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  • 自行整理常见的电路模型以及基础概念背诵资料,一些难点总结出来,考研时候可以参考学习,最好能摘抄一遍印象深刻,如此复习后成绩可以提高很多。
  • 自动控制原理笔记

    2019-10-30 11:34:21
    控制工程理论设计指导讲义,工作中或者学习都比较适合看。
  • 主要介绍《自动控制原理》内容,有助于自控原理的学习。包括第二章 自动控制系统的数学模型,第三章 自动控制系统的时域分析, 第五章 频率特性分析法,第六章 自动控制系统的校正
  • 自动控制原理笔记.pdf

    2021-02-26 20:23:35
    自动控制原理笔记
  • 自动控制原理》个人笔记(来自ppt课件)

    万次阅读 多人点赞 2018-12-28 21:43:09
    自动控制的ppt知识点整合

    控制的含义

    控制(CONTROL)----某个主体使某个客体按照一定的目的动作。
    主体–人:人工控制; 机器:自动控制
    客体–指一件物体,一套装置,一个物化过程,一个特定系统。

    人工控制与自动控制

    人在控制过程中起三个作用:
    (1)观测:用眼睛去观测,如温度计、转速表等的指示值;
    (2)比较与决策:人脑把观测得到的数据与要求的数据相比较,并进行判断,根据给定的控制规律给出控制量;
    (3)执行:根据控制量用手具体调节,如调节阀门开度、改变触点位置。
    自动控制概念

    开环控制和闭环控制

    开环与闭环概念

    典型开环系统

    典型开环系统

    典型闭环系统

    典型闭环系统

    自动控制系统的组成

    自动控制系统的组成

    自动控制系统实例

    炉温控制系统

    液位控制系统

    舵轮随动系统

    自动控制系统的任务
    被控量和给定值,在任何时候都相等或保持一个固定的比例关系,没有任何偏差,而且不受干扰的影响 。
    系统的动态过程:
    也称为过渡过程,是指系统受到外加信号(给定值或干扰)作用后,被控量随时间变化的全过程。
    自动控制的性能指标:
    反映系统控制性能优劣的指标,工程上常常从稳定性、快速性、准确性三个方面来评价。
    自动控制知识点

    数学模型基础

    控制系统数学模型的概念

    描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式,称为系统的数学模型。

    建立数学模型的目的

    建立系统的数学模型,是分析和设计控制系统的首要工作(或基础工作)。
    建模介绍

    线性系统的时域数学模型

    微分方程

    是控制系统最基本的数学模型,要研究系统的运动,必须列写系统的微分方程。
    微分方程
    解析法建立微分方程的一般步骤

    传递函数

    控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型,在给定外部作用和初始条件下,求解微分方程可以得到系统的输出响应。这种方法比较直观。
    拉普拉斯变换是求解线性微分方程的有力工具,它可以将时域的微分方程转化为复频域中的代数方程,并且可以得到控制系统在复数域中的数学模型——传递函数
    传递函数
    传递函数概念
    传递函数的几点说明
    传递函数几点说明
    传递函数几点说明
    传递函数几点说明
    传递函数几点说明
    传递函数的几点说明

    典型环节传递函数

    常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。
    比例环节
    惯性系统
    积分环节
    微分环节
    一阶微分环节
    振荡环节
    延迟环节
    延迟有弊害
    结构图概念
    结构图概念

    结构图

    是数学模型的图解化,它描述了组成系统的各元部件的特性及相互之间信号传递的关系,表达了系统中各变量所进行的运算。
    结构图的组成和描绘

    结构图的绘制

    绘制系统结构图的根据是系统各环节的动态微分方程式及其拉斯变换。具体步骤如下:

    1. 列写系统的微分方程组,并求出其对应的拉斯变换方程组。
    2. 输出量开始写,以系统输出量作为第一个方程左边的量。
    3. 每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始,每个方程左边的量是前面方程右边的中间变量。列写方程时尽量用已出现过的量。
    4. 输入量至少要在一个方程的右边出现;除输入量外,在方程右边出现过的中间变量一定要在某个方程的左边出现。
    5. 按照上述整理后拉斯变换方程组的顺序,从输出端开始绘制系统的结构图

    结构图提醒

    结构图的简化和变换规则

    结构图简化和变换规则
    结构图简化和变换规则

    自控系统的典型结构

    自控系统的典型结构
    自控系统的典型结构
    自控系统的典型结构闭环
    闭环系统的误差传递函数
    总结
    总之,当求系统的传递函数时,简单的系统可以直接利用结构图求解;复杂的系统可以将其看作信号流图后,利用梅逊公式计算。
    信号流图
    信号流图
    信号流图
    信号流图常用术语
    信号流图术语
    信号流图术语
    节点

    梅逊增益公式

    梅逊增益公式
    梅逊增益公式

    应用梅森公式求解信号流图的具体步骤是

    1. 观察信号流图,找出所有的回路,并写出它们的回路增益 L1,L2,L3 ,…… ;
    2. 找出所有可能组合的2个,3个,……找出所有可能组合的2个,3个,……
      互不接触(无公共节点)回路,并写出回路增益
    3. 写出信号流图特征式
    4. 观察并写出所有从输入节点到输出节点的前向通道的增益
    5. 分别写出与第k条前向通道不接触部分信号流图的特征式;
    6. 代入梅森增益公式。

    线性系统的时域分析法

    时域分析法概念

    典型输入信号

    控制系统的性能评价分为动态性能指标稳态性能指标两类。为了了解系统的时间响应,必须了解输入信号的解析表达式
    阶跃函数
    斜坡函数
    加速度函数
    脉冲函数
    正弦函数

    线性定常系统的时域响应

    线性定常
    线性定常
    线性定常
    线性定常
    线性定常
    系统稳定

    稳态性能指标

    稳态误差

    动态性能指标

    前提
    时间
    图示
    峰值时间
    最大超调量
    调整时间
    振荡次数
    常用指标

    一阶系统的时域分析

    数学模型
    结构图
    一阶系统定义

    一阶系统的单位阶跃响应

    阶跃响应
    阶跃响应
    一阶系统结论

    一阶系统的单位脉冲响应

    脉冲响应
    图示

    一阶系统的单位斜坡响应

    单位斜坡响应
    斜坡响应稳态和暂态分量
    误差信号
    斜坡响应结论

    二阶系统的时域分析

    典型二阶系统
    二阶系统时域分析
    二阶系统特征方程
    欠阻尼
    临界阻尼
    过阻尼
    无阻尼

    二阶系统的单位阶跃响应

    二阶系统阶跃响应
    欠阻尼
    欠阻尼
    欠阻尼
    无阻尼
    临界阻尼
    过阻尼
    过阻尼
    过阻尼
    过阻尼
    工作区间选择

    二阶系统的性能指标

    理想状态
    上升时间
    峰值时间
    峰值时间
    最大超调量
    过渡过程时间
    过渡过程时间
    过渡过程时间

    线性系统的稳定性分析

    稳定性概念
    稳定性讲解
    稳定性的根判定依据
    稳定性的极点判定依据
    临界稳定的概念

    劳斯稳定判据

    劳斯判据
    劳斯判据
    劳斯判据必要条件
    劳斯判据步骤
    劳斯判据总结

    系统参数对稳定性的影响

    应用代数判据不仅可以判断系统的稳定性,还可以用来分析系统参数对系统稳定性的影响。
    劳斯判据两种特性情况
    第一种情况
    第二种情况
    第二种情况
    劳斯判据

    控制系统的稳态误差

    稳态误差
    减小稳态误差

    误差与稳态误差

    根据控制系统的一般结构, 可以定义系统的误差与稳态误差。
    控制系统的一般结构
    控制系统的一般结构
    误差分析
    稳态误差精度

    系统的类型

    系统类型
    012型系统

    稳态误差的计算

    稳态误差计算
    两个能力

    设定输入作用下系统稳态误差的计算

    第一项计算
    静态误差系数
    静态误差参数
    不同型系统有差情况
    表格

    扰动输入作用下系统稳态误差的计算

    	对于扰动输入作用下系统稳态误差的计算, 也可以按照类似设定输入情况的方法进行计算。
        在这种情况下, 稳定误差的计算稍复杂些, 这里就不再加以论述。 
    

    第四章 根轨迹法

    根轨迹概述
    过渡过程特性
    根轨迹好处
    根轨迹好处

    什么是根轨迹?

    反馈控制系统
    根轨迹介绍
    根轨迹图
    图4-2 根轨迹图
    从根轨迹图可以看到:当0<K<0.385时三个闭环极点都是负实数;
    当K>0.385时有两个闭环极点成为共轭复数,只要0<K<6闭环系统一定稳定。
    一但K值给定,比如K=1.2,3个闭环极点就是3支根轨迹上3个特定点(标有+号的点)。
    可见,根轨迹清晰地描绘了闭环极点与开环增益K的关系

    相角条件

    今天,在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事,由于计算机强大的计算能力,所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法,也就是每改变一次增益K求解一次特征方程。
    让K从零开始等间隔增大,只要K的取值足够多足够密,相应解特征方程的根就在S平面上绘出根轨迹。
    传统的根轨迹法是不直接求解特征方程的,它创造了一套行之有效的办法——图解加计算的手工绘图法

    相角条件
    幅值条件
    相角条件不变
    反向思维

    绘制典型根轨迹

    我们可以把现有的绘制根轨迹图的方法分为三类:

    1)手工画概略图(草图)

      这种方法适合调试现场的应急分析、项目开始的粗略分析等不要求很精确的场合。
      一个熟习根轨迹基本规则的人几分钟就可以画出一张很有用的概略图。
    

    2)手工图解加计算画准确图

       这种方法曾经沿用很久,以往的教科书讲述了很多绘图的技艺,不仅繁琐,精度也差,这类方法在实际应用中已逐步淘汰。
    

    3)计算机绘制精确图

       目前主要指用Matlab工具绘制根轨迹图。它准确快捷,短时间内可以对多个可调参数进行研究,有效地指导设计与调试。
    

    开环零极点与相角条件

    传递函数变换
    典型根轨迹方程
    幅值条件和相角条件
    绘图步骤
    绘图步骤
    图示
    图4-3 相角条件的图示

    基本规则

    纯粹用试验点的办法手工作图,工作量是十分巨大的,而且对全貌的把握也很困难,于是人们研究根轨迹图的基本规则,以便使根轨迹绘图更快更准。

    概括起来, 以开环增益K为参变量的根轨迹图主要有下列基本规则:
    规则1
    规则1
    规则2
    规则3
    根轨迹分离点
    根轨迹分离点
    渐近线
    根轨迹与虚轴交点
    根轨迹的出射角与入射角
    入射角
    小结
    根轨迹法小结

    控制系统的频域分析

    内容概要
    知识要点
    频率特性
    线性定常系统

    频 率 特 性

    基本概念
    频率特性定义
    系统频率特性
    幅频特性和相频特性
    三种数学模型之间的关系图
    讲解
    结论推导
    结论推导
    暂态和稳态分量
    结论
    对上面内容的总结
    对上面内容的总结
    频率特性的性质
    频率特性的性质

    频率特性的求取

    获取频率特性的方法

    频率特性及其表示法

    三种图示法
    伯德图
    伯德图坐标单位
    量程
    量程对数分度
    对数频率特性

    伯德图

    伯德图例题
    伯德图

    典型环节的频率特性

    比例环节
    比例环节
    伯德图比例环节
    图 比例环节的伯德图
    积分环节
    积分环节伯德图
    图 积分环节的伯德图
    微分环节
    微分环节伯德图
    图 微分环节的伯德图
    惯性环节
    惯性环节
    惯性环节伯德图
    最大误差处
    画惯性环节对数幅频特性曲线
    最大误差计算
    惯性环节伯德图
    图 惯性环节的Bode图
    对数相频特性曲线
    对数曲线角度值
    matlab的惯性环节伯德图
    图 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图
    一阶微分环节
    一阶微分环节伯德图
    图 一阶微分环节的伯德图
    二阶微分环节
    相频特性
    相角
    二阶振荡环节伯德图
    伯德图
    图 二阶振荡环节的伯德图
    分析
    表 二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差(dB)
    表格
    表 二阶振荡环节对数相频特性曲线角度值
    相频表格
    迟后环节
    伯德图
    图 迟后环节的伯德图

    控制系统开环频率特性伯德图的绘制

    开环传递函数
    开环对数频率特性
    技巧
    例子在另一篇文章里。
    结论
    结论
    对数幅频特性绘制步骤
    对数幅频特性绘制步骤

    最小相位系统

    最小相位系统
    最小相位系统
    最小相位系统
    最小相位系统示例
    伯德图
    图 5-31 最小相位系统和非最小相位系统的伯德图

    对数频率稳定判据

    正负穿越
    稳定判据
    开环稳定

    稳 定 裕 度

    相角裕度
    相角稳定性储备
    稳定与不稳定
    伯德图
    图 5-45 相角裕度和增益裕度

    增益裕度Kg

    增益裕度
    正与负增益裕度
    伯德图
    定义含义
    规定
    一般要求

    频率响应法

    频率响应法
    对照关系

    闭环频率特性与开环频率特性的关系

    对照关系
    介绍
    分析
    闭环伯德图
    图 闭环幅频特性

    闭环系统频域性能指标

    闭环伯德图
    截止频率和带宽
    带宽作用
    谐振频率
    规定值

    闭环频域性能指标与时域性能指标的关系

    二阶系统
    二阶系统闭环传递函数
    复杂计算

    谐振峰值Mr和时域超调量Mp之间的关系

    伯德图
    公式
    关系

    谐振频率ωr 与峰值时间tp的关系

    tp和wr关系

    闭环截止频率ωb 与过渡过程时间ts的关系

    wb和ts关系
    wb和ts关系

    开环频率特性与时域响应的关系

    三频段

    低频段

    低频段
    稳态参数

    中频段

    中频段
    要求

    高频段

    高频段
    总结

    控制系统的设计和校正

    校正装置摘要
    内容摘要
    系统分析概念
    系统设计概念
    系统设计的目的

    校正的基本概念

    校正的基本概念

    系统的性能指标

    系统的性能指标

    时域性能指标

    时域性能指标
    动态指标

    频域性能指标

    频域性能指标

    系统的校正方式

    校正方式

    串联校正

    串联校正

    反馈(并联)校正

    反馈校正

    前置校正

    前置校正

    干扰补偿

    干扰补偿
    校正特性分类

    超前校正装置

    超前校正

    滞后校正装置

    滞后校正

    滞后-超前校正装置

    滞后-超前校正
    总结

    校正装置及其特性

    超前校正装置

    超前校正装置
    分析
    分析
    总结
    伯德图
    图6 超前网络的Bode图

    相频曲线具有正相角,即网络的稳态输出在相位上超前于输入,故称为超前校正网络。
    相角公式
    α的选择
    伯德图
    超前校正作用

    频率法进行串联校正

    频率法概述
    频率法概述
    频率法概述
    要求

    串联相位超前校正

    串联相位超前校正要求
    设计步骤
    设计步骤
    计算α
    wc选择
    步骤

    滞后校正装置

    滞后校正装置
    表达式
    伯德图
    由于传递函数分母的时间常数大于分子的时间常数, 所以其幅频特性具有负斜率段, 相频特性出现负相移
    负相移表明, 校正网络在正弦信号作用下的正弦稳态输出信号, 在相位上迟后于输入信号, 所以称为迟后校正装置或迟后网络
    最大滞后相角公式
    要求
    作用
    技巧

    串联相位迟后校正

    滞后校正的伯德图如下图所示。
    伯德图
    分析
    重要作用
    加放大器作用
    总结

    设计步骤

    设计步骤
    设计步骤
    设计步骤

    采样控制系统分析基础

    内容摘要

    概述

    应用前景
    采样控制系统概念
    离散系统
    离散反馈
    离散型时间函数
    离散系统结构图
    离散控制系统结构图

    采样过程与采样定理

    采样过程

    采样过程
    采样器
    采样过程
    理想采样过程
    图7-6 理想采样过程
    采样过程
    理想脉冲器
    分析
    公式

    保持器

    保持器
    保持器作用
    图示
    图 7-7 零阶保持器的输入和输出信号

    采样定理

    采样定理
    香农采样定理

    Z变换及反变换

    Z变换

    Z变换定义

    定义
    z变换与s变换关系
    级数收敛
    z变换和离散序列之间的关系

    Z变换的基本方法

    级数求和法

    闭合形式
    总结
    无穷级数形式

    部分分式法

    部分分式法
    部分分式法

    留数计算法(略)

    留数计算法
    留数计算法

    Z反变换

    z反变换

    长除法——幂级数法

    长除法

    部分分式法

    部分分式法

    脉冲传递函数

    脉冲传递函数的基本概念

    脉冲传递函数概念
    实际应用
    脉冲传递函数介绍

    串联环节的脉冲传递函数

    两个环节有采样开关时

    图示
    介绍

    两个环节没有采样开关时

    图示
    公式
    介绍

    有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数

    图示
    有零阶保持器时的开环采样系统
    公式

    闭环系统的脉冲传递函数

    图示
    公式
    公式
    公式
    特殊情况

    采样控制系统的性能分析

    采样控制系统的稳态性能分析

    稳定性
    响应衰减为0

    s平面与z平面的映射关系

    原因
    关系
    图示
    图 s平面上虚轴在z平面上的映像

    稳定条件

    稳定条件
    稳定关系

    线性采样系统劳斯判据

    不能直接用劳斯判据
    w变换
    w变换对应关系
    对应图
    关系介绍
    采样周期问题
    总结

    数字控制系统的稳态误差

    图示
    公式推导
    划分类型
    划分类型
    误差公式
    表 7-1 单位反馈离散系统的稳态误差
    表格
    误差因素

    采样控制系统的动态性能分析

    说明

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  • 自动控制原理MATLAB笔记

    千次阅读 多人点赞 2019-06-03 12:01:55
    1.函数笔记 tf():传递函数 sys = tf(Numerator,Denominator) 创建传递函数,numerator为分子向量,denominator为分母向量 后面可加参数,如:‘Variable’,‘p’,意思是把p作为变量 若要从传递函数中取得分子...

