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  • 在今天的文章中,我们将向大家再次介绍经典的CAPM和三五因子模型,并通过beta和市值因子构建一个双因子模型,从一个因子到五个因子,试图来解释中国股票市场的个股价格,我们的模型模板来自经典的三五因子模型,我们...

     

    在今天的文章中,我们将向大家再次介绍经典的CAPM和三五因子模型,并通过beta和市值因子构建一个双因子模型,从一个因子到五个因子,试图来解释中国股票市场的个股价格,我们的模型模板来自经典的三五因子模型,我们评价不同因子的解释力的工具,就是模型的R-square,也就是决定系数。

    一因子CAPM模型

      投资组合获取的收益均可以分为两个部分,一部分是来自市场的收益也就是贝塔(β风险),另一部分则是超出市场的收益也就是我们常说的阿尔法(α风险)。这种分类方式源于资本资产定价模型CAPM,该模型由美国经济学家W.F.Sharpe博士于20世纪60年代中期首次提出。

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

    CAPM模型的公式是:

    Ri=Rf+βi(Rm-Rf)

    Ri:在给定风险水平条件下资产i的合理预期投资收益率;

    Rf:无风险投资收益率;

    βi:投资于资产i的风险矫正系数,即对资本市场系统风险变化的敏感程度;

    Rm:资本市场的平均投资收益率。

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

      模型认为市场风险系数是用β值来衡量,更重要的是资产收益率仅和β有关,和其他无关。单只股票的β则定义为:资产收益率与市场组合收益率(可以理解为市场基准指数)之间的协方差(cov((个股收益率,市场收益率))除以市场组合收益率方差(Var(市场收益率))。因此我们可以将CAPM模型看作以市场收益率为因子的单因子模型。

    CAPM模型是一个单因子模型,因子名称是β。BETA因子用以度量一种证券或一个投资证券组合相对总体市场的波动性,它对于个股收益率具备很强的解释能力,尤其是中国证券市场这种个股受到大盘情绪影响很重的市场,只有少部分股票能够走出独立走势,大部分股票随波逐流。

    二因子beta+市值模型

      我们尝试构建了一个双因子模型,因为在中国证券市场,曾经有一段时间认为小市值就是绝对的真理,在2017年之前,我们通过简单的截面回归直观地发现,本期市值升序排名靠前的小市值股票,在下一考核期内的涨幅较高。所以市值因子加上CAPM的beta因子,这两个因子,应该也有很强的解释力度

      我们横向考察了小市值因子相对其他财务因子或动量因子的收益率标准差,回撤表现,夏普比率,认为这是一个优秀的因子。因为小市值公司容易被较少的资金推动,且从企业成长历程看,它有成长为大市值公司的潜质。

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

      如果单独以每次买入市值最小的公司作为调仓规则,即可获得上图效果

      所以二因子beta+市值模型的公式是:

      Ri=Rf+β0(Rm-Rf) +β1(MarketCapBig - MarketCapSmall)

      这里的MarketCapBig - MarketCapSmall采用了经典的三因子构建方式,用市值将个股分为三组,最高组 - 最低组,得到一个每日横截面数值,为因子值。然后用该因子值和beta因子,在个股时间序列上做线性回归。

    Fama-French三因子模型

      事实上除了CAPM所说的市场风险外,Fama-French认为市场上还存在还有市值风险,账面市值比风险等,据此建立的模型被称为“Fama-French三因子模型”。

      Fama和French在1992年提出PB和市值因子对股票的收益率有十分显著的影响,并且基于这个发现建立了Fama-French三因素模型。

      Fama-French三因素模型认为,一个投资组合(包括单个股票)的超额回报率可由它对三个因子的暴露 来解释,这三个因子是:市场资产组合(Rm - Rf) 、市值因子(SMB)、账面市值比因子(HML)。需要再次说明,市值风险、账面市值比这两个因子,都是使用前文所说的最大1/3减去最小1/3,获得一个每日的截面差值来构建的,这个多因子均衡定价模型可以表示为:

      E(R_it) - R_ft = βi[E(R_mt) - R_ft] + siSMB_t + hi*HMI_t

    其中:

