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  • 1经典博弈模型.ppt

    2019-12-19 23:50:06
    该资源为经典博弈模型的课件
  • 博弈博弈论最经典、著名的博弈。该博弈本身讲的是一个法律刑侦或犯罪学方面的问题,但可以扩展到许多经济问题,以及各种社会问题,可以揭示市场经济的根本缺陷。假设囚徒2选择不坦白,囚徒1选择坦白的收益(0) ...

    1.2.1 囚徒的困境

    一、基本模型

    囚徒的困境是图克(Tucker)1950年提出的。

    该博弈是博弈论最经典、著名的博弈。

    该博弈本身讲的是一个法律刑侦或犯罪学方面的问题,但可以扩展到许多经济问题,以及各种社会问题,可以揭示市场经济的根本缺陷。

    假设囚徒2选择不坦白,囚徒1选择坦白的收益(0) > 选择不坦白的收益(-1),所以囚徒1选择坦白。

    (根据个体理性的原则,囚徒1根据自身利益最大的原则行事,不会关心此时另一方会被重判8年的问题)

    假设囚徒2选择坦白,囚徒1选择坦白的收益(-5) > 选择不坦白的收益(-8),所以囚徒1仍然选择坦白。

    也就是说,无论囚徒2选择坦白还是不坦白,囚徒1都会选择坦白。“坦白”是囚徒1的一个“上策”。


    同理可以分析:

    假设囚徒1选择不坦白,囚徒2选择坦白的收益(0) > 选择不坦白的收益(-1),所以囚徒2选择坦白。

    假设囚徒1选择坦白,囚徒2选择坦白的收益(-5) > 选择不坦白的收益(-8),所以囚徒2仍然选择坦白。

    也就是说,无论囚徒1选择坦白还是不坦白,囚徒2也都会选择坦白。“坦白”也是囚徒2的一个“上策”。


    所以该博弈的最终结果必然是囚徒1和囚徒2都选择坦白。


    二、双寡头削价竞争

    在市场竞争方面典型的囚徒的困境现象之一是寡头之间的价格战。


    和囚徒的困境博弈完全相似:

    假设寡头2选择高价,寡头1选择低价的收益(150) > 选择高价的收益(100),所以寡头1选择低价。

    假设寡头2选择低价,寡头1选择低价的收益(70) > 选择高价的收益(20),所以寡头1仍然选择低价。

    也就是说,无论寡头2选择高价还是低价,寡头1都会选择低价。“低价”是寡头1的一个“上策”。


    同理可以分析:

    假设寡头1选择高价,寡头2选择低价的收益(150) > 选择高价的收益(100),所以寡头2选择低价。

    假设寡头1选择低价,寡头2选择低价的收益(70) > 选择高价的收益(20),所以寡头2仍然选择低价。

    也就是说,无论寡头1选择高价还是低价,寡头2都会选择低价。“低价”也是寡头2的一个“上策”。


    所以该博弈的最终结果必然是寡头1和寡头2都选择低价。

    1.2.2 赌胜博弈

    赌博、竞技等构成的博弈问题,在经济中也有许多应用,赌胜博弈也是一类重要的博弈问题,对经济竞争和合作也有很大启示。

    赌胜博弈的特点是一方得等于另一方失,不可能双赢,属于“零和博弈”。

    一、田忌赛马

    • 该博弈中有两个博弈方即齐威王和田忌
    • 两博弈方可选择的策略是己方马的出场次序,因为三匹马的排列次序共有3!=3*2=6种,因此双方各有6种可选择的策略
    • 双方在决策前都不能预先知道对方的决策,因此可以看做是同时选择策略的,决策没有先后次序关系
    • 如果把赢一千斤铜记成得益1,输一千斤铜记成得益-1,则两博弈方在双方各种策略的组合下的得益矩阵如下:


    取胜关键:不让对方猜到自己策略,尽可能猜出对方策略


    二、猜硬币博弈



    三、石头、剪子、布




    1.2.3 产量决策的古诺模型

    古诺模型是寡头产量竞争,是市场经济中最常见的问题之一。
    古诺1838年提出,直到现在还是经常使用。
    古诺模型有很多扩展。

    古诺模型与囚徒困境相似,对理解市场经济和博弈分析本身都有重要价值。

    一、三厂商离散产量












    二、n个厂商连续产量博弈

    该博弈中各博弈方的可选策略数都是无穷大,意味着我们不可能用罗列的办法或者矩阵、图表的形式把它们表达出来。



    总结上面几个式子为:

    因此,厂商i的产量决策与其他厂商的产量决策之间是复杂的相互依存关系

    其实,如果把上一个三厂商离散变量的模型改为连续产量的,就是现在这个模型的一个具体的例子。



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    2020-03-13 09:52:24
    目录:一、巴什博弈(Bash Game)二、尼姆博弈(Nimm Game)三、威佐夫博奕(Wythoff Game)四.斐波那契博弈五.环形博弈一、巴什博弈(Bash Game)情形:有n个石子,每个人最少拿a个石子,最多拿b个石子,问先手赢还是...

    目录:

    一、巴什博弈(Bash Game)

    二、尼姆博弈(Nimm Game)

    三、威佐夫博奕(Wythoff Game)

    四.斐波那契博弈

    五.环形博弈

    一、巴什博弈(Bash Game)

    情形:有n个石子,每个人最少拿a个石子,最多拿b个石子,问先手赢还是后手赢.

    分析:当n = a + b时,先手必输. 推广而来,n = k*(a + b)时,先手必输.其他情况先手必赢. 

    证明:很简单,略了

    结论:当n%(a+b) == 0 时,先手必输,否则,先手必赢

    二、尼姆博弈(Nimm Game)

    情形:有3堆任意多的物品(x, y, z)。两个人轮流拿,每次只能从一堆中拿,至少拿一个,至多不限。拿到最后者胜利。

    简要分析:

    当(0,0,0)时,先手必输

    当(0,a,a)时,先手必输,因为无论先手在一堆中拿多少个,后手总能拿同样多个,到最后还是后手拿完.

    当(0,a,b)时,先手必赢,因为先手可以拿成(0,a,a),变后手必输。

    结论:a^b^c = 0为先手必败

    扩展情形:n堆 结论:a1^a2^...^an = 0为先手必败.

    证明:为了证明结论,我们需要先证明两个东西.

    ①我们知道0^0^0 = 0 是必败态。那么我们来证明 a1^a2^...^an = 0 且 ai不全等于0 的条件下,先手无法一步致胜.

    要证明先手无法一步致胜,那就需要证明:无论如何拿,拿完后的局面:a1^a2^...^an != 0;

    证明这一点:我们只能在某一堆里拿去不少于一个石子,那么只能有一个数变化了。

    设我们拿的这一堆为ak,那么根据异或的自反性,ak = a1^a2^...^an (右式中不含ak) 

    显然当ak减小了以后,上式子不成立。利用反证法:

    设ak = a1^a2^...^an 且 ak - d = a1^a2^...^an (0 < d <= ak)那么 两式相减得d = 0,与前提相悖,所以ak - d != a1^a2^...^an ,即

    a1^a2^..^(ak - d)^.^an != 0 , 即无论如何拿,拿完后的局面:a1^a2^...^an != 0; 即先手无法一步致胜,得证.

    ②接下来再证明一个东西:a1^a2^...^an != 0时,先手一定有一种合法的方案使得拿完后的局面为a1^a2^...^an = 0.

    证明:设a1^a2^...^an = k. 设k二进制中最左边(即最高位)的1为第g位。

    那么a中一定存在ai,它的第g位为1(若不存在,那么第g位上a为全0)。那么得出ai^k < ai.(我们知道,k的更高位都为0了,那么ai^k后第g位一定从1变成0,不管最低位如何变化,ai^k的值一定是减小的).

    所以得证.

