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  • 矩阵代数的书,以统计的视角出发,内容覆盖了统计中常用到的矩阵代数知识。 This book presents matrix algebra in a way that is well-suited for those with an interest in statistics or a related discipline. ...
  • 配套Harville的Matrix algebra from a statistician's perspective。 This book is a companion text to the author's main text on Matrix Algebra. The only way to master matrix algebra is by working through ...
  • 统计学与线性代数用Numpy进行简单的描述性统计计算import numpy as np from scipy.stats import scoreatpercentile data=np.loadtxt("mdrtb_2012.csv",delimiter=',',usecols=(1,),skiprows=1,uppack=True) #加载...

    统计学与线性代数

    用Numpy进行简单的描述性统计计算

    import numpy as np
    from scipy.stats import scoreatpercentile
    data=np.loadtxt("mdrtb_2012.csv",delimiter=',',usecols=(1,),skiprows=1,uppack=True)
    #加载数据
    
    
    
    
    print("Max method",data.max())
    print("Max function",np.max(data))
    
    
    print("Min method",data.min())
    print("Min function",np.min(data))
    
    
    print("Mean method",data.mean())
    print("Mean function",np.mean(data))
    
    
    print("Std method",data.std())
    print("Std function",np.mean(data))
    
    print("Median",np.median(data))
    print("Score at percentile 50",scoreatpercentile(data,50))

    用Numpy进行线性代数运算

    子程序包numpy.linalg提供了许多线性代数例程,我们可以用它来计算矩阵的逆、计算特征值、求解线性方程或计算行列式。对于Numpy来说,矩阵可以用ndarray的一个子类来表示。

    import numpy as np
    A=np.mat("2 4 6;4 2 6;10 -4 18")
    print("A\n",A)
    inverse=np.linalg.inv(A)
    print("inverse of A\n",inverse)
    
     

    注意:np.mat的构造

    用Numpy解线性方程组

    矩阵可以通过线性方式把一个向量变换成另一个向量,因此从数值计算的角度看,这种操作对应于一个线性方程组。Numpy.linalg中的solve()子例程可以求解类似Ax=b这种形式的线性方程组,其中A是一个矩阵,b是一维或者二维数组,而x是未知量。

    import numpy as np
    A=np.mat("2 4 6;4 2 6;10 -4 18")
    print("A\n",A)
    b=np.array([0,8,-9])
    print("b\n",b)
    #调用solve()函数
    x=np.linalg.solve(A,b)
    print("solution",x)
    #利用dot()函数进行验算
    print("check\n",np.dot(A,x))


    用Numpy计算特征值和特征向量

    特征值是方程式Ax=ax的标量解,其中A是一个二维矩阵,而x是一维向量。特征向量实际上就是表示特征值的向量。

    可以用子程序包numpy.linalg的eigvals()和eig()函数来获得矩阵的特征值和特征向量,并通过dot()函数来验算结果。

    import numpy as np
    A=np.mat("2 4 6;4 2 6;10 -4 18")
    print("A\n",A)
    #利用eig()函数计算特征值
    print("Eigenvalues",np.linalg.eigvals(A))
    #利用eig()函数取得特征值和特征向量
    eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(A)
    print("First tuple of eig ", eigenvalues)
    print("second tuple of eig",eigenvectors)


    Numpy随机数

    对于Numpy,与随机数有关的函数都在random子程序包中。

    我们既可以生成连续分布的随机数,也可以生成非连续分布的随机数。分布函数有一个可选的size参数,它能通知Numpy要创建多少个数字。我们可以用整型或者元祖来给这个参数赋值,这时会得到相应形状的数组,其值由随机数填充。离散分布包括几何分布、超几何分布和二项式分布。连续分布包括正态分布和对数正态分布。

    用二项分布:np.random.binomial()函数

    用正态分布:np.random.normal()函数

    创建掩码式Numpy数组

    数据常常是凌乱的,并且含有空白项或者无法处理的字符,好在掩码式数组可以忽略残缺的或无效的数据点。numpy.ma子程序包提供的掩码式数组隶属于ndarray,带有一个掩码。

