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  • 可逆线性变换

    万次阅读 2018-01-26 10:24:13
    线性变换的逆变换 对于线性空间 V" role="presentation" style="position: relative;">VVV 上的任意一个线性变换 f," role="presentation" style="position: relative;">f,f,f, 若存在 V" role="presentation" ...

    线性变换的逆变换

    对于线性空间 V V 上的任意一个线性变换 f, 若存在 V V 上的一个变换 g,
    使得 fg=gf=I, f ∘ g = g ∘ f = I , 则称 g g f 的逆变换,记为 f1 f − 1

    逆变换的唯一性

    对于线性空间 V V 上的任意一个线性变换 g, 若存在线性空间 V V 上的线性变换 g,g 使得 fg=gf=I, f ∘ g = g ∘ f = I , fg=gf=I, f ∘ g ′ = g ′ ∘ f = I , g=g g = g ′

    证明

    g=gIn=g(fg)=(gf)g=Img=g g = g ∘ I n = g ∘ ( f ∘ g ′ ) = ( g ∘ f ) ∘ g ′ = I m ∘ g ′ = g ′

    可逆的必要条件

    1. f f 可逆,则 f 是满射,即 f f 的值域 ranf=V
      证明
      对于任意一个向量 αV, α ∈ V , 存在向量 β=f1(α)V, β = f − 1 ( α ) ∈ V , 使得
      f(β)=f(f1(α))=(ff1)(α)=α f ( β ) = f ( f − 1 ( α ) ) = ( f ∘ f − 1 ) ( α ) = α
    2. f f 可逆,则 f 是单射。
      证明
      对于任意两个向量 α,βV, α , β ∈ V ,
      f(α)=f(β)f1(f(α))=f1(f(β)) f ( α ) = f ( β ) ⇒ f − 1 ( f ( α ) ) = f − 1 ( f ( β ) )
      (f1f)(α)=(f1f)(β)α=β ⇒ ( f − 1 ∘ f ) ( α ) = ( f − 1 ∘ f ) ( β ) ⇒ α = β
    3. 由1,2得,若 f f 可逆,则 f一一映射
    4. 由3得,可逆的线性变换是同构映射

    可逆的充分条件

    若线性变换 f f 一一映射,则 f 可逆。
    定义线性空间 V V 上的关系 g={(α,β):α,βVf(β)=α}, 则:
    1. g g 是一个函数。
    证明:
    α,βV,(α,β)g(α,β)g
    f(β)=αf(β)=αβ=β ⇒ f ( β ) = α ∧ f ( β ′ ) = α ⇒ β = β ′
    2. g g 的定义域是 V
    证明:
    f f 是一一映射,因此 αV,βV, 使得 α=f(β), α = f ( β ) ,
    (α,β)g, ( α , β ) ∈ g , 因此 g g 的定义域是 V
    3. fg=gf=I f ∘ g = g ∘ f = I
    证明:
    αV, ∀ α ∈ V , β=g(α), β = g ( α ) , f(β)=α, f ( β ) = α , 因此 (fg)(α)=f(g(α))=f(β)=α ( f ∘ g ) ( α ) = f ( g ( α ) ) = f ( β ) = α
    βV, ∀ β ∈ V , α=f(β), α = f ( β ) , g(α)=β, g ( α ) = β , 因此 (gf)(β)=g(f(β))=g(α)=β ( g ∘ f ) ( β ) = g ( f ( β ) ) = g ( α ) = β

    可逆的充要条件

    f f 可逆的充要条件是: f 是一一映射。

    性质

    性质1

    若线性变换可逆,则线性变换的逆变换也是线性变换。
    即:对于线性空间 V V 上的任意一个线性变换 f, f f 可逆,
    则它的逆变换 f1 也是线性变换。

    证明

    f1 f − 1 f f 的逆映射,因此 ff1=f1f=I 。则
    对于任意两个向量 α,βV, α , β ∈ V , 以及任意的 kP k ∈ P
    f1(α+β)=f1((ff1)(α)+(ff1)(β)) f − 1 ( α + β ) = f − 1 ( ( f ∘ f − 1 ) ( α ) + ( f ∘ f − 1 ) ( β ) )
    =f1(f(f1(α))+f(f1(β))) = f − 1 ( f ( f − 1 ( α ) ) + f ( f − 1 ( β ) ) )
    =f1(f(f1(α)+f1(β))) = f − 1 ( f ( f − 1 ( α ) + f − 1 ( β ) ) )
    =(f1f)(f1(α)+f1(β)) = ( f − 1 ∘ f ) ( f − 1 ( α ) + f − 1 ( β ) )
    =f1(α)+f1(β) = f − 1 ( α ) + f − 1 ( β )

    f1(kα)=f1(k((ff1)(α))) f − 1 ( k α ) = f − 1 ( k ( ( f ∘ f − 1 ) ( α ) ) )
    =f1(kf(f1(α))) = f − 1 ( k f ( f − 1 ( α ) ) )
    =f1(f(kf1(α))) = f − 1 ( f ( k f − 1 ( α ) ) )
    =(f1f)(kf1(α)) = ( f − 1 ∘ f ) ( k f − 1 ( α ) )
    =kf1(α) = k f − 1 ( α )
    因此 f1 f − 1 也是线性变换。

    性质2

    f f 可逆,则它的逆变换 f1 也可逆,且 (f1)1=f ( f − 1 ) − 1 = f

    证明

    由定义可得 ff1=f1f=I f ∘ f − 1 = f − 1 ∘ f = I

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  • 线性变换

    2020-05-31 19:21:44
    线性变换的定义和运算 定义: 设VVV是数域FFF上的线性空间.$$ 线性变换的矩阵 线性变换的核和矩阵 特征值和特征向量 相似矩阵
                线性变换
    

    在这里插入图片描述

    线性变换的定义和运算

    定义

    定义:
    V V V是数域 F F F上的线性空间. σ \sigma σ V V V的一个变换。如果满足条件:
    ( 1 ) ∀ α , β ∈ V , σ ( α + β ) = σ ( α ) + σ ( β ) ; (1)\forall \alpha,\beta\in V,\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta); (1)α,βV,σ(α+β)=σ(α)+σ(β);
    ( 2 ) ∀ k ∈ F , α ∈ V , σ ( k α ) = k σ ( α ) (2)\forall k\in F,\alpha\in V ,\sigma(k\alpha)=k\sigma (\alpha) (2)kF,αV,σ(kα)=kσ(α) ,
    则称 σ \sigma σ V V V上的线性变换或线性算子。