    综合上面的证明我们可以得出一点,当且仅当先手面对a1^a2^...^an != 0的局面时才有可能赢,即,a1^a2^...^an = 0时先手必输,a1^a2^...^an != 0时 先手必赢.(我们的方法是证明a1^a2^...^an = 0 不可能一步赢,且a1^a2^...^an != 0时可以以合法的手段转换成a1^a2^...^an = 0.而且总体的石子数是下降的.所以显然最终肯定是面对a1^a2^...^an != 0局面的人赢)

    三、威佐夫博奕(Wythoff Game)

    情形:有两堆石子,两个顶尖聪明的人在玩游戏,每次每个人可以从任意一堆石子中取任意多的石子或者从两堆石子中取同样多的石子,谁先无法继续取谁就输了

    前几个必输状态:

    (0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10)…

    性质1:假设(x,y)且 x < y,为第k个必输状态,x为前1~k-1必输状态中没出现过的最小自然数.那么y = x + k;

    性质2:任何一个自热数都包含在一个且仅一个必输状态中.

    结论:必输状态一定符合等式:(y - x)*(sqrt(5.0) + 1) / 2 = x;


    四.斐波那契博弈

    情形:有一堆石子,两个顶尖聪明的人玩游戏,先取者可以取走任意多个,但不能全取完,以后每人取的石子数不能超过上个人的两倍

    结论:先手必败,当且仅当石子数为斐波那契数

    五.环形博弈

    情形:n个石子围成一个环,每次取一个或者取相邻的2个(每个石子有序号)

    结论:石子数<=2先手赢,否则后手赢

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  • 简单的污染博弈模型.pdf
  • 博弈论总结 四大博弈模型 SG函数

    千次阅读 多人点赞 2020-09-03 16:18:18
    一、博弈论 1、博弈论是什么 博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略,达到取胜的目的。 2、平等博弈 在我们平时做题碰见的博弈都是平等博弈,平等博弈满足下面这几个要求: 1.两人游戏,...

    一、博弈论

    1、博弈论是什么

    博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略,达到取胜的目的。

    2、平等博弈

    在我们平时做题碰见的博弈都是平等博弈,平等博弈满足下面这几个要求:
    1.两人游戏,每人轮流做出决策,且每人的决策都是对自己有利的。(让自己赢)
    2.有一个终止状态,到终止状态后游戏结束,不会有平局状态。(获胜的条件)
    3.游戏可以在有限步数内结束。(不会无限重复,得不到答案)
    4.所有规定对两人都是一样的。(平等游戏)

    二、四大博弈模型

    1、巴什博弈:

    1.定义: 只有一堆物品,共n个,两人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个,最后取完这堆物品的人获胜。

    2.结论: n%(m+1) != 0,先手肯定获胜

    3.证明: 关于严格证明这里不多提,自己可以分析一下,每次给对手留剩m+1的倍数,最后一轮自己一定获胜,所以就看第一次取,自己能否构建这个局势(剩下m+1的倍数个物品),使得对手必输。


    2、尼姆博弈

    1.定义:任意堆物品,每堆物品的个数也任意,双方轮流取物品,每次只能从一堆中取至少一个物品,取到最后一件物品的人获胜。

    2.结论: 把每堆物品数全部异或起来,若值为0,则先手必败,否则先手必胜。

    3.证明: 我们也是不严格证明,我们将每堆物品数异或起来为0这个状态称为必败态,顾名思义,这个状态下,谁取谁必败。因为当这个状态时,经过两人轮流取物,后者始终可以维持这个必败态,即A取完后,B一定可以取一个数,使得取完后每堆物品数异或起来仍为0。这样一直到最后一轮,B取完一定会使每堆数都为0,此时同样也是必败态(异或起来为0),这时B获胜,A面对所有堆都为0这个状态取,直接失败。
    所以当每堆物品数全部异或起来,若值为0,此时已是必败态,先手必败;若值不为0,则先手一定会取一个数使得每堆数异或起来为0,达到必败态,从而后手必败。
    注: 博弈时,每个人都会走当前最优策略,所以每个人都会尽量给对方创造必败态,给自己创造必胜态。