    全文框架

    在这里插入图片描述

    1.函数笔记

    tf():传递函数
    sys = tf(Numerator,Denominator)
    创建传递函数,numerator为分子向量,denominator为分母向量
    后面可加参数,如:‘Variable’,‘p’,意思是把p作为变量
    若要从传递函数中取得分子分母向量,可以用:num1=sys.num{1},不能用numden等函数,因为其不能用于tf结构体
    另外,开闭环传递函数之间的转换,务必用feedback,若直接用公式Gs=Gk(s)/(1+Gk(s)H(s))会有错误

    ss():状态空间方程
    sys = ss(A,B,C,D)
    A,B,C,D为状态空间方程的四个矩阵

    ss2tf():状态空间方程转系统函数
    [num,den] = ss2tf(A,B,C,D)
    Num为分子,den为分母

    dcgain():获取稳态值
    dc=dcgain(sys)

    feedback():反馈
    sys = feedback(sys1,sys2)
    在这里插入图片描述
    rlocus(): 求根轨迹
    rlocus(sys):绘制根轨迹图
    r = rlocus(sys,k):指定增益,返回r为与k对应的根轨迹点
    [r,k] = rlocus(sys):同上,但系统会自动选择根轨迹向量。

    Sgrid():绘制等ξ,ω网格线
    sgrid(z,wn)
    z为阻尼比,wn为无阻尼自然频率

    rlocfind():求根轨迹上指定点
    [k,p]=rlocfind(sys)
    K为增益,p为极点坐标,需要用鼠标点击根轨迹上相应的点。同时也会返回被选极点的开环增益K和与之对应的所有其他闭环极点的值

    Zp2tf():零极点转化为传递函数
    [b,a] = zp2tf(z,p,k)
    输入零极点向量和增益,输出传递函数的分子分母向量:
    在这里插入图片描述
    Pzmap():求零极点分布
    pzmap(sys):在坐标轴上标出零极点
    [p,z] = pzmap(sys):返回系统sys的零点向量z和极点向量p

    bode(): 绘制bode图
    bode(sys):显示系统sys的bode图
    [mag,phase,wout] = bode(sys):返回幅值,相位以及对应的角频率w

    nyquist():绘制极坐标图
    nyquist(sys):显示系统的奈奎斯特图

    2.GUI笔记

    2.1控件
    1.静态文本(Static Text) 2.编辑框(Edit Text)控件
    3.列表框(Listbox)控件 4.滚动条(Slider)控件
    5.按钮(Push Button)控件 6.开关按钮(Toggle Button)控件
    7.单选按钮(Radio Button)控件 8.按钮组(Button Group)控件
    9.检查框(Check Box)控件 10.列表框(Listbox)控件
    11.弹出式菜单(Popup Menu)控件 12.坐标轴(Axes)控件
    13.面板(Panel)控件

    每一个控件都有自己的属性常规属性有:
    控件风格和外观
    (1)BackgroundColor:设置控件背景颜色,使用[R G B]或颜色定义。
    (2)CData:在控件上显示的真彩色图像,使用矩阵表示。
    (3)ForegroundColor:文本颜色。
    (4)String属性:控件上的文本,以及列表框和弹出菜单的选项。
    (5)Visible:控件是否可见。

    对象的常规信息
    (1)Enable属性: 表示此控件的使能状态,设置为on”,表示可选,为“off”时则表示不可选。
    (2)Style:控件对象类型。
    (3)Tag:控件表示(用户定义)。
    (4)TooltipString属性:提示信息显示。当鼠标指针位于此控件上时,显示提示信息。
    (5)UserData:用户指定数据。
    (6)Position:控件对象的尺寸和位置。
    (7)Units:设置控件的位置及大小的单位
    (8)有关字体的属性,如 FontAngle, FontName等。

    控件回调函数的执行
    (1)BusyAction:处理回调函数的中断。有两种选项:即Cancel:取消中断事件,queue:排队(默认设置)。
    (2)ButtonDownFcn属性:按钮按下时的处理函数。
    (3)CallBack属性:是连接程序界面整个程序系统的实质性功能的纽带。该属性值应该为一个可以直接求值的字符串,在该对象被选中和改变时,系统将自动地对字符串进行求值。
    (4)CreateFcn:在对象产生过程中执行的回调函数。
    (5)DeleteFcn:删除对象过程中执行的回调函数。
    (6)Interruptible属性:指定当前的回调函数在执行时是否允许中断,去执行其他的函数。

    控件当前状态信息
    (1)ListboxTop:在列表框中显示的最顶层的字符串的索引。
    (2)Max:最大值。
    (3)Min:最小值。
    (4)Value:控件的当前值。你可以使用属性编辑器来设置属性
    2.2 回调函数 :CallBack

    每个控件都有几种回调函数,右键选中的控件一般会有如下菜单:
    然后就可以跳转到相应的 Editor中编辑代码,GUIDE会自动生成 相应的函数体,函数名,名称一般是 控件 Tag+ Call类型名 参数有三个 ( hObject, eventdata, handles)

    其中 hObject 为发生事件的源控件,eventdata为事件数据结构,handles为传入的对象句柄
    CreateFcn 是在控件对象创建的时候发生(一般为初始化样式,颜色,初始值等)
    DeleteFcn 实在空间对象被清除的时候发生
    ButtonDownFcn和KeyPressFcn分别为鼠标点击和按键事件Callback
    CallBack为一般回调函数,因不同的控件而已异。例如按钮被按下时发生,下拉框改变值时发生,sliderbar 拖动时发生等等。

    2.3 绘图
    1.figure函数:创建一个新的图形对象。
    2.newplot函数:做好开始画新图形对象的准备。
    3.axes函数:创建坐标轴图形对象。
    4.line函数:画线。
    5.patch函数:填充多边形。
    6.surface函数:绘制三维曲面。
    7.image函数:显示图片对象。
    8.uicontrol函数:生成用户控制图形对象。
    9.uimenu函数:生成图形窗口的菜单中层次菜单与下一级子菜单。
    几个实用的小函数:
    uigetfile 选择文件对话框
    uiputfile 保存文件对话框
    uisetcolor 设置颜色对话框
    fontsetcolor 设置字体对话框
    msgbox 消息框
    warndlg 警告框
    helpdlg 消息框

    打开新窗口
    首先创建一个计算窗口界面test2.flg,和父窗口放在同一个文件夹下
    在.m文件中的计算按钮函数里添加语句:
    open(‘test2.fig’)
    h = guihandles;%为新定义的窗口设置句柄变量h
    set(h.text,‘string’,结果变量名)%text为输出控件名
    不过如果要让父窗口不可用,你需要使用uiwait来定焦于用户对话框。
    例如:
    h=helpdlg(‘Please press me!’,‘Attention’);
    uiwait(h);

    在某一坐标轴上作图
    h=guihandles;
    axes(h.axes1);
    plot(y);
    注意,每次在旧的坐标轴上画新图的时候,务必清除坐标轴,否则会显示找不到axes

    2.4 获取与设置对象属性
    常用函数:
    gcf函数:获得当前图形窗口的句柄
    gca函数:获得当前坐标轴的句柄
    gco函数:获得当前对象的句柄
    gcbo函数:获得当前正在执行调用的对象的句柄
    gcbf函数:获取包括正在执行调用的对象的图形句柄
    delete函数:删除句柄所对应的图形对象
    findobj函数:查找具有某种属性的图形对象
    设置方法:
    (1)get函数返回某些对象属性的当前值。例如:
    p=get(obj,‘Position’);
    (2)函数set改变句柄图形对象属性,例如:
    set(obj,‘Position’,vect);

    2.5 部分函数笔记
    部分字符串处理函数:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    v = get(h,propertyName)
    h. v is a structure whose field names are the property names
    propertyName, returns the value for the specific property, eg: ‘Color’ ‘LineWidth’ ‘string’…
    set(H,Name,Value)
    specifies a value for the property Name on the object identified by H.
    字符串类型:Char 和 String
    假如str为char,则可用str(1),str(2)等来求字符串元素,下标从0开始。String同理。

    从一串带空格的字符串里分离出数字:(如输入 12 23 45)

     t='';
        str1=get(handles.edit1,'String');
        n=length(str1);
        j=1;
        num=strings;%字符串数组
        for i=1:n
            if(str1(i)~=' ')
                t=strcat(t,str1(i));
            else
                num(j)=t;
                j=j+1;
                t='';
            end
        end
    

    从输入框里获取矩阵:

    matrix=str2num(get(handles.edit,'string'));
    

    3.GUI程序

    3.1求单位阶跃响应及稳态误差

    一、题目及要求:
    1、由用户输入被控系统的模型(含传递函数模型和状态空间模型);
    2、根据闭环系统单位阶跃响应计算系统的超调量、峰值时间和调整时间,并输出显示计算结果;
    3、计算闭环系统的稳态误差并输出显示计算结果;
    4、输出并显示闭环系统的单位阶跃响应曲线。

    二、运行结果

    输入开环传递函数:
    输入系统函数

    输出
    输入状态空间模型:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    三、代码

    求开环函数性能的代码:

    function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
    
    t='';
    h1=guihandles;
    str1=get(h1.edit1,'String');
    str2=get(h1.edit2,'String');
    n=length(str1);
    m=length(str2);
    j=1;
    
    num=[];%分子
    den=[];%分母
    for i=1:n
        if(str1(i)~=' ')
            t=strcat(t,str1(i));
        else
            num(j)=str2double(t);
            j=j+1;
            t='';
        end
        if(i==n)
          num(j)=str2double(t);  
        end
    end
    t='';
    j=1;
    for i=1:m
        if(str2(i)~=' ')
            t=strcat(t,str2(i));
        else
            den(j)=str2double(t);
            j=j+1;
            t='';
        end
        if(i==m)
          den(j)=str2double(t);  
        end
    end
    
    
    GkS=tf(num,den)%开环函数
    GS=GkS/(1+GkS)%闭环函数,默认单位反馈
    [y1 t]=step(GS);%单位阶跃响应
    
    mp=max(y1);
    %峰值时间
    tp=find(y1==mp)
    cs=length(t);
    %稳态值
    yss=y1(cs)
    %超调量
    ct=(mp - yss)/yss
    %调整时间
    s=cs;
    while y1(s)>0.98*yss&y1(s)<1.02*yss
        s=s-1;
    end;
    ts=s
    
    open('output.fig');
    h2=guihandles;
    set(h2.edit1,'string',string(ct));
    set(h2.edit2,'string',string(tp));
    set(h2.edit3,'string',string(cs));
    plot(h2.axes1,y1);title('单位阶跃响应');xlabel('t/s');ylabel('y(t)');
    
    %稳态误差
    I=0;%系统类型
    K_p=dcgain(GkS);
    num1=num;
    num1(length(num)+1)=0;
    sGkS=tf(num1,den);
    K_v=dcgain(sGkS);
    num2=num1;
    num2(length(num1)+1)=0;
    s2GkS=tf(num2,den);
    K_a=dcgain(s2GkS);
    if(K_p~=0&&K_p~=inf)
        I=0;
        e_sr=1/(1+K_p);%单位阶跃输入时
    elseif(K_v~=0&&K_v~=inf)
            I=1;
            e_sr=1/K_v;
    elseif(K_a~=0&&K_a~=inf)
                I=2;
                e_sr=1/K_a;
    else  
         
    end
     set(h2.edit4,'string',string(I));
     set(h2.edit5,'string',string(e_sr));
    
    

    状态空间模型输入:

    h1=guihandles;
    A=str2num(get(h1.edit3,'string'));
    B=str2num(get(h1.edit4,'string'));
    C=str2num(get(h1.edit6,'string'));
    D=str2num(get(h1.edit5,'string'));
    [num den]=ss2tf(A,B,C,D);
    
    GkS=tf(num,den)%系统函数
    %%%%%%%%%%%%%%后面省略,因转化为系统函数了,后面操作和上面程序相同
    
    

    3.2根轨迹综合

    一、题目及要求:
    在这里插入图片描述
    二、运行结果

    主界面,输入开环传递函数与根轨迹综合指标
    在这里插入图片描述
    显示单位阶跃响应
    在这里插入图片描述
    输入性能指标,进入综合界面
    在这里插入图片描述
    超前校正
    在这里插入图片描述
    迟后校正
    在这里插入图片描述
    校正后阶跃响应
    在这里插入图片描述
    三、代码

    显示单位阶跃响应代码:

    function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
    
    global h1;
    h1=guihandles;
    t='';
    str1=get(h1.edit1,'String');
    str2=get(h1.edit2,'String');
    n=length(str1);
    m=length(str2);
    j=1;
    
    num=[];%分子
    den=[];%分母
    for i=1:n
        if(str1(i)~=' ')
            t=strcat(t,str1(i));
        else
            num(j)=str2double(t);
            j=j+1;
            t='';
        end
        if(i==n)
          num(j)=str2double(t);  
        end
    end
    t='';
    j=1;
    for i=1:m
        if(str2(i)~=' ')
            t=strcat(t,str2(i));
        else
            den(j)=str2double(t);
            j=j+1;
            t='';
        end
        if(i==m)
          den(j)=str2double(t);  
        end
    end
    
    global GkS GkS_original;
    GkS=tf(num,den)%开环函数
    GkS_original=GkS;
    GS=feedback(GkS,1)%闭环函数,默认单位反馈
    [y1 t]=step(GS);%单位阶跃响应
    
    
    open('output.fig');
    h2=guihandles;
    plot(h2.axes1,t,y1);title('单位阶跃响应');xlabel('t/s');ylabel('y(t)');
    
    mp=max(y1);
    %峰值时间
    tp=t(find(y1==mp));%注意:step返回的t为时间序列,但间隔并不为1s,find只是找到时间序列中的位置,并非时间本身
    % cs=length(t);%此算法错误,t序列长度并非t本身
    % yss=y1(cs)%稳态值
    y_dc=dcgain(GS);
    %超调量
    ct=(mp - y_dc)/y_dc;
    ct=ct*100;
    %调整时间
    i=length(t);
    while y1(i)>0.95*y_dc&y1(i)<1.05*y_dc
        i=i-1;
    end;
    ts=t(i);
    
    set(h2.edit1,'string',string(ct));
    set(h2.edit2,'string',string(tp));
    set(h2.edit3,'string',string(ts));
    
