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  • 小学奥数知识点回顾:余数和同余
    2020-12-19 05:01:09

    小学奥数知识点回顾:余数和同余

    余数及其应用

    基本概念:对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0

    余数的性质:

    ①余数小于除数。

    ②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。

    ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。

    ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

    余数、同余与周期

    一、同余的定义:

    ①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。

    ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m。

    二、同余的性质:

    ①自身性:a≡a(mod m);

    ②对称性:若a≡b(mod m),则b≡a(mod m);

    ③传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡ c(mod m);

    ④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);

    ⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡ b×d(mod m);

    ⑥乘方性:若a≡b(mod m),则an≡bn(mod m);

    ⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整数c,则a×c≡ b×c(mod m×c);

    三、关于乘方的预备知识:

    ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b

    ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md

    四、被3、9、11除后的余数特征:

    ①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod 9)或(mod 3);

    ②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

    五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(mod p)。

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    2020-12-19 05:01:12
    小升初奥数综合训练(十八+十九)余数和同余【知识要点】1、例如:37÷5=7……2,四者之间的数量关系:被除数=除数×商+余数2、同余的概念:两个整数,被一个大于1的整数m除,所得余数如果相同,那么,这两个整数...

    小升初奥数综合训练

    (十八

    +

    十九)余数和同余

    【知识要点】

    1

    例如:

    37

    ÷

    5

    7

    ……

    2

    ,四者之间的数量关系:被除数

    =

    除数×商

    +

    余数

    2

    同余的概念:两个整数,被同一个大于

    1

    的整数

    m

    除,所得余数如果相同,那么,这两个整数对于除数

    m

    来说

    是同余的。例如:

    14

    26

    这两个数虽然大小不同,但它们分别除以

    6

    所得的余数相同,我们把

    14

    26

    叫做

    关于模

    6

    同余。

    3

    同余最基本的性质是:几个同余式(模相同)相加、减、乘、乘方仍然同余。

    【典型例题】

    1

    两个整数相除商

    8

    ,余

    16

    ;并且被除数、除数、商及余数的和是

    463.

    那么被除数是多少?

    2

    3

    除余

    2

    ,被

    5

    除余

    3

    ,被

    7

    除余

    4

    的最小自然数是多少?

    3

    五(

    3

    )班同学上体育课,排成

    3

    行少

    1

    人,排成

    4

    行多

    3

    人,排成

    5

    行少

    1

    人,排成

    6

    行多

    5

    人,

    问上体育课的同学最少多少名?

    4

    小刚在一次计算除法时,把被除数

    171

    错写成

    117

    ,结果商少了

    3

    而余数恰好相同,这题中的除数

    是几?

    【精英班】例

    5

    、有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的

    3

    倍,且这个三位数除以

    5

    4

    ,除以

    11

    3.

    个三位数是多少?

    【竞赛班】例

    6

    1

    1

    +2

    2

    +3

    3

    +4

    4

    +5

    5

    +6

    6

    +7

    7

    +8

    8

    +9

    9

    除以

    3

    的余数是多少?

    【课后分层练习】

    A

    组:入门级

    1

    2

    3

    5

    除都余

    1

    ,且不等于

    1

    的最小整数是多少?

    2

    两个整数相除得商数是

    12

    ,余数是

    26.

    被除数、除数、商数及余数的和等于

    454

    ,除数是多少?

    展开全文
  • 国考行测数量关系之余数同余问题解题诀窍在公务员考试的数量关系模块中,余数相关问题是考查的传统重点,也是令很多考生犯难的一种题型。硕文公务员考试研究中心针对常见的几类题目给予分析,帮助考生轻松解决余数同...

    国考行测数量关系之余数同余问题解题诀窍

    在公务员考试的数量关系模块中,余数相关问题是考查的传统重点,也是令很多考生犯难的一种题型。硕文公务员考试研究中心针对常见的几类题目给予分析,帮助考生轻松解决余数同余问题。

    按照常考的题型,余数问题可以分为以下几类:

    一、代入排除类型

    【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操,只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( )

    A.102 B.98 C.104 D.108

    【解析】像这样的题目直接代入选项,看看哪个符合题目所给的条件,哪个就是正确的答案,毫无疑问,选项108满足条件,选择D。

    二、余数关系式和恒等式的应用

    余数的关系式和恒等式比较简单,因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了,余数基本关系式:被除数÷除数=商…余数(0≤余数

    1、余数是有范围的(0≤余数

    2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握:被除数=除数×商+余数。

    【例2】两个整数相除,商是5,余数是11,被除数、除数、商及余数的和是99,求被除数是多少?