    R_ft表示时间t的无风险收益率;

    R_mt表示时间t的市场收益率;

    R_it表示资产i在时间t的收益率;

    E(Rmt) - Rft是市场风险溢价;

    SMB_t为时间t的市值(size)因子收益指数(Small comp return minus Big comp return);

    HMI_t为时间t的账面市值比(book—to—market)因子收益指数(High btm return minus Low btm return)。

      βi、si和hi分别是三个因子的系数,回归模型表示如下:

      Rit - Rft = αi + βi(Rmt - Rft) + siSMBt + hiHMIt + εit

      该模型的提出,对于个股的风险解释有一个新的能力提升,具体能够解释多少我们在之后设计回归模型来详细计算。三因子模型被评选诺贝尔经济学奖委员会肯定为金融学过去25年最重大的成就之一

    Carhart四因子模型

      三个因子解释个股收益率是否足够多?Carhart在1997年提出了动量因子(Momentum)得到四因子模型,通过加入一个鲜为人知的动量因子,有效再一次提升了模型的解释力,而且这个因子还和之前的三个因子相关性较低。

      四因素模型可将个股收益表示为在市场因素(MKT)、规模因素(SMB)、价值因素(HML)与动量因素(UMD)共同作用下所达到的一个均衡。模型中新加入的动量因素能够对市场上的“趋势效应"进行有效解释,它所表示的“动量效应"的时问间隔可以是较长的一段期间,比如Carhart四因素模型中的一年,也可以是较短的一段期间,比如一个月。

      但是这个动量的时间周期非常关键,我们通常都采用过去12个月的动量不包含最近一个月的动量,作为个股的动量值。

    Fama-French五因子模型

      在推出了三因子这个行业重磅工具后,Fama和French发现还有盈利水平风险、投资水平风险也能带来个股的超额收益,并在2013年发表了五因子模型。

      这多出来的两个因子就是:

      1、盈利水平风险

      盈利水平风险是指,盈利能力较高的行业一般会伴随着更高的风险。我们用ROE来衡量盈利水平。记做 E(RMW)E(RMW),其计算方法和E(SMB)E(SMB)、E(HML)E(HML)类似(也是将股票分成三份,然后计算高/低盈利水平的股票期望收益率之差)。

      2、投资水平风险

      投资水平可以用再投资率来衡量,我们认为投资率偏低的公司风险较大,投资者对这些公司有更高的收益率要求,反之亦然。Fama和French在他们五因子模型的文章里面提供了一种计算再投资比例的方法:用总资产年增长率来计算再投资比率。投资水平风险带来的超额收益E(CMA)E(CMA)计算方法和E(SMB)E(SMB)、E(HML)E(HML)、E(RMW)E(RMW)类似。

      但是因子多了,解释能力就一定更好吗?在聚宽之前的测试中我们已经看到,五因子如果用残差作为获利方式,其收益是低于三因子的。不过今天我们不考虑收益,我们仅考虑这些相对不同源的因子对于风险(或者说个股收益)的解释能力。

    检验结果与分析

      我们采用聚宽量化课堂的三因子模型模板,但是略有改进:

      1、先设定一个调仓频率,每T=21天调仓一次。同时在此区间内的个股停牌的都剔除不参与时间序列回归。

      2、针对每一个因子,都将因子值分为三层,最大一层减去最小一层,获得当日的一个全市场该因子值。

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

      3、然后在调仓日对于过去21天的数据进行回归分析,计算出每个股票在过去的21天里的每一只个股的残差和回归可决系数R-square。

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

      然后我们在每个截面上,统计一次全市场所有股票R-square均值,作为模型的解释力度表达变量。

      然后我们在每个截面上,统计一次全市场所有股票R-square均值,作为模型的解释力度表达变量。

      统计结果如下:

      沪深300股票池:

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

      中证全指000985股票池:

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

      我们发现如下特征:

      首先在不同的股票池,多因子模型解释力度是不同的,但是差异不大,因为沪深300指数和中证全指都包含了行业分布比较广泛的上市公司,市值分布特性也各异,虽然沪深300样本偏少。