    这里以lena的相片为数据源,假设某些数据已经损坏。下面用掩码处理

    1.创建一个掩码

    为了得到一个掩码式数组,必须规定一个掩码。

    random_mask=np.random.randint(0,2,size=lena.shape)

    2创建一个掩码式数组

    下面应用掩码来创建一个掩码式数组

    masked_array=np.ma.array(lena,mask=random_mask)

    转载于:https://www.cnblogs.com/yifdu25/p/8393632.html

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  • 《线性代数》—— 特征值与特征向量 定义: 设 AAA是 nnn阶矩阵,如果数 λ\lambdaλ和 nnn维非零列向量满足 Ax=λxAx=\lambda xAx=λx,则这样的数 λ\lambdaλ称为矩阵 AAA的特征值,非零向量 xxx称为为矩阵 AAA...

    引言: 当存在若干随机变量时,寻求它们的少数线性组合(即主成分),用以解释这些随机变量就很重要.

    吴诚鸥,秦伟良著. 近代实用多元统计分析[M]. 2007

    定义: 对于随机变量 X = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T X=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T X=(x1,x2,,xn)T,构建一个 X X X的线性组合 Y = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n Y=c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n Y=c1x1+c2x2++cnxn,也可记作 Y = C X Y=CX Y=CX,其中 C = ( c 1 , c 2 , … , c n ) C=(c_1,c_2,\dots,c_n) C=(c1,c2,,cn),在 ∣ C ∣ = 1 |C|=1 C=1的条件下,使得 D ( Y ) D(Y) D(Y)达到最大,则称 Y Y Y X X X的第一主成分.

    背景知识:

    在正式推导之前,需要回顾一下统计学和线性代数的部分内容.

    《统计学》—— 协方差与方差

    c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) ; cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y); cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y);

    X X X Y Y Y的协方差 等于 X X X Y Y Y乘积的期望 减去 X X X Y Y Y期望的乘积。协方差实际上是将 X X X Y Y Y分别中心化以后乘积的期望。

    c o v ( X , Y ) = c o v ( Y , X ) ; cov(X,Y)=cov(Y,X); cov(X,Y)=cov(Y,X);
    c o v ( k X , l Y ) = k l c o v ( X , Y ) ; cov(kX,lY)=klcov(X,Y); cov(kX,lY)=klcov(X,Y);

    D ( X ) = c o v ( X , X ) ; D(X)=cov(X,X); D(X)=cov(X,X);

    D ( X , Y ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 ; D(X,Y) =E(X^2)-[E(X)]^2; D(X,Y)=E(X2)[E(X)]2;
    D ( k X + c ) = k 2 D ( X ) ; D(kX+c)=k^2D(X); D(kX+c)=k2D(X);
    D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 c o v ( X , Y ) . D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y). D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y).

    《线性代数》—— 特征值与特征向量

    定义: A A A n n n阶矩阵,如果数 λ \lambda λ n n n维非零列向量满足 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx,则这样的数 λ \lambda λ称为矩阵 A A A的特征值,非零向量 x x x称为为矩阵 A A A的特征向量.

    性质1: 对称矩阵的的特征值为实数.

