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  • 联合概率分布

    千次阅读 2014-12-18 16:19:29
    我之前一直专注于单一的随机变量及其概率分布。我们自然的会想将以前的结论推广到多个随机变量。联合分布(joint distribution)描述了多个随机变量的概率分布,是对单一随机变量的自然拓展。联合分布的多个随机变量...

    作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

     

    我之前一直专注于单一的随机变量及其概率分布。我们自然的会想将以前的结论推广到多个随机变量。联合分布(joint distribution)描述了多个随机变量的概率分布,是对单一随机变量的自然拓展。联合分布的多个随机变量都定义在同一个样本空间中。

    对于联合分布来说,最核心的依然是概率测度这一概念。 

     

    离散随机变量的联合分布

    我们先从离散的情况出发,了解多个随机变量并存的含义。

    之前说,一个随机变量是从样本空间到实数的映射。然而,所谓的映射是人为创造的。从一个样本空间,可以同时产生多个映射。比如,我们的实验是连续三次投硬币,样本空间为

    Ω={hhh,hht,hth,thh,htt,tht,tth,ttt}

    h为正面,t为反面。在同一样本空间上,我们可以定义多个随机变量,比如:

    • X : 投掷为正面的总数,可以取值0,1,2,3
    • Y : 最后一次出现负面的总数,可以取值0,1
    • Z : 将正面记为10,负面记为5,第一次与第三次取值的差,可以有5, -5, 0

    这三个随机变量可以看作一个有三个分量的矢量。所以定义在同一样本空间的多随机变量,是一个从样本空间到矢量的映射。 

    (从这个角度上说,单一随机变量是一个从样本空间到一个有一个分量的矢量的映射)

     

    如果样本空间 Ω 中每个结果出现的概率相等。而样本空间中共有8个结果,那么个每个结果的出现的概率都是1/8。据此,我们可以计算联合概率,比如

    P(X=0,Y=1)=P({ttt})=1/8

    P(X=1,Y=1)=P({htt,tht})=2/8

    对于 X=x,Y=y ,我们寻找样本空间中满足这两个取值的所有元素。这些元素构成一个样本空间的子集,该子集的概率就是 P(X=x,Y=y) 的联合概率。 p(x,y)=P(X=x,Y=y) 称为联合概率质量函数(joint PMF, joint probability mass function)。联合概率可以看做两个事件同时发生时的概率,事件A为 X=x ,事件B为 Y=y ,即 P(AB)

    找到所有可能取值组合的概率,就找到了这两个随机变量的联合分布:

    X Y P(X,Y) 对应子集
    0 0 0 Φ
    1 0 1/8 tth
    2 0 2/8 thh, hth
    3 0 1/8 hhh
    0 1 1/8 ttt
    1 1 2/8 htt, tht
    2 1 1/8 hht
    3 1  0 Φ

     联合分布

    联合分布描述了所有可能的取值情况。因此,联合概率密度函数的累积和为1。

     

    连续随机变量的联合分布

    我们知道,单个连续随机变量的概率是变量在某个区间(某段线的“长度”)取值的概率。做类似的推广,多个连续随机变量的概率,是这多个随机变量在多维区间的概率。比如两个随机变量,我们需要表达一个二维区间的概率,比如 P(aXb,cYd) 。这个二维区间可以有一个类似于一个小补丁的“面积”。二维区间对应的概率是一个体积。

     

    面积对应的体积

     

    在单变量情况下,概率是一个“面积”,是由区间的“长度”和密度函数(一条曲线)围成的。这里的“体积”是二维区间的“面积”和密度函数(一个曲面)围成的。我们可以使用联合概率密度函数(joint PDF, joint probability density function)来表达多随机变量的分布。对于双变量的联合分布来说,它等于无穷小块的概率,除以无穷小块的面积。

    用微积分的语言来说,就是

    P(aXb,cYd)=badcf(x,y)dxdy

    f(x,y) 就是描述X和Y的联合分布的联合概率密度函数。

     

    联合概率密度函数描述了所有可能取值的情况,因此有

    +f(x,y)dxdy=1

     

    实例

    下面是两个连续随机变量的联合PDF:

    f(x,y)={2x0forfor0x,y1else

    通过积分,计算X在0到0.5,而Y在0到1的概率:

    P(0X0.5,0Y1)=0.50102xdxdy=0.25

     

    我们之间也说到,单个随机变量的概率对应线段到概率密度曲线之间的面积。而两个随机变量的概率对应小块到概率密度面之间的体积。

    我们可以绘制 f(x,y) 的分布图形,即一个二维的平面。图中的颜色标记了f(x, y)值的大小。如下: 

    可以看到,f(x, y)随X增大而增大,在X值确定时,f(x, y)不随Y变化。

    复制代码
    # By Vamei
    
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    from matplotlib import cm
    from matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatter
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')
    X = np.arange(0, 1, 0.05)
    Y = np.arange(0, 1, 0.05)
    X, Y = np.meshgrid(X, Y)
    Z = 2*X
    surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm,
            linewidth=0, antialiased=False)
    ax.set_zlim(0.0, 2.5)
    
    ax.zaxis.set_major_locator(LinearLocator(10))
    ax.zaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%.02f'))
    
    ax.set_xlabel("X")
    ax.set_ylabel("Y")
    ax.set_zlabel("f(x,y)")
    fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)
    
    plt.show()
    复制代码

     

    边缘概率

    联合分布包含了多个随机变量的分布信息。我们当然可以从联合分布中,提取出任意一个单一随机变量的分布,也就是所谓的边缘分布(marginal distribution)。

    对于离散随机变量,可以获得边缘概率质量函数(marginal pmf):

    pX(x)=allyp(x,y)

    pY(y)=allxp(x,y)

    在求X的单一边缘分布时, 我们累加了相同x值、不同y值时的多个联合概率,从而获得该x值的的总体概率,即边缘概率。

     

    连续随机变量X的边缘密度函数(marginal pdf, marginal probability density function)可以定义为

    fX(x)=+f(x,y)dy

    fX(x) 是联合密度函数对Y的积分。通过积分,我们将不同Y取值时的联合概率加在一起,就获得纯粹的单一X的分布状况。

    类似的,Y的边缘密度函数为

    fY(y)=+f(x,y)dx

     

    取离散随机分布的例子,即掷三次硬币

      0 1 2 3 p(y)
    0 0 1/8 2/8 1/8 1/2
    1 1/8 2/8 1/8 0 1/2
    p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8  

    边缘概率是对各行和列的累加。最后一列p(y)是Y的分布,Y有1/2的概率取0,1/2的概率取1。最后一行p(x)是X的分布。

     

    取连续随机分布的例子,即下面的连续分布:

    f(x,y)={2x0forfor0x,y1else

    可以得到:

    fX(x)=2x,0x1

    fY(y)=1,0y1

     

    条件分布

    我们之前基于事件介绍了条件概率,即如果事件B发生,那么事件A发生的概率。相同的概念可以引申到随机变量。随机变量取某个值,这可以看做一个事件。我们想知道,随机变量Y取值y,另一个随机变量X为x的概率。

     

    事件的条件概率类似,假设 pY(y)0 ,在 Y=y 的条件下,随机变量X取值为x的概率定义为: 

    p(x|y)=p(x,y)pY(y)

    X=x,Y=y 同时发生的概率,除以Y取值为y的的概率。

     

    以掷三次硬币为例。条件为Y值取值0,即最后一次投掷为正面时。此时,X取值为2有两种可能,即前两次为ht和th。由于前两次投掷有四种组合,所以概率为0.5。

    我们可以通过条件概率的公式计算并验证:

    p(2|0)=p(2,0)pY(0)=2/81/2=0.5

     

    如果说概率是分一个总和为1的大饼,如果大饼分八块,每块就是1/8。假设半个饼上撒胡椒,另半个饼上撒辣椒。那么在胡椒饼(相当于我们的条件)上选取一块的概率,就是1/4。此时,也就是用原来的概率除以胡椒饼所占的比重。

     

    对于连续随机变量,假设 fY(y)0 ,给定Y=y,随机变量X的条件分布为:

    f(x|y)=f(x|Y=y)=f(x,y)fY(y)

     