      其次是不同时段,因子模型的解释能力是不一样的,在市场萧条阶段解释力度偏低,在市场火爆阶段解释能力偏高,如2014年底到2015年的牛市阶段。2017年市场出现了价值投资的短暂火热气氛,但是导致了资金流向少数几只个股,这个现象对于模型在全市场解释风险带来了负面影响,特别是沪深300股票池内,因子模型解释力走入低谷。

      同时我们抽取了每年1个横截面,验证了因子间相关性(9个横截面相关性矩阵求均值),如下图,分别是沪深300和中证全指的截面相关性均值。我们可以看到这5个大类收益解释因子之间的相关性的确不高,仅有市值和投资能力(total_assets总资产增长能力)的相关性较高,这一点很容易理解。

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

    经典风险因子模型 对于中国股票市场定价解释能力初探

     

      我们也可喜地看到,无论是最简单的CAPM单因子模型,还是FF五因子模型,都拥有从40%~60%的收益解释能力,可以说市场上大部分风险随着因子的添加,都得到了有效解释,因子模型在中国股票市场得到了验证,如果设置更好的测试规则,以及选择更合适的因子,更多风险都会得到解释

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  • 风险模型—VaR模型2

    千次阅读 多人点赞 2018-08-14 16:30:55
    风险模型—VaR模型1中,我为大家介绍了什么是VaR,如何求解VaR—利用收益率RRR的分布函数或分布律。今天我将为大家介绍如何求解VaR—如何求解收益率RRR的分布函数或分布律。 1.方差—协方差法 假定RRR服从某一...

      在风险模型—VaR模型1中,我为大家介绍了什么是VaR,如何求解VaR—利用收益率 R R 的分布函数或分布律。今天我将为大家介绍如何求解VaR—如何求解收益率R的分布函数或分布律。

    1.方差—协方差法

      假定不管是过去的收益率 R R 还是未来的收益率R,都是独立同分布的。所以方差—协方差法借助历史数据来估计未来收益率 R R 的分布。而且,方差—协方差法事先假定R服从某一具体分布,如正态分布、对数正态分布等。具体步骤如下:
    (1)收集数据
    ①确定持有期 T T :即根据R的定义(未来持有期 T T 的收益率),确定我们是要收集日收益率、周收益率还是年收益率等等;
    ②确定观察期:即确定我们是要收集多长时间里的收益率数据,观察期和持有期共同确定了我们收集数据的个数。

    (2)计算R
    ①确定置信水平 p p :根据需求确定;
    ②参数估计:我们已经假定了R服从某一具体分布,但是该分布函数的所有参数还是未知的,如,正态分布的均值 μ μ ,方差σ2;指数分布的 λ λ ;均匀分布的a b b 等。假如现在我们收集了n个收益率 R R 的数据:Ri i=1,2n i = 1 , 2 , … , n ,那么我们可用这些历史数据来估计参数,具体的估计方法有矩估计法、极大似然估计法等,就不具体阐述了;
    ③计算 R R ∗ :通过参数估计,我们获得了 R R 的概率密度函数fx和分布函数 Fx F ( x ) 。根据 R R ∗ 的定义(置信水平 p p 下,未来持有期T的最小收益率),用数学语言表示:

    Rfxdx=FR=1p ∫ − ∞ R ∗ f ( x ) d x = F ( R ∗ ) = 1 − p

    则我们要找的 R R ∗ 等于: R R 的概率分布的下分位数z1p。特殊分布可通过查表求得该下分位数 z1p z 1 − p

    (3)计算VaR
    ①计算绝对VaR:根据公式,

    VaR=V0R 绝 对 V a R = − V 0 R ∗ ,

    因为 V0 V 0 已知, R R ∗ 已求出,所以代入公式即可;
    ②计算相对VaR:根据公式,
    VaR=V0ERV0R 相 对 V a R = V 0 E ( R ) − V 0 R ∗ ,

    这里的 ER E ( R ) 可由样本均值来估计,即:
    ER=1ni=1nRi E ( R ) = 1 n ∑ i = 1 n R i ,

    也可通过概率密度函数来计算,即:
    ER=+xfxdx E ( R ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x ,