    %稳态误差
    I=0;%系统类型
    K_p=dcgain(GkS);
    num1=num;
    num1(length(num)+1)=0;
    sGkS=tf(num1,den);
    K_v=dcgain(sGkS);
    num2=num1;
    num2(length(num1)+1)=0;
    s2GkS=tf(num2,den);
    K_a=dcgain(s2GkS);
    if(K_p~=0&&K_p~=inf)
        I=0;
        e_sr=1/(1+K_p);%单位阶跃输入时
    elseif(K_v~=0&&K_v~=inf)
            I=1;
            e_sr=1/K_v;
    elseif(K_a~=0&&K_a~=inf)
                I=2;
                e_sr=1/K_a;
    else  
         
    end
     set(h2.edit4,'string',string(I));
     set(h2.edit5,'string',string(e_sr));
    
    

    显示根轨迹图的代码

    function pushbutton4_Callback(hObject, eventdata, handles)
    
    h1=guihandles;
    global GkS GkS_original p z p1 p2;
    
    k_need=str2num(get(h1.edit7,'String'));
    sigma_need=str2num(get(h1.edit8,'String'));
    kesai_need=log(1/sigma_need)/(pi^2+(log(1/sigma_need))^2)^0.5;
    kesai_need=kesai_need+0.15;%留裕量
    ts_need=str2num(get(h1.edit9,'String'));
    wn_need=3/(kesai_need*ts_need);
    wn_need=wn_need+0.5;%留裕量
    
    p1=-kesai_need*wn_need+i*wn_need*(1-kesai_need^2)^0.5;
    p2=-kesai_need*wn_need-i*wn_need*(1-kesai_need^2)^0.5;%主导极点
    
    global Gc_d Gc_i;
    Gc_d=1;%控制器初始化
    Gc_i=1;
    GkS=GkS_original;
    
    open('rlocus1.fig');
    h3=guihandles;
    set(h3.edit13,'string',string(k_need));
    axes(h3.axes1);
    plot(p1,'square','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r');hold on
    plot(p2,'square','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r');hold on;%主导极点设为红色
    [p,z]=pzmap(GkS);
    rlocus(GkS);
    sgrid(0.707,10);
    
    

    在根轨迹图上显示点的详细信息

    function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
    
    global GkS;
    close (figure(1));
    h3=guihandles;
    
    [k,p]=rlocfind(GkS);
    
    set(h3.edit1,'string',string(k));
    set(h3.edit2,'string',string(p(1)));
    set(h3.edit7,'string',string(p(2)));
    GkS_2=k*GkS;
    GS=feedback(GkS_2,1);%闭环函数,默认单位反馈
    [y1 t]=step(GS);%单位阶跃响应
    figure(1)
    plot(t,y1);title('单位阶跃响应');xlabel('t/s');ylabel('y(t)');
    mp=max(y1);
    %稳态值
    y_dc=dcgain(GS);
    if(abs(y_dc-mp)>0.01)%判断是否为过阻尼状态
    %峰值时间
    tp=t(find(y1==mp));
    %超调量
    ct=(mp - y_dc)/y_dc;
    ct=ct*100;
    else
        tp=0;
        ct=0;
    end
    
    %调整时间
    i=length(t);
    while y1(i)>0.95*y_dc&y1(i)<1.05*y_dc
        i=i-1;
    end;
    ts=t(i);
    
    
    set(h3.edit3,'string',string(ct));
    set(h3.edit4,'string',string(ts));
    set(h3.edit5,'string',string(tp));
    %稳态误差
    I=0;%系统类型
    K_p=dcgain(GkS_2);
    num1=GkS_2.num{1};
    den=GkS_2.den{1};
    num1(length(num1)+1)=0;
    sGkS=tf(num1,den);
    K_v=dcgain(sGkS);
    num2=num1;
    num2(length(num1)+1)=0;
    s2GkS=tf(num2,den);
    K_a=dcgain(s2GkS);
    if(K_p~=0&&K_p~=inf)
        Kout=K_p;
        I=0;
        e_sr=1/(1+K_p);%单位阶跃输入时
    elseif(K_v~=0&&K_v~=inf)
            Kout=K_v;
            I=1;
            e_sr=1/K_v;
    elseif(K_a~=0&&K_a~=inf)
                Kout=K_a;
                I=2;
                e_sr=1/K_a;
    else  
         
    end
     set(h3.edit8,'string',string(I));
     set(h3.edit17,'string',string(K_p));
     set(h3.edit15,'string',string(K_v));
     set(h3.edit16,'string',string(K_a));
     set(h3.edit6,'string',string(e_sr));
     set(h3.edit14,'string',string(Kout));
    
    

    超前校正代码

    function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles)
    
    h3=guihandles;
    global p1 p2 Gc_d GkS GkS_original Gc_i;
    pd=str2num(get(h3.edit10,'String'));
    zd=str2num(get(h3.edit9,'String'));
    Gc_d=tf([1 -zd],[1 -pd]);
    GkS=GkS_original*Gc_d*Gc_i;
    
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%不可取,因为只是通过零极点得到的开环传递函数,不是串联校正
    %global p z
    % p_1=p;
    % length_p=length(p);
    % p_1(length_p+1)=pd;
    % z_1=z;
    % length_z=length(z);
    % z_1(length_z+1)=zd;
    % [num,den]=zp2tf(z_1,p_1,1);
    % GkS_d=tf(num,den);
    
    cla
    plot(p1,'square','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r');hold on
    plot(p2,'square','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r');hold on
    rlocus(GkS);
    
    

    超前校正中:幅角条件算法

    function edit9_Callback(hObject, eventdata, handles)
    global z p p1;
    h3=guihandles;
    zd=str2num(get(h3.edit9,'String'));
    %%%%%%%%%%%通过幅角条件算极点位置
    angle_p=0;
    angle_z=0;
    for i=1:length(p)
        angle_p=angle_p+rad2deg(angle(p1-p(i)));
    end
    for i=1:length(z)
        angle_z=angle_z+rad2deg(angle(p1-z(i)));
    end
    angle_z=angle_z+rad2deg(angle(p1-zd));%超前控制零点的幅角
    % angle_p=angle_p+rad2deg(angle(p1-pd));
    
    angle_zd=angle_z-angle_p+180;
    if(angle_zd>3&&angle_zd<90)
    x_zd=real(p1)-imag(p1)/tan(deg2rad(angle_zd));
    set(h3.edit18,'string',string(x_zd));
    else
        set(h3.edit18,'string',string('ERROR'));
    end
    
    

    迟后校正代码

    function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles)
    
    h3=guihandles;
    global p1 p2 Gc_d Gc_i GkS GkS_original Kout;
    pi=str2num(get(h3.edit12,'String'));
    zi=str2num(get(h3.edit11,'String'));
    Gc_i=tf([1 -zi],[1 -pi]);
    GkS=GkS_original*Gc_d*Gc_i;
    cla
    plot(p1,'square','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r');hold on
    plot(p2,'square','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r');hold on
    rlocus(GkS);
    
    

    迟后校正:求偶极子

    function edit11_Callback(hObject, eventdata, handles)
    global k_need Kout;
    h3=guihandles;
    zi=str2num(get(h3.edit11,'String'));
    ratio=k_need./Kout;
    pi=zi/ratio;
    if(pi<0)
    set(h3.edit19,'string',string(pi));
    else
        set(h3.edit19,'string',string('ERROR'));
    end
    
    

    3.3频率响应综合

    一、题目及要求:
    在这里插入图片描述
    二、运行结果

    输入开环传递函数

    未综合系统的单位阶跃响应
    在这里插入图片描述
    输入稳态和暂态指标
    在这里插入图片描述
    输入参数显示bode图
    在这里插入图片描述
    调整后系统的单位阶跃响应
    在这里插入图片描述
    三、代码

    计算相位裕量,频带宽度以及显示bode图

    function pushbutton6_Callback(hObject, eventdata, handles)
    global GkS k_need sigma_need ts_need phym;
    h1=guihandles;
    k_need=str2num(get(h1.edit7,'String'));
    sigma_need=str2num(get(h1.edit8,'String'));
    ts_need=str2num(get(h1.edit9,'String'));
    kesai_need=log(1/sigma_need)/(pi^2+(log(1/sigma_need))^2)^0.5;
    wn_need=3/(kesai_need*ts_need);
    %%%求相位裕量
    r = atan(2*kesai_need/(sqrt(sqrt(1+kesai_need^4)-2*kesai_need*kesai_need)));
    phym=rad2deg(r);
    %求频带宽度
    wbw = wn_need*sqrt((1-2*kesai_need*kesai_need)+sqrt(4*kesai_need^4-4*kesai_need^2+2)); 
    open('frequency.fig');
    h4=guihandles;
    axes(h4.axes2);
    GS=feedback(GkS,1);
    bode(GkS);grid;
    set(h4.edit3,'string',string(k_need));
    set(h4.edit2,'string',string(phym));
    set(h4.edit1,'string',string(wbw));
    
    

    超前滞后补偿器的计算

    function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles)
    global GkS GkS_original phym Gc Gd;
    h4=guihandles;
    wc=str2num(get(h4.edit12,'string'));%幅穿频率
    x=str2num(get(h4.edit13,'string'));%安全裕量
    [ mag,phase ] = bode( GkS,wc );%在幅穿频率处的相位
    phase = phase +180;
    phy = deg2rad( phym - phase + x ); %超前补偿器需要提供的超前相位,角度转换为弧度制
    B = ( 1-sin( phy ))/( 1+sin( phy ) ); % β
    T1 = 1/(wc*sqrt( B )); %超前补偿器低段转折频率
    Gc = tf( 1,B )*tf( [1,1/T1],[ 1,1/(B*T1) ] ); %超前补偿器传递函数
    
    w2 = wc/10; %滞后补偿器高段转折频率
    Gd = tf( B,1 )*tf( [1,w2],[ 1,B*w2 ] ); %滞后补偿器传递函数
    GkS = GkS*Gd*Gc; %超前-滞后综合
    cla
    bode(GkS);grid;
    
    

    增益补偿

    function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
    
    global GkS I K_p K_v K_a k_need GkS_original;
    h4=guihandles;
    if(I==0)
        K=K_p;
    elseif(I==1)
        K=K_v;
    elseif(I==2)
        K=K_a;
    else
    end
    k_need=str2num(get(h4.edit3,'string'));
    k_add=k_need/K;
    GkS=tf(k_add,1)*GkS;
    cla
    bode(GkS);grid;
    
    

    显示单位阶跃响应,bode图参数以及补偿器参数

    function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles)
    
    global GkS;
    h4=guihandles;
    GS=feedback(GkS,1)%闭环函数,默认单位反馈
    [y1 t]=step(GS);%单位阶跃响应
    
    open('output.fig');
    h2=guihandles;
    plot(h2.axes1,t,y1);title('单位阶跃响应');xlabel('t/s');ylabel('y(t)');
    %%%%%%%%%%%%%判断系统稳定性
    [p z]=pzmap(GS);
    for i=1:length(p)
        if(p(i)>0)
            warndlg('系统不稳定','ERROR');
            return
        end
    end
    mp=max(y1);
    %峰值时间
    tp=t(find(y1==mp));%注意:step返回的t为时间序列,但间隔并不为1s,find只是找到时间序列中的位置,并非时间本身
    y_dc=dcgain(GS);
    if(abs(y_dc-mp)>0.01)%判断是否为过阻尼状态
    %峰值时间
    tp=t(find(y1==mp));
    %超调量
    ct=(mp - y_dc)/y_dc;
    ct=ct*100;
    else
        tp=0;
        ct=0;
    end
    %调整时间
    i=length(t);
    while y1(i)>0.95*y_dc&y1(i)<1.05*y_dc
        i=i-1;
    end;
    ts=t(i);
    
    set(h2.edit1,'string',string(ct));
    set(h2.edit2,'string',string(tp));
    set(h2.edit3,'string',string(ts));
    
    %稳态误差
    I=0;%系统类型
    K_p=dcgain(GkS);
    num=GkS.num{1,1};%求GkS的分子和分母
    den=GkS.den{1,1};
    num1=num;
    num1(length(num)+1)=0;
    sGkS=tf(num1,den);
    K_v=dcgain(sGkS);
    num2=num1;
    num2(length(num1)+1)=0;
    s2GkS=tf(num2,den);
    K_a=dcgain(s2GkS);
    if(K_p~=0&&K_p~=inf)
        I=0;
        kk=K_p;
        e_sr=1/(1+K_p);%单位阶跃输入时
    elseif(K_v~=0&&K_v~=inf)
            I=1;
            kk=K_v;
            e_sr=1/K_v;
    elseif(K_a~=0&&K_a~=inf)
                I=2;
                kk=K_a;
                e_sr=1/K_a;
    else  
         
    end
     set(h2.edit4,'string',string(I));
     set(h2.edit5,'string',string(e_sr));
    set(h4.edit4,'string',string(kk));
    set(h4.edit6,'string',string(ct));
    set(h4.edit7,'string',string(ts));
    [gm,pm,wg,wc]=margin(GkS);
    set(h4.edit8,'string',string(pm));
    set(h4.edit9,'string',string(gm));
    set(h4.edit10,'string',string(wc));
    set(h4.edit11,'string',string(wg));
    
    global Gc Gd;
    num1=round(Gc.num{1,1},3);
    set(h4.edit14,'string',sprintf('%g  ',num1));
    den1=round(Gc.den{1,1},3);
    set(h4.edit15,'string',sprintf('%g  ',den1));
    num2=round(Gd.num{1,1},3);
    set(h4.edit16,'string',sprintf('%g  ',num2));
    den2=round(Gd.den{1,1},3);
    set(h4.edit17,'string',sprintf('%g  ',den2));
    
    

    3.4极点配置

    一、题目及要求:
    在这里插入图片描述
    二、运行结果

    输入状态空间模型
    在这里插入图片描述
    显示单位阶跃响应
    在这里插入图片描述
    输入配置极点
    在这里插入图片描述
    配置极点后的单位阶跃响应
    在这里插入图片描述
    三、代码
    显示状态反馈向量:(要求不能用place函数,这里用Ackermann公式求解)

    function edit18_Callback(hObject, eventdata, handles)
    global A B A_SF;
    h1=guihandles;
    lambda=str2num(get(h1.edit18,'string'));
    lambda_need=charpoly(diag(lambda));
    % n=rank(A);%A有可能不满秩,最好用length
    n=length(A);
    if(rank(ctrb(A,B))~=length(A))
        warndlg('ERROR','系统不完全能控');
        return
    end
    Q_c=ctrb(A,B);
    Q_ct=inv(Q_c);
    q_t=Q_ct(n,:);
    k=eye(n)*lambda_need(n+1);
     for i=1:n
     k=k+A^i*lambda_need(n+1-i);
     end
     k=q_t*k;
     k=round(k,3);
     A_SF=A-B*k;
    set(h1.edit19,'string',sprintf('%g  ',k));
    

    总结

    通过matlab编程,对自动控制原理有了更深刻的了解,也锻炼了编程能力。
    继续加油。

    展开全文
  • 北京工业大学 自动控制笔记自控笔记(WORD版) 一、 自动控制理论的分析方法: (1)时域分析法; (2)频率法; (3)根轨迹法; (4)状态空间方法; (5)离散系统分析方法; (6)非线性分析方法 二、系统的数学...
  • 自动控制原理笔记,从头到尾,应该还行的
  • 自动控制原理上课笔记(不定期更新)

    千次阅读 多人点赞 2020-07-23 08:32:48
    根据上课 ppt 做的自动控制原理笔记

    前言

    根据上课 ppt 做的笔记,不定期更新。主要涉及系统的时域和频域分析。

    文章比较长可作平时查阅使用,如果需要笔记的 pdf 电子文档请在评论区留下电子邮箱。

    自动控制的一般概念

    自动控制指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置(称控制装置或控制器),使机器、设备或生产过程(统称被控对象(plant))的某个工作状态或参数(即被控量)自动地按照预定的规律运行。


    以反馈控制原理为基础,以传递函数为工具,主要研究单输入、单输出反馈控制系统的理论问题,又常称为反馈控制理论。

    其控制又分为:

    • 开环控制
    • 反馈/闭环控制
    • 复合控制

    经典控制理论和现代控制理论的区别

    研究对象数学工具常用分析方法局限性
    经典控制理论单输入-单输出、线性定常系统微分方程、传递函数时域分析法、频域分析法、根轨迹分析法对复杂多变量系统、时变和非线性系统无能为力
    现代控制理论多输入-多输出变系数、非线性等系统线性代数、矩阵理论状态空间法比较繁琐(但由于计算机技术的迅速发展,这一局限性已克服)

    自动控制的基本原理与方式

    反馈:把取出输出量送回输入端,并与输入信号相比较偏差信号的过程(正反馈与负反馈)。

    反馈控制(闭环控制):能够在存在扰动和不确定因素的情况下,力图减小系统的输出量与参考输入量(也称参据量)之间的偏差的控制

    自动控制系统的工作原理

    1. 当被控量偏离给定值的要求时(一是给定值变化;二是给定值不变而由干扰作用引起被控量变化)。
    2. 测量元件测得被控量的大小,经变换后由比较元件将其与给定值比较得出偏差。
    3. 根据偏差的大小,经放大、调节、执行等元件后,产生控制作用;偏差大,控制作用大;反之亦然。
    4. 控制作用使被控量回复到或趋近于要求值,从而使偏差消除或减小。

    典型反馈(闭环)控制系统的系统框图

    在这里插入图片描述


    例如:人取桌上书的过程。

    控制目标(要求):人用手取到书

    通过输入信号(理想书位置)和观测信号(看到的书位置)的偏差控制被控对象(手)使输出量(实际书位置)达到设定值(理想书位置)。

    在这里插入图片描述


    自动控制系统基本控制方式

    • 开环控制方式

      • 按给定量(输入)控制

        缺点:对可能出现的被控量偏离给定值的偏差没有任何修正能力,抗干扰能力差,控制精度不高。

        在这里插入图片描述

      • 按扰动(顺馈)控制

        定义:利用干扰信号产生控制作用,以及时补偿干扰对被控量的直接影响。

        缺点:只能对可测干扰进行补偿,对不可测干扰以及受控对象、各功能部件内部参数变化对被控量的影响,系统自身无法控制。

        在这里插入图片描述

    • 反馈/闭环控制方式

      • 基于偏差的控制

        定义:通过计算被控量和给定值的差值来控制被控对象

        特点:只要扰动和不确定因素的作用点被反馈所包围,无论扰动和不确定因素是什么形式、已知或未知的,均可有效地加以抑制。

        缺点:闭环控制系统的参数如果匹配得不好,会造成被控量的较大摆动,甚至系统无法正常工作。

        在这里插入图片描述

    • 复合控制方式

      在这里插入图片描述

    对自动控制系统的基本要求

    自动控制系统满足的标准或性能

    • 抑制扰动
    • 稳态误差
    • 瞬态(动态)特性
    • 对系统参数变化的灵敏度

    线性系统满足叠加原理和齐次性(均匀性)

    线性系统的数学描述:线性函数,如线性微分方程、线性差分方程、线性代数方程


    在理想情况下,自控系统的被控量和给定值,在任何时候相等,没有误差,也不受干扰的影响,即 c ( t ) ≡ r ( t ) c(t){\equiv}r(t) c(t)r(t)

    一般来说整个调节过程分为两个阶段:

    1. 动/暂态过程:反映系统的动态特性(输出量处于激烈变化之中)。
    2. 稳态过程:反映系统的稳态特性(输出量稳定在新的平衡状态并保持不变)。

    系统的稳定性表现为时域响应的收敛性

    稳定:设线性定常系统处于一平衡状态,若此系统在干扰作用下离开了原来的平衡状态,那么在干扰作用消失后,系统能否回到原来的平衡状态,这就是系统的稳定性问题。


    工程上常用稳、快、准三个字来表达控制系统的要求

    • :指系统重新恢复平衡工作状态的能力(稳定性)和动态过程的振荡倾向(平稳性)。
    • :指动态过程进行的时间长短(快速性)。
    • :指系统过渡到新的平衡状态后或系统受扰重新恢复平衡之后(过渡过程结束),系统所保持的精度(准确性)。

    总的来说,对反馈控制系统的要求:首先系统必须是稳定,其次希望实际的调节过程尽可能接近于理想的调节过程,考虑到动态过程在不同阶段中的特点,工程上常常从动态(稳、快)和静态(准)提出稳、快、准三个基本性能指标(要求)。

    控制系统的数学模型

    数学模型

    • 静态模型:代数方程在静态条件下(即变量各阶导数为零),描述变量之间关系的代数方程。
    • 动态模型:微分方程、差分方程、状态方程等。

    控制系统属于动态系统

    • 描述连续系统运动输入输出关系的为微分方程
    • 描述离散系统运动输入输出关系的为差分方程
    • 描述输入、输出和内部各变量间关系的为状态方程
    范围描述
    时域微分方程(差分方程)
    复数域传递函数(脉冲传递函数)
    频域频率特性

    微分方程

    列写元件微分方程的步骤可归纳如下:

    1. 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其输入量和输出量。
    2. 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相应的微分方程。
    3. 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方程,便是元件时域的数学模型。一般情况下,应将微分方程写为标准形式,即与输入量有关的项写在方程的右端,与输出量有关的项写在方程的左端方程两端变量的导数项均按降幂排列

    • 建立控制系统的微分方程时

      一般先由系统原理线路图画出系统方块图,并分别列写组成系统各元件的微分方程;然后,消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。

    • 列写系统各元件的微分方程时

      • 应注意信号传送的单向性,即前一个元件的输出是后一个元件的输入,一级一级地单向传送。
      • 应注意前后连接的两个元件中,后级对前级的负载效应

    微分方程的解 = 齐次微分方程的通解 + 非齐次微分方程的任一特解

    用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程可归结如下:

    • 考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换,将变量 t (时域)的微分方程转换为变量 s (复域)的代数方程。
    • 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式。
    • 对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换,得到输出量时域表达式,即为所求微分方程的解。

    在这里插入图片描述

    小偏差法

    将非线性微分方程线性化——小偏差法

    • 实际工作点在某一平衡点 (x0, y0) 附近

    • 非线性 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 连续可导

    • x x x 在一个很小的范围内变化, Δ x \Delta{x} Δx 很小(小偏差)

    • 可列写线性化增量方程:

      Δ y = K Δ x \Delta{y}=K\Delta{x} Δy=KΔx K = d f ( x ) d x ∣ x = x 0 K=\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0} K=dxdf(x)x=x0

    传递函数

    线性定常系统传递函数的定义:零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

    • 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数,具有复变函数的所有性质。

    • 传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息

    • 传递函数与微分方程具有相通性

      • 传递函数分子多项式系数及分母多项式系数,分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。
      • 将微分方程的算符 d d t \frac{d}{dt} dtd 用复数 s 置换便得到传递函数;反之,将传递函数多项式中的变量s用算符 d d t \frac{d}{dt} dtd 置换便得到微分方程。

    传递函数是在零初始条件下定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义:

    • 指输入量是在 t ≥ 0 时才作用于系统,因此,输入量及其各阶导数在 t = 0 时均为零。

    • 指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态,即输出量及其各阶导数在 t = 0 时的值也为零,现实的工程控制系统多属此类情况。因此,传递函数可表征控制系统的动态性能,并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应,即由拉氏变换的卷积定理,有:
      c ( t ) = L − 1 [ C ( s ) ] = L − 1 [ G ( s ) R ( s ) ] = ∫ 0 t r ( τ ) g ( t − τ ) d τ = ∫ 0 t r ( t − τ ) g ( τ ) d τ c(t)=L^{-1}[C(s)]=L^{-1}[G(s)R(s)]=\int_{0}^{t}r(\tau)g(t-\tau)d\tau =\int_{0}^{t}r(t-\tau)g(\tau)d\tau c(t)=L1[C(s)]=L1[G(s)R(s)]=0tr(τ)g(tτ)dτ=0tr(tτ)g(τ)dτ

      式中, g ( t ) = L − 1 [ G ( s ) ] g(t)=L^{-1}[G(s)] g(t)=L1[G(s)] 是系统的脉冲响应。

    • 传递函数 G ( s ) G(s) G(s) 的拉氏反变换是脉冲响应 g ( t ) g(t) g(t)

    • 脉冲响应(也称脉冲过渡函数) g ( t ) g(t) g(t) 是系统在单位脉冲 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 输入时的输出响应


    传递函数的表达形式

    • 一般表达形式
      G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = b 0 s m + b 1 s m − 1 + . . . + b m − 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n − 1 + . . . + a n − 1 s + a n = M ( s ) N ( s ) G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+...+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+...+a_{n-1}s+a_n}=\frac{M(s)}{N(s)} G(s)=R(s)C(s)=a0sn+a1sn1+...+an1s+anb0sm+b1sm1+...+bm1s+bm=N(s)M(s)

    • 零-极点表达形式——最高阶次项系数为1
      G ( s ) = b 0 ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) . . . ( s − z m ) a 0 ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) . . . ( s − p n ) = K ∗ ∏ i = 1 m ( s − z i ) ∏ j = 1 n ( s − p j ) G(s)=\frac{b_0(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{a_0(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}=K^*\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)} G(s)=a0(sp1)(sp2)...(spn)b0(sz1)(sz2)...(szm)=Kj=1n(spj)i=1m(szi)
      系数 K ∗ = b 0 / a 0 K^*=b_0/a_0 K=b0/a0 称为传递系数或根轨迹增益。这种用零点和极点表示传递函数的方法在根轨迹法中使用较多。

      在复数平面上表示传递函数的零点和极点的图形,称为传递函数的零极点分布图。在图中一般用 “o” 表示零点,用 “×” 表示极点。传递函数零极点分布图可以更形象地反映系统的全面特性。

    • 典型环节形式——常数项系数为1
      G ( s ) = b m ( τ 1 s + 1 ) ( τ 2 s + 1 ) . . . ( τ m s + 1 ) a n ( T 1 s + 1 ) ( T 2 s + 1 ) . . . ( T n s + 1 ) = K ∏ i = 1 m ( τ i s + 1 ) ∏ j = 1 n ( T j s + 1 ) G(s)=\frac{b_m(\tau_1s+1)(\tau_2s+1)...(\tau_ms+1)}{a_n(T_1s+1)(T_2s+1)...(T_ns+1)}=K\frac{\prod_{i=1}^{m}(\tau_is+1)}{\prod_{j=1}^{n}(T_js+1)} G(s)=an(T1s+1)(T2s+1)...(Tns+1)bm(τ1s+1)(τ2s+1)...(τms+1)=Kj=1n(Tjs+1)i=1m(τis+1)
      K K K 称传递系数或增益。传递函数这种表示形式在频率法中使用较多。


    传递函数的极点就是微分方程的特征根,极点/特征根决定了所描述系统自由运动(零输入响应)的模态

    传递函数的零点并不形成自由运动的模态,但它们却影响各模态响应中所占的比重(系数),因而也影响响应曲线的形状。

    系统产生的运动(响应)分为:

    • 强迫运动(零初始条件响应)。

    • 自由运动(零输入响应),是系统“固有”的成分。

    典型环节

    • 比例环节

    • 积分环节

    • 惯性环节(非周期环节)

    • 振荡环节
      G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = w n 2 s 2 + 2 ζ w n s + w n 2 = 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s + 1 G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{w_n}^2}{s^2+2\zeta{w_n}s+{w_n}^2 }=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s+1} G(s)=R(s)C(s)=s2+2ζwns+wn2wn2=T2s2+2ζTs+11

    • 微分环节

      • 理想微分环节(与积分环节对应)
      • 一阶微分环节(与惯性环节对应)
      • 二阶微分环节(与振荡环节对应)
    • 延迟环节

      • 时域表示 c ( t ) = r ( t − τ ) l ( t − τ ) c(t)=r(t-\tau)l(t-\tau) c(t)=r(tτ)l(tτ)
      • 复域表示 G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = e − τ s G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau{s}} G(s)=R(s)C(s)=eτs

    控制系统的结构图

    控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成

    它包含四种基本单元:

    • 信号线: 信号线是带有箭头的直线,箭头表示信号流向,在直线旁标记信号的时间函数或象函数。
    • 引出点(或测量点): 引出点表示信号引出或测量的位置,从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。
    • 比较点(或综合点): 比较点表示对两个以上的信号进行加减运算,+号表示相加,-号表示相减,+号可省不写
    • 方框(或环节): 方框表示对信号进行的数学变换,方框中写入元部件/系统传递函数;方框的输出变量等于方框的输入变量与传递函数的乘积,即 C(s) = G(s)U(s)。因此,方框可视作单向运算的算子

    系统结构图也是控制系统的一种数学模型。

    建议:第1个方程最好能包含输入,相加点,输出


    信号流图与结构图的关系

    • 节点表示系统的变量。
    • 支路相当于乘法器。

    信号流图的相关概念

    • 前向通路:信号从输入节点到输出节点传递时,每个节点只通过一次的通路,叫前向通路。
    • 前向通路总增益:前向通路上各支路增益之乘积,称前向通路总增益,一般用 p k p_k pk 表示。
    • 回路:起点和终点在同一节点,而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路。
    • 回路增益:回路中所有支路增益之乘积叫回路增益,用 L a L_a La 表示。
    • 不接触回路:回路与回路之间没有公共节点时,这种回路叫做不接触回路。可以有两个或两个以上不接触的回路。
    • 不接触回路增益 L b L c L_bL_c LbLc 为所有互不接触的单独回路中,每次取其中2个回路的回路增益的乘积; L d L e L f L_dL_eL_f LdLeLf为所有互不接触的单独回路中,每次取其中3个回路的回路增益的乘积。

    梅森增益公式

    求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为:
    P = 1 Δ ∑ k = 1 n p k Δ k P=\frac{1}{\Delta}\sum_{k=1}^{n}p_k\Delta_k P=Δ1k=1npkΔk

    • P P P 为从源节点到阱节点的传递函数(或总增益)。
    • n n n 为从源节点到阱节点的前向通路总数。
    • p k p_k pk 为从源节点到阱节点的第k条前向通路总增益。
    • Δ \Delta Δ 为流图特征式, Δ = 1 − ∑ L a + ∑ L b L c − ∑ L d L e L f + … \Delta=1-\sum{L_a}+\sum{L_bL_c}-\sum{L_dL_eL_f} +… Δ=1La+LbLcLdLeLf+
      • ∑ L a \sum{L_a} La 为所有单独回路增益之和。
      • ∑ L b L c \sum{L_bL_c} LbLc 为所有互不接触的单独回路中,每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和。
      • ∑ L d L e L f \sum{L_dL_eL_f} LdLeLf 为所有互不接触的单独回路中,每次取其中三个回路的回路增益的乘积之和。
    • Δ k \Delta_k Δk 为流图特征式的余因子式,它等于流图特征式 Δ \Delta Δ 中除去与第 k 条前向通路相接触的回路增益项(包括回路增益的乘积项)以后的余项式。

    • 为了研究有用输入作用对系统输出 C ( s ) C(s) C(s) 的影响,需要求有用输入作用下的闭环传递函数 C ( s ) / R ( s ) C(s)/R(s) C(s)/R(s)
    • 为了研究扰动作用 N ( s ) N(s) N(s) 对系统输出 C ( s ) C(s) C(s) 的影响,也需要求取扰动作用下的闭环传递函数 C ( s ) / N ( s ) C(s) / N(s) C(s)/N(s)
    • 此外,在控制系统的分析和设计中,还常用到在输入信号 R ( s ) R(s) R(s) 或扰动 N ( s ) N(s) N(s) 作用下,以误差信号 E ( s ) E(s) E(s) 作为输出量的闭环误差传递函数 E ( s ) / R ( s ) E(s)/R(s) E(s)/R(s) E ( s ) / N ( s ) E(s)/N(s) E(s)/N(s)

    在一定条件下,系统的输出只取决于反馈通路传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 及输入信号 R ( s ) R(s) R(s),既与前向通路传递函数无关,也不受扰动作用的影响。特别是当 H ( s ) = 1 H(s)=1 H(s)=1,即单位反馈时, C ( s ) ≈ R ( s ) C(s){\approx}R(s) C(s)R(s),从而近似实现了对输入信号的完全复现,且对扰动具有较强的抑制能力。