    独立随机变量

    正如事件之间可以相互独立一样,随机变量之间也可以相互独立。当X独立于Y时,我们可以相像,Y的取值,将不影响X的概率。也就是说

    p(x|y)=pX(x)

    这意味着,当且仅当

    p(x,y)=pX(x)pY(y)

    时,X和Y相互独立。

    可以验证,连续投掷三次硬币的例子中,X和Y并不独立,比如

    p(1,1)=2/8

    pX(1)=3/8

    pY(1)=1/2

    因此,

    p(1,1)pX(1)pY(1)

    X和Y并不独立。

    对于连续随机变量来说,当且仅当

    f(x,y)=fX(x)fY(y)

    时,X和Y相互独立。

    对于分布

    f(x,y)={2x0forfor0x,y1else

    使用之前获得的边际分布,可以验证

    f(x,y)=fX(x)fY(y)

    因此,对于该分布来说,X和Y相互独立。

     

    总结

    通过联合分布,我们将单随机变量的分布拓展到多随机变量的分布。同样的,在单随机变量中引入的条件概率,也可以使用到多随机变量。我们还探讨了随机变量的独立性。

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  • 概率图模型构建了这样一幅图,用观测节点表示观测到的数据,用隐含节点表示潜在知识,用边来描述知识与数据的相互关系,最后基于这样的关系图获得一个概率分布。 概率图中的节点分为隐含节点和观测节点,边分为有向...

    概率图模型

          对于一个实际问题,我们希望能够挖掘隐含在数据中的知识。概率图模型构建了这样一幅图,用观测节点表示观测到的数据,用隐含节点表示潜在知识,用边来描述知识与数据的相互关系,最后基于这样的关系图获得一个概率分布。
    概率图中的节点分为隐含节点和观测节点,边分为有向边和无向边。从概率论的角度,节点对应于随机变量,边对应于随机变量的依赖或相互关系,其中有向边表示单向依赖,无向边表示相互依赖。
          概率图模型分为贝叶斯网络和马尔科夫网络两大类。贝叶斯网络可以用一个有向图结构,马尔科夫网络可以表示成一个无向图的网络结构。
    在这里插入图片描述

    概率图模型的联合概率分布

          概率图模型最为巧妙的设计就是能够用简洁清晰的图示形式表达概率生成的关系,而通过概率图还原其概率分布不仅是概率图模型最重要的功能,也是掌握概率图模型最重要的标准。

    1、贝叶斯网络的联合概率分布

          由图可见,在给定A的条件下B和C是条件独立的,基于条件概率的定义可得
    在这里插入图片描述
    同理,在给定B和C的条件下A和D是条件独立的,可得
    在这里插入图片描述
          由以上两式可得联合概率分布
    在这里插入图片描述

    2、马尔科夫网络的联合概率分布

          在马尔科夫网络中,联合概率分布的定义为
    在这里插入图片描述
    其中C为图中最大团构成的集合, Z = ∑ x Π Q ∈ C φ Q ( x Q ) Z=\sum_{x}\Pi_{Q∈C}\varphi_Q(x_Q) Z=xΠQCφQ(xQ)为归一化因子,用来保证 P ( x ) P(x) P(x)是被正确定义的概率, φ Q \varphi_{Q} φQ是与团Q对应的势函数。势函数是非负的,并且应该在概率较大的变量上取得较大的值,例如指数函数
    φ Q ( x Q ) = e − H Q ( x Q ) \varphi_Q(x_Q)=e^{-H_Q(x_Q)} φQ(xQ)=eHQ(xQ)
    其中
    在这里插入图片描述
          对于图中所有节点 x = x= x={ x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn}所构成的一个子集,如果在这个子集中,任意两点之间都存在边相连,则这个子集中的所有结点构成了一个团。如果在这个子集中加入任意其他节点,都不能构成一个团,则称这样的子集构成了一个最大团。
    在上图(b)的网络结构中可以看出(A,B)、(A,C)、(B,D)、(C,D)均构成团,同时也使最大团。因此联合概率分布可以表示为
    在这里插入图片描述
          如果采用 φ Q ( x Q ) \varphi_Q(x_Q) φQ(xQ)定义的指数函数作为势函数,则有
    在这里插入图片描述
          于是
    在这里插入图片描述

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  • 概率分布

    千次阅读 2016-06-14 19:41:56
    常见的概率分布,其中E表示期望,var表示方差,mode表示众数,H表示熵。 1.伯努利分布 单一二元变量x∈{0,1}的分布,例如,抛硬币的结果。它由一个连续参数∈[0,1]控制,这个参数表示x = 1的概率。 伯努利...