    因为 V0 V 0 已知, ER E ( R ) R R ∗ 已求出,所以代入公式即可。

    (4)案例
    基金A的期初价值为 V0=1000 V 0 = 1000 万 ,假定其服从正态分布,根据收集到的历史收益率(持有期为10天),估计出 R R ~N0.1,0.04。假定置信水平 p= p = 99%,则:

    Φ(R0.10.2)= 因 为 , Φ ( R ∗ − 0.1 0.2 ) = 1%,

    R0.10.2=z0.01 R ∗ − 0.1 0.2 = z 0.01 , 通过查表, z0.01=2.33 z 0.01 = − 2.33 ,

    R0.10.2=2.33 R ∗ − 0.1 0.2 = − 2.33 ,

    R=0.366 R ∗ = − 0.366 ,

    所以, VaR=1000×0.366=366 绝 对 V a R = − 1000 万 × ( − 0.366 ) = 366 万 。

    计算结果表明:在未来10天,期初价值为1000万的基金A的绝对损失大于366万的概率不超过1%。

    2.历史模拟法

      同样假定不管是过去的收益率 R R 还是未来的收益率R,都是独立同分布的。所以历史模拟法同样借助历史数据来估计未来收益率 R R 的分布。但不同的是,历史模拟法不事先假定R的具体分布,而将 R R 看作离散型随机变量。具体步骤如下:
    (1)收集数据
    ①确定持有期T:即根据 R R 的定义(未来持有期T的收益率),确定我们是要收集日收益率、周收益率还是年收益率等等;
    ②确定观察期:即确定我们是要收集多长时间里的收益率数据,观察期和持有期共同确定了我们收集数据的个数。

    (2)计算 R R ∗
    ①确定置信水平 p p :根据需求确定;
    ②计算R:假如现在我们收集了 n n 个收益率R的数据: Ri R i i=1,2n i = 1 , 2 , … , n 。相当于分布律如下,

    PR=Ri=1ni=1,2n P ( R = R i ) = 1 n , i = 1 , 2 , … , n ,

    根据 R R ∗ 的定义(置信水平 p p 下,未来持有期T的最小收益率),用数学语言表示:
    RiRPR=Ri=1p ∑ R i ≤ R ∗ P ( R = R i ) = 1 − p

    联立两个式子,我们知道:将 Ri R i 从小到大排序,第 n1p n ( 1 − p ) 个数便是要找的 R R ∗ 。若 n1p n ( 1 − p ) 不为整,则四舍五入。

    (3)计算VaR
    ①计算绝对VaR:根据公式,

    VaR=V0R 绝 对 V a R = − V 0 R ∗ ,

    因为 V0 V 0 已知, R R ∗ 已求出,所以代入公式即可;
    ②计算相对VaR:根据公式,
    VaR=V0ERV0R 相 对 V a R = V 0 E ( R ) − V 0 R ∗ ,

    这里的 ER E ( R ) 由样本均值来估计,即:
    ER=1ni=1nRi E ( R ) = 1 n ∑ i = 1 n R i ,

    因为 V0 V 0 已知, ER E ( R ) R R ∗ 已求出,所以代入公式即可。

    (4)案例
    基金A的期初价值为 V0=1000 V 0 = 1000 万 ,共收集到254个历史收益率(持有期为1天),将其从小到大排序。假定置信水平 p=95% p = 95 % ,则 R R ∗ 为第 254×5%=12.713 254 × 5 % = 12.7 ≈ 13 个数(假设第13个数的值为 0.354 − 0.354 ),所以,

    VaR=1000×0.354=354 绝 对 V a R = − 1000 万 × ( − 0.354 ) = 354 万 。

    计算结果表明:在95%置信水平下,期初价值为1000万的基金A未来1天的绝对损失不超过354万。

    3.蒙特卡罗模拟法

      当然也假定不管是过去的收益率 R R 还是未来的收益率R,都是独立同分布的。但不同的是,蒙特卡罗模拟法事先假定该资产或资产组合的市场价值服从某一具体的随机过程。我们这里以几何布朗运动为例给大家阐述一下:
      假定基金A的价值波动满足几何布朗运动,单位时间的期望收益率为 μ μ ,单位时间的标准差为σ,则有:

    dVt=μVtdt+σVtεdt d V t = μ V t d t + σ V t ε d t , ①

    其中 Vt V t 为时刻 t t 的市场价值,ε是随机数,且 ε ε ~ N0,1 N ( 0 , 1 ) 。
    将式①离散化:
    ΔVt=μVtΔt+σVtεΔt Δ V t = μ V t Δ t + σ V t ε Δ t 。 ②