    绝不允许将各种闭环传递函数进行叠加后求其输出响应

    线性系统的时域分析法

    线性系统的稳定性分析

    线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性,而与外界条件无关。因此,设线性系统在初始条件为零时,作用一个理想单位脉冲,这时系统的输出增量为脉冲响应 c ( t ) c(t) c(t)。这相当于系统在扰动信号作用下,输出信号偏离原平衡工作点的问题。若 t → ∞ t\to\infty t时,脉冲响应:
    lim ⁡ t → ∞ c ( t ) = 0 \lim_{t\to\infty}c(t)=0 tlimc(t)=0
    即输出增量收敛于原平衡工作点,则线性系统是稳定的。


    根据李雅普诺夫稳定性理论,线性控制系统的稳定性可叙述如下:

    若线性控制系统在初始扰动的影响下,其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点),则称系统渐近稳定,简称稳定;反之,若在初始扰动影响下,系统的动态过程随时间的推移而发散,则称系统不稳定。


    线性系统稳定的充分必要条件:闭环系统特征方程的所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均严格位于左半 s 平面 。

    若特征根中具有一个或一个以上零实部根,而其余的特征根均具有负实部,则脉冲响应 c ( t ) c(t) c(t) 趋于常数,或趋于等幅正弦振荡,按照稳定性定义,此时系统不是渐近稳定的,处于稳定和不稳定的临界状态,常称为临界稳定情况


    在经典控制理论中,只有渐近稳定的系统才称为稳定系统;否则,称为不稳定系统

    线性系统稳定的充分且必要条件:劳思表中第一列各值为正。

    如果劳思表第一列中出现小于零的数值,系统不稳定,且第一列各系数符号的改变次数,代表特征方程的正实部根的数目

    线性系统的稳态误差计算

    • 控制系统的稳态误差,是系统控制准确度(控制精度)的一种度量,通常称为稳态性能指标。
    • 在控制系统设计中,稳态误差是一项重要的技术指标。
    • 对于一个实际的控制系统,由于系统结构、输入作用的类型(控制量或扰动量)、输入函数的形式(阶跃、斜坡或加速度)不同,控制系统的稳态输出不可能在任何情况下都与输入量一致,也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到原平衡位置。
    • 此外,控制系统中不可避免地存在摩擦、间隙、不灵敏区、零位输出等非线性因素,都会造成附加的稳态误差。
    • 可以说,控制系统的稳态误差是不可避免的,控制系统设计的任务之一,是尽量减小系统的稳态误差,或使稳态误差小于某一容许值。

    只有当系统稳定时,研究稳态误差才有意义


    把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统,称为无差系统。

    而把具有原理性稳态误差的系统,称为有差系统。

    非线性因素所引起的系统稳态误差,则称为附加稳态误差,或结构性稳态误差。


    相关概念

    • 稳态:时间 t 趋于无穷大时系统的输出状态。
    • 误差:系统实际输出与期望输出之差。
    • 稳态误差:对于稳定的系统,暂态响应随时间的增长而衰减,当衰减到可以忽略的程度时,则希望的稳态响应与实际的稳态响应之差称为稳态误差。稳态误差是系统达到稳态时,系统精度的度量。

    稳态误差定义
    e s s ( ∞ ) = lim ⁡ t → ∞ ε ( t ) = lim ⁡ t → ∞ ( c 0 ( t ) − c ( t ) ) e_{ss}(\infty)=\lim_{t\to\infty}\varepsilon(t)=\lim_{t\to\infty}(c_0(t)-c(t)) ess()=tlimε(t)=tlim(c0(t)c(t))
    因系统的输入可分为给定和扰动输入,所以稳态误差也可分为给定稳态误差和扰动稳态误差

    • 对于随动系统,给定的参考输入是变化的,要求输出严格跟随输入(给定)的变化,则其响应的希望值就是给定的参考输入值。所以,一般以系统的给定稳态误差去衡量随动系统的稳态性能。
    • 对于恒值调节系统,一般给定不变,主要考虑扰动的作用。所以,一般以扰动稳态误差去衡量恒值调节系统的稳态性能。

    • 误差:是从系统输出端来定义,它定义为系统输出量的希望值与实际值之差:
      ε ( s ) = C 0 ( s ) − C ( s ) \varepsilon(s)=C_0(s)-C(s) ε(s)=C0(s)C(s)

    • 偏差:是在系统输入端来定义,定义为系统给定量与反馈量之差:
      E ( s ) = R ( s ) − B ( s ) = H ( s ) ε ( s ) E(s)=R(s)-B(s)=H(s)\varepsilon(s) E(s)=R(s)B(s)=H(s)ε(s)

    偏差值与误差值的差别为H(s),对于单位反馈系统,偏差与误差的值是一样的。

    一般地用偏差代替误差:
    ε s s ( ∞ ) = e s s ( ∞ ) = lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ t → ∞ ( r ( t ) − b ( t ) ) \varepsilon_{ss}(\infty)=e_{ss}(\infty)=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{t\to\infty}(r(t)-b(t)) εss()=ess()=tlime(t)=tlim(r(t)b(t))

    • 在误差信号 e ( t ) e(t) e(t) 中,包含瞬态分量 e t s ( t ) e_{ts}(t) ets(t) 和稳态分量 e s s ( t ) e_{ss}(t) ess(t) 两部分。
    • 由于系统必须稳定,故当时间趋于无穷时,必有 e t s ( t ) e_{ts}(t) ets(t) 趋于零。
    • 因而,控制系统的稳态误差(终值)定义为:误差信号 e ( t ) e(t) e(t) 的稳态分量 e s s ( ∞ ) e_{ss}(\infty) ess(),常以 e s s e_{ss} ess 简单标志。

    如果有理函数 s E ( s ) sE(s) sE(s) 除在原点处有惟一的极点外,在 s 右半平面及虚轴上处处解析(即不存在极点),即 s E ( s ) sE(s) sE(s) 的极点均位于 s 左半平面(包括坐标原点),则可根据拉氏变换的终值定理,方便地求出系统的稳态误差:
    e s s ( ∞ ) = lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ s → 0 s E ( s ) e_{ss}(\infty)=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to0}sE(s) ess()=tlime(t)=s0limsE(s)
    上式算出的稳态误差是误差信号 e ( t ) e(t) e(t) 的稳态分量 e s s ( t ) e_{ss}(t) ess(t) 在 t 趋于无穷时的数值,故有时称为终值误差或稳态误差终值,它不能反映 e ( t ) e(t) e(t) 时间 t 的完整变化规律,具有一定的局限性

    当输入信号形式一定时,系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数描述的系统结构。

    在一般情况下,分子阶次为 m,分母阶次为 n 的开环传递函数 G k G_k Gk 可表示为:
    G ( s ) = G ( s ) H ( s ) = k ∏ i = 1 m ( τ i s + 1 ) s v ∏ j = 1 n ( T j s + 1 ) ( n ≥ m ) G(s)=G(s)H(s)=\frac{k\prod_{i=1}^{m}(\tau_is+1)}{s^v\prod_{j=1}^{n}(T_js+1)}(n\ge{m}) G(s)=G(s)H(s)=svj=1n(Tjs+1)ki=1m(τis+1)(nm)
    式中, K K K 为开环增益; τ i \tau_i τi T j T_j Tj 为时间常数; v v v 为开环系统在 s 平面坐标原点上的极点的重数。现在的分类方法是以 v v v的数值来划分的: v = 0 v= 0 v=0 ,称为0型系统; v = 1 v=1 v=1 ,称为 I 型系统; v = 2 v=2 v=2 ,称为 II 型系统。当 v > 2 v>2 v>2 时,除复合控制系统外,使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外,III 型及III型以上的系统几乎不采用。

    这种以开环系统在 s 平面坐标原点上的极点数来分类的方法,其优点在于:可以根据已知的输入信号形式迅速判断系统是否存在原理性稳态误差及稳态误差的大小。它与按系统的阶次进行分类的方法不同,阶次 m 与 n 的大小与系统的型别无关,且不影响稳态误差的数值。

    误差系数

    系统的静态位置误差系数 K p K_p Kp k p = lim ⁡ s → 0 G k ( s ) k_p=\lim_{s\to0}G_k(s) kp=lims0Gk(s)

    系统的静态速度误差系数 K v K_v Kv k v = lim ⁡ s → 0 s G k ( s ) k_v=\lim_{s\to0}sG_k(s) kv=lims0sGk(s)

    系统的静态加速度误差系数 K a K_a Ka k a = lim ⁡ s → 0 s 2 G k ( s ) k_a=\lim_{s\to0}s^2G_k(s) ka=lims0s2Gk(s)

    如果系统为非单位反馈系统,其 H ( s ) = K h H(s)=K_h H(s)Kh 为常数,那么系统输出量的希望值为 R ′ s ) = R ( s ) / K h R's)=R(s)/K_h Rs)=R(s)/Kh,系统输出端的稳态位置误差为: e s s ′ = e s s / K h e'_{ss}=e_{ss}/K_h ess=ess/Kh

    在这里插入图片描述


    给定稳态误差级数 (动态误差系数)

    利用动态误差系数法,可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差变化,因此动态误差系数又称广义误差系数。为了求取动态误差系数,写出稳态误差信号的拉氏变换式: E ( s ) = Φ e ( s ) R ( s ) E(s)=\Phi_e(s)R(s) E(s)=Φe(s)R(s)

    将误差传递函数在 Φ e ( s ) = 0 \Phi_e(s)=0 Φe(s)0 的邻域内展成泰勒级数,得:
    Φ e ( s ) = 1 1 + G ( s ) H ( s ) = Φ e ( 0 ) + Φ ˙ e ( 0 ) s + 1 2 ! Φ ¨ e ( 0 ) s 2 + ⋯ \Phi_e(s)=\frac{1}{1+G(s)H(s)}=\Phi_e(0)+\dot\Phi_e(0)s+\frac{1}{2!}\ddot\Phi_e(0)s^2+\cdots Φe(s)=1+G(s)H(s)1=Φe(0)+Φ˙e(0)s+2!1Φ¨e(0)s2+
    于是
    E ( s ) = Φ e ( 0 ) R ( s ) + Φ ˙ e ( 0 ) s R ( s ) + 1 2 ! Φ ¨ e ( 0 ) s 2 R ( s ) + ⋯ + 1 l ! Φ e ( l ) ( 0 ) s l R ( s ) + ⋯ E(s)=\Phi_e(0)R(s)+\dot\Phi_e(0)sR(s)+\frac{1}{2!}\ddot\Phi_e(0)s^2R(s)+\cdots+\frac{1}{l!}\Phi_e^{(l)}(0)s^lR(s)+\cdots E(s)=Φe(0)R(s)+Φ˙e(0)sR(s)+2!1Φ¨e(0)s2R(s)++l!1Φe(l)(0)slR(s)+
    上述无穷级数收敛于 s=0 的邻域,称为给定输入作用下的稳态误差级数,相当于在时间域内 t → ∞ t\to\infty t 时成立。因此,当所有初始条件均为零时,对上式进行拉氏反变换,就得到作为时间函数的稳态误差表达式:
    e s s ( t ) = ∑ i = 0 ∞ C i r ( i ) ( t ) C i = 1 i ! Φ e ( i ) ( 0 ) i = 0 , 1 , 2 , ⋯ e_{ss}(t)=\sum_{i=0}^{\infty}C_ir^{(i)}(t)\\ C_i=\frac{1}{i!}\Phi_e^{(i)}(0)\\ i=0,1,2,\cdots ess(t)=i=0Cir(i)(t)Ci=i!1Φe(i)(0)i=0,1,2,

    减小稳态误差

    为了减小或消除系统在输入信号和扰动作用下的稳态误差,可以采取以下措施:

    • 增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益

      增大系统开环增益 K K K 以后,对于 0 型系统,可以减小系统在阶跃输入时的位置误差;对于 I 型系统,可以减小系统在斜坡输入时的速度误差;对于 Ⅱ 型系统,可以减小系统在加速度输入时的加速度误差。

      增大扰动点之后系统的前向通道增益,不能改变系统对扰动的稳态误差数值。

    • 在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节

      扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节数之和决定系统响应扰动作用的型别,该型别与扰动作用点之后前向通道的积分环节数无关。

      反馈控制系统中,设置串联积分环节或增大开环增益以消除或减小稳态误差的措施,必然导致降低系统的稳定性,甚至造成系统不稳定,从而恶化系统的动态性能

    • 采用串级控制抑制内回路扰动

      当控制系统中存在多个扰动信号,且控制精度要求较高时,宜采用串级控制方式,可以显著抑制内回路的扰动影响。

    • 采用复合控制方法

      复合控制系统是在系统的反馈控制回路中加入前馈通路,组成一个前馈控制与反馈控制相结合的系统。

    一阶系统的时域分析

    线性定常系统在任意输入信号作用下的时间响应,均可分解为零输入响应与零状态响应之和
    y ( t ) = y z i + y z s y(t)=y_{zi}+y_{zs} y(t)=yzi+yzs

    • y z i y_{zi} yzi零输入响应

      • 只与系统的极点类型和分布有关,与系统的零点无关,与系统的初始条件有关。

      • 反映系统的稳定性。

    • y z s y_{zs} yzs零状态响应

      • 在时域:表示为系统的单位脉冲响应与输入信号的卷积。
      • 在复数域:表示为传递函数与输入信号拉氏变换的乘积。
      • 与系统的零极点都有关,还与输入信号的性质有关。
      • 反映系统的稳定性、暂态(快速及平稳性)及稳态(准确)特性。

    数学模型

    • 微分方程 T d c ( t ) d t + c ( t ) = r ( t ) T\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t) Tdtdc(t)+c(t)=r(t)
    • 开环传函 G k ( s ) = 1 T s G_k(s)=\frac{1}{Ts} Gk(s)=Ts1
    • 闭环传函 Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = 1 T s + 1 \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1} Φ(s)=R(s)C(s)=Ts+11
    • 特征方程 T s + 1 = 0 Ts+1=0 Ts+1=0

    输入响应

    • 单位阶跃响应

      t = 3 T , c ( t ) = 0.95 t=3T,c(t)=0.95 t=3T,c(t)=0.95 —— 5% 误差带

      t = 4 T , c ( t ) = 0.98 t=4T,c(t)=0.98 t=4T,c(t)=0.98 —— 2% 误差带

      • 可以用时间常数 T 去度量系统的输出量的数值

      • 初始斜率为 1/T

      • 无超调

      • 稳态误差 e s s = 0 e_{ss}=0 ess=0

    • 单位脉冲响应

      • 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值
      • 初始斜率为 − 1 / T 2 -1/T^2 1/T2
      • 无超调
      • 稳态误差 e s s = 0 e_{ss}=0 ess=0
    • 单位斜坡响应

      出现稳态误差( e s s = T e_{ss}=T ess=T

      一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪

    在这里插入图片描述

    • 系统对输入信号导数的响应,就等于系统对该输入信号响应的导数。
    • 系统对输入信号积分的响应,就等于系统对该输入信号响应的积分,积分常数由零输出初始条件确定。

    二阶系统的时域分析

    • 微分方程

    T 2 d 2 c ( t ) d t 2 + 2 ζ T d c ( t ) d t + c ( t ) = r ( t ) d 2 c ( t ) d t 2 + 2 ζ w n d c ( t ) d t + w n 2 c ( t ) = w n 2 r ( t ) T^2\frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\zeta{T}\frac{dc(t)}{dt}+c(t)=r(t)\\ \frac{d^2c(t)}{dt^2}+2\zeta{w_n}\frac{dc(t)}{dt}+w^2_nc(t)=w^2_nr(t) T2dt2d2c(t)+2ζTdtdc(t)+c(t)=r(t)dt2d2c(t)+2ζwndtdc(t)+wn2c(t)=wn2r(t)

    • 开环传函

    G k ( s ) = 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s = w n 2 s 2 + 2 ζ w n s G_k(s)=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s}=\frac{w^2_n}{s^2+2\zeta{w_n}s} Gk(s)=T2s2+2ζTs1=s2+2ζwnswn2

