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  • 欢迎下载哦~~绝对收敛与条件收敛(完整)请大家快来下载吧,尤其对数学专业的学生适用
  • 绝对收敛条件收敛

    千次阅读 2020-06-15 17:26:28
    如果级数各项的绝对值形成的新级数收敛,那么称为绝对收敛,如果原级数收敛,对应的绝对值级数发散,那么称为条件收敛。 定理1:如果级数绝对收敛,那么原级数必定收敛 定理2:绝对收敛级数经改变项的位置后...

     

    如果级数各项的绝对值形成的新级数收敛,那么称为绝对收敛,如果原级数收敛,对应的绝对值级数发散,那么称为条件收敛。

     

    定理1:如果级数绝对收敛,那么原级数必定收敛

     

    定理2:绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛,且与原级数有相同的和

     

    定理3:如果级数un之和与vn之和均收敛,和分别为s和σ,则他们的柯西乘积

     

    u_{1}v_{1}+(u_{2}v_{1}+(u_{1}v_{2})+...+(u_{1}v_{n}+u_{2}v_{n-1}+...+u_{n}v_{1})

     

    也是绝对收敛的,且其和为sσ

     

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  • 条件收敛与绝对收敛

    2021-09-23 10:37:20
  • 一致收敛与点态收敛这两个概念有点难理解。 其实一致收敛简单来说就是,fn(x)f_n(x)fn​(x)不管x取什么都能收敛到f(x)f(x)f(x)。 这句话的隐含意思是nnn是确定的。 也就是说xxx不能随n变化。 比如1xn\frac{1}{x^n}xn1...

    一致收敛和点态收敛

    先看两者定义:
    一致收敛:任意正数 ϵ \epsilon ϵ,存在 N > 0 N>0 N>0,当 n > N n>N n>N时,对于任意 x x x ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon fn(x)f(x)<ϵ
    点态收敛:对于每一个固定的 x x x,任给正数 ϵ \epsilon ϵ,存在 N N N N N N x x x, ϵ \epsilon ϵ都有关),任意 n n n满足 n > N n>N n>N,有 ∣ f n ( x ) − f ( x ) ∣ < ϵ |f_n(x)-f(x)|<\epsilon fn(x)f(x)<ϵ

    有时候题目也会这样:
    任意 x x x, n n n足够大时 f ( x ) f(x) f(x)收敛到极限函数
    对于足够大的 n n n,任意 x x x, f ( x ) f(x) f(x)收敛到极限函数

    可以看出:
    1.两者最后收敛的结果都是极限函数,所以只要问收敛就要求极限函数。
    2.两者的不同在于,
    一致收敛先固定n,再看对任意x是否满足
    点态收敛先固定x,看对任意n是否满足。

    所以定义里 x x x N N N的顺序不同,这个要大大注意。

    看下图是每个点都点态收敛,但是不一致收敛的例子。 f n ( x ) = 1 x n f_n(x)=\frac{1}{x^n} fn(x)=xn1
    点态收敛:固定x(就是沿着y轴看),可以看见n取得大一点,一定可以离极限函数足够近
    一致收敛:固定n(就是沿着一条函数看),可以看见x离1越近就离极限函数越远。

    绝对收敛和条件收敛

    绝对收敛和条件收敛与一致收敛没关系,与点态收敛有关。
    原数列每项加了绝对值以后收敛,则称绝对收敛
    若不绝对收敛,但是点态收敛,则称为条件收敛.
    条件收敛 → \to 点态收敛
    绝对收敛 → \to 点态收敛
    一致收敛 → \to 点态收敛
    一致收敛和绝对收敛,条件收敛没有直接关系

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  • 第五讲 交错级数、绝对收敛条件收敛

    万次阅读 多人点赞 2018-11-30 12:44:55
    一,负项级数可以通过添加负号转化为正项级数,因此不用...一个数列,如果它的偶次项子数列收敛于s,奇次项子数列也收敛于s,那么整个数列将收敛于s。如图: 五,变号级数的审敛法 任意变号级数:非正项级数,非...

    一,负项级数可以通过添加负号转化为正项级数,因此不用讨论

    二,交错级数

    • 定义:\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}u_{n}=u_{1}-u_{2}+u_{3}-...+(-1)^{n-1}u_{n}+...,(u_{n}> 0

    三,交错级数的审敛法(又称Leibniz判别法)

    • u_{n}\geq u_{n+1}> 0,(n\in N),即逐项递减
    • \lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0,即通项趋于0
    • \sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}u_{n}收敛,其和s\leq u_{1}
    • 余项r_{n}=(-1)^{n}(u_{n+1}-u_{n+2}+u_{n+3}-...)
    • 截断误差:余项\left | r_{n} \right |\leq u_{n+1}

    四,数列的极限理论

    • 一个数列,如果它的偶次项子数列收敛于s,奇次项子数列也收敛于s,那么整个数列将收敛于s。如图:

    五,变号级数的审敛法

    • 任意变号级数:非正项级数,非负项级数,也非交错级数。
    • 设变号级数\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}
    • 绝对收敛:若其绝对值级数\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |收敛,则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛
    • 推论:若\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散,则\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |也发散
    •  条件收敛:若其绝对值级数\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |发散,而\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛

    六,交错p-级数的敛散性

    • 定义:\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}},(p> 0
    • p> 1时:其绝对值级数\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}收敛,则\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}}绝对收敛
    • 0< p\leq 1时:其绝对值级数\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p}}发散,但其逐项递减\frac{1}{n^{p}}\geq \frac{1}{(n+1)^{p}}> 0,且通项\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n^{p}}=0,根据交错级数审敛法\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}}条件收敛

    七,比值审敛法的推广

    • \lim_{n\rightarrow \infty }\left |\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |< 1,则\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |收敛,则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛
    • \lim_{n\rightarrow \infty }\left |\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right |> 1,则\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |发散,因为\left |u_{n+1} \right |\geq \left |u_{n} \right |,所以\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}\neq 0,则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散

    八,根值审敛法的推广

    • \lim_{n\rightarrow \infty }\left |\sqrt[n]{u_{n}} \right |< 1,则\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |收敛,则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}收敛
    • \lim_{n\rightarrow \infty }\left |\sqrt[n]{u_{n}} \right |> 1,则\sum_{n=1}^{\infty }\left |u_{n} \right |发散,\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}\neq 0,则\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}发散

    九,绝对收敛和条件收敛级数的性质

    • \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}都绝对收敛,则\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}+v_{n})绝对收敛,\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}v_{n}绝对收敛
    • \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}都条件收敛,则\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}+v_{n})不一定条件收敛,\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}v_{n}不一定收敛
    • \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}绝对收敛\sum_{n=1}^{\infty }v_{n}条件收敛,则\sum_{n=1}^{\infty }(u_{n}+v_{n})条件收敛

    十,级数的重排(绝对收敛和条件收敛的区别)

    • 变号级数绝对收敛的充要条件是级数的正部和负部都收敛。如图:
    • 若变号级数条件收敛,则级数的正部和负部都发散。(逆命题不成立)。如图:
    • 绝对收敛级数的交换律:绝对收敛级数任意重排后,其和不变,敛散性不变。
    • 条件收敛级数不满足交换律:条件收敛级数任意重排后,其和可能改变,敛散性可能改变。(如果只是改变有限项的位置,不会对级数造成任何变化)。如图:

    十一,判断极限敛散性的一般步骤

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  • 1、条件收敛条件收敛在[a,b]上存在瑕点,使得∫(b,a)f(x)dx广义积分有极值。 2、绝对收敛绝对收敛不存在能使得∫(b,a)f(x)dx广义积分有极值的瑕点。...收敛包括 绝对收敛条件收敛 ...
  • 文章目录摘自论文数学期望定义的中“绝对收敛”级数的一致收敛与极限运算交换次序摘自知乎期望、方程、偏微分等运算可以调换顺序吗?绝对收敛级数与条件收敛级数有何本质区别? 摘自论文 数学期望定义的中“绝对收敛...
  • 设$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数的形式级数,如果这个级数是绝对收敛的,那么它是条件收敛的. 证明:该级数绝对收敛,说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在整数$N$,使得对于一切$p,q\geq N...
  • 常数项级数正项级数交错级数绝对收敛 常数项级数 要清楚一个概念,以前我们学的数列和级数是两个不一样的概念,级数是求和的概念 Σn=1∞Un\Sigma_{n =1}^{\infty} U_nΣn=1∞​Un​ 求和 判断常数项级数是否收敛或...
  • 关于级数的可交换性,课本上只介绍道“绝对收敛级数不因改变...如何证明可交换性是数列绝对收敛的必要条件? 对于非绝对收敛的数列,交换项的位置改变其和的内在原因是什么? 交换项的位置,会不会改变级数的敛散性? ...
  • 本文依据2000 - 2010 年中国30省面板数据,运用空间误差条件β收敛模型分析了技术扩散对全社会能源效率收敛的影响,研究结果表明:①2000 - 20102010年提升速度最快,其经验值得借鉴;②全社会能源效率的绝对β收敛呈现由...
  • 反常积分的性质与收敛判别

    千次阅读 多人点赞 2019-05-12 23:31:27
    无穷积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质与收敛判别 柯西准则: 无穷积分收敛的充要条件是:只要便有 柯西准则: 瑕积分(瑕点为a)收敛的充要条件是:只要总有 ...
  • 第六讲 幂级数的收敛半径和收敛