    我们将持有期 T T 看做是m个小时间段累积起来的,且有 Δt=Tm Δ t = T m 。 基金A的期初值为 V0 V 0 ,那么经过1个 Δt Δ t 后的价值为:
    V0+Δt=V0+ΔV0=V0+μV0Δt+σV0εΔt V 0 + Δ t = V 0 + Δ V 0 = V 0 + ( μ V 0 Δ t + σ V 0 ε Δ t ) ,

    那么经过2个 Δt Δ t 后的价值为:
    V0+2Δt=V0+Δt+ΔV0+Δt=V0+Δt+μV0+ΔtΔt+σV0+ΔtεΔt V 0 + 2 Δ t = V 0 + Δ t + Δ V 0 + Δ t = V 0 + Δ t + ( μ V 0 + Δ t Δ t + σ V 0 + Δ t ε Δ t ) ,

    依此类推,经过持有期 T T m Δt Δ t )后的价值为:
    V0+mΔt=V0+(m1)Δt+ΔV0+(m1)Δt V 0 + m Δ t = V 0 + ( m − 1 ) Δ t + Δ V 0 + ( m − 1 ) Δ t ,

    其中 V0+mΔt=VT V 0 + m Δ t = V T 。需要注意的是,上述推导过程中的 ε ε 是随机数,也就是说 m m 个式子中的ε代表的不是同一个值。

      根据推导过程,我们发现只要依次求出 V0+Δt V 0 + Δ t V0+2Δt V 0 + 2 Δ t … … V0+(m1)Δt V 0 + ( m − 1 ) Δ t 就可求出 V0+mΔt V 0 + m Δ t VT V T 。求解过程中涉及到 V0 V 0 T T m Δt Δ t μ μ σ ε ε
    V0 V 0 T T :已知;
    m:根据自身需求确定;
    Δt Δ t :根据公式 Δt=Tm Δ t = T m 确定;
    μ μ :表示单位时间收益率的期望(单位时间可以为1小时、1天等),通过历史收益率数据估计得到;
    σ:表示单位时间收益率的标准差(单位时间可以为1小时、1天等),通过历史收益率数据估计得到;
    ε ε :生成随机序列 εii=1,2,,m ε i , i = 1 , 2 , … , m
    这样,就生成了 VT V T 的一种可能值。

      对 ε ε 模拟 k k 次,我们就能得到VT k k 种可能值VTjj=1,2,,k
      在置信水平 p p 下,VT的最小值 VT V T ∗ :将 VjT V T j 从小到大排序,第 k1p k ( 1 − p ) 个数便是 VT V T ∗ 。(该方法与历史模拟法异曲同工)
      根据绝对VaR的公式:

    VaR=V0VT 绝 对 V a R = V 0 − V T ∗ ,

    V0 V 0 已知, VT V T ∗ 已求出,代入公式即可。
      根据相对VaR的公式:
    VaR=E(VT)VT 相 对 V a R = E ( V T ) − V T ∗ ,

    可根据 VjTj=1,2,,k V T j , j = 1 , 2 , … , k 估计 E(VT) E ( V T )
    E(VT)=1kj=1kVjT E ( V T ) = 1 k ∑ j = 1 k V T j ,

    V0 V 0 已知, E(VT) E ( V T ) VT V T ∗ 已求出,代入公式即可。

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  • 风险模型—VaR模型1

    千次阅读 2018-08-09 20:12:36
    风险模型—VaR模型 VaR,Value-at-Risk 的缩写。直译过来,便是“在险价值”或“风险价值”;明确定义的话,便是“在市场正常波动下,给定置信水平ppp,某一金融资产或资产组合在未来持有期T内可能遭受的最大损失值...