    性质2: 对称矩阵的的特征向量相互正交

    -------------------------------以下开始正式推导-------------------------------

    为方便起见,不妨设随机变量 X X X是三维列向量,即 X = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T X=(x_1,x_2,x_3)^T X=(x1,x2,x3)T,对应地, C = ( c 1 , c 2 , c 3 ) C=(c_1,c_2,c_3) C=(c1,c2,c3) X X X的协方差矩阵(对称矩阵)记作 A A A,表达式为
    A = [ D ( x 1 ) c o v ( x 1 , x 2 ) c o v ( x 1 , x 3 ) c o v ( x 1 , x 2 ) D ( x 2 ) c o v ( x 2 , x 3 ) c o v ( x 1 , x 3 ) c o v ( x 2 , x 3 ) D ( x 3 ) ] . A=\left[\begin{matrix} D(x_1) &cov(x_1,x_2) &cov(x_1,x_3)\\ cov(x_1,x_2) &D(x_2) &cov(x_2,x_3)\\ cov(x_1,x_3) &cov(x_2,x_3) &D(x_3)\\ \end{matrix}\right]. A=D(x1)cov(x1,x2)cov(x1,x3)cov(x1,x2)D(x2)cov(x2,x3)cov(x1,x3)cov(x2,x3)D(x3).
    X X X的任一线性组合 Y Y Y的方差表示为
    D ( Y ) = D ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 ) . D(Y)=D(c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3). D(Y)=D(c1x1+c2x2+c3x3).
    根据方差与协方差的性质,
    D ( Y ) = Σ i = 1 3 c i 2 D ( x i ) + 2 c 1 c 2 c o v ( x 1 , x 2 ) + 2 c 2 c 3 c o v ( x 2 , x 3 ) + 2 c 1 c 3 c o v ( x 1 , x 3 ) . D(Y)=\Sigma_{i=1}^{3} c_i^2D(x_i)+2c_1c_2cov(x_1,x_2)+2c_2c_3cov(x_2,x_3)+2c_1c_3cov(x_1,x_3). D(Y)=Σi=13ci2D(xi)+2c1c2cov(x1,x2)+2c2c3cov(x2,x3)+2c1c3cov(x1,x3).
    上式可以用矩阵来表示,
    D ( Y ) = [ c 1 c 2 c 3 ] [ D ( x 1 ) c o v ( x 1 , x 2 ) c o v ( x 1 , x 3 ) c o v ( x 1 , x 2 ) D ( x 2 ) c o v ( x 2 , x 3 ) c o v ( x 1 , x 3 ) c o v ( x 2 , x 3 ) D ( x 3 ) ] [ c 1 c 2 c 3 ] = C A C T . D(Y)=\left[\begin{matrix} c_1 &c_2 &c_3\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} D(x_1) &cov(x_1,x_2) &cov(x_1,x_3)\\ cov(x_1,x_2) &D(x_2) &cov(x_2,x_3)\\ cov(x_1,x_3) &cov(x_2,x_3) &D(x_3)\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} c_1\\ c_2\\ c_3 \end{matrix}\right]=CAC^T. D(Y)=[c1c2c3]D(x1)cov(x1,x2)cov(x1,x3)cov(x1,x2)D(x2)cov(x2,x3)cov(x1,x3)cov(x2,x3)D(x3)c1c2c3=CACT.

    D ( Y ) = C A C T D(Y)=CAC^T D(Y)=CACT C C C 等于什么的时候才能取得最大值?

    三维方阵 A A A 3 3 3个特征值(可能会重复),分别记作 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 λ1,λ2,λ3,对应的(单位)特征向量分别记为 v 1 , v 2 , v 3 v_1,v_2,v_3 v1,v2,v3,且三者满足如下方程
    A v i = λ i v i , i = 1 , 2 , 3. Av_i=\lambda_i v_i, i=1,2,3. Avi=λivi,i=1,2,3.
    因为 v 1 , v 2 , v 3 v_1,v_2,v_3 v1,v2,v3线性独立且正交,所以 C C C一定可以由 v 1 , v 2 , v 3 v_1,v_2,v_3 v1,v2,v3线性表示,不妨设 C = Σ i = 1 3 b i v i C=\Sigma_{i=1}^{3}b_iv_i C=Σi=13bivi
    D ( Y ) = ( Σ i = 1 3 b i v i ) T A ( Σ i = 1 3 b i v i ) = ( Σ i = 1 3 b i v i ) T ( Σ i = 1 3 b i A v i ) = Σ i = 1 3 b i 2 λ i . { D(Y)=(\Sigma_{i=1}^{3}b_iv_i)^TA(\Sigma_{i=1}^{3}b_iv_i) =(\Sigma_{i=1}^{3}b_iv_i)^T(\Sigma_{i=1}^{3}b_iAv_i) =\Sigma_{i=1}^{3}b_i^2\lambda_i. } D(Y)=(Σi=13bivi)TA(Σi=13bivi)=(Σi=13bivi)T(Σi=13biAvi)=Σi=13bi2λi.
    其中, Σ i = 1 3 b i 2 = 1 \Sigma_{i=1}^{3}b_i^2=1 Σi=13bi2=1.