    几个特殊的线性变换:
    数乘变换\位拟变换
    零变换( ο \omicron ο
    恒等变换( ϵ \epsilon ϵ
    线性变换的四个基本性质:
    (1) σ ( θ ) = θ \sigma(\theta)=\theta σ(θ)=θ
    (2) σ ( − α ) = − σ ( α ) \sigma(-\alpha)=-\sigma(\alpha) σ(α)=σ(α)
    (3)线性变换保持向量的线性组合关系不变。即:
    $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s \Rightarrow \sigma\beta=k_1\sigma\alpha_1+k_2\sigma\alpha_2+\cdots+k_s\sigma\alpha_s $。
    (4)线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。

    运算

    运算相关定义:

    σ , τ ∈ L ( V ) \sigma,\tau \in L(V) σ,τL(V),他们的和 σ , τ \sigma,\tau σ,τ定义为
    ( σ + τ ) ( α ) = σ ( α ) + τ ( α ) , ∀ α ∈ V (\sigma+\tau)(\alpha)=\sigma(\alpha)+\tau(\alpha),\forall \alpha\in V (σ+τ)(α)=σ(α)+τ(α),αV.
    σ ∈ L ( V ) \sigma \in L(V) σL(V) k ∈ F k\in F kF k k k σ \sigma σ的数量乘法 k σ k\sigma kσ定义为: ( k σ ) ( α ) = k σ ( α ) , ∀ α ∈ V (k\sigma)(\alpha)=k\sigma(\alpha),\forall \alpha\in V (kσ)(α)=kσ(α),αV.
    σ ∈ L ( V ) \sigma\in L(V) σL(V),如果存在 τ ∈ L ( V ) \tau\in L(V) τL(V),使得
    σ τ = τ σ = ϵ \sigma \tau=\tau \sigma=\epsilon στ=τσ=ϵ,
    则称是 σ \sigma σ可逆的,称 τ \tau τ σ \sigma σ的逆变换。

    线性变换的矩阵

    线性变换在一组基下的矩阵

    定理:

    σ \sigma σ是n维线性空间 V V V的一个线性变换, α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn V V V的一组基,则 V V V中任一向量 α \alpha α的像 σ ( α ) \sigma(\alpha) σ(α)由基的像 σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯   , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),,σ(αn)所完全确定。

    σ ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A \sigma(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A σ(α1,α2,,αn)=(α1,α2,,αn)A.
    n n n阶矩阵 A A A叫做线性变换 σ \sigma σ在基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn下的矩阵.其中 A A A的第 j j j列就是 σ ( α j ) \sigma(\alpha_j) σ(αj) α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn这组基下的坐标。

    定理:

    设线性变换 σ \sigma σ在基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn下的矩阵是 A A A,向量 α \alpha α, σ ( α ) \sigma(\alpha) σ(α)在这组基下的坐标分别是 x = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T x=(x1,x2,,xn)T y = ( y 1 , y 2 , ⋯   , y n ) T y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T y=(y1,y2,,yn)T,则:
    y = A x . y=Ax. y=Ax.

    线性变换与矩阵的一一对应关系

    定理:

    α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn n n n维空间的一组基, A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)是任一 n n n阶矩阵,则有唯一的线性变换 σ \sigma σ满足:
    σ ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) A \sigma(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A σ(α1,α2,,αn)=(α1,α2,,αn)A

    定理:

    V V V F F F n n n维空间,则 L ( V ) L(V) L(V) M n ( F ) M_n(F) Mn(F)同构。*

    线性变换的乘积与矩阵乘积之间的对应

    定理:

    设为 ϕ : L ( V ) → M n ( F ) \phi:L(V)\rightarrow M_n(F) ϕ:L(V)Mn(F)定理*构造的同构映射,则
    ∀ σ , τ ∈ L ( V ) , ϕ ( σ τ ) = ϕ ( σ ) ϕ ( τ ) \forall \sigma,\tau\in L(V),\phi(\sigma \tau)=\phi(\sigma)\phi(\tau) σ,τL(V),ϕ(στ)=ϕ(σ)ϕ(τ)
    推论:
    σ ∈ L ( V ) \sigma\in L(V) σL(V) ϕ ( σ ) = A \phi(\sigma)=A ϕ(σ)=A,若 σ \sigma σ可逆,则 A A A是可逆矩阵,且 ϕ ( σ − 1 ) = A − 1 \phi(\sigma^{-1})=A^{-1} ϕ(σ1)=A1。反正,如果 A A A可逆,则 σ \sigma σ也可逆。

    线性变换的核和矩阵

    核与值域

    定义

    σ ∈ L ( V ) \sigma \in L(V) σL(V) σ \sigma σ的全体像的集合称为 σ \sigma σ的值域,计作 I m σ ( σ V ) Im\sigma(\sigma V) Imσ(σV),即:
    I m σ = σ V = { σ α ∣ α ∈ V } Im\sigma=\sigma V=\{\sigma\alpha|\alpha\in V\} Imσ=σV={σααV}
    σ ∈ L ( V ) \sigma \in L(V) σL(V),所有被 σ \sigma σ映成零向量的向量的集合称为 σ \sigma σ的核,计作 k e r σ , ker\sigma, kerσ,
    k e r σ = { α ∈ V ∣ σ α = θ } ker\sigma=\{\alpha\in V|\sigma\alpha=\theta\} kerσ={αVσα=θ}
    d i m I m σ dim Im\sigma dimImσ称为线性变换 σ \sigma σ的秩, k e r σ ker\sigma kerσ称为线性变换 σ \sigma σ的零度。

    定理

    σ ∈ L ( V ) \sigma\in L(V) σL(V) ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ n \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n ϵ1,ϵ2,,ϵn V V V的一组基, A A A σ \sigma σ在这组基下的矩阵,则:
    (1) I m σ = L ( σ ϵ 1 , σ ϵ 2 , ⋯   , σ ϵ n ) Im\sigma=L(\sigma\epsilon_1,\sigma\epsilon_2,\cdots,\sigma\epsilon_n) Imσ=L(σϵ1,σϵ2,,σϵn);
    (2) σ \sigma σ的秩= A A A的秩
    σ ∈ L ( V ) \sigma\in L(V) σL(V),则:
    d i m V = d i m k e r σ + d i m I m σ dimV=dim ker\sigma+dim Im\sigma dimV=dimkerσ+dimImσ
    对于有限维线性空间的线性变换 σ \sigma σ, σ \sigma σ是单射 ⇔ σ \Leftrightarrow\sigma σ是满射

    不变子空间

    定义

    σ ∈ L ( V ) \sigma\in L(V) σL(V) W W W V V V的子空间,如果 ∀ α ∈ W \forall\alpha\in W αW,都有 σ α ∈ W \sigma\alpha\in W σαW,则称 W W W是线性变换 σ \sigma σ的不变子空间。

    特征值和特征向量

    ##特征值与特征向量的定义与性质
    定义

    σ ∈ L ( V ) \sigma\in L(V) σL(V),如果对于 F F F中的数 λ \lambda λ,存在非零向量 ξ \xi ξ,使得
    σ ξ = λ ξ , \sigma\xi=\lambda\xi, σξ=λξ,
    则称 λ \lambda λ是线性变换 σ \sigma σ的一个特征值, ξ \xi ξ σ \sigma σ的属于特征值 λ \lambda λ的特征向量.