    1.VaR是什么?

      VaR,Value-at-Risk 的缩写。直译过来,便是“在险价值”或“风险价值”;明确定义的话,便是“在市场正常波动下,给定置信水平 p p ,某一资产或资产组合在未来持有期T内可能遭受的最大损失值”,用数学的语言描述:

    PXVaR=1p P ( X ≤ − V a R ) = 1 − p ,①

    其中 X X :该资产或资产组合在未来持有期T内的损益,为随机变量。通常VaR为正, X X 可正可负,正代表盈利,负代表亏损。

      例:某基金公司在2008年8月8日公布,置信水平为99%,持有期为10天的基金A的VaR为3600万元,可为以下三种等价描述:
    (1)基金A在未来10天的损失超过3600万的概率小于1%;
    (2)该基金公司以99%的概率作出保证:基金A在未来10天的损失不超过3600万;
    (3)该基金在未来的100天有1天的损失可能会超过3600万。

    2.如何求解VaR?

      根据VaR的定义(式①),我们的第一反应:找到损益X的分布函数或分布律,就可解出VaR。但是,实际运用中,我们更多的是通过收益率的分布函数或分布律来求解(至于为什么,请大家思考下)。那么收益率跟VaR的关系是什么呢?

      假设某资产或资产组合期初的市场价值为 V0 V 0 。预测经过未来的持有期 T T ,期末的市场价值为VT(随机变量)。在置信水平 p p 下,期末的市场价值最低可能为VT。通常大家觉得该VaR应表示为:

    VaR=V0VT V a R = V 0 − V T ∗ ,②

    式②称为绝对VaR。
    若以 VT V T 的期望为参照来表示:
    VaR=EVTVT V a R = E ( V T ) − V T ∗ ,③

    式③称为相对VaR。
    又因为 VT V T 可以表示为:
    VT=V01+R V T = V 0 ( 1 + R ) ,④

    其中 R R 为未来持有期T的收益率,为随机变量。
    VT V T ∗ 可以表示为:
    VT=V01+R V T ∗ = V 0 ( 1 + R ∗ ) ,⑤

    其中 R R ∗ 为置信水平 p p 下,未来持有期T的最小收益率。
    代入式②、式③:
    VaR=V0R 绝 对 V a R = − V 0 R ∗ ,⑥

    VaR=V0ERV0R 相 对 V a R = V 0 E ( R ) − V 0 R ∗ 。⑦

    那么,只要找到 R R <script type="math/tex" id="MathJax-Element-9017">R</script>的分布函数或分布律,就能求解出VaR了,具体方法见下一章。

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  • 风险模型—CreditMetrics模型1

    千次阅读 2018-08-15 22:04:04
    在之前的文章中,我已经为大家介绍了VaR模型。其中通过蒙特卡罗模拟法求取VaR的思路,大家还记得吗?①假定资产或资产组合价值的随机过程;...CreditMetrics模型也是运用VaR来衡量风险,且求取VaR的...

      在之前的文章中,我已经为大家介绍了VaR模型。其中通过蒙特卡罗模拟法求取VaR的思路,大家还记得吗?①假定资产或资产组合价值的随机过程;②通过历史数据估计参数;③模拟多个随机序列,代入随机过程生成多个资产或资产组合的期末价值(看做期末价值的分布律);④根据这些期末价值找到某一置信水平下,可能的最低期末价值;⑤根据VaR公式,代入已知、已求值即可。

      CreditMetrics模型也是运用VaR来衡量风险,且求解VaR的思路与VaR模型中的蒙特卡罗模拟法有一个共同点:获取资产或资产组合期末价值的分布律。不同的是:获取资产或资产组合期末价值的分布律的方法不同。那么接下来让我们一起走进CreditMetrics模型,感受它的魅力。

      某公司持有某一信用资产或信用资产组合(如,贷款、债券等),这些信用资产或信用资产组合都是以债务人(公司)的信用作为担保的。那么考虑信用风险就至关重要了:如果债务人(公司)有违约的可能,有信用等级下降的可能,都会造成该信用资产或信用资产组合市场价值下降。