    易知,当 λ i \lambda_i λi最大值前的系数为 1 1 1,其余为 0 0 0时, D ( Y ) D(Y) D(Y)取得最大值,对应的线性组合 Y Y Y的系数 C C C为最大特征值对应的特征向量. 因为主成分之间要求线性独立,而不同特征值对应地特征向量是线性独立的. 所以, X X X的第二主成分的系数为第二大特征值对应的特征向量,之后以此类推.

    以上结论可以归纳为下述定理,

    定理: 随机变量 X X X的协方差矩阵为 A A A A A A的特征值从小到大为 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ n \lambda_1\ge\lambda_2\ge\dots\ge\lambda_n λ1λ2λn λ i \lambda_i λi对应单位特征向量 v i v_i vi,则 X X X的第 i i i个主成分为 Y i = v i T X Y_i=v_i^TX Yi=viTX.

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  • 1、求矩阵的逆 代码 #coding:utf8 import numpy as np A=np.mat("2 3 4; 4 2 6;10 -4 18") print "A\n",A inverse=np.linalg.inv(A) #求矩阵的逆 print "inverse of A\n",inverse print "Check\n",A*inverse #检验...

    1、求矩阵的逆

    代码
    #coding:utf8
    import numpy as np
    A=np.mat("2 3 4; 4 2 6;10 -4 18")
    print "A\n",A
    inverse=np.linalg.inv(A)   #求矩阵的逆
    print "inverse of A\n",inverse
    print "Check\n",A*inverse  #检验相乘是否为单位矩阵
    print "Error\n",A*inverse -np.eye(3)

    运行结果
    A
    [[ 2  3  4]
     [ 4  2  6]
     [10 -4 18]]
    inverse of A
    [[-1.          1.16666667 -0.16666667]
     [ 0.2         0.06666667 -0.06666667]
     [ 0.6        -0.63333333  0.13333333]]
    Check
    [[  1.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00]
     [  4.44089210e-16   1.00000000e+00   0.00000000e+00]
     [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   1.00000000e+00]]
    Error
    [[  4.44089210e-16   0.00000000e+00   0.00000000e+00]
     [  4.44089210e-16  -8.88178420e-16   0.00000000e+00]
     [  0.00000000e+00   0.00000000e+00   0.00000000e+00]]
    
    

    2、使用numpy解线性方程组

    代码
    A=np.mat("1 -2 1; 0 2 -8;-4 5 9")
    print "A\n",A
    b=np.array([0,8,-9])
    print "b\n",b
    x=np.linalg.solve(A,b)   #使用xolve解线性方程组
    print "Solution",x
    
    print "Check\n",np.dot(A,x)  #dot函数用于计算点乘,此处用于验证solve函数是否准确
    运行结果
    A
    [[ 1 -2  1]
     [ 0  2 -8]
     [-4  5  9]]
    b
    [ 0  8 -9]
    Solution [ 29.  16.   3.]
    Check
    [[ 0.  8. -9.]]