    3、斐波那契博弈(k倍动态减法)

    1.定义: 有一堆物品,共n个,两人轮流取物,先手可取任意件,但不能不取,也不能把物品取完,之后每次取的物品数不能超过上一次的两倍,且至少为1件,取走最后一件物品的人获胜。

    2.结论: 当且仅当n不是斐波那契数时,先手胜。

    3.证明: 此博弈的证明需要各种不等式关系证明,一般记住结论即可,具体证明可以看这篇文章

    扩展:k倍动态减法

    1.定义: 有一堆物品,共n个,两人轮流取物,先手可取任意件,但不能不取,也不能把物品取完,之后每次取的物品数不能超过上一次的k倍,且至少为1件,取走最后一件物品的人获胜。
    和斐波那契博弈一样,只不过拿的不是2倍了,而是一个任意的k倍,当k为2时就是完全的斐波那契博弈了。

    2.结论: 我们手动构建一个a数列,若n是该数列中的数时,先手必败,否则后手必败。即该数列是必败态。

    3.证明: 代码如下,具体证明可以看这篇文章

    4.构建队列模板

    #include<iostream>
    using namespace std;
    const int N = 10010;
    
    int main()
    {
    	int n,k,a[N],b[N];
    	cin >> n >> k;
    	a[0] = b[0] = 1;
    	int i = 0,j = 0;
    	while(n > a[i])
    	{
    		i++;
    		a[i] = b[i-1] + 1;
    		while(a[j+1] * k < a[i])
    			j++;
    		if(a[j] * k < a[i])
    			b[i] = b[j] + a[i];
    		else
    			b[i] = a[i];
    	}
    	if(n == a[i])
    		cout << "lose" << endl;
    	else
    		cout << "win" << endl;
    
    	return 0;
    }

    4、威佐夫博弈

    1.定义: 有两堆物品,数量分别为a个和b个,两人轮流取物,每次可以从一堆中取出任意个,也可以从两堆中取出相同数量的物品,每次至少要取一个,最后取完所有物品的人获胜。

    2.结论: 我们规定两堆数量为a和b且a < b,若a和b的差值乘上1.618恰好是a的值,则次为必败态,先手必败。有时追求精度可记w = (int)[( (sqrt(5)+1) / 2) * (b-a)],若w == a,则先手必败,否则先手必胜。

    3.证明: 这个证明比较神奇,也出现了神奇的黄金分割率618,具体证明可以看这篇文章

    4.代码模板:

    #include<iostream>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    int main()
    {
    	int a,b;
    	cin >> a >> b;
    	if(b < a)
    		swap(a,b);
    	double c = (double)(b-a);
    	int w = (int)(((sqrt(5)+1) / 2) * (b-a));
    	if(w == a)
    		cout << "lose" << endl;
    	else
    		cout << "win" << endl;
    
    	return 0;
    }

    三、SG函数

    1.mex函数: mex函数就是求集合中未出现的最小自然数。如mex{1,4,5,8} = 0,mex{0,1,5,9,13} = 2 。

    2.SG函数: SG函数是将一个ICG(公平组合游戏)看作一个有向无环图,每一个局面看作一个结点,给所有当前局面和能走到的下一个局面建一条有向边。

    对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的SG函数SG如下,SG(x)= mex({ SG(y1),SG(y2),…,SG(yk)}) (y是x的后继) 。

    在有向图游戏中,对于每个节点x,设从x出发共有k条有向边,分别到达节点y1,y2,…,yk,SG(x)为x的后继节点的SG函数值构成的集合再执行mex运算的结果为该节点x的SG函数值。

    整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点的SG函数值。

    3.结论:
    先定义 有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或值。而终点也就是游戏结束局面的SG(x) = 0。
    则有:

    有向图游戏的某个局面必胜,当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0
    有向图游戏的某个局面必败,当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0

    具体证明可以参考这篇文章


    这些就是基础博弈的一些总结,后期可能会修改增加。
    小白自用笔记,简单整理。

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