    属于 λ \lambda λ的特征向量的任意非零线性组合仍是属于 λ \lambda λ的特征向量,因此 σ \sigma σ的属于 λ \lambda λ所有特征向量添加零向量就构成一个 V V V的子空间,计作 V λ V_{\lambda} Vλ
    V λ = { ξ ∈ V ∣ σ ξ = λ ξ } . V_{\lambda}=\{\xi\in V|\sigma\xi=\lambda\xi\}. Vλ={ξVσξ=λξ}.
    定义:

    V λ V_{\lambda} Vλ称为线性变换 σ \sigma σ的属于特征值 λ \lambda λ的特征子空间。特征子空间 V λ V_{\lambda} Vλ的维数叫做特征值 λ \lambda λ的几何重数。
    多项式 f A ( λ ) = d e t ( λ I − A ) f_{A}(\lambda)=det(\lambda I-A) fA(λ)=det(λIA)称为线性变换 σ \sigma σ的特征多项式,它的根称为 σ \sigma σ的特征根。

    特征值与特征向量的计算

    特征多项式的基本性质

    定理:

    A ∈ M n ( c ) , A\in M_{n}(\mathbb{c}), AMn(c),
    (1)KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 5: \sum_̲\limits{i=1}^{n…
    (2)KaTeX parse error: Expected group after '_' at position 6: \prod_̲\limits{i=1}^{n…

    定理:

    n n n阶方阵 A A A可逆 ⇔ A \Leftrightarrow A A n n n个特征值全不为零。

    定理:

    A ∈ M n ( F ) A\in Mn(F) AMn(F) f A ( λ ) = ∣ λ I − A ∣ f_{A}(\lambda)=|\lambda I-A| fA(λ)=λIA A A A的特征多项式,则 f A ( A ) = 0. f_{A}(A)=0. fA(A)=0.

    推论:

    σ ∈ L ( V ) \sigma\in L(V) σL(V) f ( λ ) f(\lambda) f(λ) σ \sigma σ的特征多项式,那么 f ( σ ) = 0 f(\sigma)=0 f(σ)=0

    相似矩阵

    线性变换在不同基下的矩阵

    矩阵的相似

    定义

    A , B A,B A,B是两个 n n n阶的方阵,如果存在一个 n n n阶可逆矩阵 P P P,使得:
    P − 1 A P = B , P^{-1}AP=B, P1AP=B,
    则称矩阵 B B B相似于矩阵 A A A,计作 B   A B~A B A.

    相似矩阵的性质

    (1)若 A ~ B A~B AB,则 A m ~ B m A^{m}~B^{m} AmBm,其中 m m m是正整数。
    (2)若 A ~ B , A~B, AB, f ( x ) f(x) f(x)是一个一元多项式,则 f ( A )   f ( B ) . f(A)~f(B). f(A) f(B).
    (3)若 A i ~ B i , i = 1 , 2 , ⋯ , s A_i~B_i,i=1,2,\cdots,s AiBii=1,2,s
    d i a g ( A 1 , A 2 , ⋯   , A s ) ~ d i a g ( B 1 , B 2 , ⋯   , B s ) diag(A_1,A_2,\cdots,A_s)~diag(B_1,B_2,\cdots,B_s) diag(A1,A2,,As)diag(B1,B2,,Bs)
    (4)若 A ~ B , A~B, AB, A A A可逆,则 B B B也可逆,且 A − 1 ~ B − 1 . A^{-1}~B^{-1}. A1B1.
    (5)相似矩阵有相同的特征值和相同的特征多项式。
    (6)相似矩阵具有相同的迹和相同的行列式。

    实对称矩阵和对角阵相似

    定理

    A A A n n n阶实对称阵,则 A A A的特征值都是实数。

    定理

    n n n阶实对称阵 A A A,总存在正交阵 Q Q Q,使得 Q − 1 A Q Q^{-1}AQ Q1AQ是对角阵。

    定理

    A A A n n n阶实对称阵, λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2 A A A的两个相异的特征值, x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2分别是属于 λ 1 \lambda_1 λ1 λ 2 \lambda_2 λ2的特征向量,则 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2必正交。

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  • 随机变量的可逆线性变换的分布,陈必红,,设连续型的n维随机变量X经过可逆线性变换变为n维随机变量Y,设变换的矩阵为A,本文证明了,Y的概率密度函数,是X的概率密度函数�
  • 线性代数笔记18:线性变换与基变换

    万次阅读 2018-05-09 20:56:28
    这里严格给出线性变换的定义,但举例来说,投影变换、反射变换、不定积分等都可以看做是线性变换。 与线性变换相对的是仿射变换,例如: T(x)=Ax+x0T(x)=Ax+x0T(x)= Ax + x_0 就是一个仿射变换,...

    每一个矩阵都可以看作是线性变换,矩阵乘法也是由线性变换的复合引出的。

    线性变换

    理解

    线性变换是一种映射,对于向量来说,就是线性空间到线性空间的映射。这里不严格给出线性变换的定义,但举例来说,投影变换、反射变换、不定积分等都可以看做是线性变换。

    与线性变换相对的是仿射变换,例如:

    T(x)=Ax+x0 T ( x ) = A x + x 0

    就是一个仿射变换,可以通俗的理解为对现象变换 Ax A x 加上了一个偏移量 x0 x 0

    性质

    由线性变换的性质,我们可以得到:

    1. T(0)=0,T(x)=x T ( 0 ) = 0 , T ( − x ) = − x
    2. T(c1x1+c2x2+...+cnxn)=c1T(x1)+c2T(x2)+...+cnT(xn) T ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n ) = c 1 T ( x 1 ) + c 2 T ( x 2 ) + . . . + c n T ( x n )
    3. x1,...,xn x 1 , . . . , x n 线性相关,则 T(x1),...T(xn) T ( x 1 ) , . . . T ( x n ) 线性相关。