    3、用numpy计算特征值和特征向量

    代码
    A=np.mat("3 -2;1,0")
    print "A\n",A
    print "特征值:",np.linalg.eigvals(A)
    eigvals,eigvectors=np.linalg.eig(A)
    print "特征值:",eigvals
    print "特征向量:",eigvectors
    for i in range(len(eigvals)):
    	print "Left",np.dot(A,eigvectors[:,i])
    	print "right",eigvals[i]*eigvectors[:i]
    	print 

    运行结果
    A
    [[ 1 -2  1]
     [ 0  2 -8]
     [-4  5  9]]
    b
    [ 0  8 -9]
    Solution [ 29.  16.   3.]
    Check
    [[ 0.  8. -9.]]
    A
    [[ 3 -2]
     [ 1  0]]
    特征值: [ 2.  1.]
    特征值: [ 2.  1.]
    特征向量: [[ 0.89442719  0.70710678]
     [ 0.4472136   0.70710678]]
    Left [[ 1.78885438]
     [ 0.89442719]]
    right []
    
    Left [[ 0.70710678]
     [ 0.70710678]]
    right [[ 0.89442719  0.70710678]]



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  • 矩阵代数答案—精版

    2017-11-25 20:17:47
    对于研究生学习矩阵代数这门课来说,是一件比较头疼的事,况且还有课后作业,如果没有答案,便无从下手,这是科大出版社矩阵代数上半部分习题答案,资源稀缺
  • #使用mit公开课老师用的矩阵例子进行测试 #A = np.mat('1 0 0;-3 1 0;0 0 1') print('A\n', A) # 求矩阵的逆 inverse = np.linalg.inv(A) print('inverse of A\n', inverse) # 利用乘法进行验算 print('Check\n',...

    2.使用numpy进行简单的描述性统计计算

    mport numpy as np
    from scipy.stats import scoreatpercentile
    #加载csv文件
    data = np.loadtxt('mdrtb_2012.csv', delimiter=',', usecols=(1,), skiprows=1, unpack=True)
    # 最大值
    print('Max method', data.max())
    print('Max function', np.max(data))
    # 最小值
    print('Min method', data.min())
    print('Min function', np.min(data))
    # 平均值
    print('Mean method', data.mean())
    print('Mean function', np.mean(data))
    # 标准差
    print('Std method', data.std())
    print('Std function', np.std(data))
    # 中位数
    print('Median', np.median(data))
    print('Score at percentile 50', scoreatpercentile(data, 50))
    

    3.使用numpy进行线性代数运算

    import numpy as np
    
    # 1.求逆矩阵
    A = np.mat('2 4 6;4 2 6;10 -4 18')
    #使用mit公开课中老师用的矩阵例子进行测试
    #A = np.mat('1 0 0;-3 1 0;0 0 1')
    print('A\n', A)
    
    # 求矩阵的逆
    inverse = np.linalg.inv(A)
    print('inverse of A\n', inverse)
    # 利用乘法进行验算
    print('Check\n', A * inverse)
    print('Error\n', A * inverse - np.eye(3))
    
    #2.解线性方程
    
    A = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
    print("A\n", A)
    b = np.array([0, 8, -9])
    print("b\n", b)
    
    # 调用solve()函数,解线性方程组
    x = np.linalg.solve(A, b)
    print("solution", x)
    # 使用dot()函数进行验算
    print("check\n", np.dot(A, x))
    

    4.计算特征值和特征向量

    import numpy as np
    A = np.mat("3 -2;1 0")
    print("A\n", A)
    
    print("Eigenvalues", np.linalg.eigvals(A))
    #eig()返回元组,包括特征值和特征向量
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
    print("first tuple of eig", eigenvalues)
    print("second tuple of eig\n", eigenvectors)
    
    for i in range(len(eigenvalues)):
        print("left", np.dot(A, eigenvectors[:, i]))
        print("right", eigenvalues[i] * eigenvectors[:, i])
        print()
    

    5.Numpy随机数
    (1)用二项式分布进行博弈

    import numpy as np
    from matplotlib.pyplot import plot, show
    cash = np.zeros(10000)
    cash[0] = 1000
    outcome = np.random.binomial(9, 0.5, size=len(cash))
    for i in range(1, len(cash)):
        if outcome[i] < 5:
            cash[i] = cash[i - 1] - 1
        elif outcome[i] < 10:
            cash[i] = cash[i - 1] + 1
        else:
            raise AssertionError("Unexpected outcome" + outcome)
    print(outcome.min(), outcome.max())
    plot(np.arange(len(cash)), cash)
    show()
    