    万次阅读 多人点赞 2018-12-02 12:34:08
    一,函数项级数 定义:, 部分和: 收敛点:使函数项级数收敛的点 发散点:使函数项级数发散的点 ...处处绝对收敛,如 仅在x=0处收敛,如 在以x=0为中心,两边对称的区间内收敛,如,收敛域(-1,...
  • 1996年以来,不存在绝对β收敛,但引入人力资本因素后,存在较强的β条件收敛,不过在京、冀内部均不存在俱乐部收敛,只有津存在弱俱乐部收敛。最后,根据实证检验结果对京津冀的区域经济协调发展提出了政策建议。
  • 无穷积分收敛与性质节习题

    千次阅读 2019-08-15 20:01:39
    讨论∫1+∞ln⁡(1+x)xndx\int_1^{+\infty}\frac{\ln (1+x)}{x^n}dx∫1+∞​xnln(1+x)​dx的收敛性 回答 首先需要意识到一点:只要n&gt;0n&gt;0n>0 lim⁡x→+∞ln⁡(1+x)xn=0\lim\limits_{x\to+\infty...
  • 研究发现,东部地区存在绝对β收敛,中部地区不存在绝对β收敛,西部地区的绝对β收敛特征不明显,但是三个地区内部都存在明显的条件β收敛。市场分割对东部地区经济存在促进作用;当市场分割程度较低时,市场分割对西部...
  • 分析了周期函数f(t)展开成傅里叶级数的收敛性问题,证明了周期函数f(t)能展开成傅里叶级数且收敛的充分条件是:周期函数f(t)在一个周期区间[-T/2,T/2]可积和绝对可积.用傅里叶级数均方误差证明了傅里叶级数部分和...
  • 因为如上图,只有在端点出才可能条件收敛,在内部一定绝对收敛 所以这种情况下就可以知道函数的收敛区间 2.阿贝尔定理 在无法使用比值和根值情况下使用 5.12日例题 解析: 本题不知道an的大小,所以不能用常规的...
  • 缺项级数的收敛域求解

    千次阅读 2016-11-11 19:16:37
    缺项级数的收敛域求解@(微积分)举个例子: 幂级数∑∞n=1(−1)nx2n+12n+1\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}的收敛域求解。 分析:很容易就想通过求收敛半径,再通过判定边界值是否收敛求出收敛域。...
  • 由一道题目总结幂级数的收敛域问题@(微积分)这个知识点可以联想阿贝尔的12块钱,即收敛区间内绝对收敛,边界需要特别讨论。 函数项级数∑∞n=1(2x+1)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x+1)^n}{n}的收敛域为[−1,0)⎯⎯...
  • 研究了Banach空间X中的级数∑∞n=1xn的收敛性、绝对收敛性、弱无条件收敛性、无条件收敛可和性等概念之间的关系,证明了:当X为一般Banach空间时,无条件收敛可和性是等价的;当X为Hilbert空间时,弱无条件收敛性...
  • 然而,根据不同时段国家所采取的经济发展政策措施的不同把整个时期划分为若干不同时段,则发现1952~1966、1979~1990、1979~2000年等时段,中国区域经济增长过程中均存在显著的18型绝对条件收敛趋势。...
  • 第三章:3.3 傅里叶级数收敛分析

    千次阅读 2017-08-22 21:53:15
    收敛条件我们下面来讨论一下傅里叶级数收敛的条件关于波形条件中第一个要求周期信号的面积(积分)不是无穷。显然反比例函数积分是无穷,不是有限的。所以不满足要求第二个条件就是要求信号的震荡次数是有限的满足...
  • 目的 研究一类工程经济均衡互补模型的算法。方法 首先建立该互补模型的绝对误差界,基于此设计求解该模型的算法。结果 得到求解该模型的...结论 在不要求互补问题存在非退化解的条件下,该类算法也具有二次收敛性。
  • 关于p分数反常积分的收敛与发散

    千次阅读 2019-08-13 11:44:59
    条件收敛 首先,证明 ∫ a + ∞ sin ⁡ x x p d x \int_a^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p}dx ∫ a + ∞ ​ x p sin x ​ d x 收敛: 由于 , ∀ u ∈ [ a , + ∞ ) , ∫ a u sin ⁡ x d x ,\forall u\in[a,+\infty)...
  • 函数列函数项级数——(一)一致收敛

    万次阅读 多人点赞 2019-05-28 18:53:42
    一.函数列及其一致收敛性 设是一列定义在同一数集E上的函数,称为...设函数列函数f定义在同一数集D上,当n>N时,有则称函数列在D上一致收敛于f,记作 函数列在D上一致收敛,必在D上每一点都收敛;反之,在D...
  • 利用区间值函数级数、模糊数的序关系和分解定理讨论了复模糊值函数级数收敛性发散性,给出了复模糊值函数级数收敛、一致收敛、绝对收敛的充要条件,并得到了复模糊值函数级数收敛的线性及复模糊值函数级数收敛、发散...

空空如也

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