    • 闭环传函

    Φ ( s ) = C ( s ) R ( s ) = w n 2 s 2 + 2 ζ w n s + w n 2 = 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s + 1 \Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{w_n}^2}{s^2+2\zeta{w_n}s+{w_n}^2 }=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta{T}s+1} Φ(s)=R(s)C(s)=s2+2ζwns+wn2wn2=T2s2+2ζTs+11

    • 特征方程的根

    s 1 , 2 = − ζ w n ∓ j w n 1 − ζ 2 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\mp{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}} s1,2=ζwnjwn1ζ2


    阻尼比

    阻尼比所属情况
    ζ = 0 \zeta=0 ζ=0无(零)阻尼
    0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1欠阻尼
    ζ = 1 \zeta=1 ζ1临界阻尼(重极点)
    ζ > 1 \zeta>1 ζ>1过阻尼
    • 由于阻尼比 ζ \zeta ζ 为负,指数因子具有正幂指数,因此系统的动态过程为发散正弦振荡或单调发散的形式,从而表明 ζ < 0 \zeta<0 ζ<0 的二阶系统是不稳定的。

    • 如果 ζ = 0 \zeta=0 ζ0,则特征方程有一对纯虚根, s 1 , 2 = ± j w n s_{1,2}=\pm{jw_n} s1,2=±jwn,对应于 s 平面虚轴上一对共轭极点,可以算出系统的阶跃响应为等幅振荡,此时系统相当于无阻尼情况。

    • 如果 0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1,则特征方程有一对具有负实部的共轭复根, s 1 , 2 = − ζ w n ∓ j w n 1 − ζ 2 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\mp{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}} s1,2=ζwnjwn1ζ2 ,对应于 s 平面左半部的共轭复数极点,相应的阶跃响应为衰减振荡过程,此时系统处于欠阻尼情况。

      • 系统特征方程既有实部也有虚部,其单位阶跃响应既有振荡成分也有衰减成分,是一个随时间 t 的增长,振幅按指数规律衰减的周期函数(衰减振荡曲线)。
    • 如果 ζ = 1 \zeta=1 ζ1,则特征方程具有两个相等的负实根, s 1 , 2 = − w n s_{1,2}=-w_n s1,2=wn,对应于s平面负实轴上的两个相等实极点,相应的阶跃响应非周期地趋于稳态输出,此时系统处于临界阻尼情况。

    • 如果 ζ > 1 \zeta>1 ζ>1,则特征方程有两个不相等的负实根 s 1 , 2 = − ζ w n ± w n ζ 2 − 1 s_{1,2}=-\zeta{w_n}\pm{w_n\sqrt{\zeta^2-1}} s1,2=ζwn±wnζ21 ,对应于 s 平面负实轴上的两个不等实极点,相应的单位阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出,但响应速度比 1 临界阻尼情况缓慢,因此称为过阻尼情况。

    二阶控制系统的设计,一般取 ζ = 0.4 ∼ 0.8 \zeta=0.4\sim0.8 ζ=0.40.8


    二阶系统的单位阶跃响应

    • 根的实部反应在响应的指数部分(模态形状:是否衰减)

    • 根的虚部反应在响应的正弦部分(模态形状:是否振荡)

      • ζ = 0 \zeta=0 ζ=0 时为临界稳定状态

      • ζ ≈ 0.707 \zeta ≈ 0.707 ζ0.707 时调节时间最短(称为最佳阻尼比)

    s 1 , 2 = − ζ w n ± j w n 1 − ζ 2 = − σ ± j w d s_{1,2}=-\zeta{w_n}\pm{jw_n\sqrt{1-\zeta^2}}=-\sigma\pm{jw_d} s1,2=ζwn±jwn1ζ2 =σ±jwd

    • 衰减系数 σ \sigma σ (实部)是闭环极点到虚轴之间的距离

    • 阻尼振荡频率 w d w_d wd (虚部)是闭环极点到实轴之间的距离: w d = w n ( 1 − ζ 2 ) w_d=w_n(\sqrt{1-\zeta^2}) wd=wn(1ζ2 )

    • 自然频率 w n w_n wn 是闭环极点到坐标原点之间的距离

      w n w_n wn 与负实轴夹角的余弦正好是阻尼比 ζ \zeta ζ,即 cos ⁡ φ = ζ \cos\varphi=\zeta cosφ=ζ

    结论:调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴的距离越远,系统的调节时间越短。由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定,所以调节时间主要由自然频率决定。若能保持阻尼比值不变而加大自然频率值,则可在不改变超调量的情况下缩短调节时间。

    欠阻尼二阶系统阶跃响应

    • 峰值时间 t p = π w d = π w n 1 − ζ 2 t_p=\frac{\pi}{w_d}=\frac{\pi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}} tp=wdπ=wn1ζ2 π 与根(极点)的虚部成反比

    • 超调量 σ p = e − π ζ 1 − ζ 2 × 100 % \sigma_p=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\% σp=e1ζ2 πζ×100%

    • 上升时间 t r = π − φ w n 1 − ζ 2 t_r=\frac{\pi-\varphi}{w_n\sqrt{1-\zeta^2}} tr=wn1ζ2 πφ 为第一次达到稳态值时的时间

    • 调节时间 t s = 3.5 ζ w n ( Δ = 5 % ) t_s=\frac{3.5}{\zeta{w_n}}(\Delta=5\%) ts=ζwn3.5(Δ=5%) t s = 4.4 ζ w n ( Δ = 2 % ) t_s=\frac{4.4}{\zeta{w_n}}(\Delta=2\%) ts=ζwn4.4(Δ=2%) 与闭环极点的实部数值成反比

    • 延迟时间 t d ≈ 1 + 0.7 ζ w n t_d\approx\frac{1+0.7\zeta}{w_n} tdwn1+0.7ζ t d ≈ 1 + 0.6 ζ + 0.2 ζ 2 w n t_d\approx\frac{1+0.6\zeta+0.2\zeta^2}{w_n} tdwn1+0.6ζ+0.2ζ2 为第一次达到稳态值一半的时间,与震荡频率成反比,与 ξ 成正比

    由于阻尼比值主要根据对系统超调量的要求来确定,所以调节时间主要由自然频率决定。

    对于欠阻尼二阶系统,极点的阻尼角(阻尼比)决定响应的平稳性;阻尼比(阻尼角)一定时,极点与虚轴的距离( ζ w n \zeta{w_n} ζwn)决定响应的快速性。

    欠阻尼二阶系统单位阶跃响应稳态误差为零

    添加零点对典型二阶系统暂态响应特性影响

    • 添加闭环零点

      • 输出响应的变化率越大微分作用便越强,零点的影响就越大;闭环零点离虚轴越近,影响就越显著,若零点离虚轴越远则影响就越弱。
      • 一般而言,添加闭环零点,使响应加快,震荡加剧,超调增大。零点越靠近虚轴,作用越明显。
    • 添加开环零点

      增大阻尼比,不影响系统的稳定性,系统的动态性能可以得到改善,不改变系统的稳态精度。

      • 比例微分控制(在前向通道中添加零点)不影响系统的稳定性。
      • 比例微分控制(添加开环零点)可以增大系统的阻尼比,从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强;可以使闭环增加同样的零点,从而使系统响应加快;比例微分控制(添加开环零点)可以全面改善系统的动态响应特性。
      • 比例( k p = 1 k_p=1 kp=1)微分控制(添加开环零点)不影响系统的稳态精度。
      • 比例微分控制(添加开环零点)主要用于改善系统的暂态响应(动态)性能

    速度反馈(微分负反馈)

    输出量的导数同样可以用来改善系统的性能。通过将输出的速度信号反馈到系统输入端,并与误差信号比较,其效果与比例一微分控制相似,可以增大系统阻尼,改善系统动态性能。

    • 微分负反馈控制器不影响系统的稳定性。
    • 微分负反馈控制器可以增大系统的阻尼比,从而使阶跃响应的超调量下降、系统平稳性增强、使系统调节时间加快;微分负反馈控制器可以改善系统的动态响应特性。
    • 微分负反馈控制器降低系统的稳态精度
    • 微分负反馈控制器主要用于改善系统的暂态响应(动态)性能,但会增大稳态误差。
    • 为了减小稳态误差,必须加大原系统的开环增益,而使 K t K_t Kt 单纯用来增大系统阻尼

    比例-微分控制与测速反馈控制的比较

    • 附加阻尼来源:比例-微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度,而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度,因此对于给定的开环增益和指令输入速度,后者对应较大的稳态误差值。
    • 使用环境比例-微分控制对噪声有明显放大作用,当系统输入端噪声严重时,不宜选用比例-微分控制。同时,微分器的输入信号为系统误差信号,其能量水平低,需要当大的放大作用,为了不明显恶化信噪比,要求选用高质量的放大器;而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用,同时测速发电机的输入信号能量水平较高,因此对系统组成元件没有过高的质量要求,使用场合比较广泛。
    • 对开环增益和自然频率的影响:比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响;测速反馈控制虽不影响自然频率,但却会降低开环增益。因此,对于确定的常值稳态误差,测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大,必然导致系统自然频率增大,在系统存在高频噪声时,可能引起系统共振。
    • 对动态性能的影响:比例-微分控制相当于在系统中加入实零点,可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下,比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。

    线性系统的根轨迹法

    根轨迹简称根迹,它是开环系统某一参数从0变到 ∞ \infty 时,闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化的轨迹。

    根轨迹的分类:180度根轨迹 、参数根轨迹、零度根轨迹、根轨迹簇。


    当闭环系统没有零点与极点相消时,闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点,我们常简称为闭环极点。

    从已知的开环零、极点位置及某一变化的参数来求取闭环极点的分布,实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。

    因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定,而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在 s 平面上的位置密切相关,所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息,而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。


    根轨迹法应用前提条件是受控系统的传递函数没有零极点相消

    • 闭环系统根轨迹增益,等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统,闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。
    • 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成。对于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点。
    • 闭环极点与开环零点、开环极点以及开环根轨迹增益均有关。

    根轨迹是系统所有闭环极点的集合
    根轨迹方程  K ∗ ∏ j = 1 m ( s − z j ) ∏ i = 1 n ( s − p i ) = − 1 \text{根轨迹方程 }K^*\frac{\prod_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\prod_{i=1}^{n}(s-p_i)}=-1 根轨迹方程 Ki=1n(spi)j=1m(szj)=1
    模值条件
    K ∗ = ∏ i = 1 n ∣ s − p i ∣ ∏ j = 1 m ∣ s − z j ∣ K^*=\frac{\prod_{i=1}^{n}|s-p_i|}{\prod_{j=1}^{m}|s-z_j|} K=j=1mszji=1nspi
    相角条件:180度相角差


    性质

    • 由于闭环特征方程中的某些系数是根轨迹增益 K ∗ K^* K 的函数,所以当 K ∗ K^* K 从零到无穷大连续变化时,特征方程的某些系数也随之而连续变化,因而特征方程式根的变化也必然是连续的,故根轨迹具有连续性。
    • 根轨迹必对称于实轴的原因是显然的,因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两种,实根位于实轴上,复根必共轭,而根轨迹是根的集合,因此根轨迹对称于实轴
    • 根据对称性,只需做出上半 s 平面的根轨迹部分,然后利对称关系就可以画出下半 s 平面的根轨迹部分。

    分离点

    • 一般情况下,常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点。
    • 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间,其中一个可以是无限极点,则在这两个极点之间至少存在一个分离点。
    • 同样,如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间,其中一个可以是无限零点,则在这两个零点之间也至少有一个分离点。

    180度根轨迹绘制法则

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    对于特定 K ∗ K^* K 值下的闭环极点,可用模值条件确定。

    在控制系统中,除根轨迹增益 K ∗ K^* K 以外,其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。包括:

    • 参数根轨迹
    • 零度根轨迹
    • 非最小相位系统根轨迹

    通常,将负反馈系统中 K ∗ K^* K 由零变到无穷大时的根轨迹叫做常规根轨迹(或180度根轨迹)。

    以非开环增益/根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹,以区别于以开环增益 K K K /根轨迹增益 K ∗ K^* K 为可变参数的常规根轨迹。

    一般说来,零度根轨迹的来源有两个方面

    • 是非最小相位系统中包含 s 最高次幂的系数为负的因子。
    • 是控制系统中包含有正反馈内回路。

    零度根轨迹绘制法则

    在这里插入图片描述

    如果系统的所有开环极点和零点都位于s平面的左半平面,则称为最小相位系统。

    若系统的开环传递函数在右半 s 平面有零点或极点,则该系统称为非最小相位系统

    • 正反馈系统
    • 具有正反馈性质的系统
    • 具有右半s平面极零点

    闭环零点的影响

    闭环零点对系统动态性能的影响,相当于减小闭环系统的阻尼,从而使系统的过渡过程有出现超调的趋势,并且这种作用将随闭环零点接近坐标原点的程度而加强。

    在开环系统中增加极点,会使根轨迹向右移动,从而降低系统的相对稳定性,增加系统响应的调节时间。

    如果闭环零、极点相距很近,那么这样的闭环零、极点常称为偶极子。偶极子有实数偶极子和复数偶极子之分,而复数偶极子必共轭出现。不难看出,只要偶极子不十分接近坐标原点,它们对系统动态性能的影响就甚微,从而可以忽略它们的存在。

    闭环零点的存在,将使系统的峰值时间提前,这相当于减小闭环系统的阻尼,从而使超调量加大,当闭环零点接近坐标原点时,这种作用尤甚。

    一般说来,闭环零点对调节时间的影响是不定的。

    闭环实数主导极点对系统性能的影响是:闭环实数主导极点的作用,相当于增大系统的阻尼,使峰值时间迟后,超调量下降

    如果实数极点比共轭复数极点更接近坐标原点,甚至可以使振荡过程变为非振荡过程。

    线性系统的频域分析法

    频域特性

    控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成。控制系统频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。频域分析法具有以下特点:

    • 控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和实验方法获得,并可用多种形式的曲线表示,因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行
    • 频率特性物理意义明确。对于一阶系统和二阶系统,频域性能指标和时域性能指标有确定的对应关系;对于高阶系统,可建立近似的对应关系
    • 控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求
    • 频域分析法不仅适用于线性定常系统,还可以推广应用于某些非线性控制系统

    在正弦信号作用下,输出稳态分量的幅值和相位的变化,称为幅值比 A ( w ) A(w) A(w) 和相位差 φ ( w ) \varphi(w) φ(w) , 且皆为输入正弦信号频率 w w w 的函数
    { A ( w ) = ∣ G ( j w ) ∣ φ ( w ) = ∠ G ( j w ) \left\{\begin{matrix} A(w)=\left | {G(jw)} \right | \\ \varphi(w)=\angle{G(jw)} \end{matrix}\right. {A(w)=G(jw)φ(w)=G(jw)
    表明,对于稳定的线性定常系统,由谐波输入产生的输出稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数,而幅值和相位的变化是频率 w w w 的函数,且与系统数学模型相关。
    为此,定义谐波输入下,输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比 A ( w ) A(w) A(w) 为幅频特性,相位之差 φ ( w ) \varphi(w) φ(w) 为相频特性,并称其指数表达形式:
    G ( j w ) = A ( w ) e j φ ( w ) G(jw)=A(w)e^{j\varphi(w)} G(jw)=A(w)ejφ(w)
    系统的频率特性

    频率特性的定义既可以适用于稳定系统,也可适用于不稳定系统。稳定系统的频率特性可以用实验方法确定,即在系统的输入端施加不同频率的正弦信号,然后测量系统输出的稳态响应,再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性曲线。频率特性也是系统数学模型的一种表达形式

    对于不稳定系统,输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量,所以不稳定系统的频率特性不能通过实验方法确定

    频率特性定义(物理意义)

    稳定系统的频率特性为零初始条件下,输出和输入的傅氏变换之比
    G ( j w ) = C ( j w ) R ( j w ) = G ( s ) ∣ s = j w G(jw)=\frac{C(jw)}{R(jw)}=G(s)|_{s=jw} G(jw)=R(jw)C(jw)=G(s)s=jw
    在工程分析和设计中,通常把线性系统的频率特性画成曲线,再运用图解法进行研究。常用的频率特性曲线有以下三种:

    • 幅相频率特性曲线

      • 又称为幅相曲线或极坐标图或奈奎斯特曲线(Nyquist Plot)