    即线性变换保持向量空间的线性关系。

    例如,线性变换总是把直线变成直线,把三角形变成三角形,把平行四边形变成平行四边形。。。

    线性变换的矩阵表示

    我们想用一个矩阵来表示一个向量中所有线性空间中的变换,也就是用矩阵来描述这个线性变换。

    V V W分别是数域上 n n 维、m维向量空间, T:VW T : V → W V V W的线性变换。

    V V 中取一组基v1,...,vn,则对于任意的 v v ,可以用基表示为v=c1v1,...,cnvn,这也就是 v v 在这组基下的坐标

    因此,T(v)=c1T(v1)+...+cnT(vn)。我们可以发现,要求这个线性空间中任意向量的线性变化,只需要知道基的变换即可。

    因此,我们可以在 W W 中取一组基w1,...,wm,则得到基的线性变换为:

    1525867752843

    1525867797110

    m×n m × n 矩阵 A A 为线性变换T V V 中给定基v1,....,vn W W 中给定基w1,...,wm下的矩阵表示。

    线性变换与矩阵之间的关系

    线性变换的唯一性

    对于一个线性变换 σ σ ,在确定了一组基后,对应于唯一的矩阵 A A

    而一个矩阵A在一组基下,也对应唯一一个线性变换 σ σ

    可逆线性变换

    σL(V,V) σ ∈ L ( V , V ) 为可逆线性变换,且 σ σ V V 的某一组基下的矩阵为A,则 σ1 σ − 1 在这组基下的矩阵为 A1 A − 1

    例子

    设线性变换 t:R3R2 t : R 3 → R 2 定义为 t(x,y,z)=(x+y,yz) t ( x , y , z ) = ( x + y , y − z ) ,线性变换 σ:R2R2 σ : R 2 → R 2 定义为 σ(u,v)=(2uv,u) σ ( u , v ) = ( 2 u − v , u ) ,求线性变换 σt:R3R2 σ t : R 3 → R 2 R3 R 3 R2 R 2 标准基下的矩阵。

    注意到:

    σt(x,y,z)=σ(t(x,y,z))=σ(x+y,yz)=(2x+y+z,x+y) σ t ( x , y , z ) = σ ( t ( x , y , z ) ) = σ ( x + y , y − z ) = ( 2 x + y + z , x + y )

    因此在 R3 R 3 的标准基 e1,e2,e3 e 1 , e 2 , e 3 R2 R 2 的标准基 δ1,δ2 δ 1 , δ 2 下有:

    σt(e1)=σt(1,0,0)=(2,1)=2δ1+δ2 σ t ( e 1 ) = σ t ( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 ) = 2 δ 1 + δ 2

    σt(e2)=σt(0,1,0)=(1,1)=δ1+δ2 σ t ( e 2 ) = σ t ( 0 , 1 , 0 ) = ( 1 , 1 ) = δ 1 + δ 2

    σt(e3)=σt(0,0,1)=(1,0)=δ1 σ t ( e 3 ) = σ t ( 0 , 0 , 1 ) = ( 1 , 0 ) = δ 1

    因此:

    1525868621909

    又因为:

    1525868664710

    1525868707677

    验证可得:

    AB=C A B = C

    这就是线性变换的复合。

    基变换

    我们可以将基变换理解为特殊的线性变换,因为基变换其实是可逆线性变换,也就是说, A A 始终是可逆矩阵。

    σ是恒同变换,则:

    1525869062082

    则恒同变换 σ σ 在两组基下的矩阵表示 P P V的这两组基之间的基变换矩阵。

    线性变换在不同基下的矩阵

    我们发现,线性变换与基的选取有关:同一个线性变换在不同基下的矩阵表示不相同。

    因此,我们希望找出线性变换与基无关的性质,或者说,找出线性变换的矩阵表示如何随着基的改变而改变。

    1525869722663

    对于这样一个变换,我们既可以通过 B B 矩阵直接得到,也可以通过基变换P,在新基上用 A A 矩阵变换,最后回到原来的基上来表示,因此可以得到:

    B=PAP1

    我们发现,对于同样一个线性变化,在不同基下的变换矩阵时相似的,同时,可逆矩阵 P P 表示这个基变换矩阵。

    这是个很好的性质,我们因此可以理解对角化A=SΛS1和奇异值分解 A=UVT A = U ∑ V T ,在此不再赘述,可以参考目录。

    参考资料

    1. 线性代数(2)
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  • 文章目录线性变换线性变换举例各种变换线性变换的运算参考 线性变换 定义1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1 } }}定义1​ 线性空间 V\boldsymbol{V}V ,数域 F,T\boldsymbol{F}, \boldsymbol{T}F,T ...

    1. 线性映射01——映射的概念和性质
    2. 线性映射02—— 线性映射概念与运算
    3. 线性映射03——线性空间的同构
    4. 线性映射04——像与核
    5. 线性映射05——代数与代数同构
    6. 线性映射06——线性变换
    7. 线性映射07——线性变换的矩阵表示
    8. 线性映射08——不变子空间
    9. 线性映射9——对偶空间

    线性变换

    定 义 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1 } }} 1 线性空间 V \boldsymbol{V} V ,数域 F , T \boldsymbol{F}, \boldsymbol{T} F,T V \boldsymbol{V} V 中的变换. 若对 ∀ x , y ∈ V , ∀ k , l ∈ K \forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{V}, \forall \boldsymbol{k}, \boldsymbol{l} \in \boldsymbol{K} x,yV,k,lK ,有加法不变性和数乘不变性,即

    都有 T ( k x + l y ) = k ( T x ) + l ( T y ) , \boldsymbol{T}(\boldsymbol{k} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{l} \boldsymbol{y})=\boldsymbol{k}(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x})+\boldsymbol{l}(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}), \quad T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty), T \boldsymbol{T} T V \boldsymbol{V} V 中的线性变换.

    线性变换:同一个 F \boldsymbol{F} F - 空间上的线性映射 A : V → V \mathcal{A}: \boldsymbol{V} \rightarrow \boldsymbol{V} A:VV

    注 : \Large{\color{violet}{注:}} 线性变换是同构映射吗?二者有什么区别?前者是后者的特殊情况?还是 后者是前者的特殊情况?