    A.12 B.41 C.67 D.71

    【解析】余数是11,因此,根据余数的范围(0≤余数11。除数为整数,所以除数≥12,根据余数的基本恒等式:被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71,因此被除数最小为71,答案选择D选项。

    【例3】有四个自然数A、B、C、D,它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5,A除以C商是6余6,A除以D商是7余7。那么,这四个自然数的和是?

    A. 216 B. 108 C. 314 D. 348

    【解析】利用余数基本恒等式:被除数=除数×商+余数,有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数,于是A可以被5整除,同理,A还可以被6、7整除,因此,A可以表示为5、6、7的公倍数,即210n。由于A、B、C、D的和不超过400,所以A只能等于210,从而可以求出B=41、C=34、D=29,得到A+B+C+D=314,选C。

    像上面这两个题目,就是活用这两个知识点来解题的,所以在对这类问题的练习过程中,一定要牢牢地把握这两点。

    三、同余问题

    这类问题在考试中比较常见,主要是从除数与余数的关系入手,来求得最终答案。通过总结我们得出解决同余问题的核心口诀,如下表所示:

    同余问题核心口诀

    “最小公倍数作周期,余同取余,和同加和,差同减差”

    余同取余:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,这个数是 60n+1

    和同加和:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,这个数是 60n+7

    差同减差:“一个数除以4余3,除以5余4,除以6余5”,这个数是 60n-1

    说明:在这里,n的取值范围为整数,可以为正数也可以取负数。

    【例4】一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1,请问这个数如何表示?

    【解析】设这个数为A,则A除以4余1,除以5余1,除以6余1,那么A-1就可以被4、5、6整除。4、5、6的最小公倍数为60,所以A-1就可以表示为60n,因此,A=60n+1。

    【例5】一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1,请问这个数如何表示?

    【解析】设这个数为A,如果A除以4余3,除以5余2,除以6余1,我们知道除数与对应余数的和相同,对应的为“和同加和”,满足这三个条件的数可以表示为:A= 60n+7。

    【例6】一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,请问这个数如何表示?

    【解析】除以除以4余1,除以5余2,除以6余3,我们知道除数与对应余数的差相同,对应的为“差同减差”,满足这三个条件的数可以表示为:60n-1。

    根据以上三道例题的结论,我们还可以举一反三地解决其他相关问题。如:

    【例7】一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有多少个?

    A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

    解析:除以5余2,除以4余3,我们知道除数与对应余数的和相同,对应的为“和同加和”,满足这两个条件的数可以表示为,P=20n+7,表示除以20余7;再配上之前的条件除以9余7,对应的为“余同取余”,我们得到这个数可以表示为180n+7,由于这个数为三位数,所以n可以取1、2、3、4、5,所以共5个。

    硕文公务员考试研究中心认为针对行测考试中出现的此类问题,只要大家掌握余数的基本点,包括关系式和恒等式等,牢记同余问题的解决口诀,清楚对公倍数(或最小公倍数)的求法,再遇到类似的余数同余问题,就能轻松、快速地解决掉。

    硕文教育 刘桂森

    展开全文
  • 余数与同余解析

    2020-12-19 05:01:05
    1六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系:被除数=除数×商+余数被除数-余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数除数3.有关余数问题的性质:性质1:如果两个整数a,b除以一个数m,而余数相同,那么ab的差能被...

    1

    余数和同余

    1.

    有余数的除法各部分之间的关系:

    被除数

    =

    除数×商+余数

    被除数-余数﹦商×除法

    2.

    除法算式的特征

    :

    余数<除数

    3.

    有关余数问题的性质:

    性质

    1

    :如果两个整数

    a,b

    除以同一个数

    m

    ,而余数相同,那么

    a

    b

    的差能被

    m

    除。

    性质

    2

    :对于同一个除数,如果两个整数同余,那么他们的差就一定能被这个数整除。

    性质

    3

    :对于同一个除数,如果两个整数同余,那么他们的乘方仍然同余。

    解答同余类型题目的关键是灵活运用性质,把求一个比较大的数字除以某数的余数问

    题转化为求一个较小数除以这个数的余数,使复杂的问题变得简单化。

    1.