    常见的概率分布,其中E表示期望,var表示方差,mode表示众数,H表示熵。

    1.伯努利分布

    单一二元变量x∈{0,1}的分布,例如,抛硬币的结果。它由一个连续参数∈[0,1]控制,这个参数表示x = 1的概率。

    伯努利分布式二项分布对于单一观测的特殊情况。它对于的共轭先验是Beta分布。

    2.Beta分布

    连续变量∈[0,1]的分布,经常用于表示某些二元事件的概率。它有两个参数a和b.为了保证分布能够归一化,我们要求a>0并且b>0。

    Beta分布式伯努利分布的共轭先验,其中a和b可以分别表示为x=1和x=0的观测的有效先验数量。如果a>=1且b>=1,那么它的概率密度是有限值,否则在=0和(或)=1处会有奇异值。对于a=b=1的情况,它就简化成了均匀分布。Beta分布式K状态狄利克雷分布在K=2的特殊情况。

    3.二项分布

    二项分布给出了来自伯努利分布的N个样本中观察到m次x=1的概率。伯努利分布中,观察到x=1的概率是∈[0,1]。

    二项分布中N=1这一特殊情形被称为伯努利分布,对于大的N值,二项分布近似于高斯分布。的共轭先验是Beta分布。

    4.狄利克雷分布

    狄利克雷分布式K个随机变量的多变量分布

    其中

    ,

    我们有

    其中

    并且

    这里

    被称为digamma函数。为了保证概率归一化,参数满足限制>0

    • 狄利克雷分布式多项式分布的共轭先验,是Beta分布的推广。这种情况下,参数是K维二元观测向量x对应值的有效观测数量。和Beta分布相同,如果对于所有的k都有>=1,那么狄利克雷分布在空间中所有位置的密度均为有限值。

    5.Gamma分布

    Gamma分布式正随机变量>0的概率分布,参数为a和b,满足限制a>0和b>0,保证概率分布式归一化的。

    其中,定义的digamma函数。Gamma分布是单变量高斯分布(方差倒数)的共轭先验。当a >= 1时,概率密度处处为有限值,a=1这一特殊情况被称为指数分布。

    6.高斯分布

    高斯分布式连续变量中最广泛使用的概率分布。它也被称为正态分布。在一元变量x∈(-∞,+∞)的情况下,它由两个参数控制:均值∈(-∞,+∞)和方差>0。

    方差的倒数被称为精度,方差的平方根被称为标准差。的共轭先验是高斯分布,的共轭先验是Gamma分布。如果都是未知的,那么他们的联合共轭先验是高斯-Gamma分布

    7.多项式分布

    多项式分布是二项分布对于多元变量的推广,给出一个具有K个状态的离散变量在总计N次观测中状态k的次数的分布。

    其中,

    并且,

    • 给出了把N个相同的物体中的个放到箱子k中的方案总数,其中k=1,2,….,K。的值给出了随机变量处于k状态的概率,因此必须满足。参数的共轭先验是狄利克雷分布。

    8.均匀分布

    连续变量x的一种简单分布。x定义在有限区间x∈[a,b],且b > a。

    如果x服均匀分布U(x|0,1),那么a+(b-a)x服从均匀分布U(x|a,b)。

    接下来的数理统计中非常常见的三大分布,都是连续型

    9.分布

    • 定义
      为n个(n>=1)相互独立的随机变量,它们都服从标准正态分布N(0,1).,则随机变量Y的分布称为自由度为n的分布。记为(n)。
    • 概率密度

      利用伽马函数,容易验证
    • 定理
      设X与Y是相互独立的随机变量,且X~(m),Y~(n),则Z = X+ Y ~(m+n)

    10.学生t分布

    • 在一元变量的形式下,学生t分布可以通过下列方式获得:拿出一元高斯分布的精度的共轭先验,然后把精度变量积分出来。因此这个分布可以看成无限多个有着相同均值不同方差的高斯分布的混合。