    几何变换:

    (1) 坐标面上的投影: A x y : R 3 → R 3 , ( x , y , z ) ↦ ( x , y , 0 ) \mathcal{A}_{x y}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y, z) \mapsto(x, y, 0) Axy:R3R3,(x,y,z)(x,y,0)

    (2) 坐标轴上的投影: A z : ( x , y , z ) ↦ ( 0 , 0 , z ) \mathcal{A}_{z}:(x, y, z) \mapsto(\mathbf{0}, \mathbf{0}, z) Az:(x,y,z)(0,0,z)

    (3) 关于坐标面的镜面反射: B x y : ( x , y , z ) ↦ ( x , y , − z ) \mathcal{B}_{x y}:(x, y, z) \mapsto(x, y,-z) Bxy:(x,y,z)(x,y,z)

    (4)  绕  z  轴旋转:  C θ : ( x , y , z ) ↦ ( x , y , z ) ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ) \begin{array}{ll}\text { 绕 } z \text { 轴旋转: } & \mathcal{C}_{\theta}:(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z) \mapsto(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1}\end{array}\right)\end{array}   z 轴旋转Cθ:(x,y,z)(x,y,z)cosθsinθ0sinθcosθ0001

    线性变换举例

    投影变换:通过 T T T变换,使平面内的一个向量投影到一条直线上。

    T T T就像一个函数:给定一个输入向量,经过 T T T的变换,输出成直线上的投影,下图中 v v v w w w R 2 R^{2} R2 空 间 内 的 向 量 , 通 过 T 变 换 变 成 了 直 线 上 的投影, 即 T ( v ) T(v) T(v) T ( w ) T( \mathbf{w}) T(w)​ :

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    投影变换是线性变换:

    在这里插入图片描述

    V = R 3 V=R^{3} V=R3, 变换 Π α \Pi_{\alpha} Πα 为向量在 α \alpha α 上的内射影, 即:
    Π α : R 3 → R 3 , ξ ↦ ( α , ξ ) ( α , α ) α , ∀ ξ ∈ R 3 \Pi_{\alpha}: R^{3} \rightarrow R^{3}, \xi \mapsto \frac{(\alpha, \xi)}{(\alpha, \alpha)} \alpha, \forall \xi \in R^{3} Πα:R3R3,ξ(α,α)(α,ξ)α,ξR3
    易验证: ∀ ξ , η ∈ R 3 , ∀ k ∈ R \forall \xi, \eta \in R^{3}, \forall k \in R ξ,ηR3,kR

    Π α ( ξ + η ) = Π α ( ξ ) + Π α ( η ) Π α ( k ξ ) = k ∏ α ( ξ ) \Pi_{\alpha}(\xi+\eta)=\Pi_{\alpha}(\xi)+\Pi_{\alpha}(\eta)\\ \Pi_{\alpha}(k \xi)=k \prod_{\alpha}(\xi) Πα(ξ+η)=Πα(ξ)+Πα(η)Πα(kξ)=kα(ξ)
    V = P [ x ] \boldsymbol{V}=P[x] V=P[x] P [ x ] n P[x]_{n} P[x]n 上的求微商是一个 线性变换,用 D D D表示,即
    D : V → V , D ( f ( x ) ) = f ′ ( x ) , ∀ f ( x ) ∈ V D: V \rightarrow V, \quad D(f(x))=f^{\prime}(x), \forall f(x) \in V D:VV,D(f(x))=f(x),f(x)V

    性 质 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{性质1 } }} 1

    (1) 零变换: T ( 0 ) = T ( 0 x + 0 y ) = 0 ( T x ) + 0 ( T y ) = 0 T(0)=T(0 x+0 y)=0(T x)+0(T y)=0 T(0)=T(0x+0y)=0(Tx)+0(Ty)=0

    (2) T ( − x ) = T ( ( − 1 ) x + 0 y ) = ( − 1 ) ( T x ) + 0 ( T y ) = − ( T x ) T(-x)=T((-1) x+0 y)=(-1)(T x)+0(T y)=-(T x) T(x)=T((1)x+0y)=(1)(Tx)+0(Ty)=(Tx)

    (3) T ( ∑ i = 1 n c i α i ) = ∑ i = 1 n c i T ( α i ) ; \boldsymbol{T}\left(\sum_{i=1}^{n} c_{i} \alpha_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} c_{i} \boldsymbol{T} (\alpha_{i}) ; T(i=1nciαi)=i=1nciT(αi); 线性变换 T \boldsymbol{T} T保持线性组合及关系式不变。

    (4) T ( ( α 1 , ⋯   , α n ) C ) = [ T ( α 1 , ⋯   , α n ) ] C , ∀ C = ( c i j ) n × m ∈ F n × m \boldsymbol{T}\left(\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right) C\right)=\left[\boldsymbol{T}\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right)\right] C, \forall C=\left(c_{i j}\right)_{n \times m} \in F^{n \times m} T((α1,,αn)C)=[T(α1,,αn)]C,C=(cij)n×mFn×m

    (5) x 1 , ⋯   , x m ∈ V x_{1}, \cdots, x_{m} \in V x1,,xmV 线性相关 ⇒ T x 1 , ⋯   , T x m \Rightarrow T x_{1}, \cdots, T x_{m} Tx1,,Txm 线性相关

    (6) x 1 , ⋯   , x m ∈ V x_{1}, \cdots, x_{m} \in V x1,,xmV 线性无关时,不能推出 T x 1 , ⋯   , T x m \boldsymbol{T x}_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{m} Tx1,,Txm 线性无关.

    (7) T T T 是线性变换 ⇔ T ( x + y ) = T x + T y , T ( k x ) = k ( T x ) \Leftrightarrow T(x+y)=T x+T y, T(k x)=k(T x) T(x+y)=Tx+Ty,T(kx)=k(Tx)
    ( ∀ x , y ∈ V , ∀ k ∈ F ) (\forall x, y \in V, \forall k \in F) (x,yV,kF)

    定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }} 1 dim ⁡ V = n \operatorname{dim} V=n dimV=n, 取定 V V V 的一组基 α 1 , ⋯   , α n . \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} . α1,,αn. 那么对 V V V 中任意取定的 n n n 个向量 β 1 , ⋯   , β n \beta_{1}, \cdots, \beta_{n} β1,,βn, 存在唯一的线性变换 T : V → V \boldsymbol{T}: V \rightarrow V T:VV 使得
    T α i = β i , 1 ≤ i ≤ n . \boldsymbol{T} \alpha_{i}=\beta_{i}, 1 \leq i \leq n . Tαi=βi,1in.

    • 平移整个平面是否是线性变换?

    任意指定基向量组的像, 则唯一确定线性变换.

    假设某个变换关系 T T T是平面沿着某个方向平移 v 0 \mathbf{v}_{0} v0, 也就是说对于平面内的任意向量 v v v,都有 T ( v ) = v + v 0 \mathrm{T}(\mathbf{v})=\mathbf{v}+\mathbf{v}_{0} T(v)=v+v0, T变换是否是线性变换?