      所以CreditMetrics模型认为:通过债务人(公司)的信用等级来确定信用资产或信用资产组合的市场价值分布律。具体步骤如下:

    (1)确定债务人(公司)当前的信用等级
    可通过专业评级公司来确定。通常有AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC级共7个等级。

    (2)确定债务人(公司)期末的信用等级(包括违约)及对应概率
    可通过专业评级公司来确定。通常认为期末可能有AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC、违约共8个等级。将所有“特定期限(通常指1年)内,一个信用等级向另一个等级转化的概率”集成的表格称为信用等级转移矩阵,类似下表:

    AAAAAABBBBBBCCC违约
    AAA90%8%1.6%0.4%0000
    AA7%83%7.8%0.6%0.5%0.1%0.5%0.5%
    A0.9%3.1%91%4.6%0.3%0.1%00
    BBB0.1%0.9%4.5%86%5%0.5%2.7%0.3%
    BB0.3%0.04%0.7%7%79%8%0.96%4%
    B0.9%0.6%0.6%2.6%0.3%75%11%9%
    CCC3.3%0.8%2.1%7.3%4.2%6%47%29.3%

    通过该表可知:若债务人(公司)当前信用等级为AA,那么经过特定期限(通常指1年),期末信用等级为AA的概率为83%,信用等级为B的概率为0.1%……依此类推。

    (3)确定该信用资产或信用资产组合期末市场价值的分布
    首先让我们看看期末(这里特指1年后)市场价值是如何表示的。
    假设某贷款(n年末到期)在n年内的现金流为:第1年末流入利息 C1 C 1 ,第2年末流入利息 C2 C 2 ,……,第n年末流入利息 Cn C n 和本金 F F 。远期利率的构成为:第2年的远期利率为r2,……,第n年的远期利率为 rn r n 。那么期末(这里特指1年后)该贷款的市场价值为:

    V=C1+C21+r2++Cn+F1+rnn1 V = C 1 + C 2 ( 1 + r 2 ) + … + C n + F ( 1 + r n ) n − 1

    其中,现金流是固定的,而远期利率根据期末的信用等级变化。现实生活中通常会有现成的信用等级—远期利率对应表,类似下表:

    第2年第3年第4年第5年
    AAA3.1%4.1%4.6%5.3%
    AA3.2%4.3%4.72%5.36%
    A3.37%4.61%4.8%5.5%
    BBB3.84%4.65%4.93%5.56%
    BB3.9%4.71%4.96%5.62%
    B3.97%4.97%5.3%5.8%
    CCC3.99%4.99%5.6%5.9%

    所以,我们令期末信用等级 ii=1,27 i , i = 1 , 2 , … , 7 (从高到低排列信用等级,1对应AAA,2对应AA,依此类推)对应的远期利率为 ri2 r i 2 ,……, rin r i n ,则期末信用等级 i i 对应的期末市场价值为:

    Vi=C+C1+ri2++C+F1+rinn1i=1,27
    我们发现,上述价值公式不包括期末违约的情况。因为假如1年后债务人(公司)违约,该信用资产或信用资产组合的期末市场价值等于:

    V8=F× V 8 = F × 违 约 回 收 率 , ②

    其中违约回收率指债务人(公司)违约后,信用资产能够回收的比率。通常有现成的各类信用资产违约回收率的表。
    联合式①、式②,以及信用等级转移矩阵,我们就能得到期末市场价值的分布律:

    取值 V1 V 1 V2 V 2 V3 V 3 V4 V 4 V5 V 5 V6 V 6 V7 V 7 V8 V 8
    概率 P1 P 1 P2 P 2 P3 P 3 P4 P 4 P5 P 5 P6 P 6 P7 P 7 P8 P 8

    (4)确定置信度 p p 下,期末市场价值的最小值V
    因为:

    VjVPV=Vj=1p ∑ V j ≤ V ∗ P ( V = V j ) = 1 − p ,

    所以根据分布律就可求得 V V ∗

    (5)确定VaR
    根据绝对VaR、相对VaR的公式,即可求出,这里就不一一赘述了。

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