component [ 3 ] [ 2 ] : 623
    
    
    

    翻译自: https://www.includehelp.com/python/calling-column-of-a-matrix.aspx

    线性代数分块矩阵求逆矩阵

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  • 线性代数分块矩阵求逆矩阵Prerequisites: 先决条件: Defining Matrix定义矩阵 Identity matrix身份矩阵 numpy.matmul( ) matrix multiplicationnumpy.matmul()矩阵乘法 In linear algebra, the identity matrix, ...

    线性代数分块矩阵求逆矩阵

    Prerequisites:

    先决条件:

    In linear algebra, the identity matrix, of size n is the n × n square matrix with ones on the main diagonal and zeros elsewhere. It is denoted by I. The identity matrix has the property that: AI = A

    在线性代数中,大小为n的单位矩阵是n×n方阵,主对角线上为1,其他地方为零。 用I表示。 单位矩阵具有以下特性: AI = A

    身份矩阵属性的Python代码(AI = A) (Python code for identity matrix property (AI = A))

    # Linear Algebra Learning Sequence
    # Identity Matrix Property (AI = A) 
    
    import numpy as np
    
    I = np.eye(3)
    print("---Matrix I---\n", I)
    
    A = np.array([[2,3,4], [3,45,8], [4,8,78]])
    print("---Matrix A---\n", A)
    
    ai = np.matmul(A,I) 
    print('\nIdentity Matrix Property I.A----\n', ai)
    
    if ai.all() == I.all():
        print("AI = A")
    
    

    Output:

    输出:

    ---Matrix I---
     [[1. 0. 0.]
     [0. 1. 0.]
     [0. 0. 1.]]
    ---Matrix A---
     [[ 2  3  4]
     [ 3 45  8]
     [ 4  8 78]]
    
    Identity Matrix Property I.A----
     [[ 2.  3.  4.]
     [ 3. 45.  8.]
     [ 4.  8. 78.]]
    
    
    

    翻译自: https://www.includehelp.com/python/identity-matrix-property-ai-a.aspx

    线性代数分块矩阵求逆矩阵

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空空如也

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线性代数逆矩阵