    这个看起来很简单的变换并不是线性变换,它违背了线性变换的两个不变性,以数乘不变性为例:
     If  v 0 ≠ 0 ,  then  T ( 2 v ) = 2 v + v 0 ≠ 2 v + 2 v 0 = 2 T ( v ) \text { If } v_{0} \neq 0, \quad \text { then } T(2 v)=2 v+v_{0} \neq 2 v+2 v_{0}=2 T(v)  If v0=0, then T(2v)=2v+v0=2v+2v0=2T(v)
    线性变换的不变性要求对输入空间内的任意向量都成立,当然也包括零向量, 因此一个更简单的判断方法就是使用零向量。数乘不变性对于零向量来说将有T ( 0 ) = 0 (0)=0 (0)=0, 但本例中T ( 0 ) (0) (0) = v 0 =\mathbf{v}_{0} =v0, 所以说“平移"变换不是线性变换。

    • 求向量的长度是否是线性变换?

    变换关系 T ( v ) = ∥ v ∥ T(\mathbf{v})=\|\mathbf{v}\| T(v)=v 是否是线性变换?

    T T T变换将产生维度的变化。假设v是一个三维向量,经过T的变换将变成一个大于等于0的实 数,也就是一维向量:
    T : R 3 → R 1 T: R^{3} \rightarrow R^{1} T:R3R1
    虽然本例满足T ( 0 ) = 0 (0)=0 (0)=0, 但是对于数乘不变性来说,如果c是负数,那么 T ( c v ) ≠ c T ( v ) T(\mathrm{cv}) \neq \mathrm{cT}(\mathbf{v}) T(cv)=cT(v), 因此 本例不是线性变换。

    例 1 \Large\color{violet}{例1} 1 矩阵空间 R n × n , \mathbf{R}^{n \times n}, Rn×n, 给定矩阵 B n × n , \boldsymbol{B}_{n \times n}, Bn×n, 则变换 T X = B X + X B ( ∀ X ∈ R n × n ) \boldsymbol{T} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{X B} \quad\left(\forall \boldsymbol{X} \in \mathbf{R}^{n \times n}\right) TX=BX+XB(XRn×n) R n × n \mathbf{R}^{n \times n} Rn×n 的线性变换.

    线性变换的值域: C ( T ) = { y ∣ y = T x , x ∈ V } \quad \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\{\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{y}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}\} C(T)={yy=Tx,xV}

    线性变换的核: N ( T ) = { x ∣ T x = 0 , x ∈ V } \quad N(\boldsymbol{T})=\{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}, \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}\} N(T)={xTx=0,xV}

    定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }} 2 T \boldsymbol{T} T 是线性空间 V \boldsymbol{V} V 的线性变换,则 C ( T ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) C(T) N ( T ) \boldsymbol{N}(\boldsymbol{T}) N(T) 都是 V \boldsymbol{V} V 的子空间.

    【证】(1) V V V 非空 ⇒ C ( T ) \Rightarrow C(T) C(T) 非空.
    ∀ y 1 ∈ C ( T ) ⇒ ∃ x 1 ∈ V ,  st  y 1 = T x 1 ∀ y 2 ∈ C ( T ) ⇒ ∃ x 2 ∈ V ,  st  y 2 = T x 2 y 1 + y 2 = T x 1 + T x 2 = T ( x 1 + x 2 ) ∈ C ( T ) ( ∵ x 1 + x 2 ∈ V ) k y 1 = k ( T x 1 ) = T ( k x 1 ) ∈ C ( T ) ( ∵ ∀ k ∈ F , k x 1 ∈ V ) \begin{array}{l} \forall y_{1} \in C(T) \Rightarrow \exists x_{1} \in V, \text { st } y_{1}=T x_{1} \\ \forall y_{2} \in C(T) \Rightarrow \exists x_{2} \in V, \text { st } y_{2}=T x_{2} \\ y_{1}+y_{2}=T x_{1}+T x_{2}=T\left(x_{1}+x_{2}\right) \in C(T) \quad\left(\because x_{1}+x_{2} \in V\right) \\ k y_{1}=k\left(T x_{1}\right)=T\left(k x_{1}\right) \in C(T) \quad\left(\because \forall k \in F, k x_{1} \in V\right) \end{array} y1C(T)x1V, st y1=Tx1y2C(T)x2V, st y2=Tx2y1+y2=Tx1+Tx2=T(x1+x2)C(T)(x1+x2V)ky1=k(Tx1)=T(kx1)C(T)(kF,kx1V)
    C ( T ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) C(T) V \boldsymbol{V} V 的子空间.

    (2) θ ∈ V , T θ = θ ⇒ θ ∈ N ( T ) , \theta \in V, T \theta=\theta \Rightarrow \theta \in N(T), θV,Tθ=θθN(T), N ( T ) N(T) N(T) 非空.
    ∀ x , y ∈ N ( T ) ⇒ T ( x + y ) = T x + T y = θ ,  即  x + y ∈ N ( T ) ∀ x ∈ N ( T ) , ∀ k ∈ K ⇒ T ( k x ) = k ( T x ) = θ ,  即  k x ∈ N ( T ) . \begin{array}{l} \forall x, y \in N(T) \Rightarrow T(x+y)=T x+T y=\theta, \quad \text { 即 } x+y \in N(T) \\ \forall x \in N(T), \forall k \in K \Rightarrow T(k x)=k(T x)=\theta, \quad \text { 即 } k x \in N(T) . \end{array} x,yN(T)T(x+y)=Tx+Ty=θ,  x+yN(T)xN(T),kKT(kx)=k(Tx)=θ,  kxN(T).
    N ( T ) N(T) N(T) V V V 的子空间.   \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{~} }}  

    注 : \Large\color{violet}{注:} : T \boldsymbol{T} T 的秩 = dim ⁡ C ( T ) , T =\operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}), \boldsymbol{T} =dimC(T),T 的亏 = dim ⁡ N ( T ) =\operatorname{dim} N(\boldsymbol{T}) =dimN(T)

    例 2 \Large\color{violet}{例2} 2 设线性空间 V n V^{n} Vn 的基为 x 1 , ⋯   , x n , T x_{1}, \cdots, x_{n}, \quad T x1,,xn,T V n V^{n} Vn 的线性变换,则
    C ( T ) = L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) , dim ⁡ C ( T ) + dim ⁡ N ( T ) = n \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{n}\right), \quad \operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})+\operatorname{dim} N(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{n} C(T)=L(Tx1,,Txn),dimC(T)+dimN(T)=n
    【证】