    这里>0被称为分布的自由度数量。=1的特殊情况被叫做柯西分布

    • 对于一个D维变量x,学生t分布是将多元高斯的精度矩阵关于共轭Wishart先验积分的结果。形式为

    其中,是平方马氏距离,定义为
    在极限→∞的情况下,t分布简化为均值,精度为的高斯分布。学生t分布提供了对高斯分布泛化的一种形式,这种分布的最大似然参数对离群点比较鲁棒。

    11.F分布

    • 定义
      设随机变量X,Y相互独立,且X~(),Y~(),则称随机变量

      所服从的分布为第一自由度为,第二自由度为的F分布,记为F(,)。
    • 性质.

    参考文献
    1.PRML
    2.图片资源来自于网络

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  • 数学概率z=x+y和z=x-y和z=x/y的分布

    千次阅读 2020-08-20 16:45:46
    设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为: 故Z=X+Y的概率密度为: 由X,Y的对等性,fZ(z)f_{Z}(z)fZ​(z) 又可写成 卷积公式: 如果X和Y相互独立时,Z=X+Y的密度函数公式称为卷积公式即: fZ(z)=∫−∞...

    Z=X+Y 的分布

    设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为:
    在这里插入图片描述
    故Z=X+Y的概率密度为:
    在这里插入图片描述
    由X,Y的对等性, f Z ( z ) f_{Z}(z) fZ(z) 又可写成
    在这里插入图片描述

    卷积公式:

    如果X和Y相互独立时,Z=X+Y的密度函数公式称为卷积公式即:

    f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f_{Z}(z)=\int^{+\infty}_{-\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy=\int^{+\infty}_{-\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx fZ(z)+fX(zy)fY(y)dy=+fX(x)fY(zx)dx

    例题

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    Z=X-Y 的分布

    假如x,y都是U(0,1)均匀分布,求z=x-y的分布
    概率密度函数不再是均匀分布,会是三角形或者梯形
    在这里插入图片描述
    f ( z ) = z , i f − 1 < z < 0 ; f ( z ) = 1 − z , i f 0 < z < 1 f(z)=z, if -1<z<0;f(z)=1-z,if0<z<1 f(z)=z,if1<z<0;f(z)=1z,if0<z<1
    两个均匀分布相加减,概率密度曲线是梯形/三角形;

    Z=Y/X 的分布

    比如两个相互独立的标准正态分布随机变量的商的分布,实际是位置参数为0、尺度参数为1的柯西分布
    在这里插入图片描述

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  • 概率分布到最大熵

    2020-08-23 16:15:07
    0前言 最近在温习统计学习方法,比较针对自然语言处理,所以从最大熵开始看,最大熵是后面EM、HMM、CRF的基础...变量分布未知的情况下,同时满足变量所有限制条件,这时变量视为服从均匀分布。 就是书上的例子:...
  • 几个重要的概率分布及其特性

    万次阅读 2016-12-05 15:06:38
    转自:... 1. 二值变量的概率分布  假设一个二元随机变量,用参数表示的概率为:。 (1)伯努利分布(Bernoulli distribution)  概率分布函数:  期望:  方差:
  • 概率论之联合分布

    千次阅读 2013-11-22 10:19:01
    联合分布(joint distribution)描述了多个随机变量的概率分布,是对单一随机变量的自然拓展。联合分布的多个随机变量都定义在同一个样本空间中。   多个随机变量并存 离散随机变量的联合分布 我们先从...
  • 本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。其中X服从标准正态分布,Y服从均匀分布。 【例题】已知随机变量X与Y相互独立,X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求: (1)二维随机变量(X,Y)的...
  • 再次思考Z = X+Y,Z = XY的概率密度求解

    万次阅读 多人点赞 2016-11-11 01:35:22
    再次思考Z = X+Y,Z = XY的概率密度求解@(概率论) 设方程x2−Xx+Y=0x^2-Xx+Y = 0的根相互独立,且都在(0,2)上服从均匀分布,分别求X与Y的概率密度。 分析:在前面一篇特别总结过这类题型的解法。...

空空如也

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联合概率分布z