      • 以横轴为实轴、纵轴为虚轴,构成复数平面。对于任一给定的频率 w w w频率特性值为复数。若将频率特性表示为实数和虚数的形式,则实部为实轴坐标值,虚部为虚轴坐标值

      • 若将频率特性表示为复指数形式,则为复平面上的向量,而向量的长度为频率特性的幅值,向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相位

      • 由于幅频特性为 w w w 的偶数,相频特性为 w w w 的奇函数 w w w 从零变化至 + ∞ +\infty + w w w 从零变化至 − ∞ -\infty 的幅相曲线关于实轴对称,因此一般只绘制 w w w 从零变化至 + ∞ +\infty + 的幅相曲线

      • 在系统幅相曲线中,频率 w w w 为参变量一般用小箭头表示 w w w 增大时幅相曲线的变化方向

    • 对数频率特性曲线

      • 又称为伯德曲线或伯德图(Bode Diagram)

      • 对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频曲线组成

      • 对数频率特性曲线的横坐标按 lg ⁡ w \lg{w} lgw 分度,单位为弧度/秒(rad/s)

      • 对数幅频曲线的纵坐标按:
        对数幅频特性: L ( w ) = 20 lg ⁡ ∣ G ( j w ) ∣ = 20 lg ⁡ A ( w ) \text{对数幅频特性:}L(w)=20\lg{|G(jw)|}=20\lg{A(w)} 对数幅频特性:L(w)=20lgG(jw)=20lgA(w)
        线性分度,单位是分贝(dB)

      • 对数相频曲线的纵坐标按 φ ( w ) \varphi(w) φ(w) 线性分度,单位为度 ( ∘ ^\circ )。由此构成的坐标系称为半对数坐标系

    • 对数幅相曲线

      • 又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图(Nichols Plot)

      • 其特点是纵坐标为 L ( w ) L(w) L(w) ,单位为分贝 (dB);横坐标为 φ ( w ) \varphi(w) φ(w) ,单位为度 ( ∘ ^\circ ) ,均为线性分度,频率 w w w 为参变量

      • 在尼科尔斯曲线对应的坐标系中,可以根据系统开环和闭环的关系,绘制关于闭环幅频特性的等 M 簇线和闭环相频特性的等 α \alpha α 簇线,因而根据频域指标要求确定校正网络,简化系统的设计过程

    典型环节与开环系统的频率特性

    由于开环传递函数的分子和分母多项式的系数皆为实数,因此系统开环零极点或为实数或为共轭复数

    根据开环零极点可将分子和分母多项式分解成因式,再将因式分类,即得典型环节

    典型环节可分为两类:一类为最小相位环节;另一类为非最小相位环节

    最小相位环节有下列七种:

    • 比例环节 K (K >0)

      • Nyquist 曲线: w 由 0 → ∞ ,始终为一点 k w\text{由}0\to\infty\text{,始终为一点 k} w0,始终为一点 k

      在这里插入图片描述

      • Bode 图

      在这里插入图片描述

      • 对数幅频特性曲线

        平行于频率轴的一条直线,值为 20 lg ⁡ k 20\lg{k} 20lgk

      • 对数相频特性曲线

        为零度直线

    • 惯性环节 1/(Ts+1) (T >0)

      • Nyquist 曲线

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      • Bode 图

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        在这里插入图片描述

    • 一阶微分环节 Ts + 1 (T >0)

    • 振荡环节 1 / ( s 2 / w n 2 + 2 ζ s / w n + 1 ) 1/(s^2/{w_n}^2+2\zeta{s}/w_n+1) 1/(s2/wn2+2ζs/wn+1) ( w n > 0 , 0 ≤ ζ < 1 ) (w_n>0,0\le\zeta<1) (wn>0,0ζ<1)

      • 谐振频率: w r = w n 1 − 2 ζ 2 , 0 < ζ ≤ 2 2 w_r=w_n\sqrt{1-2{\zeta}^2},0<\zeta\le\frac{\sqrt{2}}{2} wr=wn12ζ2 ,0<ζ22

      • 谐振峰值: M r = 1 2 ζ 1 − ζ 2 , 0 < ζ ≤ 2 2 M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}},0<\zeta\le\frac{\sqrt{2}}{2} Mr=2ζ1ζ2 1,0<ζ22

      • 由于 L a ( w ) L_a(w) La(w) 与阻尼比 ζ \zeta ζ 无关,用渐近线近似表示对数幅频曲线存在误差,误差的大小不仅和 w w w 有关,而且也和 ζ \zeta ζ 有关,误差曲线为一曲线簇,根据误差曲线可以修正渐近特性曲线而获得准确曲线。
        根据对数幅频特性定义还可知:
        (1)非最小相位振荡环节与振荡环节的对数幅频渐近特性曲线相同
        (2)二阶微分环节和非最小相位二阶微分环节与振荡环节的对数幅频渐近特性曲线关于0dB线对称

      • Nyquist 曲线

      在这里插入图片描述

      • Bode 图

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    • 二阶微分环节 s 2 / w n 2 + 2 ζ s / w n + 1 s^2/{w_n}^2+2\zeta{s}/w_n+1 s2/wn2+2ζs/wn+1 ( w n > 0 , 0 ≤ ζ < 1 ) (w_n>0,0\le\zeta<1) (wn>0,0ζ<1)

    • 积分环节 1/s

    • 微分环节 s

    • 延迟环节与延迟系统

      • 时域表达式 c ( t ) = 1 ( 1 − τ ) r ( t − τ ) c(t)=1(1-\tau)r(t-\tau) c(t)=1(1τ)r(tτ)
      • 传递函数 G ( s ) = e − τ s G(s)=e^{-\tau{s}} G(s)=eτs
      • 频率特性 G ( j w ) = e − j τ w G(jw)=e^{-j\tau{w}} G(jw)=ejτw

    非最小相位环节共有五种:

    • 比例环节 K (K<0)
    • 惯性环节 1/(-Ts+1) (T >0)
    • 一阶微分环节 -Ts+1 (T >0)
    • 振荡环节 1 / ( s 2 / w n 2 − 2 ζ s / w n + 1 ) 1/(s^2/{w_n}^2-2\zeta{s}/w_n+1) 1/(s2/wn22ζs/wn+1) ( w n > 0 , 0 < ζ < 1 ) (w_n>0,0<\zeta<1) (wn>0,0<ζ<1)
    • 二阶微分环节 s 2 / w n 2 − 2 ζ s / w n + 1 s^2/{w_n}^2-2\zeta{s}/w_n+1 s2/wn22ζs/wn+1 ( w n > 0 , 0 < ζ < 1 ) (w_n>0,0<\zeta<1) (wn>0,0<ζ<1)

    除了比例环节外,非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置

    开环频率特性曲线的绘制方法

    已知系统开环传递函数 G k ( s ) G_k(s) Gk(s) ,绘制开环辐相曲线

    • 由已知的 G k ( s ) G_k(s) Gk(s) G k ( j w ) = G k ( s ) ∣ s = j w , A ( s ) , ϕ ( w ) , P ( w ) , Q ( w ) G_k(jw)=G_k(s)|_{s=jw},A(s),\phi(w),P(w),Q(w) Gk(jw)=Gk(s)s=jw,A(s),ϕ(w),P(w),Q(w)
    • 分别对: w : 0 + → + ∞ , − ∞ → 0 − , 0 − → 0 + w:0^+\to+\infty,-\infty\to0^-,0^-\to0^+ w:0++,0,00+
      • 求N氏曲线的起点
      • 求N氏曲线的终点
      • 求一些特色点
    • w : 0 + → + ∞ , − ∞ → 0 − w:0^+\to+\infty,-\infty\to0^- w:0++,0曲线关于实轴镜像对称

    频率域稳定判据

    F ( s ) = ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z m ) ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n ) = ∑ j = 1 m ( s − z j ) ∑ i = 1 n ( s − p i ) F(s)=\frac{(s-z_1)(s-z_2)\dots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\dots(s-p_n)}=\frac{\sum_{j=1}^{m}(s-z_j)}{\sum_{i=1}^{n}(s-p_i)} F(s)=(sp1)(sp2)(spn)(sz1)(sz2)(szm)=i=1n(spi)j=1m(szj)

    如果 F(s) 是非奇异的(除有限个孤立奇点 p 1 p_1 p1 p 2 p_2 p2 p n p_n pn 外处处解析),则有:

    • 对于 s 平面上任意一点 s,通过复变函数 F(s) 的映射关系,在 F(s)平面上都可以确定一个关于 s 的象或映射 S F S_F SF
    • 对于 s 平面上任意一条不通过 F(s) 的任一零点和极点的封闭曲线 Γ \Gamma Γ ,都可以在F(s)平面上确定一条相应的封闭曲线 Γ F \Gamma_F ΓF Γ \Gamma Γ 的象或映射)

    辐角原理

    s 平面上不通过 F(s) 的任一零点和极点的封闭曲线 Γ \Gamma Γ 包围 F(s) 的P个极点和Z个零点,则 s 从封闭曲线 Γ \Gamma Γ上任一点 A 起,顺时针沿 Γ \Gamma Γ 移动一周,再回到 A 点时,

    则相应地, 在F(s) 平面上,封闭曲线 Γ \Gamma Γ 的象或映射亦从点 F(A) 起,逆时针方向绕原点 R = P − Z R=P-Z R=PZ,回到 F(A) 点止,形成一条闭合曲线 Γ F \Gamma_F ΓF

    • R <0 和 R > 0 分别表示 Γ F \Gamma_F ΓF 顺时针包围和逆时针包围F(s) 平面的原点
    • R = 0表示不包围 F(s) 平面的原点

    封闭曲线 Γ \Gamma Γ 及其象或映射 Γ F \Gamma_F ΓF 的形状对于R值的确定没有影响,也即,R值只与封闭曲线 Γ \Gamma Γ 包围 F(s) 零点、极点的个数有关,而与封闭曲线 Γ \Gamma Γ 的形状无关

    F(s)具有以下特点:

    • F(s) 的零点为闭环特征方程的根,即闭环传递函数的极点
    • F(s) 的极点为开环传递函数的极点
    • F(s) 的零点数与极点数相同(均为n)(考虑开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次)
    • s 沿封闭曲线 Γ \Gamma Γ 在 s 平面运动一周所产生的象或映射:封闭曲线 Γ F \Gamma_F ΓF (闭环)和 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH (开环),在位置上只相差常数 1,即闭合曲线 Γ F \Gamma_F ΓF 可由 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 沿实轴正方向平移一个单位长度获得

    系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数极点即F(s)的零点的位置

    考虑选取 s 平面上可以围 住其整个右半平面的封闭曲线 Γ \Gamma Γ (称为N氏围线),若N氏围线 Γ \Gamma Γ 没有围住F(s)的零点,则闭环系统稳定;若围住了1个零点,系统就不稳定

    设 Z 为 F(s) 零点在右半 s 平面中的个数,则 Z =0 表示F(s)在右半s平面无零点,闭环特征方程 F(s)=0 的根全部位于s平面的左半平面,系统稳定;Z≠0,系统不稳

    设P为F(s)极点在右半s平面中的个数, 即为系统开环极点在右半s平面的个数;若已知 G k ( s ) G_k(s) Gk(s),则P已知

    原始的Nyquist稳定判据步骤:

    1. 已知: G k ( s ) G_k(s) Gk(s)
      则P已知(P为 G k ( s ) G_k(s) Gk(s) 在右半s平面上开环极点的个数)

    2. 在F(s) 平面上画出 F ( s ) = 1 + G k ( s ) F(s)=1+G_k(s) F(s)=1+Gk(s) 曲线
      则可知R(当s在s 平面N氏围线 Γ \Gamma Γ 上顺时针方向移动一周时,F(s)平面上 F ( s ) = 1 + G k ( s ) F(s)=1+G_k(s) F(s)=1+Gk(s) 曲线逆时针绕原点的圈数)

    3. 在自变量s平面(N氏围线 Γ \Gamma Γ) →因变量F(s) 平面(象或映射 Γ F \Gamma_F ΓF )上直接应用幅角原理,由R=P-Z,可得:Z=P-R

      若 Z =0 ,则系统稳定
      若 Z≠0,则系统不稳定

    F(s)平面上的原点,就是G(s)H(s)平面上的(-1,j0)点

    封闭曲线 Γ F \Gamma_F ΓF 包围 F(s) 平面原点的圈数,就等于封闭曲线 Γ G ( s ) H ( s ) \Gamma_{G(s)H(s)} ΓG(s)H(s) 包围 F(s) 平面点 (-1, j0) 的圈数

    0型系统:当自变量 s 从 s 平面的原点出发,顺时针沿N氏围线 Γ \Gamma Γ 移动一周时,G(s) H(s)平面上曲线 Γ G ( s ) H ( s ) \Gamma_{G(s)H(s)} ΓG(s)H(s) 映射到 G(jω)H(jω) 平面上的曲线 Γ G ( j w ) H ( j w ) \Gamma_{G(jw)H(jw)} ΓG(jw)H(jw) ,即为当
    ω:-∞→+∞的Nyquist曲线(全闭合曲线)

    I型或I型以上系统:当自变量s从s平面的原点出发,顺时针沿N氏围线 Γ \Gamma Γ 移动一周时,G(s)H(s) 平面上曲线 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 映射到 G(jω)H(jω) 平面上的曲线 Γ G ( j w ) H ( j w ) \Gamma_{G(jw)H(jw)} ΓG(jw)H(jw) ,即为当 w: 0+ →+∞、 -∞→ 0-、0- → 0+的Nyquist曲线(全闭合曲线)

    具有等幅振荡环节的系统:当自变量 s 从 s 平面的原点出发,顺时针沿N氏围线 Γ \Gamma Γ 移动一周时,G(s)H(s) 平面上曲线 Γ G ( s ) H ( s ) \Gamma_{G(s)H(s)} ΓG(s)H(s) 映射到G(jω)H(jω)平面上的曲线 Γ G ( j w ) H ( j w ) \Gamma_{G(jw)H(jw)} ΓG(jw)H(jw),即为当 w: 0 → w n − w_{n-} wn w n − w_{n-} wn w n + w_{n+} wn+ w n + w_{n+} wn+→+∞、 -∞→ w n + w_{n+} wn+
    − w n + -w_{n+} wn+ − w n − -w_{n-} wn − w n − -w_{n-} wn → 0 的 Nyquist 曲线(全闭合曲线)

    幅角原理(推广)

    设 s 平面上不通过 F(s) 的任一零点和极点的N氏围线 Γ \Gamma Γ (围住整个右半s平面)包围 F(s) 平面的 P 个极点和 Z 个零点,则自变量 s 从原点顺时针沿 Γ \Gamma Γ 移动一周时, 在 G(jω)H(jω) 平面上, N 氏围线 Γ \Gamma Γ 的象或映射 Γ G ( j w ) H ( j w ) \Gamma_{G(jw)H(jw)} ΓG(jw)H(jw) 曲线(全闭合 Nyquist 曲线w: 0+ →+∞、 -∞→ 0-、0- → 0+) ,将以逆时针方向绕 (-1,j0) 点 R=P-Z 圈

    实用的Nyquist稳定判据(全闭合Nyquist曲线)步骤:

    1. 已知: G k ( s ) G_k(s) Gk(s)
      则v、P已知(P为 G k ( s ) G_k(s) Gk(s) 在右半s平面上开环极点的个数)

    2. 画出w: 0 →+∞、 -∞→ 0 开环(全闭合)Nyquist曲线

      • 0型系统:画w: 0 →+∞、 -∞→ 0 Nyquist曲线
      • I型及以上系统: 画w: 0 + 0^+ 0+→+∞的Nyquist曲线
        补画w: -∞→ 0 − 0^- 0、0- → 0+的Nyquist曲线
      • 具有 s = ± j w n s=±jw_n s=±jwn系统: 画0 → w n − w_{n-} wn w n − w_{n-} wn w n + w_{n+} wn+ w n + w_{n+} wn+ →+∞、 -∞→ - w n + w_{n+} wn+、 - w n + w_{n+} wn+ →- w n − w_{n-} wn − w n − -w_{n-} wn→ 0 的Nyquist曲线

      则可根据画好的全闭合Nyquist曲线,从图上获知Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数,即可得R(当s在s 平面N氏围线 Γ \Gamma Γ 上顺时针方向移动一周时)