    (1) 先证 C ( T ) ⊂ L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) : ∀ y ∈ C ( T ) ⇒ ∃ x ∈ V n , \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) \subset \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{n}\right): \quad \forall \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) \Rightarrow \exists \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}^{n}, C(T)L(Tx1,,Txn):yC(T)xVn, st y = T x \boldsymbol{y}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{x} y=Tx
    x = c 1 x 1 + ⋯ + c n x n ⇒ y = c 1 ( T x 1 ) + ⋯ + c n ( T x n ) ∈ L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) x=c_{1} x_{1}+\cdots+c_{n} x_{n} \Rightarrow y=c_{1}\left(T x_{1}\right)+\cdots+c_{n}\left(T x_{n}\right) \in L\left(T x_{1}, \cdots, T x_{n}\right) x=c1x1++cnxny=c1(Tx1)++cn(Txn)L(Tx1,,Txn)
    再证 C ( T ) ⊃ L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) : \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) \supset \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{n}\right): C(T)L(Tx1,,Txn):
    ∀ y ∈ L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) ⇒ ∃ c 1 , ⋯   , c n ,  st  y = c 1 ( T x 1 ) + ⋯ + c n ( T x n ) x i ∈ V n ⇒ T x i ∈ C ( T ) ⇒ y = c 1 ( T x 1 ) + ⋯ + c n ( T x n ) ∈ C ( T ) \begin{array}{l} \forall y \in L\left(T x_{1}, \cdots, T x_{n}\right) \Rightarrow \exists c_{1}, \cdots, c_{n}, \text { st } y=c_{1}\left(T x_{1}\right)+\cdots+c_{n}\left(T x_{n}\right) \\ x_{i} \in V^{n} \Rightarrow T x_{i} \in C(T) \Rightarrow y=c_{1}\left(T x_{1}\right)+\cdots+c_{n}\left(T x_{n}\right) \in C(T) \end{array} yL(Tx1,,Txn)c1,,cn, st y=c1(Tx1)++cn(Txn)xiVnTxiC(T)y=c1(Tx1)++cn(Txn)C(T)
    (2) 设 dim ⁡ N ( T ) = m , \operatorname{dim} N(T)=m, dimN(T)=m, N ( T ) N(T) N(T) 的基为 y 1 , ⋯   , y m , y_{1}, \cdots, y_{m}, y1,,ym, 扩充为 V n V^{n} Vn 的基:
    y 1 , ⋯   , y m , y m + 1 , ⋯   , y n \boldsymbol{y}_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{y}_{m}, \boldsymbol{y}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{y}_{n} y1,,ym,ym+1,,yn
    C ( T ) = L ( T y 1 , ⋯   , T y m , T y m + 1 , ⋯   , T y n ) = L ( T y m + 1 , ⋯   , T y n ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{m}, \boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{n}\right)=\boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{n}\right) C(T)=L(Ty1,,Tym,Tym+1,,Tyn)=L(Tym+1,,Tyn)

    设数组 k m + 1 , ⋯   , k n \boldsymbol{k}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{k}_{n} km+1,,kn 使得 k m + 1 ( T y m + 1 ) + ⋯ + k n ( T y n ) = θ , \boldsymbol{k}_{m+1}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{m+1}\right)+\cdots+\boldsymbol{k}_{n}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{n}\right)=\boldsymbol{\theta}, km+1(Tym+1)++kn(Tyn)=θ,
    T ( k m + 1 y m + 1 + ⋯ + k n y n ) = θ \boldsymbol{T}\left(\boldsymbol{k}_{m+1} \boldsymbol{y}_{m+1}+\cdots+\boldsymbol{k}_{n} \boldsymbol{y}_{n}\right)=\boldsymbol{\theta} T(km+1ym+1++knyn)=θ
    因为 T \boldsymbol{T} T 是线性变换,所以 k m + 1 y m + 1 + ⋯ + k n y n ∈ N ( T ) , \boldsymbol{k}_{m+1} \boldsymbol{y}_{m+1}+\cdots+\boldsymbol{k}_{n} \boldsymbol{y}_{n} \in \boldsymbol{N}(\boldsymbol{T}), km+1ym+1++knynN(T),
    k m + 1 y m + 1 + ⋯ + k n y n = I 1 y 1 + ⋯ + I m y m \boldsymbol{k}_{m+1} \boldsymbol{y}_{m+1}+\cdots+\boldsymbol{k}_{n} \boldsymbol{y}_{n}=\boldsymbol{I}_{1} \boldsymbol{y}_{1}+\cdots+\boldsymbol{I}_{m} \boldsymbol{y}_{m} km+1ym+1++knyn=I1y1++Imym

    ( − I 1 ) y 1 + ⋯ + ( − l m ) y m + k m + 1 y m + 1 + ⋯ + k n y n = θ \left(-I_{1}\right) y_{1}+\cdots+\left(-l_{m}\right) y_{m}+k_{m+1} y_{m+1}+\cdots+k_{n} y_{n}=\theta (I1)y1++(lm)ym+km+1ym+1++knyn=θ
    因为 y 1 , ⋯   , y m , y m + 1 , ⋯   , y n \boldsymbol{y}_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{y}_{m}, \boldsymbol{y}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{y}_{n} y1,,ym,ym+1,,yn 线性无关,所以 k m + 1 = 0 , ⋯   , k n = 0. \boldsymbol{k}_{m+1}=\mathbf{0}, \cdots, \boldsymbol{k}_{n}=\mathbf{0} . km+1=0,,kn=0. 因此 T y m + 1 , ⋯   , T y n T y_{m+1}, \cdots, T y_{n} Tym+1,,Tyn 线性无关,从而 dim ⁡ C ( T ) = n − m , \operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{n}-\boldsymbol{m}, dimC(T)=nm, dim ⁡ C ( T ) + m = n . \operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})+\boldsymbol{m}=\boldsymbol{n} . dimC(T)+m=n.

    例 3 \Large\color{violet}{例 3 } 3 向量空间 R 4 \mathbf{R}^{4} R4 中, x = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 ) , \boldsymbol{x}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}, \xi_{4}\right), x=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4), 线性变换 T \boldsymbol{T} T

    T x = ( ξ 1 + ξ 2 − 3 ξ 3 − ξ 4 , 3 ξ 1 − ξ 2 − 3 ξ 3 + 4 ξ 4 , 0 , 0 ) T x=\left(\xi_{1}+\xi_{2}-3 \xi_{3}-\xi_{4}, 3 \xi_{1}-\xi_{2}-3 \xi_{3}+4 \xi_{4}, 0,0\right) Tx=(ξ1+ξ23ξ3ξ4,3ξ1ξ23ξ3+4ξ4,0,0)
    C ( T ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) C(T) N ( T ) N(\boldsymbol{T}) N(T) 的基与维数.