    把题目转化为算式就是:□÷

    7

    ﹦□„„□

    余数要比除数

    7

    小,商和余数相同,题中商和余数可能是

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    ,带

    入原式。根据被除数﹦商×除法+余数,算得:

    0

    ×

    7

    0

    0

    1

    ×

    7

    1

    8

    2

    ×

    7

    2

    16

    3

    ×

    7

    3

    24

    4

    ×

    7

    4

    32

    5

    ×

    7

    5

    40

    6

    ×

    7

    6

    48

    所求被除数可能是:

    0

    8

    16

    24

    32

    40

    48

    一个三位数被

    37

    除余

    17

    ,被

    36

    除余

    3

    ,那么这个三位数是多少?有啥好方法吗?

    这道题可采取经典的余数处理方法

    ------

    凑。

    这个凑,可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。

    1

    、找一个最小的自然数,满足除以

    37

    17

    ,当然

    17

    即可满足。

    2

    、很显然,这个数除以

    36

    并不余

    3

    ,作适当调整。

    3

    、为了不改变

    37

    的那个余数,每次可加上一个

    37.

    4

    、每加一次

    37

    ,除以

    36

    的那个余数就增加

    1

    (记住,不要计算被除数是多少,而采

    取的是余数的性质。被除数扩大一倍,余数也扩大一倍,被除数增加几,余数也会增

    加几(或者除以除数的余数)

    )

    5

    、因为我们要求的数除以

    36

    要余

    3

    ,现在只是余

    17

    ,即达到

    36

    后再多出

    3

    ,即余

    39

    (注意,这里用的是扩展余数)

    ,还差

    39-17=22.

    所以要增加

    22

    37.

    6

    、结果是

    17+22×

    37

    即为答案。

    在作除法运算时,我们有这样的经验:

    (1)

    一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数

    .

    如,

    除以

    5

    3

    的数有

    5

    ×

    1+3=8

    5

    ×

    2+3=13

    5

    ×

    3+3=18

    5

    ×

    4+3=23

    (2)

    一个相同的数除以一些不同的数,可能会有相同的余数

    .

    如,

    389

    分别除以

    5

    7

    11

    会得到相同的余数

    4.

    389

    ÷

    5=77

    „„余

    4

    389

    ÷

    7=55

    „„余

    4

    389

    ÷

    11=55

    „„余

    4.

    由此,我们可以来讨论下面的两个问题

    .

    展开全文
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    数论之同余与逆元 同余 两个整数a, b一个整数m,如果a除以m所得的余数和b除以m所得的余数相等,即 称为ab对m同余,m称为同余的模。 同余的符号记为: 一元线性同余方程 此式子的含义是ax除以m,b除以m,...
  • 1.设p = 23a = 5,使用费尔马小定理计算a^{2020} mod p? 2. 使用欧拉定理计算2^{100000} mod 55。 手动计算7^{1000}的最后两个数位等于什么?
  • 编程中对余数理解

    千次阅读 2019-02-02 23:07:09
    余数,即是对一个数据求之后的结果,余数的结果总是在0-9之间,对于不同的数据的结果求之后的结果,可以对数据进行分类。在计算机中的使用于定理,可以解决数据的分类问题。而在计算机网络中,我们可以使用...
  • 简单理解-同余定理

    万次阅读 2018-12-02 09:58:38
     2个不同的整数a、b,被一个整数m相除时,得到相同的余数,那么我就可以称a、b同余。  因为a、b同余所以当他们相减时,余数就抵消掉了,剩下的那部分就是能被m整除的。   可以这么理解:  a=m*q1+r1,b=m*q2...
  • 同余方程详解

    千次阅读 多人点赞 2020-02-06 21:23:29
    定义: 同余给定正整数mmm,若用mmm去除两个整数aaabbb,所得的余数相同,称ab对模mmm同余,记作a≡b(mod m)a≡b(mod\ m)a≡b(mod m),并称该式为同余式,否则,称aaabbb对模mmm不同。 定理: a≡...
  • 中国剩余定理又叫孙子定理即:有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。...字面意思理解一个余数, 即:假设有a b c(假设a>b)三个正整数 假如a对c取模得到的数b对c取模得到...

空空如也

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