    3. 在s平面上N氏围线 Γ \Gamma Γ →G(jω)H(jω)平面上的 Γ G ( j w ) H ( j w ) \Gamma_{G(jw)H(jw)} ΓG(jw)H(jw) 曲线(全闭合Nyquist曲线),应用幅角原理,由R=P-Z(+逆,-顺)可得:Z=P-R

    若Z =0 ,则系统稳定
    若Z≠0,则系统不稳定

    半闭合Nyquist曲线

    设s平面上不通过F(s) 的任一零点和极点的N氏围线 Γ \Gamma Γ (围住整个右半s平面)包围F(s)平面的P个极点和Z个零点,则自变量s 从原点顺时针沿 Γ \Gamma Γ 移动一周时, 在 G(jω)H(jω) 平面上,N氏围线 Γ \Gamma Γ 的象或映射 Γ G ( j w ) H ( j w ) \Gamma_{G(jw)H(jw)} ΓG(jw)H(jw) 曲线(半闭合Nyquist曲线 w: 0→ + ∞ +\infty +),将以逆时针方向绕(-1,j0) 点 R=P-Z 圈( R = 2 ( N + − N − ) = 2 N R=2(N^+-N^-)=2N R=2(N+N)=2N

    扩展的Nyquist稳定判据(半闭合Nyquist曲线)步骤:(常用)

    1. 已知: G k ( s ) G_k(s) Gk(s)
      则 v、P已知(P为 G k ( s ) G_k(s) Gk(s) 在右半s平面上开环极点的个数)

    2. 画出w: 0 → + ∞ +\infty +开环(半闭合)Nyquist曲线;

      • 0型系统:画w: 0 → + ∞ +\infty + Nyquist曲线;

      • I型及以上系统

        • 画w: 0 + → + ∞ 0^+→+\infty 0++Nyquist曲线
        • 从G(j0+)H(j0+)点补画(逆时针方向补)半径为 ∞ \infty 角度变化 v π 2 \frac{v\pi}{2} 2vπ 的虚圆弧;(全闭合曲线为半径为∞,角度从0- vπ/2 → 0+ -vπ/2的圆弧)
      • 具有 s = ± j w n s=±jw_n s=±jwn系统

        • 0 → w n − 、 w n + → + ∞ 0 →w_{n-} 、w_{n+} →+\infty 0wnwn++ Nyquist曲线
        • G ( j w n − ) H ( j w n − ) G(jw_{n-})H(jw_{n-}) G(jwn)H(jwn) 点起补画(顺时针方向补)半径为 ∞ \infty 角度变化 v × π v\times\pi v×π 的虚圆弧至 G ( j w n + ) H ( j w n + ) G(jw_{n+})H(jw_{n+}) G(jwn+)H(jwn+)

      则可根据画好的半闭合 Nyquist 曲线获知,位于(-1,j0)点左侧,从上向下穿越(II → III)次数和 N+(逆),以及从下向上穿越(III → II)次数和 N-(顺),即可得 R = 2 ( N + − N − ) = 2 N R=2(N^+-N^-)=2N R=2(N+N)=2N(当s在s 平面N氏围线 Γ \Gamma Γ上顺时针方向移动一周时)

    3. 在 s 平面上N氏围线 Γ \Gamma Γ →G(jω)H(jω)平面上的 Γ G ( j w ) H ( j w ) \Gamma_{G(jw)H(jw)} ΓG(jw)H(jw) 曲线(半闭合Nyquist曲线),应用幅角原理,由R=P-Z,可得: Z=P-R

      若Z =0 ,则系统稳定
      若Z≠0,则系统不稳定

    对数频率稳定判据(Bode图上的Nyquist稳定判据)

    奈氏判据基于复平面的半闭合曲线 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 判定系统的闭环稳定性,由于半闭合曲线 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 可以转换为半对数坐标下的曲线,因此可以推广运用奈氏判据,其关键问题是需要根据半对数坐标下的 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 曲线确定穿越次数 N 或 N+和N-

    复平面 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 曲线一般由两部分组成:开环幅相曲线和开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时所补作的半径为无穷大的虚圆弧。而N 的确定取决于 A(w)>1 时 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 穿越负实轴的次数,因此应建立和明确以下对应关系:

    穿越点确定
    { A ( w c ) = ∣ G ( j w c ) H ( j w c ) ∣ = 1 L ( w c ) = 20 lg ⁡ A ( w C ) = 0 \left\{\begin{matrix} A(w_c)=|G(jw_c)H(jw_c)|=1 \\ L(w_c)=20\lg A(w_C)=0 \end{matrix}\right. {A(wc)=G(jwc)H(jwc)=1L(wc)=20lgA(wC)=0

    w c w_c wc 为截止频率

    对于复平面的负实轴和开环对数相频特性,当取频率为穿越频率 w x w_x wx 时:
    φ ( w x ) = ( 2 k + 1 ) π , k = 0 , ± 1 , … \varphi(w_x)=(2k+1)\pi,k=0,\pm1,\dots φ(wx)=(2k+1)π,k=0,±1,
    设半对数坐标下 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 的对数幅频曲线和对数相频曲线分别为 Γ L \Gamma_{L} ΓL Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ 。由于 Γ L \Gamma_{L} ΓL 等于L(w)曲线,则 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 在A(w)>1时,穿越负实轴的点等于 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 在半对数坐标下,对数幅频特性L(w)>0时对数相频特性曲线 Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ ( 2 k + 1 ) π ; k = 0 , ± 1 , … (2k+1)\pi; k=0, \pm1, \dots (2k+1)π;k=0,±1,, 平行线的交点

    Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ 确定

    • 开环系统无虚轴上极点时, Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ 等于 φ ( w ) \varphi(w) φ(w) 曲线

    • 开环系统存在积分环节 1 s v , ( v > 0 ) \frac{1}{s^v},(v>0) sv1,(v>0),复数平面的 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 曲线,需从w=0+的开环幅相曲线的对应点G( j0+) H( j0+) 起,逆时针补作 v × 9 0 ∘ v\times90^{\circ} v×90 半径为无穷大的虚圆弧。对应地,需从对数相频特性曲线 w 较小且 L(w)>0 的点处向上补作 v × 9 0 ∘ v\times90^{\circ} v×90 的虚直线, φ ( w ) \varphi(w) φ(w) 曲线和补作的虚直线构成 Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ

    • 开环系统存在等幅振荡环节: 1 ( s 2 + w n 2 ) v 1 , v 1 > 0 \frac{1}{{(s^2+w_n^2)}^{v_1}},v_1>0 (s2+wn2)v11,v1>0
      时,复数平面的 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 曲线,需从 w = w n − w = w_{n-} w=wn的开环幅相曲线的对应点 G ( j w n − ) H ( j w n − ) G( jw_{n-})H(jw_{n-}) G(jwn)H(jwn) 起,逆时针补作 v 1 × 18 0 ∘ v_1\times180^{\circ} v1×180 半径为无穷大的虚圆弧至 w = w n + w = w_{n+} w=wn+的对应点 G ( j w n + ) H ( j w n + ) G( jw_{n+})H(jw_{n+}) G(jwn+)H(jwn+)。对应地,需从对数相频特性曲线 φ ( w n − ) \varphi(w_{n-}) φ(wn)点起向上补作 v 1 × 18 0 ∘ v_1\times180^{\circ} v1×180 的虚直线至 φ ( w n + ) \varphi(w_{n+}) φ(wn+) 处, φ ( w ) \varphi(w) φ(w)曲线和补作的虚直线构成 Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ

    穿越次数计算

    • 正穿越一次: Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 由上向下穿越 (-1, j0) 点左侧的负实轴一次,等价于:在L(w)>0时, Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ 由下向上穿越 ( 2 k + 1 ) π (2k+1)\pi (2k+1)π 线一次。

    • 负穿越一次: Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 由下向上穿越 (-1, j0) 点左侧的负实轴一次,等价于:在L(w)>0时, Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ 由上向下穿越 ( 2 k + 1 ) π (2k+1)\pi (2k+1)π 线一次

    • 正穿越半次: Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 由上向下止于或由上向下起于 (-1, j0) 点左侧的负实轴,等价于:在L(w)>0时, Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ 由下向上止于或由下向上起于 ( 2 k + 1 ) π (2k+1)\pi (2k+1)π 线一次

    • 负穿越半次: Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 由下向上止于或由下向上起于(-1, j0)点左侧的负实轴,等价于:在 L(w)>0 时, Γ φ \Gamma_{\varphi} Γφ 由上向下止于或由上向下起于 ( 2 k + 1 ) π (2k+1)\pi (2k+1)π 线一次

    应该指出的是,补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越

    Bode图(半对数坐标 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH曲线)上的Nyquist稳定判据步骤:

    1. 已知: G k ( s ) G_k(s) Gk(s)
      则v、P已知(P为 G k ( s ) G_k(s) Gk(s) 在右半s平面上开环极点的个数)

    2. 画出 w : 0 → + ∞ w: 0 →+\infty w:0+开环半对数坐标 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 曲线(Bode图)

      • 0型系统:画 w : 0 + → + ∞ w: 0^+ →+\infty w:0++ 对数相频特性曲线 φ ( w ) \varphi(w) φ(w)
      • I型及以上系统
        • w : 0 + → + ∞ w: 0^+ →+\infty w:0++ 对数相频特性曲线 φ ( w ) \varphi(w) φ(w)
        • 从对数相频特性曲线 w 较小且 L(w)>0 的点处向上补作 v × 9 0 ∘ v\times90^{\circ} v×90的虚直线, φ ( w ) \varphi(w) φ(w)曲线和补作的虚直线构成 Γ φ \Gamma{\varphi} Γφ
      • 具有 s = ± j w n s=±jw_n s=±jwn系统
        • w : 0 + → + ∞ w: 0+ →+\infty w:0++对数相频特性曲线 φ ( w ) \varphi(w) φ(w)
        • 从对数相频特性曲线 φ ( w n − ) \varphi(w_{n-}) φ(wn) 点起向上补作 v × 18 0 ∘ v\times180^{\circ} v×180 的虚直线至 φ ( w n + ) \varphi(w_{n+}) φ(wn+)处, φ ( w ) \varphi(w) φ(w)曲线和补作的虚直线构成 Γ φ \Gamma{\varphi} Γφ

      从画好的对数幅频特性L(w)>0时,对数相频特性曲线 Γ φ \Gamma{\varphi} Γφ ( 2 k + 1 ) π ; k = 0 , ± 1 , … (2k+1)\pi; k=0, \pm1, \dots (2k+1)π;k=0,±1,, 平行线的交点,可得R=2(N±N-)=2N

    3. 在 s 平面上N氏围线 Γ \Gamma Γ → G(jω)H(jω)平面上的 Γ G ( j w ) H ( j w ) \Gamma_{G(jw)H(jw)} ΓG(jw)H(jw) 曲线(半闭合 Nyquist 曲线),应用幅角原理,由R=P-Z,可得: Z=P-R
      若 Z = 0 ,则系统稳定;若 Z ≠ 0,则系统不稳定

    稳定裕度

    当开环传递函数的某些系数发生变化时, Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 包围 (-1, j0) 点的情况亦随之改变

    在稳定性研究中,称 (-1, j0)点为临界点,而闭合曲线 Γ G H \Gamma_{GH} ΓGH 相对于临界点的位置即偏离临界点的程度,反映系统的相对稳定性

    频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度 γ \gamma γ 和幅值裕度 h h h 来度量

    相角裕度

    w c w_c wc 为系统的截止频率(固定模为1,比较相角离 (-1, j0)点的远近):
    A ( w c ) = ∣ G ( j w c ) H ( j w c ) ∣ = 1 A(w_c)=|G(jw_c)H(jw_c)|=1 A(wc)=G(jwc)H(jwc)=1
    定义相角裕度为:
    γ = 18 0 ∘ + ∠ G ( j w c ) H ( j w c ) \gamma=180^{\circ}+\angle{G(jw_c)H(jw_c)} γ=180+G(jwc)H(jwc)
    相角裕度 γ \gamma γ 的含义是,对于闭环稳定系统,如果系统开环相频特性再滞后 γ \gamma γ 度,则系统将处于临界稳定状态

    幅值裕度

    w x w_x wx 为系统的穿越频率(固定相角为-π,比较模离 (-1, j0)点的远近) :
    φ ( w x ) = ∠ G ( j w x ) H ( j w x ) = ( 2 k + 1 ) π ; k = 0 , ± 1 , … \varphi(w_x)=\angle{G(jw_x)H(jw_x)}=(2k+1)\pi;k=0,\pm1,\dots φ(wx)=G(jwx)H(jwx)=(2k+1)π;k=0,±1,
    定义幅值裕度为:
    h = 1 ∣ G ( j w x ) H ( j w x ) ∣ h=\frac{1}{|G(jw_x)H(jw_x)|} h=G(jwx)H(jwx)1
    幅值裕度 h h h 的含义是,对于闭环稳定系统,如果系统开环幅频特性再增大 h 倍,则系统将处于临界稳定状态

    对数坐标下,幅值裕度按下式定义:
    h = − 20 lg ⁡ ∣ G ( j w x ) H ( j w x ) ∣ ( d B ) h=-20\lg{|G(jw_x)H(jw_x)|}(dB) h=20lgG(jwx)H(jwx)(dB)
    仅用相角裕度或幅值裕度,都不足以反映系统的稳定程度。 对非最小相位系统并不都适用

    用频域法分析系统性能

    开环频域性能指标

    稳:相角裕度、幅值裕度
    快:幅值穿越频率(截止频率、剪切频率)、相角穿越频率
    准:稳态误差

    在开环频率特性曲线上Nyquist曲线、Bode图

    闭环频域性能指标

    稳:谐振峰值
    快:带宽频率、谐振频率
    准:零频幅值

    在闭环频率特性曲线上Nyquist曲线、Bode图、闭环幅频曲线、等M/N圆、尼科尔斯图

    • 零频幅值 M 0 M_0 M0
      w = 0 M ( 0 ) = M 0 = C ( 0 ) R ( 0 ) M ( 0 ) = { k 1 + k , v = 0 1 , v > 1 w=0\\ M(0)=M_0=\frac{C(0)}{R(0)}\\ M(0)=\begin{cases} \frac{k}{1+k},v=0 \\ 1,v>1 \end{cases} w=0M(0)=M0=R(0)C(0)M(0)={1+kk,v=01,v>1
      M ( 0 ) = 1 M(0)=1 M(0)=1 表示系统阶跃响应的终值等于输入,静差为零

      M ( 0 ) ≠ 1 M(0)\ne1 M(0)=1表示系统有静差

      M 0 M_0 M0 与1相差的大小,反映了系统的稳态精度, M 0 M_0 M0 越接近1,系统精度越高

    • 谐振频率 w r w_r wr

      闭环幅频特性出现峰值时的频率称为谐振频率 w r w_r wr,它在一定程度上反映了系统的快速性

      w r w_r wr 越大,系统瞬态响应越快

    • 谐振峰值 M r M_r Mr

      闭环幅频特性最大值 M r = M ( w r ) M_r=M(w_r) MrM(wr) 称为谐振峰值 M r M_r Mr

      峰值大,表明系统对某个频率的正弦输入信号反映强烈,有共振的倾向,即意味着系统的平稳性较差,阶跃响应将有过大的超调量

      一般要求: M r < 1.5 M 0 M_r<1.5M_0 Mr<1.5M0

    • 带宽频率 w b w_b wb 与系统带宽 0 ~ w b w_b wb

      w b w_b wb幅频特性 M ( w ) M(w) M(w) 的数值从 M ( 0 ) M(0) M(0) 衰减到0.707 M ( 0 ) M(0) M(0) 时所对应的频率

      w b w_b wb 高: M ( w ) M(w) M(w) M ( 0 ) M(0) M(0) 到 0.707 M ( 0 ) M(0) M(0) 所占据的频率区间0~ w b w_b wb 较宽,
      明系统复现快速变化的信号能力强,失真小,也即快速性好,阶跃响应的调节时间短

      w b w_b wb 低: M ( w ) M(w) M(w) M ( 0 ) M(0) M(0) 到 0.707 M ( 0 ) M(0) M(0) 所占据的频率区间0