    【解】

    (1) 取 R 4 \mathbf{R}^{4} R4 的简单基 e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , \boldsymbol{e}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{e}_{\mathbf{2}}, \boldsymbol{e}_{\mathbf{3}}, \boldsymbol{e}_{\mathbf{4}}, \quad e1,e2,e3,e4, 计算
    T e 1 = ( 1 , 3 , 0 , 0 ) , T e 2 = ( 1 , − 1 , 0 , 0 ) , T e 3 = ( − 3 , − 3 , 0 , 0 ) , T e 4 = ( − 1 , 4 , 0 , 0 ) T e_{1}=(1,3,0,0), T e_{2}=(1,-1,0,0), T e_{3}=(-3,-3,0,0), T e_{4}=(-1,4,0,0) Te1=(1,3,0,0),Te2=(1,1,0,0),Te3=(3,3,0,0),Te4=(1,4,0,0)
    该基象组的一个最大线性无关组为 T e 1 , T e 2 . \boldsymbol{T e}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{T e}_{2} . Te1,Te2.

    dim ⁡ C ( T ) = 2 , \operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\mathbf{2}, dimC(T)=2, C ( T ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) C(T) 的一个基为 T e 1 , T e 2 \boldsymbol{T e}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{T e}_{2} Te1,Te2
    (2) 记 A = [ 1 1 − 3 − 1 3 − 1 − 3 4 ] , A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -1 & -3 & 4\end{array}\right], \quad A=[13113314], N ( T ) = { x ∣ T x = θ } = { x ∣ A [ ξ 1 ⋮ ξ 4 ] = 0 } N(T)=\{x \mid T x=\theta\}=\left\{x \mid A\left[\begin{array}{c}\xi_{1} \\ \vdots \\ \xi_{4}\end{array}\right]=0\right\} N(T)={xTx=θ}=xAξ1ξ4=0
    的基础解系为 [ 3 3 2 0 ] , [ − 3 7 0 4 ] \left[\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{r}-3 \\ 7 \\ 0 \\ 4\end{array}\right] 3320,3704.

    dim ⁡ N ( T ) = 2 , \operatorname{dim} N(T)=2, dimN(T)=2, N ( T ) N(T) N(T) 的一个基为 ( 3 , 3 , 2 , 0 ) , ( − 3 , 7 , 0 , 4 ) . (3,3,2,0),(-3,7,0,4) . (3,3,2,0),(3,7,0,4).

    各种变换

    单位变换: 线性空间 V \boldsymbol{V} V 中,定义变换 T \boldsymbol{T} T T x = x ( ∀ x ∈ V ) \boldsymbol{T x}=\boldsymbol{x} \quad(\forall \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}) Tx=x(xV) ,则 T \boldsymbol{T} T 是线性变换,记作 T e . \boldsymbol{T}_{e} . Te.

    零变换: 线性空间 V V V 中,定义变换 T \boldsymbol{T} T T x = 0 ( ∀ x ∈ V ) \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \quad(\forall \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}) Tx=0(xV) ,则 T \boldsymbol{T} T 是线性变换,记作 T 0 \boldsymbol{T}_{\mathbf{0}} T0.

    逆变换: 设 T \boldsymbol{T} T 是线性空间 V \boldsymbol{V} V 的线性变换,若 V \boldsymbol{V} V 的线性变换 S \boldsymbol{S} S 满足
    ( S T ) x = ( T S ) x = x ( ∀ x ∈ V ) , T S = E (S T) x=(T S) x=x \quad(\forall x \in V),T S = E (ST)x=(TS)x=x(xV),TS=E
    则称 T \boldsymbol{T} T 为可逆变换,且 S \boldsymbol{S} S T \boldsymbol{T} T 的逆变换,记作 T − 1 = S \boldsymbol{T}^{\mathbf{- 1}}=\boldsymbol{S} T1=S.

    定 理 3 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理3} }} 3 . 可逆线性映射的逆映射也是线性映射,可逆线性变换的逆变换也是线性变换

    证明: 设 B : V 2 → V 1 \mathcal{B}: V_{2} \rightarrow V_{1} B:V2V1 是可逆线性映射 A : V 1 → V 2 \mathcal{A}: V_{1} \rightarrow V_{2} A:V1V2 的逆映射

    ∀ α 2 , β 2 ∈ V 2 , c ∈ F \forall \alpha_{2}, \beta_{2} \in V_{2}, c \in F \quad α2,β2V2,cF B α 2 = α 1 , B β 2 = β 1 ∈ V 1 ⇒ A α 1 = α 2 , A β 1 = β 2 \mathcal{B} \alpha_{2}=\alpha_{1}, \mathcal{B} \beta_{2}=\beta_{1} \in V_{1} \Rightarrow \mathcal{A} \alpha_{1}=\alpha_{2}, \mathcal{A} \beta_{1}=\beta_{2} Bα2=α1,Bβ2=β1V1Aα1=α2,Aβ1=β2

    A \mathcal{A} A 是线性映射 ⇒ A ( α 1 + β 1 ) = A α 1 + A β 1 = α 2 + β 2 A ( c α 1 ) = c A α 1 = c α 2 \Rightarrow \mathcal{A}\left(\alpha_{1}+\beta_{1}\right)=\mathcal{A} \alpha_{1}+\mathcal{A} \beta_{1}=\alpha_{2}+\beta_{2} \quad \mathcal{A}\left(c \alpha_{1}\right)=c \mathcal{A} \alpha_{1}=c \alpha_{2} A(α1+β1)=Aα1+Aβ1=α2+β2A(cα1)=cAα1=cα2

    B \mathcal{B} B A \mathcal{A} A 的逆映射 ⇒ B ( α 2 + β 2 ) = α 1 + β 1 = B α 2 + B β 2 B ( c α 2 ) = c α 1 + β 1 = c B α 2 \Rightarrow \mathcal{B}\left(\alpha_{2}+\beta_{2}\right)=\alpha_{1}+\beta_{1}=\mathcal{B} \alpha_{2}+\mathcal{B} \beta_{2} \quad \mathcal{B}\left(c \alpha_{2}\right)=c \alpha_{1}+\beta_{1}=c \mathcal{B} \alpha_{2} B(α2+β2)=α1+β1=Bα2