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  • %产生拟合曲线,并求某点导数% hObject handle to btn_ployder (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)x=...

    %产生拟合曲线,并求某点导数
    % hObject    handle to btn_ployder (see GCBO)
    % eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
    % handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)
    x=0.01:0.01:14;
    steps=str2num(get(handles.edit_steps,'string')) ;
    if length(steps)==1%必须是单个曲线
            switch get(handles.popupmenu_pick,'value')
                case 1          
                    y=BESSELJ(steps(1),x);      
                case 2
                    y=BESSELY(steps(1),x);        
            end
            a=polyfit(x,y,str2num(get(handles.edit_polyStep,'string')));%获取拟合多项式系数
            a1=polyder(a);%多项式一阶导数
            a2=polyder(a1);%多项式二阶导数
            t=polyval(a,x);
            hold on;
            plot(x,y,'b');%绘制贝塞尔曲线
            plot(x,t,'r:');%绘制拟合曲线
            hold off;
           
            xValue=str2num(get(handles.edit_xValue,'string')) ;
            yValue=polyval(a,xValue);%函数值
            dy1Value=polyval(a1,xValue);%一阶导数值
            dy2Value=polyval(a2,xValue);%二阶导数值
           
            set(handles.edit_yValue,'string',num2str(yValue));%显示
            set(handles.edit_dy1Value,'string',num2str(dy1Value));
            set(handles.edit_dy2Value,'string',num2str(dy2Value));
    end

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  • 0)四、导数的四则运算法则五、基本导数公式六、高阶导数的运算法则七、基本初等函数的n阶导数公式八、微分公式与微分运算法则九、微分运算法则十、基本积分公式十一、下列常用凑微分公式十二、补充下面几个积分公式...

    527d630a1ed60e024210ee259d1dd297.png

    一、极限公式

    2092da47e7b9f6e6a3f701a152d40ae7.png

    (系数不为0的情况)

    二、重要公式

    94b2438ca2aecf14f16c0894aa37e809.png

    三、下列常用等价无穷小关系(x->0)

    cf92de540ae14cf5b8fa0619f6b80bb0.png

    四、导数的四则运算法则

    e7d01cd0eb463c1f141dbab3d76ae12b.png

    五、基本导数公式

    ffbe06e82cd212e45bc0da4c944cd8e4.png

    六、高阶导数的运算法则

    0a82fac1ed851fc21b08bcb8c13db8bf.png

    七、基本初等函数的n阶导数公式

    101e691b23fcc9fb636f6bbaa320fb72.png

    八、微分公式与微分运算法则

    827223159caa4edc5750efb4c5f1f41d.png

    九、微分运算法则

    00c1fc9f0b6d3b2fad340c1ffffa3998.png

    十、基本积分公式

    1647a550bdd90837b6f1d9e6c907a1dd.png

    十一、下列常用凑微分公式

    f5d5661702728f03ea20b6db2c9b3731.png

    十二、补充下面几个积分公式

    39db47a4dba84d619ca2e496a0c09e23.png

    十三、分部积分法公式

    3fc9298ade957272772d7ebc0a79937e.png

    十四、第二换元积分法中的三角换元公式

    7cd10a0b90f8bf275487576cc6771f30.png

    01933c084bf802ef274dbb82fad2d5fd.png

    十五、三角函数公式

    0f55816b0cc1c4fe7e23f6565e661135.png

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    d3628c6426c4b80612fc7a23226a1438.png

    e603c1149897fb354935ba41fa609a34.png

    c76406b30c255e849962fd0d8fe78e7c.png

    edd980d1822fbe1fc5769f25d6686303.png

    91b08670c690b2d8809eea8afee7f303.png

    03d48fd93639398e431dd082fb94615a.png

    bb04f8a5ab05ebac72f7fc9560592e36.png

    十六、几种常见的微分方程

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  • Derivatives of a B-spline Curve ... 每个基函数的导数可计算如下:    将这些导数代回曲线方程得到下列结果:    其中Qi定义如下:    因此,一个B-样条曲线的导数是另一个p- 1次...

                            Derivatives of a B-spline Curve

      尽管B-样条曲线比贝塞尔曲线复杂得多,它们的导数很相似。假设一个B-样条曲线定义如下:

      

      每个基函数的导数可计算如下:

      

      将这些导数代回曲线方程得到下列结果:

      

      其中 Qi定义如下:

      

      因此,一个B-样条曲线的导数是另一个p - 1次B-样条曲线,在原来的节点向量上,而有新的n 个控制点Q0, Q1, ..., Qn-1。

      如果原始的clamped节点向量是u0(p+1), up+1, ..., um-p-1, um(p+1),那么移动第一个和最后一个节点使得第一个和最后一个节点重复度变成, p 而不是p+1,我们有一个m - 1 个节点u0(p), up+1, ..., um-p-1, um(p)的新节点序列。那么,可证明在原来节点序列计算的Ni+1,p-1(u) 等于在新节点序列上的Ni,p-1(u)。因此,在新节点序列上的一个B-样条曲线的导数如下:

      

      下面左图是一个5次的B-样条曲线。它的导数曲线,其是一个由新 n 个控制点定义的 p-1次B-样条曲线,显示在中图。如同贝塞尔曲线的情况,这是一个原始曲线的矢端曲线(hodograph)。下面右图显示的是控制折线删除后的矢端曲线(hodograph)。

             

        Clamped B-样条曲线

      我们知道一个clamped B-样条曲线经过第一个和最后一个控制点。实际上,它也与控制折线的第一边和最后一边相切。回忆上面的p 次B-样条曲线C(u)的导数是

      