    (2)正态分布采样

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    N = 10000
    #print(np.sqrt(N))
    normal_values = np.random.normal(size=N)
    dummy, bins, dummy = plt.hist(normal_values, int(np.sqrt(N)), normed=True, lw=1)
    sigma = 1
    mu = 0
    plt.plot(bins, 1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi)) * np.exp(-(bins - mu) ** 2 / (2 * sigma ** 2)), lw=2)
    plt.show()
    

    (3)Scipy正态检验

    import numpy as np
    from scipy.stats import shapiro
    from scipy.stats import anderson
    from scipy.stats import normaltest
    
    # 读入流感趋势数据
    flutrends = np.loadtxt("goog_flutrends.csv", delimiter=',', usecols=(1,), skiprows=1,converters={1: lambda s: float(s or 0)}, unpack=True)
    N = len(flutrends)
    normal_values = np.random.normal(size=N)
    zero_values = np.zeros(N)
    
    print("Normal Value Shapiro", shapiro(normal_values))
    print("Zero Shapiro", shapiro(zero_values))
    print("Flu Shapiro", shapiro(flutrends))
    print()
    
    print("Normal Value Anderson", anderson(normal_values))
    print("Zero Anderson", anderson(zero_values))
    print("Flu Anderson", anderson(flutrends))
    print()
    
    print("Normal Value normaltest", normaltest(normal_values))
    print("Zero normaltest", normaltest(zero_values))
    print("Flu normaltest", normaltest(flutrends))
    

    (4)创建掩码式numpy数组

    import numpy as np
    from scipy.misc import ascent, face
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    face = face()
    random_mask = np.random.randint(0, 2, size=face.shape)
    
    plt.subplot(221)
    plt.title("Original")
    plt.imshow(face)
    plt.axis('off')
    
    masked_array = np.ma.array(face, mask=random_mask)
    #print(masked_array)
    
    plt.subplot(222)
    plt.title("Masked")
    plt.imshow(masked_array)
    plt.axis("off")
    
    plt.subplot(223)
    plt.title("Log")
    plt.imshow(np.log(face))
    plt.axis("off")
    
    plt.subplot(224)
    plt.title("Log Masked")
    plt.imshow(np.log(masked_array))
    plt.axis("off")
    
    plt.show()
    

    忽略负值和极值

    
    import numpy as np
    #from matplotlib.finance import _quotes_historical_yahoo
    from datetime import date
    import sys
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    salary = np.loadtxt("MLB2008.csv", delimiter=",", usecols=(1,), skiprows=1, unpack=True)
    triples = np.arange(0, len(salary), 3)
    print("Triples", triples[:10], "...")
    
    signs = np.ones(len(salary))
    print("Signs", signs[:10], "...")
    #下标为3的倍数元素取反
    signs[triples] = -1
    print("Sings", signs[:10], "...")
    
    ma_log = np.ma.log(salary * signs)
    print("Masked logs", ma_log[:10], "...")
    #忽略极值
    dev = salary.std()
    avg = salary.mean()
    inside = np.ma.masked_outside(salary, avg - dev, avg + dev)
    print("Inside", inside[:10], "...")
    
    plt.subplot(311)
    plt.title("Original")
    plt.plot(salary)
    
    plt.subplot(312)
    plt.title("Log Masked")
    plt.plot(np.exp(ma_log))
    
    plt.subplot(313)
    plt.title("Not Extreme")
    plt.plot(inside)
    
    plt.show()
    
    

    matplotlib绘图入门

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    # 设置横坐标,起点和终点
    x = np.linspace(0, 20)
    plt.plot(x, .5 + x)
    plt.plot(x, 1 + 2 * x, "--")
    # 将图像保存到文件中
    plt.savefig('1.png')
    # 显示图像
    plt.show()
    
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空空如也

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统计学中的矩阵代数