      其节点向量通过将第一个节点和最后一个节点从原始节点序列去掉获得。因此,第一个(和最后一个)节点的重复度是p,因此,上面的 p-1次B-样条曲线是clamped。因为一个clamped B-样条曲线经过它的第一个和最后一个控制点,我们有C'(0) = Q0 和 C'(1) = Qn-1。 因为,对i = 0有 u0 = .... = up = 0 ,所以我们有

      

      因此,在C'(0)上的切向量与从P0 到 P1 的向量有相同的方向,而 C(u) 与第一边相切。基于同样的推理,我们有下列结果:

       

        因此,C(u) 与最后一边相切。总之,我们有下列重要事实: 

      

      更高阶导数 

      因为一个B-样条曲线的一阶导数是另一个B-样条曲线,所以可以毫无困难地递归应用该技术来计算更高阶导数。

      

     

     

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  • matlab开发-BesselDerivativeZeros。第一类贝塞尔函数一阶导数的零。
  • 但是这只是指数函数的冰山一角,俗话说得好:莫看江面平如镜,要看水底万丈深。除了以上的作用,我们还可以从指数函数本身导出相当多的结论,比如数字信号处理中著名的Whittaker—Shannon插值公式。在本系列文章中,...

    众所周知,指数函数是指形如

    的函数,其中
    。它常用于描述事物在没有限制时的自然增长。但是这只是指数函数的
    冰山一角,俗话说得好:莫看江面平如镜,要看水底万丈深。除了以上的作用,我们还可以从指数函数本身导出相当多的结论,比如数字信号处理中著名的Whittaker—Shannon插值公式。在本系列文章中,我会从指数函数一直推到插值公式。

    根据微积分的知识,我们知道指数函数

    的导数就是它本身,我们可以用e的定义来验证:

    通过这个定义,我们对指数函数求导:

    所以指数函数的任何阶导数都是它本身,即

    其中n为整数。于是我们有了这样的梗:

    b5acad8671b92f6d3a558d20d73b2d90.png
    图片来自网络,侵删

    根据麦克劳林展开的定义

    以及指数函数的性质,我们可以得出
    的展开式:

    ,我们可以得到下面的式子:

    当我们继续列举的时候我们可以把式子的实部和虚部分开,得到:

    一些记忆好的同学可以发现

    的展开式的实部和虚部刚好是
    ,于是我们可以得到欧拉公式:

    以上是第一种也是最常见的欧拉公式证明方法。这条式子不仅能用级数展开式验证,还能用微分方程推导。

    现在我们设置初始值问题:

    我们可以直接发现(1)式是一个可分离变量的一阶微分方程,于是:

    。将结果带入(2)式我们可以轻松解得
    。于是根据
    Picard–Lindelöf theorem
    是这个问题的唯一解。所以任何其它满足该方程组的解和
    等价。

    ,可得

    所以该解满足第一条等式,然后我们再看第二条:

    所以我们发现

    都是该问题的解,于是根据Picard–Lindelöf theorem,我们得出结论

    以上是欧拉公式的两种证明方法,下面我们可以看看几个欧拉公式的常见用途:

    1、简化积分的运算

    比如求正弦函数的拉普拉斯变换(其中s>0):

    用微积分里的知识,我们一般会通过多次分部积分法来求解。但是有了欧拉公式,我们不但避免了分部积分,还同时能算出余弦函数的拉普拉斯变换:

    现在我们计算一下:

    于是我们根据欧拉公式,可以得到:

    2、复分析

    复数之所以有应用,就是因为它可以用来描述旋转。有了欧拉公式,复数可以更直观地理解为旋转

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    复数的指数形式

    该系列的第一篇就此结束,敬请期待下一部《这一切都从指数函数开始(2)——傅立叶的级数和变换》

    展开全文
  • 给出了马蒂厄函数用三角函数和贝塞尔函数级数展开的各种形式,进而得到它们的一阶导数的表达式,另外还对马蒂厄函数的积分形式进行讨论。讨论了马蒂厄函数的数值计算方法,编写出所有马蒂厄函数及其一阶导数的...
  • matlab开发-specialphase

    2019-08-25 05:10:33
    matlab开发-specialphase。计算贝塞尔函数的相位函数及其导数
  • 给出了马蒂厄函数用三角函数和贝塞尔函数级数展开的各种形式,进而得到它们的一阶导数的表达式,另外还对马蒂厄函数的积分形式进行讨论。讨论了马蒂厄函数的数值计算方法,编写出所有马蒂厄函数及其一阶导数的...
  • matlab开发-dbesseljnuZ

    2019-08-25 05:53:55
    matlab开发-dbesseljnuZ。贝塞尔函数的一阶导数
  • 复变函数部分容包括复变函数及其导数和积分、复变函数的级数、留数及其应用;数理方程部分包括数学物理方程及其定解条件、分离变量法、 Sturm-Liouville(施图姆-刘维尔)本征值问题、贝塞尔函数及其应用、行波法与...
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  • matlab开发-dbesselzeronm

    2019-08-27 11:46:30
    matlab开发-dbesselzeronm。p'n m:n-贝塞尔(jn)函数一阶导数的m第一个零
  • 8.2.3含虚自变量的贝塞尔函数的积分 8.2.4双贝塞尔函数的积分 8.2.5贝塞尔函数与幂函数组合的积分 8.2.6贝塞尔函数与三角函数组合的积分 8.2.7贝塞尔函数与双曲函数组合的积分 8.2.8艾里(Airy)积分 8.3含有勒让德...
  • 8.2.3含虚自变量的贝塞尔函数的积分 8.2.4双贝塞尔函数的积分 8.2.5贝塞尔函数与幂函数组合的积分 8.2.6贝塞尔函数与三角函数组合的积分 8.2.7贝塞尔函数与双曲函数组合的积分 8.2.8艾里(Airy)积分 8.3含有勒让德...
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空空如也

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